3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM

Transkrypt

1 3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM

2 Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji: E(r p ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) gdzie: E(R 1 ), E(R 2 ) oczekiwane stopy zwrotu z akcji pierwszej i drugiej spółki, E(R p ) oczekiwana stopa zwrotu z portfela, w 1, w 2 udziały akcji pierwszej i drugiej spółki w portfelu, w 1 + w 2 = 1. Wariancja portfela akcji dwóch spółek: V p = w 1 2 σ w 2 2 σ w 1 w 2 σ 1 σ 2 ρ 12 gdzie: σ 1, σ 2 odchylenia standardowe akcji pierwszej i drugiej spółki, ρ 12 współczynnik korelacji dwóch akcji 0,5 σ p = V p

3 Zadanie 1. Oczekiwana stopa zwrotu i wariancja portfela Policz oczekiwaną stopę zwrotu i odchylenie standardowe portfela o następującym składzie. Współczynnik korelacji wynosi 0,2. Aktywo E(R) Sigma Udział A 0,15 0,1 0,4 B 0,3 0,18 0,6 E(r p ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) V p = w 1 2 σ w 2 2 σ w 1 w 2 σ 1 σ 2 ρ 12

4 Zadanie 2. Oczekiwana stopa zwrotu i wariancja portfela Policz oczekiwaną stopę zwrotu i odchylenie standardowe portfela składającego się z aktywa X i Y, dysponując następującymi danymi. Współczynnik korelacji wynosi 0,5. Aktywo X Aktywo Y E(r) 4% 6% Sigma 11% 13% Cena aktywa 8 zł 10 zł Ilość aktywa

5 Zadanie 3. Oczekiwana stopa zwrotu i wariancja portfela z portfela z aktywem wolnym od ryzyka Policz oczekiwaną stopę zwrotu i odchylenie standardowe portfela składającego się z akcji A i aktywa wolnego od ryzyka. Aktywo A ma oczekiwaną stopę zwrotu 10% i odchylenie standardowe 5%. Stopa wolna od ryzyka jest równa 4%. Załóżmy, że udział aktywa wolnego od ryzyka w portfelu wynosi: a. 30% b. 60% c. 100%

6 Model jednowskaźnikowy Sharpe a E(R i ) = α + β R M + ε gdzie: E(R i ) stopa zwrotu akcji spółki i R M - stopa zwrotu portfela rynkowego α wyraz wolny, β współczynnik beta, ε składnik losowy σ i 2 = β i 2 σ M 2 + σe i 2 σ i 2 wariancja stopy zwrotu akcji spółki i σ M 2 wariancja stopy zwrotu portfela rynkowego (ryzyko systematyczne) σe i 2 - tzw. wariancja składnika losowego (ryzyko specyficzne) 6

7 Zadanie 4. Jednowskaźnikowy model Sharpe a Oszacuj oczekiwaną stopę zwrotu oraz ryzyko dla akcji wiedząc, że stopy zwrotu z poszczególnych aktywów są opisane następującym modelem jednowskaźnikowym. Załóżmy, że E(Rm) ~ N(0,02; 0,5) E(R1) = 0,01 +0,8*E(Rm) + ε, ε1~ N(0; 0,3) E(R2) = 0,04 +0,5*E(Rm) + ε, ε2~ N(0; 0,2) E(R3) = -0,03-0,3*E(Rm) + ε, ε3~ N(0; 0,4) E(R i ) = α + β R M + ε σ i 2 = β i 2 σ M 2 + σe i 2

8 Zadanie 5. Jednowskaźnikowy model Sharpe a Na podstawie poniższych danych nt. akcji A i indeksu rynkowego XX: i/ oszacuj parametr beta i alfa dla akcji A, ii/ odpowiedz jaką część ryzyka całkowitego stanowi ryzyko specyficzne? E(R) akcji A wynosi 10% E(R) indeksu rynkowego wynosi 7% Odchylenie standardowe dla akcji A wynosi 15% Odchylenie standardowe dla indeksu XX wynosi 11% Współczynnik korelacji akcji z indeksem rynkowym wynosi 0,8. cov( A, B) 1. Obliczamy kowariancję: cov(a,b) = 0,8*0,15*0,11= 2. Obliczamy parametr beta: A, B A B 3. Obliczamy parametr alfa: E(R i ) = α + β R M α = E(R i ) β R M 4. Szacujemy ryzyko specyficzne:

9 5 cd. Jednowskaźnikowy model Sharpe a Na podstawie poniższych danych nt. akcji A i indeksu rynkowego XX: i/ oszacuj parametr beta i alfa dla akcji A, ii/ odpowiedz jaką część ryzyka całkowitego stanowi ryzyko specyficzne? E(R) akcji A wynosi 10% E(R) indeksu rynkowego wynosi 7% Odchylenie standardowe dla akcji A wynosi 15% Odchylenie standardowe dla indeksu XX wynosi 11% Współczynnik korelacji akcji z indeksem rynkowym wynosi 0,8. Ii/ Szacujemy ryzyko specyficzne: σe i 2 = σ i 2 - β i 2 σ M 2 => Zatem ryzyko specyficzne w całości ryzyka stanowi: σe i 2 /σ i 2 = σ i 2 = β i 2 σ M 2 + σe i 2 σ i 2 wariancja stopy zwrotu akcji spółki i (ryzyko całkowite) σ M 2 wariancja stopy zwrotu portfela rynkowego (ryzyko systematyczne) σe i 2 - tzw. wariancja składnika losowego (ryzyko specyficzne)

10 6. Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM Stopa zwrotu wolna od ryzyka wynosi 2%, a stopa zwrotu rynkowa 6%, współczynnik beta akcji X wynosi 1,1. A. Ile wynosi oczekiwana stopa zwrotu akcji X? B. B. Jak zmieni się oczekiwana stopa zwrotu jeśli stopa rynkowa wzrośnie do poziomu 8%? C. Jak zmieni się oczekiwana stopa zwrotu jeśli beta spadnie do poziomu 0,7? D. Ile wynosi premia za ryzyko rynkowe? E R = R f + E R M R f β A. E(R) = B. E(R) = C. E(R) = D. Premia = 10

11 7. Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM Wiedząc, że E(Rf)=6%, E(Rm)=10%, oszacuj które ze wskazanych akcji są przewartościowane lub niedowartościowane: Spółki E(R) Współczynnik Beta Omega1 0,12 1,2 Omega2 0,14 0,8 Omega3 0,17 1,5 Należy sprawdzić warunek równowagi rynkowej w CAPM: α = E(R i ) R f + β i E(R M ) R f E R = R f + E R M R f β = 0,06 +(0,1-0,06)* β = 0,06+0,04* β Omega1: E(R1) = 0,06+0,04*1,2 =0,108 - akcje są niedowartościowane α >0 Omega2: E(R2) = Omega3: E(R3) = 11