Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych......... 3 1.3 Kombinacja liniowa, baza...................... 4 1.4 Punkty i wektory........................... 5 1.5 Figury geometryczne......................... 7 1.6 Układy równań liniowych interpretacja geometryczna..... 7 1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze................ 8 1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt.... 8 1.9 Izometrie............................... 8 1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe............... 8 1.11 Płaszczyzna zespolona........................ 8 2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 8 2.1 Wektory i punkty........................... 8 2.2 Baza.................................. 8 2.3 Macierze i wyznaczniki........................ 8 2.4 Przestrzenne figury geometryczne.................. 8 2.5 Działania na macierzach....................... 8 2.6 Układy równań liniowych...................... 8 2.7 Iloczyn skalarny............................ 9 2.8 Iloczyn wektorowy.......................... 9 2.9 Izometrie............................... 9 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 9 3.1 Przestrzenie liniowe.......................... 9 3.2 Podprzestrzenie liniowe....................... 10 3.3 Liniowa niezależność i baza..................... 11 3.4 Przekształcenia liniowe........................ 11 3.5 Macierze przekształceń liniowych.................. 12 4 Iloczyn skalarny 12 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne.................. 12 1

1 Geometria płaszczyzny 1.1 Wektory i skalary W zbiorze liczb rzeczywistych R rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia o następujących własnościach: (F1) a,b R a + b R (F2) a,b R a b R (F3) a,b,c R (a + b) + c = a + (b + c) (F4) 0 R a R a + 0 = 0 + a = a (F5) a R a R a + ( a) = ( a) + a = 0 (F6) a,b R a + b = b + a (F7) a,b R\{0} a b R \ {0} (F8) a,b,c R (a b) c = a (b c) (F9) 1 R\{0} a R a 1 = 1 a = a (F10) a R\{0} a 1 R\{0} a a 1 = a 1 a = 1 (F11) a,b R a b = b a (F12) a,b,c R a (b + c) = (a b) + (a c) Definicja 1.1.1. Określmy zbiór wektorów R 2 jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) elementu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np. R 2 v = (v 1, v 2 ). Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar wzorami: dla v, w R 2 i a R. v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) a v = (av 1, av 2 ) Stwierdzenie 1.1.2. W zbiorze V = R 2 dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności: (V1) v,w V v + w V (V2) v V a R a v V (V3) u,v,w V (u + v) + w = u + (v + w) (V4) θ V v V v + θ = θ + v = v (V5) v V v V v + ( v) = ( v) + v = θ (V6) v,w V v + w = w + v (V7) v,w V a R a (v + w) = (a v) + (a w) (V8) v V a,b R (a + b) v = (a v) + (b v) (V9) v V a,b R a (b v) = (ab) v (V10) v V 1 v = v Dowód: Własności (V1) (V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1) (F12) do obu elementów pary. 2

Wystarczy zauważyć, że θ = (0, 0) i dla każdego v R 2 wektorem przeciwnym jak w (V5) jest v = ( v 1, v 2 ). Definicja 1.1.3. Mówimy, że wektory v, w R 2 są równoległe i piszemy v w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar. Jeżeli jeden z wektorów v, w R 2 jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v w. Stwierdzenie 1.1.4. Dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzą warunki: 1. v θ, v θ, 2. v v, 3. v v wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ, 4. v w wtedy i tylko wtedy, gdy v w lub v w, 5. dla wektorów niezerowych jeżeli u v i v w, to u w. Dowód: 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Definicja 1.2.1. Macierzą 2 2 nazywamy układ 4 = 2 2 liczb postaci [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba. Zbiór wszystkich macierzy 2 2 oznaczamy przez M 22. Definicja 1.2.2. Wyznacznikiem macierzy 2 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 nazywamy liczbę det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Stwierdzenie 1.2.3. Wyznacznik macierzy 2 2 ma następujące własności: 1. Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny. 2. Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wyznacznika przez a. 3. Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika. 4. Własności analogiczne do 1 3 są prawdziwe dla kolumn. 3

Dowód: Definicja 1.2.4. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1, a 2, b R. Definicja 1.2.5. Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 gdzie a 11, a 12, a 21, a 22, b 1, b 2 R. Macierze [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 B = [ b1 b 2 ] nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych. Twierdzenie 1.2.6. Jeżeli macierz A układu równań liniowych { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ma wyznacznik różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie { det A1 x1 = x 2 = det A det A2 det A gdzie A j, j = 1, 2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Dowód: 1.3 Kombinacja liniowa, baza Definicja 1.3.1. Wyznacznikiem wektorów v, w R 2 nazywamy liczbę det(v, w) = v 1 v 2 w 1 w 2 = v 1w 2 v 2 w 1. Stwierdzenie 1.3.2. Dla dowolnych wektorów v, w R 2 spełniony jest warunek det(v, w) = 0 v w (lub równoważnie det(v, w) 0 v w). Dowód: Wniosek 1.3.3. Jeżeli wektory v, w R 2 nie są równoległe, to dla każdego wektora x R 2 istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a v+b w. 4

Dowód: Definicja 1.3.4. Dla danych wektorów v, w wektor postaci a v+b w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w). Analogicznie piszemy lin (v) = {a v ; a R}, a nawet lin () = {θ}. Definicja 1.3.5. Parę uporządkowaną (v, w) = B nierównoległych wektorów z przestrzeni R 2 nazywamy bazą przestrzeni R 2. Dla każdego wektora x R 2 jedyną parę liczb (a, b) takich, że x = a v +b w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B i oznaczamy przez C B (x). Definicja 1.3.6. Mówimy, że baza (v, w) przestrzeni R 2 jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(v, w) > 0 (odpowiednio det(v, w) < 0). 1. Układ wektorów e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) jest bazą prze- Przykład 1.3.7. strzeni R 2. Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2, czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne. 2. Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio. 3. Baza (e 2, e 1 ) jest zorientowana ujemnie. 1.4 Punkty i wektory Definicja 1.4.1. Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor pq = q p = (q1 p 1, q 2 p 2 ) W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E 2, a jego elementy nazywamy punktami. Stwierdzenie 1.4.2. Operacja przypisania dwóm punktom z E 2 = E wektora z R 2 = V ma następujące własności: (A1) p E v V! q E pq = v (A2) p,q,r E pq + qr = pr Dowód: (A1): wystarczy dla p E 2 i v R 2 przyjąć q = (p 1 + v 1, p 2 + v 2 ). (A2): pq + qr = (q p) + (r q) = r p = pr Definicja 1.4.3. Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że pq = v. Stwierdzenie 1.4.4. Dla punktów p, q i wektorów v, w spełnione są warunki 1. p + v = p + w v = w, 2. p + v = q + v p = q, 5

3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. p + v, p + w = w v. Dowód: Definicja 1.4.5. Układem współrzędnych w przestrzeni E 2 nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p E 2 oraz wektorów v, w stanowiących pewną bazę przestrzeni R 2. W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q E 2 nazywamy współrzędne wektora pq w bazie (v, w). Definicja 1.4.6. Dla danych dwóch punktów p, q E 2 i danych liczb α, β R takich, że α + β = 1 punkt αp + βq = p + β pq nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p, q o wagach odpowiednio α i β. Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach α, β, γ, przy czym α + β + γ = 1, wzorem αp + βq + γr = p + β pq + γ pr. Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q), trójki p, q, r przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}. Przykład 1.4.7. 1. Środek ciężkości pary punktów p, q o wagach 1 2, 1 2 jest środkiem odcinka pq. jest środkiem cięż- 2. Środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach 1 3, 1 3, 1 3 kości trójkąta pqr. 3. Punkt 2p + ( 1)q jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p. Definicja 1.4.8. Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazywamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punktów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki. Stwierdzenie 1.4.9. Dla dowolnych punktów p, q spełnione są warunki: 1. af (p, q) = {p + a pq ; a R}, 2. conv (p, q) = {p + a pq ; a [0, 1]}. Dowód: 6

1.5 Figury geometryczne Definicja 1.5.1. Dla danego punktu p i danego niezerowego wektora v zbiór postaci p + lin (v) = {p + a v ; a R} nazywamy prostą przechodzącą przez punkt p i o wektorze kierunkowym v. Stwierdzenie 1.5.2. Dla dowolnych dwóch różnych punktów p, q istnieje dokładnie jedna prosta zawierająca oba te punkty jest nią pq = af (p, q). Dowód: Definicja 1.5.3. Dla dwóch różnych punktów p, q ich otoczkę wypukłą pq = conv (p, q) nazywamy odcinkiem o końcach p i q. Dla trzech punktów p, q, r takich, że pq pr, ich otoczkę wypukłą pqr = conv (p, q, r) nazywamy trójkątem o wierzchołkach p, q i r. Definicja 1.5.4. Dla punktu p i nierównoległych wektorów v, w zbiór P(p; v, w) = {p + a v + b w ; a, b [0, 1]} nazywamy równoległobokiem rozpiętym na wektorach v i w (zaczepionym w punkcie p), a zbiór vpw = {p + a v + b w ; a, b 0} (wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku p i ramionach rozpiętych na v i w. Definicja 1.5.5. Półprostą o początku w punkcie p i kierunku oraz zwrocie wektora v θ nazywamy zbiór pv = {p + a v ; a 0}. Analogicznie dla punktu q nie należącego do prostej p + lin (v) określamy półpłaszczyznę pv q = {p + a v + b pq ; a R, b 0}. o krawędzi p + lin (v) skierowaną do punktu q. 1.6 Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Stwierdzenie 1.6.1. Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 = b jest 1. cała płaszczyzna R 2, gdy a 1 = a 2 = b = 0, 2. prosta, gdy a 1 0 lub a 2 0, 3. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = 0 i b 0. 7

Dowód: Gdy a 1 0, to x 1 = a 2 a 1 x 2 + b a 1, co oznacza, że wszystkie rozwiązania są postaci ( a 2 x 2 + b ) ( ) ( b, x 2 =, 0 + x 2 a ) 2, 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Zatem ( ) zbiorem wszystkich rozwiązań jest ( prosta ) przechodząca przez punkt p = b a 1, 0 i o wektorze kierunkowym v = a2 a 1, 1. Przypadek a 2 0 rozważamy analogicznie. Uwaga 1.6.2. Równanie prostej w E 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1 0 lub a 2 0 nazywamy równaniem ogólnym w odróżnieniu od równania parametrycznego { x1 = p 1 + tv 1 które idzie w ślad za definicją prostej. x 2 = p 2 + tv 2 Definicja 1.6.3. Dwie proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe. 1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze 1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt 1.9 Izometrie 1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe 1.11 Płaszczyzna zespolona 2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 2.1 Wektory i punkty 2.2 Baza 2.3 Macierze i wyznaczniki 2.4 Przestrzenne figury geometryczne 2.5 Działania na macierzach 2.6 Układy równań liniowych Definicja 2.6.1. Równaniem liniowym z trzema niewiadomymi x 1, x 2, x 3 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, 8

gdzie a 1, a 2, a 3, b R. Stwierdzenie 2.6.2. Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b jest 1. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = a 3 = 0, b 0, 2. cała przestrzeń R 3, gdy a 1 = a 2 = a 3 = b = 0, 3. płaszczyzna, gdy a 1 0 lub a 2 0 lub a 3 0. Definicja 2.6.3. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x 1,..., x n nazywamy równanie macierzowe postaci gdzie A M mn, B Mm1, zaś X = AX = B, Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz B macierzą wyrazów wolnych, a macierz [A B] M m,n+1 macierzą uzupełnioną tego układu. Twierdzenie 2.6.4. (Kroneckera Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A B] = r A. Wniosek 2.6.5. Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy. Twierdzenie 2.6.6. (Cramera) Układ równań liniowych AX = B o n równaniach i n niewiadomych taki, że det A 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem x k = det A k, k = 1,..., n, det A gdzie A k, k = 1,..., n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B. Wniosek 2.6.7. Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, spełnia warunek r [A B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych. 2.7 Iloczyn skalarny 2.8 Iloczyn wektorowy 2.9 Izometrie 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 3.1 Przestrzenie liniowe Definicja 3.1.1. Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór x 1. x n. 9

V wraz z funkcją + określoną na zbiorze V V par elementów z V oraz funkcją określoną na zbiorze R V spełniającymi warunki (V1) (V10). Przykład 3.1.2. przykł. 5.2 + M mn jest przestrzenią liniową. Definicja 3.1.3. Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n N {0}, że a n 0 i a m = 0 dla m > n. Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej określoną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego θ = (0, 0,...), któremu nie przypisujemy stopnia. Dla wielomianu a R[x] stopnia n stosujemy zapis a = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n lub a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem θ) oznaczamy przez R[x] n. Wniosek 3.1.4. Zbiór R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Dla dowolnego n N {0} zbiór R[x] n wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Definicja 3.1.5. def. 5.5 Przykład 3.1.6. Element z R n jest układem n liczb R. Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N. Definicja 3.1.7. def. 5.6 Stwierdzenie 3.1.8. stw. 5.4 3.2 Podprzestrzenie liniowe Niech V będzie przestrzenią liniową. Definicja 3.2.1. def. 6.1 Stwierdzenie 3.2.2. stw. 6.2 Stwierdzenie 3.2.3. stw. 6.3 Wniosek 3.2.4. stw. 6.4 Przykład 3.2.5. def. 6.5 + Zbiór macierzy symetrycznych n n, tzn. takich A M nn, że A T = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M nn. Stwierdzenie 3.2.6. def. 6.6 Stwierdzenie 3.2.7. def. 6.8 Wniosek 3.2.8. def. 6.9 10

3.3 Liniowa niezależność i baza Definicja 3.3.1. def. 7.1 Stwierdzenie 3.3.2. stw. 7.1 Przykład 3.3.3. przykł. 7.3, 7.4 + Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, przy czy macierz E ij ma na miejscu (i, j) jedynkę, a na pozostałych miejscach zera, jest liniowo niezależny. Stwierdzenie 3.3.4. def. 7.5 Definicja 3.3.5. def. 8.1 Stwierdzenie 3.3.6. stw. 8.7 Stwierdzenie 3.3.7. stw. 8.3 Definicja 3.3.8. def. 8.5 Twierdzenie 3.3.9. tw. 8.8 Przykład 3.3.10. przykł. 8.2, 8.9 + Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, stanowi bazę przestrzeni M mn. Twierdzenie 3.3.11. def. 8.11 Stwierdzenie 3.3.12. def. 8.14 Definicja 3.3.13. Mówimy, że przestrzeń liniowa ma wymiar skończony, jeżeli każdy nieskończony układ jej wektorów jej liniowo zależny. Wymiarem przestrzeni liniowej wymiaru skończonego nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy. Jeżeli układ (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to piszemy dim V = n. Gdy przestrzeń V nie jest skończonego wymiaru, piszemy dim V =. Przykład 3.3.14. przykł. 8.13 + dim M mn = mn 3.4 Przekształcenia liniowe Definicja 3.4.1. def. 9.1 Stwierdzenie 3.4.2. stw. 9.2 Stwierdzenie 3.4.3. stw. 9.3 Przykład 3.4.4. przykł. 9.4 Stwierdzenie 3.4.5. stw. 9.5 Definicja 3.4.6. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W, co zapisujemy V = W, gdy istnieje izomorfizm ϕ : V W. 11

Stwierdzenie 3.4.7. Izomorficzność przestrzeni liniowych jest relacją równoważności. stw. 9.6 Twierdzenie 3.4.8. tw. 9.9 Definicja 3.4.9. def. 9.10 Stwierdzenie 3.4.10. stw. 9.11 Przykład 3.4.11. przykł. 9.12 Stwierdzenie 3.4.12. stw. 9.13 Twierdzenie 3.4.13. tw. 9.14 Twierdzenie 3.4.14. tw. 9.15 3.5 Macierze przekształceń liniowych Definicja 3.5.1. def. 10.1 Funkcję przypisującą liczbom naturalnym i, j liczbę δ ij równą 1, gdy i = j, a 0, gdy i j, nazywamy deltą Kroneckera. Przykład 3.5.2. przykł. 10.3 Stwierdzenie 3.5.3. def. 10.4 Definicja 3.5.4. def. 10.5 Stwierdzenie 3.5.5. wn. 11.8 + przykł. 11.7 Stwierdzenie 3.5.6. wn. 11.16 4 Iloczyn skalarny 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne Definicja 4.1.1. def. 18.1 + (V,.,. ) przestrzeń ortogonalna Uwaga 4.1.2. uw. 1 Przykład 4.1.3. przykł. 18.2 Definicja 4.1.4. def. 18.3, 18.4 Definicja 4.1.5. def. 18.5 Przykład 4.1.6. przykł. 18.7 Stwierdzenie 4.1.7. stw. 18.6 Stwierdzenie 4.1.8. def. 18.8 Wniosek 4.1.9. Każda przestrzeń ortogonalna skończonego wymiaru posiada bazę ortonormalną. 12