Jan Nawrocki MATEMATYKA cz. 3 Analiza matematczna II Politechnika Warszawska 00
Politechnika Warszawska Wdział Samochodów i Maszn Roboczch Kierunek "Edukacja techniczno informatczna" 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel ( 849 43 07, ( 34 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: sto@simr.pw.edu.pl Opiniodawca: prof. dr hab. Krzsztof CHEŁMIŃSKI Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Jan NAWROCKI Publikacja bepłatna, przeznaczona jest dla studentów kierunku "Edukacja techniczno informatczna" Copright 00 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie moŝe bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elektronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch bez pisemnej zgod posiadacza praw autorskich. ISBN 83-89703-4-6 ruk i oprawa: rukarnia Epol P. Rbiński, J. ąbek Spółka Jawna, 87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4
Spis treści I. Funkcje wielu zmiennch... 5 Rachunek róŝniczkow funkcji wielu zmiennch... 9 II. RóŜniczkowanie funkcji złoŝonej... 7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennch... III. Funkcje uwikłane... 9 Płat regularn i płaszczzna stczna... 33 IV. Element teorii pola... 37 Całka podwójna... 4 V. Zamiana zmiennch w całce podwójnej... 47 Pole płata... 5 Całka Gaussa... 54 VI. Całka potrójna... 57 Całka krzwoliniowa nieskierowana... 63 VII. Całka powierzchniowa niezorientowana... 69 Zastosowania całek w mechanice... 7 VIII. Całka krzwoliniowa skierowana... 77 NiezaleŜność całki od drogi całkowania... 8 IX. Całka powierzchniowa zorientowana... 87 Literatura... 97
Przedmowa Niniejsze materiał został opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUZKI. Przeznaczone są dla studentów pierwszego roku studiów inŝnierskich kierunku nauczania Edukacja techniczno-informatczna prowadzonch na Wdziale Samochodów i Maszn Roboczch Politechniki Warszawskiej. Swoim zakresem obejmują trzecią część tematki określonej w programie studiów dla przedmiotu pn. Matematka opisanm w slabusie opracowanm dla tego przedmiotu. Jest to przedmiot z grup przedmiotów podstawowch. W planie studiów przewidziano jego realizację na pierwszm i drugim roku studiów. Na pierwszm semestrze są to dwa wkład 30-godzinne i 5-godzinne ćwiczenia dla kaŝdego z nich:. Matematka cz. Algebra i geometria analitczna,. Matematka cz. Analiza. Na drugim semestrze wkład 30-godzinne i 30 -godzinne ćwiczenia dla kaŝdego wkładu: 3. Matematka cz. 3 Analiza, 4. Matematka cz. 4 Szeregi funkcjne i równania róŝniczkowe zwczajne. Na trzecim semestrze 30 - godzinn wkład: 5. Matematka cz. 5 Element probabilistki i statstki matematcznej. W materiałach zawarto podstawowe treści z analiz matematcznej funkcji wielu zmiennch (rachunek róŝniczkow i całkow potrzebne studentom wdziałów technicznch Politechniki Warszawskiej. Postanowiłem pominąć niektóre dowod, starając się jednocześnie ilustrować kaŝde twierdzenie przkładem. NajwaŜniejsze definicje i wszstkie twierdzenia został zapisane w ramkach, co pozwala studentom zwrócić uwagę na te waŝne w matematce zdania. Skrpt ten został napisan w formie kart do prac na wkładzie. Student ma napisane i wróŝnione w tekście definicje i twierdzenia oraz komentarze, moŝe więc skupić się na objaśnieniach wkładowc, co pozwala na lepsze zrozumienie pojęć wprowadzanch na wkładzie. Student na wkładzie uzupełnia samodzielnie tlko dowod twierdzeń i przkład
I Funkcje wielu zmiennch
ROZZIAŁ I Rozpatrwane w części I tego skrptu odwzorowanie f: X R, gdzie X R n uogólnim na przpadek, gd wartości funkcji leŝą w przestrzeni R m. Odwzorowanie f: X R m, gdzie X R n nazwam funkcją wektorową (n zmiennch. Funkcję tę zapisujem krótko: uf(, (,..., n, u(u,..., u m lub w formie pełnej: u... u m f (,...,, f (,...,. W przpadku szczególnm, gd nm otrzmam funkcję rzeczwistą jednej zmiennej W przpadku n i m, stosujem wgodn zapis: z f(,, jest to funkcja rzeczwista dwóch zmiennch rzeczwistch. Zbiór punktów o postaci: {,,f(,} nazwam wkresem funkcji f dwóch zmiennch. Jeśli funkcja f jest ciągła, to zbiór ten jest powierzchnią. Gd n3 i m, będziem stosować zapis bez indeksów: uf(,,z jest to funkcja rzeczwista trzech zmiennch rzeczwistch. Funkcję f : X R, X R 3 nazwam teŝ polem skalarnm (wnika to z zastosowań fizcznch: temperatura, gęstość, ciśnienie. Funkcję wektorową f : X R 3, X R 3 n n nazwam polem wektorowm (siła. Granica i ciągłość funkcjonału rzeczwistego została omówiona w skrpcie I Przpomnim teraz podstawowe definicje w przpadku szczególnm, gd f jest funkcją rzeczwistą n zmiennch rzeczwistch. Strona 6
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH efinicja Cauch ego. Mówim, Ŝe odwzorowanie f : X R, X R n ma w punkcie p 0 granicę q B wted i tlko wted, gd ε>0 δ>0 p X: 0 < d(p,p 0 < δ f(p q < ε, gdzie d(p,p 0 ( 0 +... + ( n 0n efinicja Heinego. Mówim, Ŝe odwzorowanie f : X R, X R n ma w punkcie p 0 granicę q B wted i tlko wted, gd dla kaŝdego ciągu (p n o wrazach ze zbioru X ciąg liczbow f(p n ma granicę równą q. Przkład. Wznaczć: lim (, (0,0 +. Przkład. Wznaczć: lim (, (0,0 +. Strona 7
ROZZIAŁ I la funkcji wielu zmiennch określa się takŝe tzw. granice iterowane, które moŝna wkorzstać do wkazania, Ŝe granica funkcji w punkcie nie istnieje. Funkcja dwóch zmiennch ma dwie granice iterowane: lim lim 0 0 f (, lub lim lim 0 0 f (, Uwaga. JeŜeli funkcja f: X R, X R ma granicę w punkcie ( 0, 0 oraz istnieją obdwie granice iterowane, to są one równe tej granic. Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa, co będzie widoczne w następującch przkładach.. Przkład 3. Wznaczć granicę oraz granice iterowane w punkcie (0,0 funkcji f, gdzie: a f(, + + + ; b f(, sin. Strona 8
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Granice i ciągłość funkcji została omówiona w skrpcie II. Sformułowano tam takŝe waŝne twierdzenia dla granic ( twierdzenie o zachowaniu nierówności w granic, twierdzenie o trzech funkcjonałach oraz twierdzenia dla funkcji ciągłch (twierdzenie o zachowaniu znaku, twierdzenie arbou, twierdzenie Weierstrassa. Rachunek róŝniczkow funkcji wielu zmiennch Funkcję f określoną w pewnm otoczeniu U(,δ punktu (,..., n nazwam róŝniczkowalną w tm punkcie, jeŝeli istnieją takie stałe a,...,a n zaleŝne tlko od, Ŝe: < gdzie (..., n, ( n δ : f ( + f ( a j j + o, j ( +... + ( n rzędu wŝszego niŝ, tzn. taką funkcją, dla której a o( jest tzw. nieskończenie małą lim 0 o( 0. n Uwaga. Suma a j j jest ilocznem skalarnm a( wektora a( (a (,...,a n ( j przez wektor (,..., n. WraŜenie to nazwam róŝniczką funkcji f w punkcie odpowiadającą przrostowi i oznaczam df(, lub krótko df, czli: df(, : a( a j j. n j Twierdzenie. JeŜeli f: X R, X R n, jest funkcją róŝniczkowalną w punkcie, to istnieje granica prawostronna w zerze funkcji q: R + f( + τ e f( R o postaci q(τ:, gdzie e jest τ ustalonm wersorem przestrzeni R n, granica ta jest równa ilocznowi skalarnemu f( + τe f( wektorów a( oraz e, a więc: lim a( e. + τ 0 τ Uwaga 3. Wektor a( nazwam pochodną funkcji f w punkcie i oznaczam f, wted róŝniczkę funkcji f zapisujem w postaci: df(, f (d. Strona 9
ROZZIAŁ I Uwaga 4. Granicę wstępującą w tezie twierdzenia. nazwam pochodną kierunkową f f funkcji f i oznaczam smbolem, czli: (f ( e. e e Uwaga 5. W szczególności, gd wersor ee j jest wersorem baz kanonicznej, to pochodną kierunkową nazwam pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej j i oznaczam f smbolem, tak więc: j f j lim j 0 f (,..., j +,..., j n j f (,..., j,..., n. f Uwaga 6. PoniewaŜ j n (cztam: gradient funkcji f a róŝniczka funkcji ma postać: f f f ( ej, więc f (,..., ( f, f,..., f df f f (, d d +... + dn n. n grad f Tak więc funkcja n zmiennch jest róŝniczkowalna w punkcie, jeŝeli zachodzi równość: lim 0 f ( +, + f (, gradf 0 Uwaga 7. PoniewaŜ współrzędne wersora w R n to tzw. cosinus kierunkowe wektora e (czli kosinus kątów jakie tworz wektor e z osiami układu współrzędnch, więc: f e f f cosα +... + cosα n. n Uwaga 8. Z róŝniczkowalności funkcji f w punkcie wnika istnienie wszstkich pochodnch cząstkowch w tm punkcie. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa, bo np. funkcja f, gdzie f (, + 0, 4, gd + gd 0, > 0, ma pochodne cząstkowe w punkcie (0,0, ale nie jest róŝniczkowalna w tm punkcie. Obliczam pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0,0: f (0,0 lim 0 f (0 +, 0 f (0,0 0 ( + 0 lim 0 4 0 0, Strona 0
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Strona 0 0 ( 0 ( 0 lim (0,0 (0, lim (0,0 4 0 0 + + f f f. Zgodnie z definicją funkcji róŝniczkowalnej, naleŝ wznaczć granicę wstępującą w uwadze 6: (0,0, ( ( ( (0,0 (0,0 (0,0,0 (0 lim f f f f + + + + [ ] 4 (0,0, ( 4 (0,0, ( ( ( ] ( [( ( lim ( ( 0 0 0 ( ( ( lim + + + + +. Granica ta nie moŝe bć równa 0, bo dla ciągu ( (0,0,, n n n mam: + + + + 3 3 4 4 (0,0, ( lim ( ( ] ( [( ( lim n n n n n n n n n 0 lim + n n, czli funkcja f nie jest róŝniczkowalna w punkcie (0,0. Przkład ten pokazuje, Ŝe dla funkcji wielu zmiennch nie jest prawdziwe twierdzenie sformułowane dla funkcji rzeczwistej jednej zmiennej (skrpt I, R4,T, Ŝe róŝniczkowalność funkcji jest równowaŝna istnieniu pochodnej tej funkcji. Następne twierdzenie określa jak moŝna wzmocnić załoŝenia, ab zagwarantować róŝniczkowalność funkcji punkcie, w którm funkcja ma pochodną. Twierdzenie. JeŜeli funkcja f: X R, X R n posiada w pewnm otoczeniu punktu wszstkie pochodne cząstkowe i pochodne te są ciągłe w tm punkcie, to funkcja ta jest róŝniczkowalna w tm punkcie. Pochodna kierunkowa e f (grad f( e charakterzuje prędkość zmian funkcji w punkcie w kierunku wektora e. Oznaczając przez γ kąt międz wersorem e a pochodną gradf mam: γ cosγ ( cos ( ( gradf grad e f.
ROZZIAŁ I Wnika stąd, Ŝe gd γ 0, to: f gradf( sup [ π π γ ] e,, tak więc gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek największego wzrostu tej funkcji. Podobnie jak to bło dla funkcji jednej zmiennej, wartość funkcji w punkcie moŝem przbliŝć wkorzstując róŝniczkę tej funkcji w punkcie sąsiednim. Uwaga 9. JeŜeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie 0, to: f( 0 + f( 0 + df( 0,, prz czm błąd tego przbliŝenia dąŝ szbciej do 0 niŝ wraŝenie. Przkład 4. Obliczć f (,, jeŝeli f(, arctg(. Przkład 5. Wznaczć pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora s (,, w punkcie (,, jeŝeli f(,,z lnz. Przkład 6. Obliczć przbliŝoną wartość: (.03.06. Strona
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Pochodne wŝszch rzędów Pochodną rzędu drugiego moŝem zapisać w postaci macierz: f f (, i, j {,..., n} ji - macierz Hessego. Pochodne cząstkowe wŝszch rzędów oznaczam następująco: m n f k k k... n, gdzie m k j, k j {0,,...,n}. n j Przkład 7. Wznaczć pochodne cząstkowe do rzędu trzeciego włącznie funkcji f, gdzie f(, sin3 +. Zapisać pierwszą i drugą pochodną funkcji f. Strona 3
ROZZIAŁ I Twierdzenie 3 (Schwarza. JeŜeli funkcja f: X R, X R n ma pochodne mieszane rzędu k i są one ciągłe w punkcie a X, to te, które róŝnią się tlko kolejnością róŝniczkowań, są równe w tm punkcie. RóŜniczkę rzędu drugiego określam jako róŝniczkę pierwszej róŝniczki: d f :d(df. Ogólnie: d n f :d(d n f. la funkcji dwóch zmiennch f(, mam: d f... f d +f dd+f d. Ogólnie: d n f n n k d n f n k k k d n k d k, d k :(d k. Strona 4
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Ćwiczenia. Wznaczć dziedzinę funkcji f (dla funkcji dwóch zmiennch narsować dziedzinę, jeŝeli: - a f(, ln( 4 + 4, b f(, arcsin, c f(,, - d f(, ln[ ln( - ], e f(, z,z. + + z 4. Wznaczć granicę funkcji f w punkcie P, jeŝeli: a f(,, P(0,0 +, b f(, ( + sin, P(0,0, - c f(,, P(0,0, d f(, ( +, P(0,0 + +, + ( + sin( 3 e f(,, P(0,, f f(,, P(0,3, 3 + ( 4 4 g f(,, P(,. 3. Wkazać, Ŝe funkcja f ma obdwie równe granice iterowane, gd 0 i 0, ale granica tej funkcji w punkcie P(0,0 nie istnieje, jeŝeli f(,. + ( 4. Wznaczć pochodne cząstkowe I rzędu funkcji f, jeŝeli: zcos a f(,, b f(, (sin, c f(,,z (z. + 5. Sprawdzić, cz dana funkcja spełnia podane równanie: a f(, + e, f + f + f(,, u u u(t, t + s. t s 6. Wznaczć f (grad f, jeŝeli: b s ln( t + s, a 4 3 4 3 3 f(,, b f(,,z + z + arctg( z, c f(,,z 7. Zbadać róŝniczkowalność funkcji f w punkcie P, jeŝeli: 3 3 4 + + z. a f(,, P(0,0 ; b f(, π tgz, P(0,0, 4. 8. Wznaczć róŝniczkę zupełną funkcji f, jeŝeli: a f(, ln tg, b f(, arcsin, c f(,,z + + z, 9. Wkorzstując przbliŝenie: f df, obliczć wartość przbliŝoną:.0 arctg.0 a.003, b 0.97 +.98 +.03, c. 3.97 Strona 5
ROZZIAŁ I 0. Wznaczć pochodne kierunkowe funkcji f w punkcie P w kierunku wektora e, jeŝeli: a f(, ln, P (,, e [,], b f(, +, P(3,4, e [5,], 3 3 4 c f(,,z 3 + + z, P(,,, e [,,].. Obliczć pochodne cząstkowe funkcji f do rzędu trzeciego włącznie i porównać pochodne mieszane, jeŝeli f(, e.. Wznaczć f, jeŝeli funkcja f dana jest wzorem: a f(, sin, b f(,,z e z, c f(,,z arctg. z 3. Wkazać, Ŝe funkcja u spełnia dane równanie: a u(,, u + u 0, ( równanie Laplace'a, + 3 b u(, + 5t + t - t, u tt u - t. 6 4. Wznaczć wskazaną róŝniczkę funkcji f, jeŝeli: a c f(, ln( + +, d f, b f(,,z + + z, d f f(, 3 4 e, d f (wkorzstać wzór podan na wkładzie. Strona 6
II RóŜniczkowanie funkcji złoŝonej
ROZZIAŁ II Zdefiniujem teraz funkcje złoŝone i sformułujem twierdzenia o róŝniczkowaniu tch funkcji. Niech f: X R, X R n, uf (,..., n i niech g i : [a,b] R (i,...,n.jeŝeli dla kaŝdego t [a,b] punkt (g (t,...,g n (t X,to funkcję uf [g (t,...,g n (t] nazwam funkcją złoŝoną zmiennej t określoną w przedziale [a,b]. Twierdzenie JeŜeli funkcja f: X R jest róŝniczkowalna w obszarze X R n a funkcje g i : (a,b R (i,...,n mają pochodne w przedziale (a,b,to funkcja złoŝona zmiennej t ma pochodną w kaŝdm punkcie przedziału (a,b i: df dt f dg f dg f dgn df + +..., lub krócej: n f dt dt dt dt n i i dg dt i. Przkład. df Wznaczć, gdzie f(,,z (z, jeŝeli cos3t, sint 3, zarctgt. dt Strona 8
RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONEJ Strona 9 9 9 9 Zakładam teraz, Ŝe,,..., n są funkcjami k zmiennch t, t,...,t k, czli: g (t,...,t k, g (t,...,t k,... n g n (t,...,t k. JeŜeli dla kaŝdego (t,...,t k T R k punkt (g (t,...,t k,..., g n (t,...,t k X, to funkcję uf [g (t,...,t k,..., g n (t,...,t k ] nazwam funkcją złoŝoną zmiennch t,...,t k określoną na T. Twierdzenie. JeŜeli funkcja f: X R jest róŝniczkowalna w obszarze X R n a funkcje g i : T R, T R k, (i,...,n mają pochodne względem zmiennch t,...,t k, to funkcja złoŝona zmiennch t,...,t k ma w obszarze T pochodne cząstkowe względem tch zmiennch, które wraŝają się wzorami: n n t g f... t g f t g f t f + + +, n n t g f... t g f t g f t f + + +,... k n n k k k t g f... t g f t g f t f + + +. Uwaga. Jeśli k, to mam tezę twierdzenia. Macierz pochodnch przekształcenia g(g,...,g n : (t,...,t k g (g (t,...,t k,..., g n (t,...,t k : J g k n n k t g t g t g t g............... nazwam macierzą Jacobiego.
ROZZIAŁ II Uwaga. Tezę twierdzenia moŝem krótko zapisać: grad f(t,...,t k grad f(,..., n g(t J g. Przkład. f t Wznaczć: oraz J g, jeŝeli: g(t,t (t +t, t e, t 3 e + t, f(,,ze z. Zapisać grad t f(t,t w postaci podanej w uwadze. Uwaga 3. Jeśli nk, to funkcja wektorowa g(g,...,g n przekształca przestrzeń R n g (t,...,t n, g (t,...,t n,... n g n (t,...,t n. w siebie: Układ ten moŝna interpretować jako przejście od zmiennch t,...,t n do zmiennch,..., n, czli przejście od jednego krzwoliniowego układu współrzędnch do drugiego. Przkład 3. Układ równań: r cosϕ, r sinϕ, r (0,+, ϕ [0,π określa w przestrzeni R przejście od współrzędnch biegunowch (r,ϕ do współrzędnch kartezjańskich (,. la uniknięcia niejednoznaczności przjmuje się, Ŝe współrzędne bieguna są równe (0,0. Strona 0
RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONEJ Jakobian tego odwzorowania biegunowego ma postać: r ϕ cosϕ r sinϕ J(r,ϕ r. sinϕ r cosϕ r ϕ JeŜeli J ( r, ϕ >, to odwzorowanie jest rozciągające, jeśli J ( r, ϕ <, to ściągające. Przkład 4. Współrzędne walcowe: r cosϕ, r sinϕ, z z, Jakobian J(r,ϕ,zr. Przkład 5. Współrzędne sferczne (A r sinθ cosϕ, r sinθ sinϕ, z r cosθ, r [0, +, ϕ [0,π, θ [0, π ], J(r,θ,ϕr sinθ. Współrzędne sferczne (B r cosθ cosϕ, r cosθ sinϕ, z r sinθ, r [0, +, ϕ [0,π, θ [ π, π ], J(r,θ,ϕr cosθ. Strona
ROZZIAŁ II Ekstrema funkcji dwóch zmiennch Twierdzenie 3 (Talora. JeŜeli funkcja f: X R, X R n jest klas C k w obszarze X zawierającm odcinek I łącząc punkt a oraz, to: ξ I o : f ( f( a + df( a k d f(a d f(a d f + +... + +! (k! k! k ( ξ. Uwaga 4. la n i k3 tezę twierdzenia moŝna zapisać w postaci ( ( :(,, a(a,a : f(, f(a,a +f (a,a (-a + f (a,a (-a + ( a + f (a,a ( a ( a + f (a,a ( a + f (a,a ( a + [f (a,a! 3 ( ξ + d f. 3! ] + Przkład 6. Napisać wzór Talora z drugą resztą dla funkcji: (,0, + z f (,, z e + z + w punkcie Strona
RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONEJ Twierdzenie 4 (warunek konieczn istnienia ekstremum. JeŜeli funkcja f : X R, X R n jest róŝniczkowalna w punkcie a X 0 i w punkcie tm ma ekstremum lokalne, to f (a0 ( (a 0,..., (a 0. f f n Twierdzenie 5 (warunek wstarczając istnienia ekstremum JeŜeli funkcja f : X R, X R n jest klas C w otoczeniu U punktu a i f (a0 oraz dla kaŝdego a+ a U: d f(a, a 0, to prawdziwe są implikacje: d f(a, a>0 f(a minf( ; U d f(a, a<0 f(a ma f(. U Twierdzenie 6 (warunek wstarczając istnienia ekstremum dla funkcji dwóch zmiennch. JeŜeli w pewnm otoczeniu U punktu ( 0, 0 funkcja f: U R, U R spełnia warunki: 0. f C (U; 0. (, f (, 0; f 0 0 0 0 3 0. det f ( 0, 0 (, (, ( (, > 0, f 0 0 f 0 0 f 0 0 to funkcja f ma ekstremum w punkcie ( 0, 0, prz czm: (, > 0 f( 0, 0 min f(, ; f 0 0 (, < 0 f( 0, 0 ma f(,. f 0 0 JeŜeli det f ( 0, 0 < 0, to funkcja f nie ma ekstremum. U U owód. WkaŜem, Ŝe f(p0 0. '' o dowodu wkorzstam wzór Talora z drugą resztą: (przjmiem oznaczenia: P(,, P 0 ( 0, 0, Q(ξ,η jest punktem leŝącm na odcinku łączącm punkt P i P 0, 0, 0,. Strona 3
ROZZIAŁ II '' PoniewaŜ f(p0 0, więc z twierdzenia o zachowaniu znaku przez funkcję ciągłą mam takŝe: (Q 0 i wkorzstując załoŝenie. przrost funkcji f: f(p f(p 0 moŝem napisać f '' następująco: WkaŜem teraz, Ŝe jeŝeli det f ( 0, 0 < 0, to f nie ma ekstremum w punkcie P 0. Strona 4
RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONEJ Uwaga 5. JeŜeli det f ( 0, 0 0, to f moŝe mieć ekstremum lub nie, np. funkcja f(, 3 3 nie ma ekstremum w punkcie (0,0, a funkcja f(, 4 + 4 ma minimum w punkcie (0,0. la obu tch funkcji mam: det f (0,00. Przkład 7. Wznaczć ekstrema lokalne funkcji f, gdzie f(, sin + sin + sin(+, 0 π,. Strona 5
ROZZIAŁ II Ćwiczenia. Korzstając z twierdzenia o róŝniczkowaniu funkcji złoŝonej jednej zmiennej, obliczć pochodną F (t, jeŝeli: a F f(,, cost, sint, b F(,,z df. Obliczć, jeŝeli dt jednej zmiennej. t cosz, e, arcsint, z t. f(t (sin costsin t t, stosując pochodną funkcji złoŝonej + r 3. Przjmując: r(tcost, r(tsint wkazać, Ŝe zachodzi równość: ; r wkorzstując tę równość rozwiązać równanie róŝniczkowe zwczajne: +. 4. Korzstając z twierdzenia o róŝniczkowaniu funkcji złoŝonej wielu zmiennch, obliczć: a f(, gradf(u, v (patrz uwaga, f f f.,,,, jeŝeli: u uv v gdzie usinv, ucosv, 3 b f(, z, gdzie u + v, uv, z sin(uv. 5. Obliczć f f st,, gd f(,,z arcsin, e, s + t, z st. s t + z 6. z r cosθ, gdzie r i θ są współrzędnmi biegunowmi. Wrazić z i z za pomocą z i z. r θ 7. Wznaczć macierz Jacobiego danego przekształcenia: 3 a f : R R, f(, (e, +,, 3 b f : R R, f(,,z ( ln( + + z, ar ctg(. 8. Wznaczć jacobian przekształcenia F, jeŝeli: a F : (u, v, w (uv, uw, u + v + w, b F : r cosψsin ϕ, r cosψcosϕ, z r sin ψ, 3 3 b F : uv, u v. 9. Wkazać, Ŝe funkcja zf(a++g(a (f C (R spełnia równanie róŝniczkowe z z cząstkowe: a 0. 0. Sprawdzić równość uŝwając współrzędnch biegunowch: rsinϕ, rcosϕ, u r u + r ϕ u u +.. Napisać wzór Talora z n-tą resztą dla danej funkcji f i danego punktu P, jeŝeli: a (, + f e, ( 0, 0 (,, n 4, b f (, e sin, ( 0, 0 (0,0, n 3, c f (, + cos, ( 0, 0 (, π, n 3. Strona 6
RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONEJ. Wznaczć ekstrema funkcji f dwóch zmiennch, jeŝeli: 3 3 a f(, + + 3, b f(, 3 + 3 3 + 5, 3 3 3 c f(, 6 - + 3 + 6, d f(, + 6, 3 8 e f(, ( + 3 e, f f(, + +. 3. Wznaczć największą i najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze, jeŝeli: 4 4 a f(, +, : +, b f(, +, : + 9, a f(, 8 4, jest trójkątem o wierzchołkach: A(0,0, B(4,0, C(0,4. Strona 7
ROZZIAŁ II Strona 8
III Funkcje uwikłane
ROZZIAŁ III Niech F będzie funkcją rzeczwistą określoną na ustalonm podzbiorze przestrzeni R n+ R n R. Równanie F(,u0 ( F(,... n,u0, gdzie R n, u R, określa w przestrzeni R n+ pewien podzbiór Q R n+. Zbiór Q jest relacją (n+ - argumentową, prz czm niepustą, jeŝeli istnieje taki punkt ( 0,u 0, Ŝe F( 0,u 0 0. JeŜeli w relacji Q R n+ jest zawart zbiór f będąc funkcją określoną na zbiorze X R n, to f nazwam funkcją uwikłaną n zmiennch określoną równaniem F(,u0. Inaczej: jeŝeli istnieje taka funkcja f: X R, X R n, Ŝe F(,..., n, f(,..., n 0 w X, to funkcję f nazwam funkcją uwikłaną. Przkład. la n równanie F(,0 moŝe określać funkcje uwikłaną jednej zmiennej. Równanie: + +0 określa relacje pustą. Równanie: + 0 określa róŝne funkcje uwikłane dla [ -, ], np.: f (, f ( +, f 3 ( +,, dla [, 0, dla [ 0, ]. Strona 30
FUNKCJE UWIKŁANE Twierdzenie (o istnieniu funkcji uwikłanej.jeŝeli funkcja F jest ciągła w otoczeniu punktu ( 0,u 0 R n+ i ma w tm otoczeniu ciągłą pochodną F u, prz czm F( 0,u 0 0 i F u ( 0,u 0 0, to istnieje takie otoczenie U 0 punktu ( 0,u 0, w którm równanie F(,u0 posiada tlko jedno rozwiązanie uf( będące funkcją ciągłą w pewnm otoczeniu punktu 0, prz czm f( 0 u 0. Przkład. Omówić istnienie funkcji uwikłanej dwóch zmiennch: + +z 0. Twierdzenie (o pochodnej funkcji uwikłanej. JeŜeli funkcja F jest w otoczeniu punktu ( 0,u 0 R n+ funkcją klas C, prz czm F( 0,u 0 0 i F u ( 0,u 0 0, to funkcja uwikłana uf( określona równaniem F(,u0 jest w pewnm otoczeniu U punktu 0 funkcją klas C i: U: F (,u f ( u f( F u(,u f i F i F u, i,,..., n. Przkład 3. Wznaczć pochodną funkcji uwikłanej określonej równaniem: z+ln+e z 0. Strona 3
ROZZIAŁ III Przpadek szczególn funkcja uwikłana jednej zmiennej: F(,(0 Traktując lewą stronę równości jako funkcję jednej zmiennej i stosując twierdzenie o róŝniczkowaniu funkcji złoŝonej jednej zmiennej otrzmam: F d d F d + 0, czli d F (, (. F (, RóŜniczkując powŝszą równość stronami po zmiennej, otrzmam wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej jednej zmiennej: F ( F F F F + F ( F (. ( F Wkorzstując wzór na pierwszą pochodną funkcji uwikłanej oraz twierdzenie Fermata (warunek konieczn istnienia ekstremum moŝem podać warunki, na podstawie którch moŝem wznaczć punkt stacjonarne: F(, 0, F (, 0, F (, 0. la funkcji klas C, stosując wzór na drugą pochodną, moŝem sformułować warunek wstarczając istnienia ekstremum: JeŜeli w punkcie stacjonarnm ( 0, 0 mam: F ( 0,0 0 to funkcja uwikłana ( ma ekstremum lokalne w punkcie 0, prz czm zachodzą następujące implikacje: F (0,0 > 0 (0 ma (; F (, U F (0,0 < 0 F (, 0 0 0 0 3 ( min (. Przkład 4. Wznaczć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej danej równaniem: ( + 4( 0. 0 U Strona 3
FUNKCJE UWIKŁANE Przkład 5. Wznaczć równanie stcznej w punkcie ( 0, 0 do hiperboli o równaniu:. b a Płat regularn i płaszczzna stczna Sposob przedstawiania powierzchni S: (a postać jawna: zf(,, (,, np.: paraboloida hiperboliczna: z. (b postać uwikłana: F(,,z 0 lub F(,,z(, 0, np.: stoŝek: + z. (c h ( σ, τ, postać parametrczna: h ( σ, τ, z h3 ( σ, τ, (σ,τ Σ Τ, np.: helikoida: z σ cosτ, σ sinτ, aτ, ( z a arctg. Strona 33
ROZZIAŁ III Strona 34 34 34 34 Ogólna definicja płata zwkłego S: Płatem zwkłm nazwam homeomorficzn obraz obszaru płaskiego, prz czm brzeg obszaru jest odwzorowan homeomorficznie na brzeg płata S. JeŜeli funkcje h i C (, (i,,3, to płat zwkł nazwam płatem gładkim. JeŜeli ponadto w kaŝdm punkcie obszaru pochodna funkcji h (h,h,h 3 jest róŝna od zera (macierz Jakobiego ma rząd, to płat gładki nazwam regularnm. r(j g r τ σ τ σ τ σ 3 3 h h h h h h σ τ h h 0. Wektor σ τ h i h są więc niekolinearne, a poniewaŝ są one stczne do powierzchni, więc ich iloczn wektorow σ τ h h jest prostopadł do płaszczzn ściśle stcznej do powierzchni S. UŜwając ilocznu mieszanego wektorów, piszem równanie płaszczzn stcznej w postaci: 0 ( 0 τ σ h h p p det τ τ τ σ σ σ 3 3 0 0 0 h h h h h h z z 0. W przpadku, gd płat dan jest równaniem jawnm: z f(,, to uwzględniając przedstawienie parametrczne takiego płata:,, (,, τ σ τ σ f z mam: τ σ h h σ τ f f,0,,, 0,, τ σ f f,, f f. Stąd równanie płaszczzn stcznej: 0 ( ( ( ( ( 0 0 0 0 0 + z z p f p f, ( gdzie p 0 ( 0, 0,z 0 Jeśli płat jest zadan w postaci uwikłanej: F(,,f(,0, to:
FUNKCJE UWIKŁANE f F F z, f F, F z wted równanie płaszczzn stcznej w punkcie p 0 ma postać: F 0 (p (- 0 + F (p 0 (- 0 + Fz (p 0 (z-z 0 0 ( gradf(p 0 p 0 p 0, grad F jest do płaszczzn stcznej. Przkład 6. Wkazać, Ŝe powierzchnie o równaniach: F(,,z + lnz + 4 0, G(,,z 8 + z + 5 0, są stczne do siebie nawzajem w punkcie p 0 (, 3,. Napisać równanie prostej normalnej w tm punkcie. Przkład 7. Wkazać, Ŝe płaszczzna stczna w dowolnm punkcie powierzchni o równaniu: + + z a, a > 0, odcina na osiach układu współrzędnch odcinki, którch suma długości jest stała. Ćwiczenia Strona 35
ROZZIAŁ III. Zbadać istnienie funkcji uwikłanej ( w otoczeniu punktu P: jeŝeli: a + + 7, P(,, b cos( 0, c 5 5 + + 3, P(,.. Wznaczć I i II pochodną funkcji uwikłanej jednej zmiennej: a e + e e, b sin +, c ln + arctg, d + arctg - 0, ( e + e e + ln. 3. Wznaczć I i II pochodną funkcji uwikłanej dwóch zmiennch: 3 z a z + e + z 0, b + z + z 0. 3 4. Napisać równanie stcznej do krzwej (danej w postaci uwikłanej w punkcie P, jeŝeli: 3 3 5 a + ln e, P(0, e, b + +, P(,. 5. Wkazać, Ŝe funkcja uwikłana z(, określona równaniem: F( - z, - 3z 0, F C (R, z z spełnia równanie: + 3. 6. Wznaczć ekstrema funkcji uwikłanej (jednej lub dwóch zmiennch; 4 3 3 4 4 a + 0, b + 3 0, c + + 4 0, 4 4 3 3 d + +, e 3 + 3 5 0 g +, f e + 0, z + z + + 4z + 4 + 0, h + + z + z + z + 0. Strona 36
IV Element teorii pola
ROZZIAŁ IV Strona 38 38 38 38 Podstawowe pojęcia teorii pola Oznaczenia: ϕ: R 3 R pole skalarne; F: R 3 R 3 pole wektorowe, gdzie F[p(,,z,q(,,z,r(,,z]. Operator róŝniczkowe pierwszego rzędu określam w układzie ortokartezjańskim następująco: operator gradientu: grad: R R 3, ϕ gradϕ z ϕ ϕ ϕ,, ; operator divergencji: div: R 3 R, F divf z r q p + + ; operator rotacji: rot: R 3 R 3, F rotf p q r z p z q r,, r q p z k j i r r r ( zapis smboliczn. Te trz operator moŝna krócej zapisać za pomocą operatora Hamiltona (operatora nabla: z k j i z + + v r r,, : następująco: gradϕ ϕ, divf F, rotf F. Uwaga. JeŜeli pole skalarne ϕ C (V, V R 3, to określone jest wraŝenie: div(gradϕ z + + ϕ ϕ ϕ.
ELEMENTY TEORII POLA Operator róŝniczkow, któr określam smbolem + + i nazwam z operatorem Laplace a (laplasjanem jest przkładem operatora róŝniczkowego rzędu drugiego. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + 0 równanie Laplace a. z Uwaga. Wszstkie podane operator są liniowe, co zapisujem krótko: α,β R: grad(αϕ+βψ αgradϕ+βgradψ, div(αf+βg αdivf+βdivg, rot(αf+βg αrotf+βrotg, (αϕ+βψ α ϕ+β ψ. Pole wektorowe F, dla którego divf 0 nazwam polem bezźródłowm. Pole wektorowe F, dla którego rotf 0 nazwam polem bezwirowm. JeŜeli istnieje pole skalarne ϕ takie, Ŝe F grad ϕ, to pole wektorowe F nazwam polem potencjalnm (ϕ nazwam wted potencjałem. Twierdzenie. JeŜeli pole wektorowe F jest potencjalne i jest klas C (V, to jest bezwirowe. Uwaga 3. Tezę tego twierdzenia moŝna zapisać krótko: rot(gradϕ 0. Twierdzenie odwrotne jest takŝe prawdziwe prz dodatkowm załoŝeniu, Ŝe obszar V jest jednospójn, czli ma własność: kaŝd zbiór ograniczon, którego cał brzeg naleŝ do obszaru V jest zawart w V (V nie ma dziur. Uwaga 4. JeŜeli pole F[p(,,z,q(,,z, r(,,z] jest potencjalne, to potencjał ϕ wznaczam z układu równań: ϕ p(,, z, ϕ q(,, z, ϕ r(,, z. z MoŜem takŝe skorzstać z gotowego wzoru (któr będzie uzasadnion na wkładzie 8.: p( t,, z dt + q( 0, t, z dt + ϕ (,, z r( 0, 0, t dt 0 gdzie ( 0, 0,z 0 jest dowolnm punktem, w którm pole wektorowe jest określone. 0 z z0 Strona 39
ROZZIAŁ IV Przkład. Wkazać, Ŝe pole wektorowe F potencjał. +,, + z jest potencjalne i wznaczć jego z z Twierdzenie. JeŜeli pole wektorowe klas C jest rotacją pola wektorowego, to jest to pole bezźródłowe. Uwaga 5. Tezę tego twierdzenia moŝna zapisać krótko: div(rotf 0. Uwaga 6. Pole wektorowe F w obszarze jednospójnm, które jest jednocześnie bezwirowe i bezźródłowe nazwam polem harmonicznm. Potencjał tego pola spełnia równanie: ϕ0 (równanie Laplace a. Jeśli pola skalarne ϕ i ψ oraz pola wektorowe F i G są klas C, to zachodzą następujące równości:. grad(ϕψ ϕgradψ + ψgradϕ;. div(ϕf ϕdivf + F gradϕ; 3. rot(ϕf ϕrotf + F gradϕ; 4. div(f G G rotf F rotg. Strona 40
ELEMENTY TEORII POLA Całka podwójna Niech funkcja f: R będzie ograniczona, gdzie ograniczon obszar R. PoniewaŜ obszar jest ograniczon, więc istnieje prostokąt P[a,b] [c,d] taki, Ŝe P. Określam pomocniczą funkcję f * będącą rozszerzeniem funkcji f na prostokąt P: f * (, f (,, 0, dla (,, dla (, P \. zielim prostokąt P na n rozłącznch prostokątów P i (i,..., n o średnicach δ sup d( A, B (długość przekątnej prostokąta i polach σ i. i ( A, B P i Zakładam, Ŝe podział prostokąta P jest normaln, tzn. maδ 0. i n i n Z kaŝdego P i wbieram dowoln punkt Q i ( i, i i tworzm sumę całkową: s n * n f ( Q i i σ. JeŜeli prz dowolnm podziale normalnm prostokąta P i prz dowolnm wborze punktów Q i ciąg (s n ma granicę właściwą, to granicę tę nazwam całką podwójną z funkcji f po obszarze i oznaczam smbolem: f (, dd lub krótko fdσ (samą funkcję f nazwam całkowalną w sensie Riemanna w obszarze. Interpretacja geometrczna. JeŜeli f 0 w obszarze, to całka fdσ jest równa objętości walca o podstawie, ograniczonego z gór powierzchnią S o równaniu: zf(,, którego tworzące są równoległe do osi OZ. JeŜeli f w obszarze, to dσ ( polu obszaru. Twierdzenie 3 (o istnieniu całki podwójnej. JeŜeli funkcja f: R jest ciągła w obszarze domkniętm R, to f jest całkowalna w sensie Riemanna w tm obszarze. i Twierdzenie 4. Strona 4
ROZZIAŁ IV JeŜeli funkcja f: R jest ograniczona i ciągła w obszarze R z wjątkiem punktów leŝącch na skończonej ilości krzwch leŝącch w tm obszarze, w którch ma nieciągłość I rodzaju, to f jest całkowalna w sensie Riemanna w obszarze. Własności całki podwójnej Twierdzenie 5. JeŜeli funkcje f i g są całkowalne w sensie Riemanna w obszarze, to:. (liniowość całki (λλ + µgdσ λ fdσ + µ gdσd. [ (, : f(, g(,] fd σ gdσ. 3. fdσ f dσ 4. (addtwność całki względem obszaru całkowania o o ( fdσ fdσ + fdσd λ,µ R. 5. (twierdzenie o wartości średniej f C( P : fdσ f(p. 0 0 Obliczanie całki podwójnej Obszar normaln względem osi OX: {(, R : a b ϕ( ψ(}. Obszar normaln względem osi OY: {(, R : c d f( g(}. Strona 4
ELEMENTY TEORII POLA Twierdzenie 5(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane. JeŜeli funkcja f: R jest ciągła w obszarze R normalnm względem osi OX: {(, R : a b ϕ( ψ(}, to f (, dd b ψ ( a ϕ ( f (, d d. Uwaga 6. JeŜeli funkcja f: R jest ciągła w obszarze R normalnm względem osi OY: {(, R : c d f( g(}, to f (, dd f (, d d d d c g( f ( d c g ( f ( f (, d. Uwaga 7. JeŜeli obszar jest prostokątem: [a,b] [c,d], to b (, dd d f (, d a d f d f (, d c d c b a Przkład. Obliczć całkę: + ( dd, gdzie jest obszarem ograniczonm parabolą o równaniu: i prostą o równaniu:. Obliczć tę całkę traktując obszar : a jako normaln względem osi OX; b jako normaln względem osi OY. Strona 43
ROZZIAŁ IV Przkład 3. Obliczć całkę: 0 3 d e d. 3 Ćwiczenia. Udowodnić następujące równości dla pola skalarnego ϕ i pól wektorowch F r, G r : 3 3 R R : r r r r r r r r r a div(f G Go rot(f Fo rot(g, b rot( ϕ F ϕ rot(f + gradϕ F, r r r r r r c div( ϕ F ϕ div(f + Fgradϕ, d (F grad(div(f rot(rot(f.. Wkazać, Ŝe dane pole wektorowe jest potencjalne a następnie wznaczć potencjał tego pola: r 3 3 3 a F [ +, + 3 z, 3 z + 4z ], r + + z z b F e +, e + + e, e + 3z. [ ] 3. Narsować obraz danch obszarów (prz wskazanm odwzorowaniu T płaszczzn UOV w płaszczznę XOY; o bliczć jakobian przekształcenia T, jeŝeli: u + 3v, a {(u,v R : u, v 4 }, T : u + v, Strona 44
ELEMENTY TEORII POLA uv, b {(u,v R : u, 0 v }, T : u - v, ucosv, -π π c {(u,v R : u 4, v }, T : 4 usinv, ucosv, π d {(u,v R : u, v π }, T : 3usinv. 4. Obliczć całkę podwójną po prostokątach, jeŝeli: a dd, [,] [0,], -π π π b cos( dd, [, ] [0, ] 4 4 4 + c dd, [0,]. + +, 5. Zamienić całkę podwójną f(, dd na całki iterowane, jeŝeli obszar jest ograniczon krzwmi: a +, 0,, 0, b +, 0,, c,, d,. 6. Zmienić porządek całkowania w całce podwójnej: a e d f(, d, b d f(, d, 0 0-3 3 c d f(, d, d d + f(, d, d f(, d, f d f(, d, g d f(, d, 0 0 Obliczć całki: a dd, (, R : 0,, b c e 4- dd, :,, d d, 0 3 3 { }, e e dd, 0,, ( + }dd, d :, : +. 0 e 3 ln h d f(, d. - 0 + - - Strona 45
ROZZIAŁ IV Strona 46
V Zamiana zmiennch w całce podwójnej
ROZZIAŁ V Obszar płaski nazwam obszarem regularnm, jeŝeli jest on sumą skończonej ilości obszarów normalnch (względem osi OX lub osi OY o rozłącznch wnętrzach. Twierdzenie (o zamianie zmiennch w całce podwójnej. JeŜeli: funkcja f: R jest ciągła w obszarze regularnm i domkniętm R, odwzorowanie bijektwne ψ: określone równaniami: ( u, v, ( u, v, jest klas C (, jakobian J(u,v odwzorowania ψ jest ograniczon i róŝn od zera wewnątrz obszaru, to zachodzi równość: f (, dd f ( u, v, ( u, v J( u, v dudv [ ]. Uwaga. Po wprowadzeniu współrzędnch biegunowch: rcosϕ, rsinϕ, otrzmam równość: f (, dd f ( r cosϕ, r sinϕ rdrdϕ. Uwaga. JeŜeli f(,, to dd J( u, v dudv. Strona 48
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POWÓJNEJ Przkład. Obliczć całkę: + + dd, gdzie {(, R : + i 0}. Przkład. Obliczć całkę: dd, gdzie {(, R : + 0 i < 0}. Strona 49
ROZZIAŁ V Przkład 3. Obliczć całkę: dd ( + 3, gdzie {(, R : +,, + }. Przkład 4. Obliczć całkę: dd, gdzie obszar jest ograniczon krzwmi o równaniach:, 4,, 8. Strona 50
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POWÓJNEJ Przkład 5. arcosϕ, Wprowadzając uogólnione współrzędne biegunowe: obliczć objętość brł brsinϕ, ograniczonej powierzchniami o równaniach: z +, z 6 - -, +. 4 3 Strona 5
ROZZIAŁ V Pole płatarozwaŝm płat S o równaniu: z f(, i wprowadźm oznaczenia. Pole S i : S i, pole i : σ i. σ i S i cosγ, S i σ i. cos γ r n k r ' ' [,, ] f f [ 0, 0, ] PoniewaŜ r r k n cos γ r r, ' k n + ( f + ( f ' więc S i + ( f ' + ( f ' σ i JeŜeli wznaczm sumę pól tch łusek, to otrzmam sumę: S n n n Si i i + ( f ' + ( f ' σ i Mam więc: Wniosek. JeŜeli płat regularn dan jest równaniem: z f(,, gdzie (,, to pole tego płata wraŝa się wzorem: S ' + ( f + ( f ' dd. Przkład 6. Wznaczć pole części półsfer o równaniu: z wcięte przez walec o równaniu: + a. a Strona 5
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POWÓJNEJ Przkład 7. Wznaczć pole części walca o równaniu: + a wcięte przez półsferę o równaniu: z a. Strona 53
ROZZIAŁ V Całka Gaussa: + e d RozwaŜm całkę podwójną: e dd JeŜeli obszar jest kwadratem [-a,a], to mam równości: e dd a d e e d e d e d a a a a a. a a a a e d JeŜeli obszar jest kołem o promieniu b i o środku (0,0, to wprowadzając współrzędne biegunowe, otrzmam: : r [0,b, ϕ [0,π, e dd π b dϕ 0 0 e r r dr π 0 b 0 dϕ π b ( e + e r K a - koło o promieniu a i środku (0,0, K R - koło o promieniu i środku (0,0, R a Strona 54
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POWÓJNEJ Q - kwadrat [-a,a]. Z własności całki podwójnej mam: K e dd Q dd a K R Uwzględniając wŝej obliczone całki, mam: e e a a R ( e e d π ( e dd π a Przechodząc do granic: a + (wted R +, otrzmam na moc twierdzenia o trzech funkcjach: Ostatecznie: + π e d π + e d π. Ćwiczenia. okonując odpowiedniej zamian zmiennch, obliczć całki, jeŝeli jest obszarem ograniczonm wskazanmi krzwmi: Strona 55
ROZZIAŁ V a b c 3 dd, :,,,, ( - dd, : +, +, -, - 3, cos dd, : +, 0, 0, + d dd, : 0, 0 -, e g + π dd, - dd : + 4, ( +, f dd, a > 0, + a sin + π h dd, : + π, + 9 dd i, : + 4, + 8, + (,.. Obliczć pole obszaru ograniczonego krzwmi: a, 4 + 4, b 4(-, + 4, na zewnątrz paraboli, c r (- cost, r, na zewnątrz kardioid, d, 4,, 3. 3. Obliczć objętość brł ograniczonej powierzchniami (sporządzić rsunki: a + 8, 0, 0, z 0, + + z 4, b + 4 + z, z 0, c e g h + a, + z a, a > 0, z 9 -, z 0, 3, z +, z 4, z 6, + + z 4a, + - a 0, a > 0. d + + 0, z +, f z 4, z + +, 4. Obliczć pole części płata S danego za pomocą funkcji f i ograniczonego danmi powierzchniami: a c e f(, 6, z, z 3, b f(, +, + -, f(, z 4 - z, + z, d f(, -, z +, f(, +, z p, p > 0, f f(,,,,. Strona 56
VI Całka potrójna
ROZZIAŁ VI Niech funkcja f: V R będzie ograniczona, gdzie ograniczon obszar V R 3. Postępując podobnie jak w definicji całki podwójnej, oznaczam przez P prostopadłościan zawierając obszar V. efiniujem pomocniczą funkcję f * będącą rozszerzeniem funkcji f na prostopadłościan P: * f (,, z, dla (,, z V, f (,, z 0, dla (,, z P \ V. zielim prostopadłościan P na n rozłącznch prostopadłościanów P i (i,..., n o średnicach δ sup d( A, B, C (długość przekątnej prostopadłościanu i objętościach V i. i ( A, B, C V i Zakładam, Ŝe podział prostopadłościanu P jest normaln, tzn. ma δ 0 i n i n Z kaŝdego V i wbieram dowoln punkt Q i ( i, i,z i i tworzm sumę całkową: s n n i f * ( P V. JeŜeli prz dowolnm podziale normalnm prostopadłościanu P i prz dowolnm wborze punktów Q i ciąg (s n ma granicę właściwą, to granicę tę nazwam całką potrójna z funkcji f po obszarze V i oznaczam smbolem: f (,, z dddz lub krótko fdv V V (samą funkcję f nazwam całkowalną w sensie Riemanna w obszarze V. i i Interpretacja geometrczna. JeŜeli f w obszarze V, to całka dddz V jest równa objętości brł V. Twierdzenie (o istnieniu całki potrójnej. JeŜeli funkcja f: V R jest ciągła w obszarze domkniętm V R 3,to f jest całkowalna w sensie Riemanna w tm obszarze. Strona 58
CAŁKA POTRÓJNA Uwaga. JeŜeli funkcja f: V R jest ograniczona i ciągła w obszarze V R 3 z wjątkiem punktów leŝącch na skończonej ilości powierzchni (będącch wkresami funkcji ciągłch o postaci zz(,, (,z lub (,z leŝącch w tm obszarze, w którch ma nieciągłość I rodzaju, to f jest całkowalna w sensie Riemanna w obszarze V. Uwaga. Własności całki potrójnej są analogiczne do tch przedstawionch dla całki podwójnej. Obliczanie całki potrójnej Obszar normaln względem płaszczzn XOY: V {(,,z R 3 : (, ϕ(, z ψ(,}. Obszar normalne względem płaszczzn XOZ i YOZ określam następująco: V z {(,,z R 3 : (,z f(,z g(,z}. V z {(,,z R 3 : (,z h(,z k(,z}. W kaŝdm przpadku obszar płaski jest rzutem obszaru V na odpowiednią płaszczznę. Twierdzenie (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane. JeŜeli funkcja f: V R jest ciągła w obszarze V R 3 normalnm względem płaszczzn XOY: V {(,,z R 3 : (, ϕ(, z ψ(,}, to V f (,, z dddz ψ (, ϕ (,, z f (,, z dz dd., z Uwaga 3. JeŜeli załoŝm dodatkowo, Ŝe obszar jest normaln np. względem osi OX, to f (,, z dddz d V b a d ( ψ (, d c( ϕ (, f (,, z dz. Uwaga 4. JeŜeli obszar V jest prostopadłościanem tzn. V[a,b] [c,d] [p,q], to: (,, z dddz d d V b f f (,, z dz a d c q p Strona 59
ROZZIAŁ VI Przkład. dddz Obliczć całkę:, 3 V ( + + + z gdzie V jest czworościanem: V{(,,z R 3 : 0, 0, z 0, ++z }. Strona 60
CAŁKA POTRÓJNA Przkład. Obliczć całkę: ( + + z dddz V, gdzie V {(,,z: +, 0 z }. Zamiana zmiennch w całce potrójnej Twierdzenie 3 (o zamianie zmiennch w całce potrójnej. JeŜeli:. funkcja f: V R jest ciągła w obszarze regularnm i domkniętm V R 3,. odwzorowanie bijektwne ψ : Ω V określone równaniami: ( u, v, w, ( u, v, w, z z( u, v, w, jest klas C (Ω, 3. jakobian J(u,v,w odwzorowania ψ jest ograniczon i róŝn od zera wewnątrz obszaru Ω, to zachodzi równość: V [ ( u, v, w, ( u, v, w, z( u, v, w ] J( u, v, w. f (,, z dddz f dddz Ω Przkład 3. Obliczć objętość brł ograniczonej powierzchniami: z +, z, z 0. Strona 6
ROZZIAŁ VI Przkład 4. Obliczć całkę: dddz, V stoŝka: + z. gdzie V jest częścią kuli: + + z 4 leŝącą wewnątrz Strona 6
CAŁKA POTRÓJNA Całka krzwoliniowa nieskierowana Niech Γ: ( t, ( t, t [α,β], będzie łukiem gładkim na płaszczźnie. Odcinek [α,β] dzielim na n części: αt 0 <t <t <... <t n β i oznaczam długość kaŝdego k-tego odcinka: t k t k t k-. Zakładam, Ŝe podział tego odcinka jest normaln, tzn. δ n 0, gdzie δ n ma( t. k n Podziałowi odcinka [α,β] odpowiada podział łuku Γ na n części punktami A k ((t k,(t k. k Przez P k oznaczam dowoln wbran punkt łuku A k- A k a przez l k długość tego łuku. efinicja całki krzwoliniowej nieskierowanej: Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim Γ, wted całkę krzwoliniową δ n Γ k nieskierowaną z funkcji f po łuku Γ określam wzorem: f (, dl lim f ( P k l k, o ile granica po prawej stronie równości istnieje i nie zaleŝ od sposobu podziału odcinka [α,β] ani od sposobu wboru punktów P k. n 0 Interpretacja geometrczna JeŜeli f 0, to całka krzwoliniowa nieskierowana po łuku Γ jest równa powierzchni bocznej walca o kierującej Γ i o tworzącch równoległch do osi OZ odciętego z gór przez powierzchnię o równaniu: zf(,. JeŜeli f całka krzwoliniowa skierowana po łuku Γ jest równa długości tego łuku. Strona 63
ROZZIAŁ VI Twierdzenie 3 (o zamianie całki krzwoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną. JeŜeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim Γ{((t,(t: t [α,β], to Γ f(,dl β α f ( (t,(t [ (t] + [ (t] dt Uwaga 5. JeŜeli łuk dan jest w postaci jawnej: Γ{(,: g(, [a,b]}, to Γ b (, g( + [ g ( ] d f (, dl f a Uwaga 6. JeŜeli łuk dan jest w postaci biegunowej: Γ: rh(ϕ, ϕ [a,b], to Γ b ( h( ϕcosϕ, h( ϕsinϕ [ h( ϕ ] + [ h ( ϕ ] dϕ f (, dl f a Uwaga 7. JeŜeli łuk Γ, i Γ {(,,... n : Φ(t(ϕ (t,ϕ (t,...ϕ n (t}, to Γ β ' ' ' ( ϕ ( t, ϕ ( t,..., ϕ ( t [ ϕ ( t ] + [ ϕ ( t ] + [ ( t ] dt f ( dl f ϕ α n n Przkład 5. Wznaczć pole części walca o równaniu + a wciętego sferą o równaniu: + +z a. Strona 64
CAŁKA POTRÓJNA Przkład 6. Obliczć całkę: Γ + + z dl, gdzie Γ: e t cost, e t sint, ze t, t [0,]. Strona 65
ROZZIAŁ VI Ćwiczenia. Obliczć całki iterowane: a c d d dz, b dz d 4z cos d, z 3 4 d d 4 π 0 π 0 0 sin z dz, d d dz d - - 4 4. Zapisać dane obszar jako obszar normalne względem wszstkich płaszczzn układu współrzędnch: a + + z a, + z, z 0, b + + z a, + z, z 0, c + z, 0 z h, c + z h. 3. Obliczć całkę potrójną, jeŝeli obszar V jest ograniczon danmi powierzchniami: a + 3 4z dddz, V: z0, z, 0, 0, +; ( V b z dddz, V: 0, 0, z 0, ++z, V c π π cos dddz, V :,,, 6 6 z, z 0, 0, 0, V d z dddz, V :, 4 3, z 0, z 9. V 4. Wprowadzając współrzędne walcowe, obliczć wskazane całki po obszarach ograniczonch danmi powierzchniami: a dddz, V : +, 0 z 3, V ( + dddz, V : + z, z b, V dddz, V : + +, + + c z 0, V dddz, V :, + 4, d z z 0, V z + dddz, V : +, 0, z 0, z e V 5. Wprowadzając współrzędne sferczne, obliczć podane całki: + V ( + a + z dddz, V : + + z, 0, 0, z 0, b dddz, V : + + z, 0, 0, z 0, V + ( V ( + 3 / c + + z dddz, V : + + z 4, d dddz, V : + + z z, V 3. Strona 66
CAŁKA POTRÓJNA ( + dv, V : +, + + 0, z e z 0, V f dv, V : + + z 4, + z. V 6. Obliczć całki: a + dl, L : + a, a > 0, b L dl, L : + 4, 0, L 3ϕ + dl, L : r e, ϕ [ 0, ], 3 L c π d e L + ( dl, L + z dl, L : L: łuk krzwej e t cos t, e t sin t, z e t, t [0,], 3 łącząc punkt A(, i B(,8, f dl, L :, [,]. L 7. Obliczć pole powierzchni części walca S za pomocą całki krzwoliniowej nieskierowanej: a S: + zawarte międz płaszczznami z, z5+, b S: z a +, a > 0. a + a zawarte międz płaszczzną z0 i powierzchnią Strona 67
ROZZIAŁ VI Strona 68
VII Całka powierzchniowa niezorientowana
ROZZIAŁ VII Niech g: S R będzie funkcją określoną na płacie regularnm S będącm wkresem funkcji f dla (,. zielim obszar na n podobszarów regularnch i i oznaczam przez S i odpowiadające tm podobszarom części płata S, a przez S i pola tch płatów częściowch. Wbierając z płata częściowego S i dowoln punkt P i ( i, i,z i tworzm sumę całkową: s n n i f ( P S i i JeŜeli dla kaŝdego normalnego ciągu podziałów obszaru ciąg (s n ma granicę niezaleŝną od wboru punktów P i, to granicę tę nazwam całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji g po płacie S i oznaczam: S g(,, z ds lub (w przpadku, gd powierzchnia S jest zamknięta. S g ds, lub S gds JeŜeli g, to S ds pole płata S. S Twierdzenie (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną. JeŜeli funkcja g jest ciągła na płacie gładkim S{(,,z: zf(,, (, }, gdzie R jest obszarem regularnm, to g(,, zds g(,,f(, + + S ' ' [ f ] [ f ] dd Uwaga. JeŜeli płat powierzchniow S jest obrazem zbioru leŝącego w innej płaszczźnie niŝ płaszczzna XOY, to teza twierdzenia będzie analogiczna, np. jeŝeli leŝ w płaszczźnie XOZ, to: g(,, z ds g(, f (, z, z + + S ' ' [ f ] [ f ] ddz z Przkład. + S Obliczć całkę ( z ds, + gdzie S jest powierzchnią stoŝka o równaniu: z + odciętą dwiema płaszczznami: z i z. Strona 70
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Przkład. Obliczć całkę: S z ds płaszczznami: z0, z4,,., gdzie S jest powierzchnią walca o równaniu: odciętą Strona 7
ROZZIAŁ VII Zastosowania całek w mechanice Masa obiektu materialnego JeŜeli ρ jest gęstością rozkładu mas, to: L ρ (,, z dl M masa łuku materialnego L; S V ρ (,, z ds M masa płata materialnego S; ρ (, dd M masa płaskiego obszaru materialnego ; ρ (,, z dddz M masa brł materialnej V. JeŜeli ρconst., to obiekt materialn nazwam jednorodnm. Moment statczne Z mechaniki wiadomo, Ŝe moment statczn układu n punktów materialnch P, P,...,P n o masach m, m,...,m n względem płaszczzn Π określon jest wzorem: M Π n i d * ( P i, Π m gdzie d * (P i,π oznacza tzw. względną (opatrzoną znakiem odległość punktu P i od płaszczzn Π. Biorąc pod uwagę definicję odpowiedniej całki Riemanna, moŝem określić moment statczn brł materialnej V o gęstości rozkładu mas ρ następująco: M d ( P(,, z, Π ρ (,, z dddz. Π V * JeŜeli w powŝszm wzorze całkę potrójną zastąpim całką powierzchniową niezorientowaną lub krzwoliniową nieskierowaną, to otrzmam odpowiednie moment względem płaszczzn, np..: M d ( P(,, z, Π ρ (,, z dl, gdzie L jest łukiem materialnm o gęstości mas ρ. Π L * JeŜeli w powŝszch wzorach odległość zastąpim kwadratem odległości, to otrzmam wzór na moment bezwładności, np. wzór [ d( P(,, z, Π ] B (,, z ds Π S określa moment bezwładności płata materialnego S o gęstości rozkładu mas ρ. JeŜeli zamiast płaszczzn weźmiem prostą L lub punkt P 0, to otrzmam moment bezwładności obiektu materialnego względem prostej lub względem punktu. ρ i, Strona 7
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA W praktce najczęściej wznaczam moment statczne lub bezwładności względem płaszczzn układu, osi układu lub początku układu współrzędnch. PoniŜsz rsunek przedstawia odległości dowolnego punktu P(,,z od płaszczzn, prostch i początku układu współrzędnch. z + + + z + z + z Moment statczn względem osi OY materialnego płata S o gęstości rozkładu mas ρ: M + S ρ(,, z ds. Moment bezwładności względem płaszczzn XOZ materialnego łuku L o gęstości rozkładu mas ρ: B ρ (,, z dl. z L Moment statczn względem osi OX materialnego obszaru płaskiego o gęstości rozkładu mas ρ: Środek cięŝkości obiektu materialnego M ρ (, dd. Współrzędne środka cięŝkości obiektu płaskiego: M c, c M M M. Strona 73
ROZZIAŁ VII Np. współrzędne środka cięŝkości łuku materialnego: ρ(, dl c L L ρ(, dl, c L L ρ(, dl ρ(, dl. Współrzędne środka cięŝkości obiektu przestrzennego: M z M z c, c zc M M M M. Np. współrzędne środka cięŝkości brł materialnej V: ρ(,, z dddz ρ(,, z dddz c V V ρ(,, z dddz, c V V ρ(,, z dddz, z c V V zρ(,, z dddz ρ(,, z dddz. Przkład 3. Wznaczć współrzędne środka cięŝkości jednorodnego łuku ckloid L: a(t-sint, a(- cost, a>0, t [0,π]. Strona 74
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Ćwiczenia. Obliczć całki po wskazanch powierzchniach: a z ds, S:, z 0, z 4,, 0, S b ds, S: z, +, c d S ( ds, S: z +, + + z z 0 S, ( + z + z ds, S: z k +, + + 0, k > 0 S S c ds, S: + z, z 0, z p.. Wznaczć masę wskazanego obiektu materialnego o danej gęstości ρ: a V : + 4 4, 0 z 3, ρ(,,z + z, b L : {(,,z : tcost, tsint, z t, t [ 0, π] }, ρ(,,z z, c L pierwsza spirala helis: cost, sint, zt, jeŝeli gęstość w kaŝdm punkcie jest równa długości promienia wodzącego tego punktu, d S : + + z a, ρ(,, z +, e L : f L : a ch, a [0, a], gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do rzędnej punktu, g : + 4, 0, ρ(,. 3. Obliczć wskazan moment bezwładności danego obiektu materialnego: a B, : + R, ρ(, a const. ln, [ 3, 8], ρ(,, 0 b Bz, V : +, z, z 0, ρ(,,z a const. c B, S: + + z 4, 0, 0, z 0, ρ(,, z a 4. Wznaczć środek cięŝkości danego jednorodnego obiektu materialnego: a :,, b V : + + z a, z 0, c V : XY + z, 0, 0, z 0, d S: + az, 0 z a, e L : 3(t sint, 3( cost, t 0,π. [ ] const., Strona 75
ROZZIAŁ VII Strona 76
VIII Całka krzwoliniowa skierowana (zorientowana
ROZZIAŁ VIII Niech Γ będzie łukiem zwkłm w R n określonm równaniem: Φ(t, t [α,β], Φ(ϕ, ϕ,..., ϕ n. Punkt A o wektorze wodzącm Φ(α nazwam początkiem łuku a punkt B o wektorze wodzącm Φ(β końcem łuku. Łuk Γ będziem oznaczać AB, wówczas łuk Γ Γ BA określam równaniem: Φ( t, t [ β, α]. Łuki AB i BA będziem uwaŝać za przeciwnie zorientowane (skierowane. Na łuku określam pole wektorowe F: Γ R n, gdzie F(f,...,f n. zielim przedział na m części. Podział ten implikuje podział łuku na m łuków częściowch. Oznaczam wektor Ai Ai przez i i - i- Φ(t i - Φ(t i- a przez P i dowoln punkt łuku częściowego i utwórzm sumę całkową: S m m F( P i i i JeŜeli ciąg (s m jest zbieŝn do tej samej granic właściwej prz dowolnm podziale normalnm odcinka [α,β] i niezaleŝnie od wboru punktów P i, to granicę tę nazwam całką krzwoliniową skierowaną z pola wektorowego F (albo z funkcji F po łuku Γ i oznaczam smbolem: Γ F o d f d +... + f ndn f(,..., n d +... + f n (,..., Γ d n n Γ. JeŜeli łuk jest konturem, to całkę oznaczam smbolem: Γ wektorowego F po łuku zamkniętm zorientowanm Γ. F o d i nazwam crkulacją pola Gd n lub n 3 to całkę będziem oznaczać smbolami: Γ Γ p (, d + q(, d, p (,, z d + q(,, z d + r(,, z dz Strona 78
CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA Uwaga. JeŜeli f f 3... f n 0, to Wnika stąd równość: Γ f d Γ F o d f d +... + f ndn fd +... + Γ d n n Γ Γ f. Uwaga. Z definicji całki skierowanej wnika, Ŝe zmienia ona znak, gd zmienim orientację łuku na przeciwną (bo zmieni znak na przeciwn wektor i. Jeśli więc istnieje całka po łuku AB to istnieje całka po łuku BA i zachodzi równość: F o d F o d AB BA Uwaga 3. Całka krzwoliniowa skierowana jest liniowa a takŝe addtwna względem łuku, tzn. jeŝeli C AB, to: F o d F o d + F o d. AB AC CB Interpretacja fizczna Całka F o d wraŝa pracę wkonaną przez siłę F (w polu wektorowm F na drodze Γ. Γ Następne twierdzenie podaje sposób obliczania całki krzwoliniowej skierowanej. Twierdzenie (o zamianie całki krzwoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną JeŜeli pole wektorowe F jest ciągłe na łuku regularnm Γ, to całka krzwoliniowa skierowana istnieje i zachodzi równość: β β ' ' F o d F[ Φ( t ] Φ ( t dt [ f( ϕ(t,..., ϕ n (t ϕ(t +... fn ( ϕ(t,..., ϕ n (t ϕn ( t ]dt Γ α α Wniosek. JeŜeli łuk dan jest równaniem: f(, [a,b], to b { p[, f ( ] + q[, f ( ] f ( }. p(, d + q(, d d Γ Uwaga 4. Całkę skierowaną po łuku regularnm moŝna zawsze zamienić na całkę nieskierowaną po tm łuku wkorzstując kosinus kierunkowe (I, U7. Γ a ( f cosα +... f n cos n. fd +... + f ndn α dl Γ Strona 79
ROZZIAŁ VIII Przkład. Obliczć całkę: a d + ( d, b d + d, i,,3, gdzie L i L i L :, [0,]; L :, [0,]; L 3 :, [0,]. Strona 80
CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA Ab udowodnić związek międz całką krzwoliniową skierowaną po krzwej zamkniętej ograniczającej obszar płaski, określim krzwą dodatnio skierowaną (zorientowaną względem swego wnętrza. Krzwa zamknięta jest dodatnio skierowana, jeŝeli poruszając się w tm kierunku po krzwej mam po lewej stronie obszar, któr ta krzwa ogranicza. Twierdzenie (Greena q p JeŜeli funkcje p i q są ciągłe wraz z pochodnmi i w domkniętm obszarze normalnm, którego brzeg jest skierowan dodatnio, to: q p p(, d + q(, d dd. Uwaga 3. Przjmując w tezie twierdzenia Greena kolejno:. p0, q mam: d dd ;. p, q0 mam: d dd ; 3. p-, q mam: + d d dd otrzmam trz całki, które wraŝają pole obszaru : d + d d d. Strona 8
ROZZIAŁ VIII Przkład. Wznaczć pole pętli liścia Kartezjusza: 3 + 3 3. NiezaleŜność całki od drogi całkowania Twierdzenie 3 (o niezaleŝności całki krzwoliniowej skierowanej od drogi całkowania q p JeŜeli funkcje p i q są ciągłe wraz z pochodnmi i w obszarze jednospójnm domkniętm, to całka p(, d + q(, d, po łuku regularnm AB jest Γ niezaleŝna od drogi całkowania wted i tlko wted, gd p q (, :. Uwaga 4. Warunek z twierdzenia jest takŝe warunkiem koniecznm i wstarczającm potencjalności pola wektorowego [p,q]. WraŜenie pd+qd jest wted róŝniczką zupełną pewnej funkcji U, którą nazwam funkcją pierwotną funkcji wektorowej F[p,q] (albo potencjałem tego pola wektorowego; Wted: AB pd + qd U( B U( A. Potencjał U moŝna wznaczć z następującego wzoru biorąc dowolne ( 0, 0 (w którm pole F jest określone naleŝące do : U (, Strona 8 p( t, dt + 0 0 q( 0, t dt.
CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA Uwaga 5. Całka Γ p (,, z d + q(,, z d + r(,, z dz nie zaleŝ od drogi całkowania, jeŝeli krzwa Γ leŝ w obszarze jednospójnm i w obszarze tm pole wektorowe F spełnia warunek: rotfrot[p,q,r] 0 r. Potencjał U moŝna wznaczć ze wzoru (podobnie jak w uwadze 4.: Przkład 3. U(,,z p(t,, zdt + q( 0, t, zdt + r( 0, 0, tdt. 0 0 z0 z (3,, Obliczć całkę: (e z + z + d + (e z + + d + (e + z + dz. (,0, Strona 83
ROZZIAŁ VIII Ćwiczenia. Obliczć całkę: ( d + d, jeŝeli krzwa L łącz punkt A(,0 i B(0, i jest: L a prostą o równaniu: +, b łukiem paraboli: 4+ 4, c łukiem elips: 4 + 4.. Obliczć całkę: ( d + ( + d, gdzie L jest łamaną łączącą punkt: O(0,0, A(,0, B(4,. L 3. Obliczć całki z danego pola wektorowego F po łuku L, jeŝeli: a F[, ], L: t, t, t [0,], b F[e +, ], L: +t, 3 t, t [,], c F[z, z, ], L: e t, e t, ze t, t [0,], d F[,, z], L: acost, asint, zbt, t [0,π]. 9 + 4 36, 4. Obliczć crkulację pola wektorowego F[+z,, ] wzdłuŝ elips C: z, skierowanej zgodnie z ruchem wskazówek zegara. + + z 0, 5. L jest częścią prostej : zorientowaną tak, Ŝe rośnie i [,]. Wznaczć + 0, crkulację F[,0,] wzdłuŝ L. 6. Wznaczć crkulację pola wektorowego F[, +] wzdłuŝ krzwej K. Sprawdzić wnik korzstając z tw. Greena: a K ma orientację ujemną i jest sumą łuku paraboli: 4 i odcinka prostej: 0, b K jest okręgiem: + + 0 zorientowanm dodatnio. 7. Obliczć całki z podanego pola wektorowego po danej krzwej L: a F [, 3 ], gdzie L jest dodatnio zorientowanm brzegiem obszaru ograniczonego krzwmi:,. b F +, + ln + +, gdzie L jest dodatnio zorientowanm brzegiem obszaru ograniczonego krzwmi: ln, e, 0, c F [tg, tg], gdzie L jest dodatnio zorientowanm okręgiem: + + 0. 8. Obliczć całki: (, + + a [ e + cos( + ] d + [ e cos( ] + d, (0,0 (, π b cos d + sin + cos d, (,0 Strona 84
CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA (3,,. c ( e z + z + d + ( e z + + d + ( e z + z + dz (,0, 9. Obliczć pole obszaru ograniczonego krzwmi: a cos 3 t, sin 3 t, t [0,π] (asteroida, b r (+cosϕ, ϕ [0,π] (kardioida, c, /, /4, >0. 0. Obliczć całki: a e d + e + e d, L gdzie L jest sumą łuków: L :+, L : + 4, L 3 : 0, od punktu A(0,- przez punkt B(-,0 i C(,0 do punktu (0,0, b ( + 3 d + 6 + 3 e d, gdzie L jest półokręgiem: + 4, <0 L od punktu A(-,0 do punktu B(,0.. Obliczć pracę wkonaną w polu wektorowm F wzdłuŝ łuku L, jeŝeli: a F[, ], L jest łukiem elips: +4 4 (>0 łączącm punkt A(0, i B(,0, b F[ 3 + e, 3 +tg ], L jest dodatnio zorientowanm okręgiem: + +40. Strona 85
ROZZIAŁ VIII Strona 86
IX Całka powierzchniowa zorientowana
ROZZIAŁ IX W kaŝdm punkcie płata regularnego S o równaniu: zg(,, (, jest określona płaszczzna stczna o wektorze normalnm [g, g, ] względnie [ g, g, ]. Ze względu na ciągłość pochodnch g i g wektor te poruszając się po powierzchni nie mogą przechodzić wzajemnie na siebie, co oznacza, Ŝe płat S jest powierzchnią dwustronną. Przkładem powierzchni jednostronnej jest wstęga Möbiusa. Weźm pod uwagę jedną za stron płata S, np. tę, której wektorem normalnm jest wektor (- g, -g,. Wektor ten tworz z osiami współrzędnch kąt α, β i γ o cosinusach: g g cosα, cos β, cosγ + ( g + ( g + ( g + ( g + ( g + ( g. Wersor n [cosα, cosβ, cosγ] jest wersorem normalnm płata S. Strona 88