Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można wyróżnć następujące rodzaje model weloczynnkowych: modele weloczynnkowe ogólne (ang. general mult-ndex models), modele weloczynnkowe sektorowe (ang. ndustry mult-ndex model), modele weloczynnkowe makroekonomczne (ang. fundamental mult-ndex model). Modele weloczynnkowe ogólne Jako model weloczynnkowy ogólny będzemy rozumeć lnowy model, w którym stopa zwrotu jest generowana w oparcu o wskaźnk rynkowy (np. ndeks gełdowy), czynnk makroekonomczne sektorowe: = + Ι + Ι +... + m Ι m + α β β β ε 3 4
Modele weloczynnkowe sektorowe Przykładem weloczynnkowego modelu sektorowego jest model rynkowy powększony o korzyśc skal produkcj, który można zapsać jako: = a + b + b I + b I + + b I + e M M... m m I j są wskaźnkam przemysłowym (np. ndeksam branżowym, cenam ropy naftowej), które ne są skorelowane z ndeksem gełdowym an pomędzy sobą. 5 Modele weloczynnkowe makroekonomczne Przykładowe zmenne (makroekonomczne) na amerykańskm rynku kaptałowym: zmany stóp zwrotu długotermnowych oblgacj skarbowych, zmany stóp zwrotu długotermnowych oblgacj przedsęborstw, stopę wzrostu produktu krajowego brutto (PKB), zmany w całkowtej produkcj przemysłowej, zmany stopy nflacj, zmany stopy bezroboca, zmany cen ropy naftowej. 6 Model jednowskaźnkowy teor portfela: α + β + ε = M gdze: - stopa zwrotu akcj spółk, M - stopa zwrotu wskaźnka rynku, α - wyraz wolny równana, β - tzw. współczynnk beta, ε - tzw. składnk losowy. Lna charakterystyczna akcj (securty characterstc lne, SCL): = α + β M W żadnym wypadku ne należy tej zależnośc traktować jako zależność przyczynowoskutkowa, tzn. w tak sposób, że wzrost stopy zwrotu wskaźnka rynku powoduje wzrost stopy zwrotu akcj. 7 8
Współczynnk beta akcj: wskazuje o le jednostek (punktów procentowych) w przyblżenu wzrośne stopa zwrotu akcj, gdy stopa zwrotu wskaźnka rynku wzrośne o jednostkę (jeden punkt procentowy). Współczynnk alfa: α = β M 9 Współczynnk beta akcj: cov β, = s M M β =, M cov,m - kowarancja stopy zwrotu -tej akcj stopy zwrotu wskaźnka rynku, s M - odchylene standardowe stopy zwrotu wskaźnka rynku, ρ,m - współczynnk korelacj stopy zwrotu -tej akcj stopy zwrotu wskaźnka rynku, s - odchylene standardowe stopy zwrotu -tej akcj. ρ s M s 0 β > oznacza, że stopa zwrotu akcj wzrasta (spada) o węcej nż wzrasta (spada) stopa zwrotu wskaźnka rynku. Taka akcja nazywana jest agresywną. > β > 0 oznacza, że stopa zwrotu akcj wzrasta (spada) o mnej nż wzrasta (spada) stopa zwrotu wskaźnka rynku. Taka akcja nazywana jest defensywną. β = oznacza, że stopa zwrotu akcj wzrasta (spada) o tę samą welkość co stopa zwrotu wskaźnka rynku. Z modelu Sharpe a wynka, że współczynnk beta portfela rynkowego równy jest. β = 0 oznacza, że stopa zwrotu akcj ne zmena sę, gdy zmena sę stopa zwrotu wskaźnka rynku. Z modelu Sharpe a wynka, że współczynnk beta nstrumentu wolnego od ryzyka (np. bonu skarbowego) równy jest 0. β <0 oznacza, że stopa zwrotu akcj spada (rośne), gdy rośne (spada) stopa zwrotu wskaźnka rynku. Jest to odwrotna reakcja akcj na zmany zachodzące na rynku. W praktyce w zasadze ne spotyka sę takch akcj.
przykład Stan rynku Prawdopodobeństwo Stopa zwrotu akcj Stopa zwrotu rynku 0. 5% 0% 0.3 0% 0% 3 0.3 0% 5% 4 0. -5% 0% 5 0. -0% -5% 0.0073 β = =.659 α = 9.5%.659 6% = 0.454% 0.0044 3 może być równeż sformułowany dla portfela akcj: β = n p w = gdze: β P - współczynnk beta portfela, n - lczba spółek w portfelu, w - udzał akcj - tej spółk w portfelu, β - współczynnk beta akcj -tej spółk. β 4 przykład Inwestor dysponujący kaptałem w welkośc 000 tys. USD dokonał krótkej sprzedaży 00 tys. akcj spółk X po 6 USD. Za całość środków, którym dysponował (czyl 600 tys. USD) nabył 0 tys. akcj spółk Y po 40 USD oraz 5 bonów skarbowych po 80 000 USD. Współczynnk beta akcj spółk X wynos., a współczynnk beta akcj spółk Y wynos 0.9. Udzały poszczególnych nstrumentów w portfelu: akcje spółk X: -0.6; akcje spółk Y: 0.4; bony skarbowe:.. β p = 0.6. + 0.4 0.9 +. 0 = 0.36 5 Przyjęce modelu jednowskaźnkowego prowadz do jeszcze jednej, bardzo stotnej nterpretacj rynku akcj: s e s sm + = β gdze: - tzw. warancja składnka losowego. s e 6
ryzyko całkowte: ryzyko systematyczne, rynkowe, nedywersyfkowalne ryzyko specyfczne, nesystematyczne, dywersyfkowalne Przykład Które z portfel są dobrze zdywersyfkowane? Portfel β s β s β s M s e A, 6%,44 0,0036 0,0036 0 B, 7%,44 0,0049 0,0036 0,003 C 0,6 3% 0,36 0,0009 0,0009 0 D 0,6 4% 0,36 0,006 0,0009 0,0007 M 5% 0,005 0,005 0 7 8 (Captal Asset Prcng Model) Założena klasycznej wersj : nwestorzy przy podejmowanu decyzj kerują sę oczekwaną stopą zwrotu ryzykem (odchylenem standardowym) portfela; akcje nne nstrumenty fnansowe są doskonale podzelne, co oznacza, że można kupć ułamek akcj; nwestorzy mogą udzelać zacągać kredyt po stope wolnej od ryzyka; pomja sę podatk koszty transakcj; (Captal Asset Prcng Model) Założena klasycznej wersj są następujące: wszyscy nwestorzy podejmują decyzje na ten sam okres; wszystke nformacje są natychmast dostępne dla wszystkch nwestorów; nwestorzy mają jednorodne oczekwana, co oznacza, że ch oszacowana oczekwanych stóp zwrotu, ryzyka korelacj są take same. 9 0
(Captal Asset Prcng Model) W modelu nwestorzy kerują sę zasadam teor portfela, starając sę nwestować w portfele efektywne, starają sę nwestować w portfele leżące na ln rynku kaptałowego (CML). SML (Securty Market Lne): = + β f ( M f Określa ona zależność stopy zwrotu akcj od współczynnka beta tej akcj (przy znajomośc stopy wolnej od ryzyka oczekwanej stopy zwrotu portfela rynkowego). ) F nedowartoścowane SML B C' A M B' C przewartoścowane Portfel A leży na SML. Jest to portfel dobrze wycenony, tzn. spodzewana stopa zwrotu jest taka sama jak stopa zwrotu wynkająca z SML. Z defncj dobrze wycenony jest też portfel rynkowy (M) portfel nstrumentów wolnych od ryzyka (F). beta 3 4
Portfel B leży powyżej SML. Jest to portfel nedowartoścowany, tzn. spodzewana stopa zwrotu (wynkająca np. z analzy fundamentalnej) jest wyższa nż stopa zwrotu, jaką w warunkach równowag osąga sę z portfela o takm samym współczynnku beta. Poneważ jest to atrakcyjny portfel, nwestorzy będą sę starać dokonać jego zakupu. Spowoduje to wzrost ceny, co wywoła spadek stopy zwrotu. W warunkach równowag portfel B stane sę portfelem B. Portfel C leży ponżej SML. Jest to portfel przewartoścowany, tzn. spodzewana stopa zwrotu (wynkająca np. z analzy fundamentalnej) jest nższa nż stopa zwrotu, jaką w warunkach równowag osąga sę z portfela o takm samym współczynnku beta. Poneważ ne jest to atrakcyjny portfel, nwestorzy będą sę starać dokonać sprzedaży (lub krótkej sprzedaży) portfela. Spowoduje to spadek ceny, co wywoła wzrost stopy zwrotu. W warunkach równowag portfel C stane sę portfelem C. 5 6 współczynnk alfa (ne należy go mylć ze współczynnkem alfa ln charakterystycznej): α = [ f + β ( M f )] 7 Jeśl współczynnk ten jest dodatn, portfel (lub akcja) jest nedowartoścowany jego wartość wskazuje le wynos to nedowartoścowane. Jeśl współczynnk ten jest ujemny, portfel (lub akcja) jest przewartoścowany jego wartość wskazuje le wynos to przewartoścowane. Jeśl alfa jest równa zero oznacza, że portfel (lub akcja) jest dobrze wycenony. 8
współczynnk alfa akcj tworzących portfel: α = n p w = α Przesunęce SML: ównoległe Zmana kąta nachylena Przesunęce wzdłuż SML 9 30 przykład Stopa zwrotu wolna od ryzyka wynos 5%. Oczekwana stopa zwrotu portfela rynkowego wynos 3%, a odchylene standardowe tego portfela wynos 4%. Portfel Oczekwa na stopa zwrotu Odchylene standardowe Korelacja z portfelem rynkowym % 3% % 3% 0.5 3 0% 3% 4 0% 3% 0.5 przykład ównane CML jest następujące: = 5% + s ównane SML jest następujące: = 5 % + β 8% 3 3
przykład -żeby sprawdzć czy portfele są dobrze wycenone należy wyznaczyć współczynnk beta tych portfel: dla perwszego trzecego: 0.75; dla drugego czwartego: 0.375. -oczekwane stopy zwrotu dla portfel dobrze wycenonych: w przypadku beta równego 0.75 stopa ta wynos %; w przypadku beta równego 0.375 stopa ta wynos 8%. 33 portfel α = % [5% + 0.75(3% 5%)] = 0% portfel α = % [ 5% + 0. 375( 3% 5%)] = 3% portfel 3 α = 0% [5% + 0.75(3% 5%)] = % portfel 4 α = przykład 0 % [ 5% + 0. 375( 3% 5%)] = % 34 przykład portfel, który jest efektywny którego współczynnk korelacj z portfelem rynkowym równy jest, jest dobrze wycenony (leży na SML) Black (97) Zero-beta Ne ma aktywu wolnego od ryzyka Punktem przecęca ne jest f ale oczekwana stopa zwrotu z portfela z, tj. z Jeśl = z z = β 0 = β ( M z z( M z ) ) 35 36
Zatem: β z =0 cov z,m = 0 Zero-beta Zero-beta Oczekwana stopa zwrotu w modelu zero-beta Czyl z jest portfelem, którego stopa zwrotu jest neskorelowana ze stopą zwrotu z portfela rynkowego, tym samym ma współczynnk beta równy 0. = z + ( M z ) β 37 38 Zero-beta Zero-beta Portfel o zerowym współczynnku beta znajduje sę zawsze w neefektywnej częśc zboru możlwośc. E Zero-beta funkcjonuje przy założenu, że krótka sprzedaż jest dozwolona. MVP B C D z Z A s 39 40
Zero-beta przykład Oczekwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynos: 5% a stopa zwrotu z portfela o zerowym współczynnku beta wynos 7%. Jaka będze stopa zwrotu z portfela o współczynnku beta,? ( 5% 7% ), 6, % = 7% + = 6 APM (Arbtrage Prcng Model) APT teora wyceny arbtrażowej APM model wyceny arbtrażowej, Założena: model arbtrażu cenowego ) funkcjonowane prawa jednej ceny arbtrażu 4 4 APM ) kształtowane sę stopy zwrotu akcj (lub nnych nstrumentów fnansowych): = a + b F + bf +... + b k Fk + ε gdze: - stopa zwrotu akcj spółk, k - lczba czynnków, F - stopa zwrotu -tego czynnka, a - wyraz wolny równana, b - tzw. współczynnk wrażlwośc stopy zwrotu akcj względem stopy zwrotu -tego czynnka, ε - tzw. składnk losowy. APM Zakłada sę, że stopy zwrotu czynnków są param neskorelowane. Model ne określa jake to są czynnk an le pownno ch być, wadomo, że pownny one meć wpływ na stopy zwrotu akcj. Przy zastosowanu tego modelu w praktyce sprawą nezwykłej wag jest właścwa dentyfkacja tych czynnków. 43 44
współczynnk wrażlwośc: APM APM Ogólna postać APM jest następująca: b pj = n = w b j = λ 0 + λb + λb +... + λkb k -ty współczynnk wrażlwośc wskazuje, o le w przyblżenu zmen sę stopa zwrotu akcj, gdy stopa zwrotu -tego czynnka zmen sę o jednostkę. współczynnk wrażlwośc nazywane są współczynnkam beta gdze: - oczekwana stopa zwrotu portfela, b,b,..., b k - współczynnk wrażlwośc portfela względem czynnków ryzyka, λ 0, λ, λ,..., λ k - współczynnk równana. 45 46 Współczynnk λ modelu: APM APM Gdy jest tylko jeden czynnk tzw. APL: λ 0 = f, λ j = Pj f (j=,...,k) = λ 0 + λb gdze: f - stopa wolna od ryzyka, Pj - oczekwana stopa zwrotu portfela, który jest newrażlwy na wszystke czynnk oprócz j-tego, a którego wrażlwość na j-ty czynnk jest jednostkowa. Natomast współczynnk λ j (j=,...,m) jest to prema za ryzyko wywołane czynnkem F j. λ 0 APL b 47 48
APM Jeśl spodzewana stopa zwrotu (określona np. za pomocą analzy fundamentalnej) jest równa stope zwrotu oblczonej za pomocą równana APT, to akcja (lub portfel) jest dobrze wycenona. Jeśl spodzewana stopa zwrotu jest wyższa od stopy zwrotu oblczonej za pomocą równana APT, to akcja (lub portfel) jest nedowartoścowana. Jeśl spodzewana stopa zwrotu jest nższa od stopy zwrotu oblczonej za pomocą równana APT, to akcja (lub portfel) jest przewartoścowana. Dwuczynnkowy APM = 0 λ + λ b + λ b gdze: λ = oczekwana stopa zwrotu z aktywu o zerowym 0 ryzyku systematycznym λ 0 = 0 λ = prema za ryzyko zwązane ze znanym czynnkem, np. z ryzykem stopy procentowej λ = 0 49 50 Model dwuczynnkowy przykład Model dwuczynnkowy przykład λ λ λ 0 = zmana stopy nflacj. Prema za ryzyko zwązane z tym czynnkem jest % za każdy % zman stopy nflacj λ = 0, 0 = procentowy wzrost realnego PKB. Prema za ryzyko zwązane z tym czynnkem jest % za każdy % zman PKB λ = 0, 0 = stopa zwrotu z nstrumentu o zerowym ryzyku systematycznym (b oj =0) jest 3% λ 0 = 0,03 5 b x b y b x b y = reakcja spółk X na zmany stopy nflacj jest 0,50 b x = 0, 50 = reakcja spółk Y na zmany stopy nflacj jest,00 b y = = reakcja spółk X na zmany wzrostu realnego PKB jest,50 b x =, 50 = reakcja spółk Y na zmany wzrostu realnego PKB jest,75 b y = 75, 5
Model dwuczynnkowy przykład = 0 λ + λ b + λ b = 0,03 + (0,0)b + (0,0)b x = 0,03 + (0,0)(0,50) + (0,0)(,50) = 6.5% y = 0,03 + (0,0)(,00) + (0,0)(,75) = 8.5% 53 Model dwuczynnkowy przykład = 0, 08 + 0, 05b + 0, ABC b =, b = % = 0, 5 b ABC = 0, 08 + 0, 05, + 0, 0, 5 = 0% ABC jest nedowartoścowana %>0% 54 Portfel arbtrażowy Przykład 3 Portfel arbtrażowy Przykład 3 Portfel E Beta A 0,,05 B 0,04 0 C 0,095 0,8 Portfel o zerowym współczynnku beta ze spółek A C: 0 = w β + w β A A C C 0 =.05w + 0.8( w ) = 3. A E( r ) = w E( r ) + w E( r ) A, C A A C C A w A = ( 3.) 0. + 4. 0.095 = 0.05 55 E( r ) = 0.05 β = 0 A, C A,C E( r ) = 0.04 β = 0 B Arbtrage Arbtraż! opportunty Można kupć portfel z wyższą stopą zwrotu dokonać krótkej sprzedaży z nższą. wa, C = wb = w = 3. w = w = 4. =, 05w + 0, 8( w ) + 0 A B C w = 0 B β = 3..05 + 0 + ( 4.) 0.8 = 0 combnaton E( r ) = 3. 0. + 0.04 + ( 4.) 0.095 = 0.05 combnaton 0 A A 56