Rozmyta efektywność portfela

Transkrypt

1 Krzysztof PIASECKI Akadema Ekonomczna w Poznanu Problem badawczy Rozmyta ektywność portfela Buckley [] Calz [] zaproponowal reprezentowane wartośc przyszłych nwestycj fnansowych przy pomocy lczb rozmytych. Prowadz to bezpośredno do przedstawena stopy zwrotu jako lczby rozmytej. Welu badaczy wskazywało na przydatność takego obrazu stopy zwrotu w fnansach behaworalnych. ak model oczekwanej stopy zwrotu jest nterpretowany jako neprecyzyjny obraz przyszłych korzyśc osąganych przez nwestora. W [5] [6] przedstawono obraz nstrumentu fnansowego w postac uporządkowanej pary składającej sę z rozkładu oczekwań stopy zwrotu oczekwanego kwadratu resduum stopy zwrotu. Perwszy z tych parametrów, dany jako podzbór rozmyty w przestrzen lczb rzeczywstych, był uogólnenem pojęca oczekwanej stopy zwrotu. Drug z tych parametrów, dany jako neujemna lczba rzeczywsta, był uogólnenem pojęca warancj stopy zwrotu. Szczególnym przypadkem takego nstrumentu fnansowego może być portfel złożony ze składnków będących nstrumentam fnansowym o neprecyzyjne określonej stope zwrotu. W ten sposób można uzyskać uogólnene pojęca przestrzen Markowtz a portfel dopuszczalnych do przestrzen portfel dopuszczalnych z neprecyzyjne określoną stopą zwrotu. Uogólnene take rodz problem braku precyzj w określenach poszczególnych dalszych pojęć zwązanych z teorą Markowtz a. W nnejszej pracy zajmemy sę problemem określena pojęca portfela ektywnego w sposób neprecyzyjny. Głównym celem jest zaadaptowane przedstawonego w [5] neprecyzyjnego obrazu stopy zwrotu jako przesłank do sformułowana formalnego modelu normatywnego ektywnośc portfela rozumanej w sposób neprecyzyjny. Modelow temu zostane przecwstawony pewen ekonometryczny model neprecyzyjne określonej ektywnośc portfela..neprecyjna krzywa portfel ektywnych model normatywny Nech będze dany zbór elementarnych stanów rynku fnansowego obejmujących też stany wedzy ekspertów nwestorów o tymże rynku

2 fnansowym. Dla pewnego cała zdarzeń losowych znany jest rozkład P : 0,. Rozpatrzmy pewen zbór obarczonych prawdopodobeństwa ryzykem fnansowych nstrumentów podstawowych (porównaj [4]) 0,, t, ~ r :,, n, (), gdze symbol r~ oznacza obarczoną nepewnoścą neprecyzyjną wartość stopy zwrotu z nwestycj w nstrument fnansowy na okres do ustalonego momentu czasowego t 0. W tej sytuacj stopa zwrotu r~ jest reprezentowana : R 0,. Rozważmy teraz przez zbór probablstyczny Hroto [3] portfel c c c n n () spełnający dodatkowo warunek c, (3) gdze ;; ; n R c c, c, r~ c z portfela c n dana jest wtedy przy pomocy zależnośc n. Stopa zwrotu ~ r c c ~ r. (4) Oznacza to, że stopa zwrotu probablstyczny Hroto, c: R 0, tożsamośc z, c x max mn r~ c jest reprezentowana przez zbór określony przy pomocy x, :,,, n: x x, x,, x n. (5), c x z Kolejno wyznaczamy teraz (porównaj [5]) rozkład oczekwań stopy zwrotu : R 0, dany przy pomocy tożsamośc x c x, c dp, (6) oraz oczekwaną stopę zwrotu rˆ c x x, c dpdx. (7) R W [5] pokazano, że w tej sytuacj uogólnenem pojęca warancj stopy zwrotu jest oczekwany kwadrat resduum c x x c, gdze R dpdx, (8)

3 3 rˆ c x, c, rˆ c max x, c x 0, x, c (9) 0 x 0. W ten sposób dowolny portfel dopuszczalny jest tutaj reprezentowany przez c, c 0, R. W przypadku klasycznej teor Markowtz a parę R krzywą portfel ektywnych dnujemy jako zbór portfel o maksymalnej stope zwrotu dla danej warancj opsujemy jako krzywą r, : r max r c : c, c. (0) c W tej sytuacj, dla przypadku stopy zwrotu opsanej neprecyzyjne przy pomocy modelu (6), korzystając z zasady rozszerzena Zadeha, zbór portfel ektywnych zapsujemy jako parametryzowaną wartoścam odchylena standardowego rodznę podzborów rozmytych opsanych przy pomocy : R 0, danych przy pomocy tożsamośc funkcj przynależnośc z mn max x c: z x: c, c. () c x Jeśl wartość z R opsuje precyzyjne oszacowane stopy zwrotu portfela dopuszczalnego z,, to wartość z jest nterpretowana jako stopeń, w jakm ten portfel jest ektywny. ake pojmowane ektywnośc pozwol wyjaśnać zachowana nwestorów, którzy werbalne deklarując zamar ektywnego nwestowana ne nwestują w portfele dopuszczalne lezące na krzywej portfel ektywnych. Obektywne przyczyny takego stanu rzeczy opsuje lczna lteratura przedmotu. Wtedy jednak kryterum ektywnośc nwestowana możemy opsać, jako kryterum maksymalzacj stopna ektywnośc nwestycj. Wartym podkreślena jest fakt, że ostateczny kształt kryterum maksymalzacj stopna ektywnośc portfela jest zależny od postac zborów probablstycznych Hroto : R 0, opsujących stopy zwrotu z poszczególnych nstrumentów podstawowych. W ten naturalny sposób metodę optymalzacj nwestycj uzależnlśmy od precyzj postrzegana nstrumentów fnansowych składających sę na rynek fnansowy. Ze względu na formalne przesłank lezące u podstaw konstrukcj tego modelu ektywnośc portfela, nazywamy go modelem normatywnym. Z drugej strony ne sposób pomnąć tutaj problemu złożonośc oblczenowej modelu normatywnego. Jest to cena, jaka płacmy za brak założeń szczegółowych specyfkujących model stopy zwrotu, to jest za nską złożoność logczną tego modelu. Nska złożoność logczna jest jednak zaletą tego modelu z tej przyczyny model normatywny wydaje sę być wart dalszych studów.

4 4 ej wysokej złożonośc oblczenowej przecwstawmy odmenny model ektywnośc portfela oparty tym razem na przesłankach ekonometrycznych.. Neprecyzyjna krzywa portfel ektywnych model ekonometryczny Rozpatrzmy pewen zbór obarczonych ryzykem fnansowych nstrumentów podstawowych 0,, t, ~ r :,, n, (), gdze symbol r~ oznacza obarczoną nepewnoścą precyzyjną wartość stopy zwrotu z nwestycj w nstrument fnansowy na okres do ustalonego momentu czasowego t 0. W tej sytuacj stopa zwrotu r~ jest reprezentowana przez ~ zmenną losową daną w postac r r s ~, (3) gdze ~ N0; ~ jest zmenną losową o standardowym rozkładze normalnym; r R jest oczekwaną stopę zwrotu z nstrumentu ; s R jest odchylenem standardowym stopy zwrotu z nstrumentu. Oczekwane stopy zwrotu z poszczególnych nstrumentów podstawowych tworzą wektor r r, r, r, n, zaś macerz kowarancj wektora stóp zwrotu ~ r, ~ r,, ~, gdze r n jest dana w postac, j, j s s j, j s s j cov j,. (4) W [4] pokazano, że w przypadku precyzyjne określonych stóp zwrotu postac (3), krzywa portfel ektywnych jest dana w postac gdze r, : max r : r,, (5) r r r r r r r r. (6) r W tej sytuacj, dla danej wartośc odchylena standardowego reprezentującego zadany pozom ryzyka obcążający nwestycję, wyznaczene stopy zwrotu z portfela ektywnego sprowadza sę do wyznaczena wększego perwastka nesprzecznego równana kwadratowego. Stopę zwrotu z

5 5 ektywnego portfela przypsanego odchylenu standardowemu oznaczamy symbolem r. Stopeń ektywnośc dowolnego dopuszczalnego portfela z, rozumeć będzemy jako jego stopeń podobeństwa do portfela ektywnego postac r,. Zgodne z klasyczną ekonometryczną metodologą stopeń podobeństwa pomędzy dwoma portfelam będze wzrastał wraz ze zmnejszanem sę odległośc pomędzy tym portfelam. Do oszacowana tej odległośc w tej pracy wykorzystamy unormowana metrykę wyznaczoną przez metrykę Eukldesa. Dzęk temu, stopeń ektywnośc z dowolnego portfela dopuszczalnego z, będzemy wyznaczać korzystając z zależnośc z. (7) r z W ten sposób otrzymalśmy parametryzowaną wartoścam odchylena standardowego rodznę podzborów rozmytych opsanych przy pomocy : R 0,. Rodzna ta tworzy pewen funkcj przynależnośc ekonometryczny model ektywnośc portfela. Model ten w zdecydowane : R 0, korzystny sposób różn sę od modelu normatywnego postac () złożonoścą oblczenową. Z drugej strony model ekonometryczny jest obarczony wysoką złożonoścą logczną ogranczająca obszar potencjalnych zastosowań tego modelu. Model ekonometryczny, podobne jak model formalny. może być wykorzystany do objaśnena zachowań nwestorów nwestujących w portfele leżące poza krzywą portfel ektywnych. Model ekonometryczny może też być wykorzystany, jako funkcjonał w kryterum maksymalzacj stopna ektywnośc. Podsumowane W pracy zwrócono uwagę na możlwośc tkwące w braku precyzj w określenu portfela ektywnego. Stworzene obrazu tej neprecyzj na grunce teor podzborów rozmytych wprzęga aparat formalny tej teor do analzy rynku kaptałowego. Zaprezentowane wynk należy rozumeć jedyne jako sygnał o możlwoścach tkwących w zastosowanu teor podzborów rozmytych w matematyce fnansowej czy też fnansometr. Sygnał ten rodz też donosłe pytana o teoretyczne przesłank rozmytych model fnansów skwantyfkowanych. Naturalnym jest tutaj pytane o dobór logk welowartoścowej właścwej do opsu mechanzmów rynku fnansowego. Na

6 6 odpowedź oczekuje też pytane o mnmalne zestawy dodatkowych założeń specyfkujących ogólny model normatywny postac (). Wprowadzene neprecyzyjne określonej krzywej portfel ektywnych pocąga za sobą problem neprecyzyjnego określena ln rynku kaptałowego oraz wyznaczena modelu CAPM adekwatnego do wspomnanej krzywej. Rozwązane tego ostatnego problemu może stworzyć teoretyczne przesłank do przypsana modelu CAPM dowolnemu portfelow dopuszczalnemu charakteryzującemu sę przeceż zawsze pewnym stopnem ektywnośc. ak węc obszar rozmytej matematyk fnansowej rozmytej fnansometr można uznać za obecujący obszar badawczy. Skupene badań na tym obszarze pownno prędzej, czy późnej przyneść dla praktyk analzy rynku fnansowego określone ekty pozytywne. Bblografa. Buckley I.J., he fuzzy mathematcs of fnance, Fuzzy Sets and Systems 987, Nr.. Calz M.L. (990), owards a general settng for the fuzzy mathematcs of fnance, Fuzzy Sets and Systems 990, Nr Hrota K. (98), Concepts of probablstc sets, Fuzzy Sets and Systems 98, Nr Paseck K., Od arytmetyk handlowej do nżyner fnansowej, Wydawnctwo Naukowe AE, Poznań Paseck K., rójwymarowy obraz ryzyka, [w:] Mkroekonometra w teor praktyce 005, red. Hozer J., praca złożona do druku. 6. Paseck K., Obraz ryzyka w rozmytych przestrzenach probablstycznych, [w:] Innowacje w fnansach ubezpeczenach. Metody matematyczne, ekonometryczne nformaryczne 005, red. Chrzan P., praca złożona do druku.

7 7 Streszczene Krzywa Markowtz a portfel ektywnych jest opsany jako zbór rozmyty w przestrzen portfel dopuszczalnych. Rozważane tutaj są następujące neprecyzyjne modele portfela ektywnego: portfel dopuszczalny jest podobny do pewnego portfela ektywnego, portfel dopuszczalny jest elementem maksymalnym w zborze neprecyzyjne opsanych portfel dopuszczalnych Fuzzy portfolo fectveness Summary he Markowtz curve of fectve portfolos s descrbed as a fuzzy set n the space of admssble portfolos. here are consdered followng mprecse models of fectve portfolos: admssble portfolo s smlar to some fectve portfolo; admssble portfolo s a maxmal element n the space of mprecse descrbed admssble portfolos.