Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, () a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (w którym a ij 0 dla pewnych i, j) przy pomocy operacji elementarnych równoważnego mu (czyli posiadajacego taki sam zbiór rozwiazań) uk ladu (2), który po ewentualnej permutacji niewiadomych x,, x n ma postać: x + c, k+ x k+ + + c n x n = d x 2 + c 2, k+ x k+ + + c 2n x n = d 2 x + c, k+ x k+ + + c n x n = d (2) x k + c k, k+ x k+ + + c kn x n = d k 0 = d k+ Jeżeli d k+ 0, to uk lad (2) nie ma rozwiazania, a wiec też uk lad () nie ma rozwiazania (czyli jest sprzeczny) Jeżeli d k+ = 0 i k = n, to uk lad () posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = d, x 2 = d 2,, x n = d n () Jeżeli d k+ = 0 oraz k < n, to x k+, x k+2,, x n sa dowolnymi skalarami (nazywamy je parametrami), zaś pozosta le niewiadome wyliczamy z równań uk ladu (2), tzn x i = d i c i k+ x k+ c in x n dla i =, 2,, k (4) Aby sprowadzić uk lad () do postaci (2) należy najpierw przy pomocy operacji elementarnych przekszta lcić go do uk ladu postaci: x + a 2 x 2+ + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2+ + a 2n x n = b 2 (5) a m x + a m2 x 2+ + a mnx n = b m
Robimy to np w ten sposób, że najpierw znajdujemy element a ij 0, a nastepnie przez operacje: x x j, r r i, a ij r doprowadzamy uk lad () do postaci (5) Nastepnie przy pomocy równania pierwszego eliminujemy zmienna x z pozosta lych równań uk ladu (5) przez wykonanie operacji: r 2 a 2 r, r a r,,r m a m r Otrzymamy wówczas uk lad postaci: x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (6) a m2 x 2 + + a mn x n = b m Z kolei stosujemy nasz algorytm do uk ladu: a 2 x 2 + + a n x n = b a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m2 x 2 + + a mn x n = b m (7) nie ruszajac pierwszego równania uk ladu (6) Po skończonej liczbie kroków uzyskamy uk lad postaci: x + e 2 x 2 + e x + + e k x k + e k+ x k+ + + e n x n = f x 2 + e 2 x + + e 2k x k + e 2 k+ x k+ + + e 2n x n = f 2 x + + e k x k + e k+ x k+ + + e n x n = f x k + e k k+ x k+ + + e kn x n = f k 0 = f k+ Jeżeli f k+ 0, to otrzymany uk lad jest sprzeczny, a wiec też uk lad () jest sprzeczny Jeżeli zaś f k+ = 0, to przy pomocy operacji: r e k r k, r 2 e 2k r k,,r k e k k r k eliminujemy zmienna x k z poczatkowych k równań Później eliminujemy zmienna x k z wcześniejszych równań przy pomocy k -szego równania, itd W końcu, po skończonej liczbie kroków, uzyskamy w ten sposób uk lad (2) Omówiony wyżej sposób rozwiazywania uk ladu równań metoda Gaussa zawiera dużo elementów dowolnych Dowolność zachodzi na każdym etapie rozważań, ponieważ możemy eliminować dowolna niewiadoma (pod warunkiem, że odpowiedni wspó lczynnik nie równa sie 0) Oprócz tego dowolna jest również kolejność równań w danym uk ladzie Jeżeli np w jakikolwiek sposób zmienimy kolejność równań w wyjściowym uk ladzie, to proces stopniowego eliminowania niewiadomych przebiegać bedzie inaczej Jednak zawsze musimy otrzymać te sama liczbe parametrów! W praktyce proces rozwiazywania uk ladu () możemy znacznie uprościć, jeżeli zamiast przekszta lceń uk ladu równań bedziemy przekszta lcać jego macierz uzupe lniona A u Oczywiste jest, że każdej operacji elementarnej uk ladu () odpowiada odpowiednia operacja elementarna macierzy A u, a mianowicie: 2
operacji r i r j odpowiada operacja w i w j, operacji a r i odpowiada operacja a w i, operacji r i + a r j odpowiada operacja w i + a w j, wykreślaniu i-tego równania odpowiada wykreślanie i-tego wiersza, operacji x i x j odpowiada operacja k i k j (należy przy tym pami etać, że nie wolno ruszać ostatniej kolumny i na koniec należy jeszcze uwzgl ednić wszystkie przenumerowania niewiadomych!) Przyk lad 7 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiażemy nad cia lem R x x 2 9x + 6x 4 + 7x 5 + 0x 6 = 6x + 4x 4 + 2x 5 + x 6 = 2 x + 2x 4 x 5 5x 6 = B edziemy wykonywali rachunki na macierzy uzupe lnionej naszego uk ladu: 9 6 7 0 0 0 40 55 0 0 0 6 4 2 2 w w, w 2 2w 0 0 0 0 24 0 x 2 x 4 0 0 2 5 0 0 2 5 x 6 55 0 0 0 0 0 24 0 x x 4 x x 2 x 5 0 0 40 0 2 0 5 40 x 2 x x 6 0 55 0 0 2 0 5 0 0 24 0 0 0 x x 4 x 5 0 w 40w, w 2 + 2 w w 2 w 2 w 2, x x 4 x 5 x 2 x x 6 0 0 0 6 2 8 0 x 6 55 0 0 2 0 5 x x 4 x x 2 x 5 0 0 40 0 0 0 2 0 0 0 0 oraz x = x 2, x 4 = 2 + 2 x 6 x 6, x 5 = 8 x 6 St rozwiazań danych wzorami: x x 5 0 0 0 0 24 0 x x 4 x 5 24 w 0 40 x 2 x x 6 0 55 0 0 2 0 2 5 2 2 0 0 0 0 8 0 0 0 Zatem zmiennymi bazowymi sa x 2, x, x 6 ad uk lad posiada nieskończenie wiele x = a, x 2 = a, x = b, x 4 = 2 + 2 b 6 c, x 5 = 8 c, x 6 = c, gdzie a, b, c s liczbami rzeczywistymi Przyk lad 72 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiażemy 2x + x 2 x + x 4 = x 2x 2 + 2x x 4 = 2 5x + x 2 x + 2x 4 = 2x x 2 + x x 4 = 4 a dowolnymi Rachunki bedziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A u naszego uk ladu Mamy, że x 2 x x x 4 2 2 2 2 2 x x 2 2 2 2 w 2 +2w, w w, w 4 +w A u = 5 2 5 2 2 4 2 4
x 2 x x 2 x 4 0 7 0 4 0 0 2 0 4 0 2 5 x 2 x 4 x x 2 0 0 7 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 x x 4 w 4 +w x 2 x 4 x x 2 0 0 7 4 0 0 2 0 2 0 4 5 x 2 x 4 x x 2 0 0 7 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 w +w 2, w 4 2w 2 sprzeczny (nie posiada rozwiazania), bo ostatnie równanie ma postać: 0 x 2 + 0 x 4 + 0 x + 0 x = Zatem nasz uk lad jest Przyk lad 7 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiażemy 2x x 2 + x x 4 = 2x x 2 x 4 = 2 x x + x 4 = 2x + 2x 2 2x + 5x 4 = 6 Rachunki bedziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A u naszego uk ladu Mamy, że x x 2 2 x x 4 2 2 0 2 x x 0 2 2 w +w, w 4 +2w A u = 0 0 2 2 2 5 6 2 2 2 5 6 x x 2 x x 4 x x 2 x x 4 2 2 0 2 2 ( )w 2 0 2 2 0 5 0 2 0 5 0 2 0 0 6 4 0 0 6 4 Wykonujemy operacje w + w 2 : x x 2 x x 4 x x 2 x x 4 2 2 0 2 2 w 4 2w 0 2 2 0 0 4 0 0 4 0 0 6 4 0 0 0 4 Wykonujemy operacje w i ( )w 4: x x 2 x x 4 x x 2 x x 4 2 2 0 0 2 2 w +w 4, w 2 w 4, w w 4 0 2 0 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 Wykonujemy operacje w 2w i w 2 + 2w : x x 2 x x 4 x 0 0 x 2 x x 4 0 0 0 5 0 0 0 2 w +w 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 Zatem uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = 0, x 2 = 2, x = 5, x 4 = 4 4
2 Wzory Cramera Niech dany b edzie uk lad n równań liniowych z n niewiadomymi x, x 2,, x n nad cia lem K: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n x + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Wyznacznikiem g lównym uk ladu (8) nazywamy a a 2 a n a W = 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn (8) Oznaczmy przez W i (dla i =, 2,, n) wyznacznik powstajacy z W przez zastapienie i-tej b kolumny W kolumna wyrazów wolnych 2 b b n Zatem b a 2 a n a b a n a a 2 b b W = 2 a 22 a 2n a, W 2 = 2 b 2 a 2n a,, W n = 2 a 22 b 2 b n a n2 a nn a n b n a nn a n a n2 b n Wówczas zachodzi nastepuj ace Twierdzenie 74 (Cramera) Jeżeli wyznacznik g lówny uk ladu (8) jest różny od zera, to uk lad ten posiada dok ladnie jedno rozwiaza-nie dane wzorami Cramera: x = W W, x 2 = W 2 W,, x n = W n W (9) Jeżeli zaś W = 0, ale W i 0 dla pewnego i =,, n, to uk lad (8) jest sprzeczny (a wiec nie posiada rozwiazania) Przyk lad 7 Stosujac wzory Cramera rozwiażemy nad cia lem R x + 2x 2 x x 4 = 2 2x x 2 x + 2x 4 = 4x 5x 2 + 2x + x 4 = 5 x x 2 x x 4 = 2 5
Obliczamy najpierw wyznacznik g lówny naszego uk ladu Stosujemy kolejno: operacje k 4 +k, k +k, k 2 +k, rozwiniecie Laplace a wzgledem czwartego wiersza, operacje k 2 k, rozwiniecie Laplace a wzgledem pierwszej kolumny: 2 0 0 2 2 2 4 0 0 W= = = ( ) 4+ 4 = ( ) ( ) + 4 5 2 4 6 7 0 0 0 6 7 4 6 7 = ( ) (7 24) = ( ) ( 7) = 5 St ad W = 5 0, wiec z twierdzenia Cramera uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwiazanie Obliczamy teraz wyznacznik W stosujac kolejno: operacje k + k 2, k k 4, k 2 + 2 k 4, rozwiniecie Laplace a wzgledem pierwszego wiersza, operacje k 2 + k, rozwini ecie Laplace a wzgl edem drugiego wiersza: 2 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 W = = = = ( ) +4 ( ) 5 5 2 0 5 0 2 0 0 2 2 2 0 = 0 0 = 0, bo w ostatnim wyznaczniku mamy dwie identyczne 0 0 kolumny Postepuj ac podobnie obliczamy: W 2 = 0 i W = 5 Zatem ze wzorów Cramera: x = W W = 0, x 2 = W 2 W = 0 oraz x = W W = Wyznacznika W 4 nie musimy już obliczać, bo z pierwszego równania x 4 = x + 2x 2 x + 2 = 0 + 0 + 2 = Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 75 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia lem liczb rzeczywistych x + x 2 = x + x 2 + x = 4 x 2 + x + x 4 = x + x 4 + x 5 = 2 x 4 + x 5 = Odp Uk lad ma nieskończenie wiele rozwiazań danych wzorami: x = 6 t, x 2 = t 5, x =, x 4 = t, x 5 = t, gdzie t R Zadanie 76 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia lem liczb rzeczywistych 4x x 2 + 2x x 4 = 8 x 2x 2 + x x 4 = 7 2x x 2 5x 4 = 6 5x x 2 + x 8x 4 = 6
Odp Uk lad jest sprzeczny Zadanie 77 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia lem liczb rzeczywistych 4x x 2 + x + 5x 4 = 7 x 2x 2 2x x 4 = x x 2 + 2x = 2x + x 2 + 2x 8x 4 = 7 Odp Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = 2, x 2 =, x =, x 4 = Zadanie 78 Stosujac metode eliminacji Gaussa rozwiaż nad cia lem liczb rzeczywistych 2x 8x 2 + 02x 74x 4 26x 5 = 2 4x 2x 2 + 9x 20x 4 252x 5 = 54 x + 2x 4 + 2x 5 = 4x + 5x 4 + 6x 5 = 2 7x + 8x 4 + 9x 5 = Odp Uk lad posiada nieskończenie wiele rozwiazań danych wzorami: x = 2 + 2 x 2, x 2 -dowolna liczba rzeczywista, x =, x 4 = 2, x 5 = 0 Zadanie 79 Stosujac wzory Cramera rozwiaż nad cia lem Q 2x + x 2 + x + 5x 4 = 2 x + x 2 + 5x + 2x 4 = 2x + x 2 + x + 2x 4 = x + x 2 + x + 4x 4 = Odp Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = 2, x 2 = 0, x =, x 4 = Zadanie 70 Stosujac wzory Cramera rozwiaż nad cia lem Q 2x + 5x 2 + 4x + x 4 = 20 x + x 2 + 2x + x 4 = 2x + 0x 2 + 9x + 7x 4 = 40 x + 8x 2 + 9x + 2x 4 = 7 Odp Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x =, x 2 = x = 2, x 4 = 0 Zadanie { 7 Stosujac wzory Cramera rozwiaż { nad cia lem C uk lady równań: 2(2 + i)z i( + 2i)w = 5 + 4i ( i)z + 2(2 + i)w = 2( + i), b) a) { (2 + i)z + (2 i)w = 6b a + (2a b)i c) ( i)z + ( + i)w = a + 9b + (a + b)i { { z w 2 i + +i = 2 d) 5z 2w + =, e) (2 i) 2 (+i) 2 (4 i)z + (2 + i)w = 5( + i) (2 i)z (2 + i)w = ( + i), (a, b R), ( + i)z + ( i)w = + i ( i)z + ( + i)w = + i 7
Odp a) z = 5 9 + 5 9 i oraz w = 4 9 + i b) z = i oraz w = c) z = ai oraz w = b d) z = 2i oraz w = + i e) z = i oraz w = + i Zadanie 72 równań: W zależności od wartości parametru a R rozwiaż nad cia lem R uk lad x + ay + z = 2x + y + z = a x + y + az = a 2 Odp Dla a = 0 uk lad jest sprzeczny Dla a 0 i a uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = a 2a, y = 2a 2a, z = a + 2a Natomiast dla a = uk lad ma nieskończenie wiele rozwiazań danych wzorami: x = 0, y-dowolna liczba rzeczywista, z = y { Zadanie 7 Stosujac twierdzenie Cramera rozwiaż nad cia lem Z 5 2x + x 2 = 2 x 2x 2 = Odp Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: x = 4, x 2 = 8