napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z. f (z, t) F(ω) e i(ωt kz) dω (1) gdzie f (z, t) jest amplitudą fali w punkcie o współrzędnej z i w chwili t, F(ω) jest amplitudą fali składowej o częstości ω. Nie interesuje nas w tej chwili zależność amplitudy fali od współrzędnych x, y w kierunku prostopadłym do osi propagacji. Paczka falowa zadana równaniem (1) jest rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego: gdzie f x 1 f v t 0 () f v f ω k (3) jest prędkością fazową, to znaczy prędkością z jaką przesuwa się wzdłuż osi z punkt o stałej fazie ϕ ωt kz. Łatwo sprawdzić, że pojedyncza fala składowa f (z, t) F 0 e iϕ rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (). Ponieważ równanie () jest liniowe, więc dopuszcza zasadę superpozycji. Suma jego rozwiązań też jest rozwiązaniem, a więc także uogólniona suma w postaci całki po ω. Granice całkowania od do + oznaczają, że bierzemy fale składowe biegnące zarówno w kierunku osi z, jak i w przeciwną stronę. Należy pamiętać, że w całce (1) wektor falowy k zależy od częstości ω poprzez relację dyspersji (3). Jeśli fala propaguje się w ośrodku materialnym to zazwyczaj jej prędkość fazowa v f zależy od częstości ω i zależność k(ω) staje się nieliniowa 1. Załóżmy, że do zbudowania paczki falowej wzięliśmy grupę fal o częstości zbliżonej do częstości średniej ω 0, to znaczy: { F0 dla ω F(ω) 0 ω / ω ω 0 + ω / 0 dla pozostałych ω (4) 1 Dla fali de Broglie a ω hk /(m), gdzie m jest masą cząstki. Dla fali elektromagnetycznej w ośrodku dielektrycznym ω /k c/n, gdzie n(ω) jest współczynnikiem załamania ośrodka. 1
gdzie ω jest szerokością zakresu częstotliwości fal wchodzących do superpozycji. F 0 ω ω 0 Zakładając, że zakres ten jest bardzo mały: ω ω 0, możemy nieliniową zależność k(ω) rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu ω 0 : k(ω) k(ω 0 ) + (ω ω 0 ) dk dω k 0 + (ω ω 0 ) 1 (5) ω0 v g gdzie v g dω dk (6) ω0 jest wielkością o wymiarze prędkości. Dla amplitud fal składowych zadanych zależnością (4), przy wykorzystaniu przybliżenia (5), całka (1) przyjmuje postać: f (z, t) F 0 e i(ω 0t k 0 z) ω 0 + ω / exp [ ) ] i(ω ω 0 ) (t zvg dω (7) ω 0 ω / Wprowadzając nową zmienną całkowania η ω ω 0 otrzymujemy: I ω 0 + ω / exp [ ) ] i(ω ω 0 ) (t zvg dω ω / exp [ )] iη (t zvg dη (8) ω 0 ω / ω / Powyższą całką można obliczyć w elementarny sposób I 1 i(t z/v g ) eiη(t z/v g) t z/v g sin ω ω 0 + ω / ω 0 ω / ( t z/vg ) Ostatecznie wzór na paczkę falową przyjmuje postać: i t z/v g [ e i ω(t z/v g )/ e i ω(t z/v g)/ ] (9) gdzie f (z, t) F 0 ω e i(ω 0t k 0 z) (ξ) (10)
(ξ) sin ξ ξ, ξ ω (t zvg ) Łatwo zauważyć, że równanie (10) opisuje zaburzenie falowe o fazie odpowiadającej średniej wartości częstości ω 0 i wektora falowego k 0 oraz o amplitudzie mającej postać wykresu funkcji sin ξ ξ. (11) ξconst v g z Prędkość z jaką przesuwa się wzdłuż osi z ustalony punkt ξ const wykresu tej funkcji wynosi dz /dt v g. Jest to prędkość grupowa paczki falowej. Prędkości fazowa i grupa modów w falowodzie Własności modów falowodowych są określone przez ich składowe podłużne: E z dla modu TM lub B z dla modu TE. Spełniają one równanie Helmholtza: gdzie f E z, B z oraz f x + f α f 0 (1) α ω c k z (13) Przy spełnieniu odpowiednich warunków brzegowych na powierzchni falowodu równanie (1) jest równaniem na wartości własne α. Funkcje własne tego równania nazywamy modami falowodowymi. Relacja dyspersji dla modu falowodowego wynosi ω k z c ω ω α α (14) c gdzie ω α cα jest tak zwaną częstością obcięcia modu. Łatwo sprawdzić, że prędkość fazowa modu jest większa lub równa prędkości światła v f ω k z c c (15) 1 (ω/ωα ) 3
Nie stoi to w sprzeczności z postulatami szczególnej teorii względności, gdyż faza fali nie jest obiektem materialnym. Prędkość grupowa modu natomiast jest mniejsza lub równa prędkości światła : Iloczyn obu prędkości wynosi v g dω dk z 1 / dk z dω c 1 (ω/ω α ) c (16) v f v g c (17) Podane wyżej wzory nie zależą od kształu przekroju poprzecznego falowodu. Prędkość przenoszenia energii w falowodzie Prędkość przenoszenia energii w falowodzie definujemy jako v P z W z (18) gdzie P z jest średnią w czasie mocą przenoszoną przez mod w przekroju poprzecznym falowodu, a W z jest energią zgromadzoną w polu elektromagnetycznym modu, liczoną na jednostkę długości falowodu. Wielkość P z obliczamy całkując po powierzchni przekroju poprzecznego falowodu średnią po czasie z-owej składowej wektora Poyntinga S z : P z S z d (19) Podobnie obliczamy W z, całkując po powierzchni przekroju poprzecznego falowodu średnią po czasie gęstość energii pola elektromagnetycznego w : W z w d (0) Średnia po czasie S z wynosi S z 1 µ 0 Re (E x B y E y B z ) (1) Dla modu TM, korzystając z praw mpera i Faradaya, składowe poprzeczne pól można wyrazić przez pochodne składowej podłużnej E z. W ten sposób dochodzi się do wzoru: Równości nie da się osiągnąć w praktyce, gdyż dla ω ω α jest k z 0, to znaczy mod nie przesuwa się wzdłuż falowodu. 4
S z 1 ( ) k z ω Ez µ 0 α 4 c x Średnia po czasie gęstość energii pola elektromagnetycznego wynosi ( ) Ez () w ɛ ( 0 Ex + E y + E z ) + 1 ( Bx + B y ) (3) 4 4µ 0 Wyrażając składowe poprzeczne pola przez pochodne składowej podłużnej E z dochodzi się do wzoru Stąd możemy napisać w ɛ 0 4 E z + ɛ 0 4 kz + ω /c ( ) Ez α 4 x ( ) Ez (4) P z 1 k z ω µ 0 α 4 c I 1, W z ɛ 0 4 I + ɛ 0 kz + ω /c I 4 α 4 1 (5) gdzie do obliczenia zostały dwie całki po przekroju poprzecznym falowodu I 1 ( ) Ez x ( ) Ez d, I E z d (6) Okazuje się, że obie całki są sobie do siebie proporcjonalne, niezależnie od powierzchni całkowania. * * * by to pokazać należy skorzystać z pierwszego twierdzenia Greena dla dwóch funkcji skalarnych u i v u v dv + u v dv u v d (7) n V V gdzie całkowanie dotyczy pewnej objętości V i zamkniętej powierzchni obejmującej tę objętość. Będzie nam potrzebna wersja dwuwymiarowa wzoru (7), to znaczy zamiast objętości V weźmiemy powierzchnię przekroju poprzecznego falowodu, oraz zamknięty kontur całkowania L będący jej brzegiem. u v d + u v d L u v dl (8) n Pochodne w gradiencie i laplasjanie w powyższym wzorze wykonujemy tylko po zmiennych x i y. Przyjmując u v E z otrzymujemy następującą zależność: 5
( ) Ez x ( ) Ez d + E z E z d L E z E z n dl (9) Zamnknięta całka krzywoliniowa w powyższym wzorze równa się zeru, gdyż na powierzchni falowodu spełniony jest warunek brzegowy 3 E z 0. Korzystając z równania Helmholtza (1) laplasjan E z możemy zastąpić przez α E z. Ostatecznie I 1 ( ) Ez x ( ) Ez d α * * * E z d α I (30) Wracając do wzoru na średnią moc i energię pola elektromagnetycznego w falowodzie, możemy je zapisać w postaci: P z 1 k z ω µ 0 α c I, W z ɛ ) 0 (1 + kz + ω /c I 4 α ɛ 0 ω α c I (31) Prędkość przenoszenia energii w falowodzie dla modu TM jest więc równa prędkości grupowej v P z W z k z µ 0 ɛ 0 ω c v f v g (3) Powyższy wynik nie zależy od kształtu przekroju poprzecznego falowodu. Mody TE przenoszą energię z taką samą prędkością. Można to wykazać, wyrażając składowe poprzeczne pola przez pochodne składowej podłużnej B z i wykonując analogiczny rachunek do przedstawionego powyżej. 3 Dla modu TE spełniony jest warunek brzegowy B z / n 0. 6