Podstawy wytrzymałości materiałów

Podobne dokumenty
Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

σ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.

Integralność konstrukcji w eksploatacji

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN :2002(U) Zalecana norma: PN-91/H lub PN-EN AC1

Stan odkształcenia i jego parametry (1)

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

ODKSZTAŁCENIE PLASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego

Defi f nicja n aprę r żeń

Podstawy Konstrukcji Maszyn

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

Naprężenia i odkształcenia Stress & strain. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Postać Jordana macierzy

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów

Belki zespolone 1. z E 1, A 1

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wytrzymałość materiałów

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

Ć w i c z e n i e K 1

Kolokwium z mechaniki gruntów

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Rysunek Płaski stan naprężenia: nieznane (a) oraz znane (b) kierunki między naprężeniami głównymi.

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

Przykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia

Wytrzymałość Materiałów

2.1. ZGINANIE POPRZECZNE

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

STANY NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE MATERIAŁ ÓW LEPKOSPRĘŻYSTYCH PODDANYCH OBCIĄŻENIOM ZŁ O Ż ONYM

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

DryLin T System prowadnic liniowych

7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu. Wymiary:

Fale skrętne w pręcie

mgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Naprężenia styczne i kąty obrotu

2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])

Egzamin z MGIF, I termin, 2006 Imię i nazwisko

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

10.0. Schody górne, wspornikowe.

UKŁADY TENSOMETRII REZYSTANCYJNEJ

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

Równoważne układy sił

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

Aerodynamika i mechanika lotu

Środek ciężkości bryły jednorodnej

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe

PROJEKT ZAUTOMATYZOWANEJ WIELOZADANIOWEJ HAMOWNI SILNIKÓW BLDC

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Teoria sprężystości F Z - F Z

BADANIE CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCI MANIPULATORA SZEREGOWEGO Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW LINKOWYCH

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264

Podstawy wytrzymałości materiałów

Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów:

Transkrypt:

Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja stanów odkstałcenia, analia płaskiego stanu odkstałcenia podstaw tensometrii oporowej Energia sprężsta: energia właściwa odkstałcenia objętościowego i postaciowego Wdiał Inżnierii Mechanicnej i Robotki Katedra Wtrmałości, Zmęcenia Materiałów i Konstrukcji

9.. Składowe stanu odkstałcenia Płaski stan naprężenia: dkstałcenia w płascźnie diałania naprężeń: σ σ τ τ d σ τ τ σ d (+ε )d d d d d (+ε )d d d ε = ; ε = d d d + d = ( + ε )d d + d = ( + ε )d Składowe płaskiego stanu odkstałcenia: ε, ε, γ Pod wpłwem prłożonch obciążeń ciało odkstałca się, a jego prestrenne element donają: mian objętości wiąanch liniowmi odkstałceniami, tj. mianami długości boków elementów prestrennch tw. odkstałcenia objętościowe, mian kstałtu (postaci) wiąanch odkstałceniem kątowm elementarnch prostopadłościanów, tj. mianami kątów pomięd poscególnmi ściankami elementów prestrennch tw. odkstałcenia postaciowe T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9

9.. Składowe stanu odkstałcenia Rodaje odkstałceń: odkstałcenia liniowe (ε, ε, ε ) wględne mian długości boków elementarnego prostopadłościanu mierone na kierunkach,, wwołane naprężeniami normalnmi σ, σ, σ. odkstałcenia postaciowe (γ, γ, γ ) mian kątów pomięd krawędiami elementarnego prostopadłościanu wwołane diałaniem naprężeń stcnch, τ, τ, τ. Prestrenn stan odkstałcenia d (+ε )d d d (+ε )d d Składowe prestrennego stanu odkstałcenia: ε, ε, ε, γ, γ, γ T. Machniewic & K. Nalepka IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9

9.. Prawo Hooke a w prpadku odkstałceń objętościowch dkstałcenia w jednoosiowm stanie naprężenia: Prestrenn stan naprężenia: + + = = + + = + + = + + T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 4

9.. Prawo Hooke a w prpadku odkstałceń objętościowch W kierunkach głównch: W kierunkach dowolnch: T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 5

9.. Prawo Hooke a w prpadku cstego ścinania Cste ścinanie stan naprężenia w którm powstają jednie naprężenia stcne o ekstremalnch wartościach, aś naprężenia normalne równe są eru. σ = σ τ τ / σ = -σ τ τ σ = σ gd:,, :, σ =- σ τ σ σ = σ α= σ = -σ τ T. Machniewic & K. Nalepka IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 6

9.. Prawo Hooke a w prpadku cstego ścinania σ = -σ tg 4 " % & % ' () σ = σ σ = σ (+ε ) % ' ( ) '* ) & ) + % & ( ) &* ) ' ) + ) + 0; ) ' σ; ) & σ % ' % & % % * ( σ () (+ε ) σ = -σ 5 ) ') & sin/ 5 ) () / 4 tg /0 tg/tg0 tg/ tg0 () (4) % " () () tg 4 tg " tg 4 tg " " * ( σ " 5 ( * tg " tg " " " T. Machniewic & K. Nalepka IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 gd γjest bliskie eru 9 gdie : ;<= G moduł odkstałcenia postaciowego moduł Kirchoffa (MPa) (4) 7

9.4. Uogólnione prawo Hooke a W kierunkach głównch: d d (+ε )d (+ε )d W kierunkach dowolnch: d (+ε )d 9 9 (+ε )d d 9 T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 8

9.5. Wględna miana objętości (dlatacja) d d (+ε )d (+ε )d Pocątkowa objętość prostopadłościanu: Końcowa objętość prostopadłościanu: >? @ >A >B >C >? % ' >A % & >B % + >C Wględna miana objętości (dlatacja): e% ' % & % ' % ' % & % & % + % ' % + % ' % & % + D >?>? @ >? @ % ' >A % & >B % + >C>A >B >C >A >B >C % ' % & % + Małe wżsch rędów F Uwględniając: lub: lub w prpadku dowolnch kierunków: F Wględna miana objętości w funkcji naprężeń: F F T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 9

9.6. Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Prestrenn stan odkstałcenia: d (+ε )d Prestrenn dowoln stanu odkstałcenia opisan jest seścioma składowmi: ε, ε, ε, γ, γ, γ Tensor dowolnego prestrennego stanu odkstałcenia: G H H H H (+ε )d d H H W prpadku materiału iotropowego kierunki naprężeń głównch są takie same dla odkstałceń jak i naprężeń. d d (+ε )d (+ε )d Tensor prestrennego stanu odkstałcenia dla kierunków głównch : G Zgodnie prawem Hooke a (γ= τ/g) odkstałcenia kątowe są równe eru (γ = γ = γ =0), bo nie wstępują naprężenia stcne (τ = τ = τ =0) T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 0

9.6. Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan naprężenia (PSN): a) W prpadku kierunków głównch: I, I, - co uwględniając otrmujem: Tensor odkstałceń i naprężeń w PSN na kierunkach głównch: G G T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9

9.6. Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan naprężenia (PSN): b) W prpadku kierunków dowolnch: I, I,, I,, 9 9 Tensor odkstałceń i naprężeń w PSN na kierunkach dowolnch: G H H G Wniosek: W płaskim stanie naprężenia istnieje prestrenn stan odkstałcenia. T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9

9.6. Scególne prpadki stanu odkstałcenia i naprężenia Płaski stan odkstałcenia (PS): a) W prpadku kierunków głównch: I, I, - co uwględniając otrmujem: G G b) W prpadku kierunków dowolnch: I, I,, I,, G H G H Wniosek: Płaski stan odkstałcenia można wwołać, odpowiednio dobranm, prestrennm stanem naprężenia T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9

9.7. Analia płaskiego stan odkstałcenia podstaw tensometrii Analogia pomięd ależnościami transformacjnmi w płaskim stanie naprężenia i odkstałcenia: σ + σ σ σ σ n = + cos α σ σ τ n = sin α σ ε τ γ ε + ε ε ε ε n = + cos α γ n ε ε = sin α (90 ) ε 90 (45 ) J J L L ε 0 (0 ), L M L N L J L T. Machniewic & K. Nalepka IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 4

9.7. Analia płaskiego stan odkstałcenia podstaw tensometrii (90 ) ε 90 ε 0 (45 ), L M L N L J L Uwględniając: trmujem: (0 ), L M L J L W tensometrii oporowej wnaca się odkstałcenie na podstawie wględnej mian restancji ( R/R) użtego tensometru : Q Q R gdie K stała cujnika Roet tensometrcne stosowane do wnacania kierunków i wartości odkstałceń głównch T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 5

9.8. Energia sprężsta 9.8.. Energia właściwa odkstałcenia sprężstego w jednoosiowm stanie naprężenia (Φ n ): EA P ST L P l l W S S U U SU V l W S S U V Energia właściwa (Φ) energia prpadająca na jednostkę objętości materiału (V) X Y W Z S U V VU S V ; X Y ; X Y T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 6

9.8. Energia sprężsta 9.8.. Właściwa energia sprężsta ścinania (Φ t ): s GT a a X [ W G Z G\ Z G] \] Z ] X [ 9.8.. Całkowita właściwa energia sprężsta w prestrennm stanie naprężenia (Φ): Φ = ( σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ ) dla kierunków dowolnch dla kierunków głównch Φ = ( σ ε + σ ε + σ ε ) T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 7

9.8. Energia sprężsta 9.8.4. Energia sprężsta odkstałcenia objętościowego (Φ ) i odkstałcenia postaciowego (Φ P ): Całkowitą energię odkstałcenia sprężstego (Φ) można podielić na dwie cęści: Φ energię odkstałcenia objętościowego Φ P energię odkstałcenia postaciowego Φ = Φ + Φ P a) dkstałcenia csto objętościowe powstaną, gd element obciążon będie takimi sammi naprężeniami σ śr na wsstkich kierunkach: ; = = + ; = ; = ; = dkstałcenia wpadkowe (Φ) dkstałcenia dkstałcenia objętościowe postaciowe (Φ ) (Φ P ) T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 8

9.8. Energia sprężsta 9.8.4. Energia sprężsta odkstałcenia objętościowego (Φ ) i odkstałcenia postaciowego (Φ P ): ; = Φ = + Φ ; = Φ P ; = ; = Prjmujem: Φ = σ śr σ + σ + = σ ( σ ε + σ ε + σ ε ) Φ = Z prawa Hooke a: ( σśrεśr + σśrεśr + σśrεśr ) = σśrεśr ε śr ν = E E [ σśr ν ( σśr + σśr )] = σśr () () trmujem ( rów. i ): Φ = ν E ν 6E ( σ + σ σ ) σ śrεśr = σśr = + ν = 6E ( σ + σ + σ ) T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 Φ - dla kierunków głównch - dla kierunków dowolnch 9

9.8. Energia sprężsta 9.8.4. Energia sprężsta odkstałcenia objętościowego (Φ ) i odkstałcenia postaciowego (Φ P ): ; = Φ = + Φ ; = Φ P ; = ; = Φ ν = 6E ( σ + σ + σ ) Φ = ( σ + σ + σ ) ν 6E b) dkstałcenia csto postaciowe powstaną, gd elementarn prostopadłościan obciążon będie naprężeniami będącmi dopełnieniem naprężeń średnich (σ śr ) do wjściowch naprężeń głównch. + ν 6E [ ] trmujem: Φ = Φ Φ = ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) Φ P = Φ Φ + ν = 6E P [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) + 6( τ + τ + τ )] T. Machniewic IMiR, Wtrmałość materiałów, Wkład nr 9 - dla kierunków głównch - dla kierunków dowolnch 0