Sterowalno± i obserwowalno± obiektów dynamicznych (piotrjs)

Rozdziaª Sterowalno± i obserwowalno± obiektów dynamicznych (piotrjs) Analiza sterowalno±ci i obserwowalno±ci Przykªad Analizuj c rz d macierzy sterowalno±ci, zbadaj caªkowit sterowalno± obiektu dynamicznego opisanego równaniem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), w którym: 2 3 a) A = 6 b) A = 2 2 2 2, B = b = 2, B = 2 Rozwi zanie Niech A R n n oraz B R n p Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalno±ci M c R n n p zdeniowana wzorem M c = B AB A n B posiada peªny wierszowy rz d, rank M c = n, a) Dla obiektów z pojedynczym wej±ciem, a zatem tak»e dla obiektów SISO, macierz sterowalno±ci jest macierz kwadratow ; taka za± macierz ma peªny rz d wtedy i tylko wtedy, je»eli jej wyznacznik nie równa si zero Zatem w omawianym przypadku caªkowita sterowalno± ma miejsce, gdy

2 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) wyznacznik macierzy sterowalno±ci M c = b det M c = det 4 2 8 zatem obiekt nie jest caªkowicie sterowalny Ab jest niezerowy Poniewa» = b) Macierz sterowalno±ci M c = B AB A 2 B, M c R 3 6, jest macierz prostok tn Obiekt jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta posiada peªny wierszowy rz d Mamy M c = 2 3 2 2 4 2 5 4 Jak ªatwo sprawdzi, badaj c przykªadowo trzy pierwsze kolumny tej macierzy, rank M c = 3 Rozwa»any obiekt jest przeto caªkowicie sterowalny Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy rank M c = n, gdzie M c = B AB A n r BB za± r B = rank B O sterowalno±ci pary (A, B) orzeka si zatem na podstawie oceny rz du zredukowanej macierzy sterowalno±ci Mc R n (n r B+) p o odpowiednio zmniejszonej liczbie kolumn ('peªna' macierz sterowalno±ci M c posiada bowiem n p kolumn) W rozwa»anym przypadku otrzymujemy potwierdzenie caªkowitej sterowalno±ci badanego obiektu: rank M c = 3 Przykªad 2 Dana jest para macierzy (A, B), gdzie A R n n oraz B R n p, przy czym macierz A ma jednokrotne warto±ci wªasne spectr A = {λ i } n i= : a) 3 A = 2 b) A =, B =, B = b = Przeksztaªacaj c (A, B) w par podobn (M AM, M B), gdzie M R n n (w ogólno±ci M C n n ) jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, sprawd¹ caªkowit sterowalno± pary (A, B)

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 3 Rozwi zanie Macierz A o jednokrotnych warto±ciach wªasnych jest macierz diagonalizowaln Rol macierzy diagonalizuj cej peªni dowolna modalna macierz M o kolumnach utworzonych z wektorów wªasnych macierzy A przyporz dkowanych jej poszczególnym warto±ciom wªasnym (modalna macierz M danej macierzy A nie jest wyznaczona jednoznacznie) Zachodzi M AM = diag {λ i } n i= Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna, gdy w macierzy M B nie wyst puj zerowe wiersze (dla p = odpowiednia para (A, b), w której b R n, jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektor M b R n nie posiada zerowych wspóªrz dnych) Obecno± takiego zerowego i-tego wiersza ±wiadczy,»e odpowiedni mod e λ it jest modem niesterowalnym a) W tym przypadku spectr A = { 3, 2} Przykªadowej macierzy modalnej M = odpowiada wektor M b = T Para (A, b) nie jest wi c caªkowicie sterowalna, za± niesterowalnym modem jest mod e 2t b) W tym przypadku spectr A = {,, } Macierzy modalnej M = przyporz dkowujemy macierz M B = /2 /2 /2 /2 Z powy»szego wynika,»e para (A, B) jest par caªkowicie sterowaln Uzyskane wnioski ªatwo jest potwierdzi, analizuj c rz d odpowiednich macierzy sterowalno±ci: 3 a) M c = 3 b) M c =, rank M c =, rank M c = 3

4 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) Przykªad 3 Dana jest para macierzy (A, B), gdzie A R n n oraz B R n p, przy czym macierz A posiada wielokrotne warto±ci wªasne: a) A = b) A = c) A = d) A = 2 2 2 2 2, B = b =, B = b = 2 2 5 2 4 2, B =, B = 2 Przeksztaªcaj c (A, B) w par podobn (P AP, P B), w której P AP przyjmuje kanoniczn posta Jordana (zob dodatek), za± P R n n (w ogólno±ci P C n n ) jest odpowiedni macierz podobie«stwa (uogólnion macierz modaln (??)), zbadaj caªkowit sterowalno± pary (A, B) Rozwi zanie Zauwa»my na wst pie,»e para (A, B), w której A R n n oraz B R n p, jest par caªkowicie sterowaln, gdy rank M c = n, gdzie M c = B AB A m r BB przy czym r B = rank B, za± m to stopie«wielomianu minimalnego macierzy A, m = deg ψ A (λ) O sterowalno±ci pary (A, B) orzeka si zatem na podstawie oszacowania wierszowego rz du tak zredukowanej macierzy sterowalno±ci Mc R n (m r B+) p Z powy»szego wynika,»e para (A, B) opisuj ca obiekt o pojedynczym wej±ciu (p = ) w przypadku, w którym A nie jest macierz prost, nie mo»e by par caªkowicie sterowaln Rozwa»my teraz szczegóªowo warunek sterowalno±ci pary macierzy (A, B) oparty na wªasno±ciach pary podobnej (P AP, P B) = (J, ˆB) Grupuj c wiersze macierzy ˆB = P B R n p w podmacierze zgodnie ze struktur postaci kanonicznej Jordana macierzy A, mamy ˆB = ˆBT, ˆBT,η ˆBṰ n, ˆBṰ n,ηˆn T

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 5 gdzie ˆB i,j R ν i,j p dla i {,, ˆn} oraz j {,, η i } Niech b T i,j R p oznacza ostatni wiersz danej podmacierzy ˆB i,j Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wektorów { b i,j } η i j= jest zbiorem liniowo niezale»nym dla i {,, ˆn} Warunkiem koniecznym caªkowitej sterowalno±ci pary (A, B) jest zatem speªnienie nierówno±ci η i p, i {,, ˆn} Dla par (A, B) z prost macierz A obowi zuje nast puj cy konieczny i wystarczaj cy warunek sterowalno±ci: b i, p, i {,, ˆn} W przypadku diagonalizowalnych macierzy A odpowiedni warunek przyjmuje posta rank ˆB i, ˆB i,ρi = rank bi, bi,ρi = ρi, i {,, ˆn} a) Macierz A ma podwójn warto± wªasn : λ = oraz ρ = 2 Poniewa» dim Ker (A λ I 2 ) = 2 rank (A λ I 2 ) = zatem η = Oznacza to, i» macierz A, b d c macierz prost, nie jest macierz diagonalizowaln Na tej podstawie wnioskujemy,»e ν, = 2 oraz J = J (λ ) = W macierzy podobie«stwa P = p,, p,,2 R 2 2 wyró»niamy dwie kolumny p,, R 2 oraz p,,2 R 2, speªniaj ce równania: (A λ I 2 )p,, = p,, = 2 (A λ I 2 )p,,2 = p,,2 = p,, Przykªadowym rozwi zaniem tego ukªadu s wektory: p,, = oraz p,,2 = T Poniewa» ostatnia wspóªrz dna wektora ˆb = P b = T jest niezerowa, zatem rozwa»ana para (A, B) jest caªkowicie sterowalna b) W tym przypadku mamy spectr A = {,, }, a zatem: n = 3, λ =, ρ = 2, λ 2 = oraz ρ 2 = Krotno± geometryczna warto±ci

6 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) wªasnej λ wynosi η = dim Ker (A λ I n ) = n rank (A λ I n ) = 3 = 2 Dla λ 2 zachodzi oczywi±cie η 2 = Z równo±ci η = ρ oraz η 2 = ρ 2 wnioskujemy,»e macierz A, nie b d c macierz prost, jest macierz diagonalizowaln Zachodzi ponadto: ν, =, ν,2 = oraz ν 2, = Macierz podobie«stwa posiada zatem nast puj c struktur : P = P, P,2 P 2, = p,, p,2, p 2,, R 3 3 Kolumny p,, R 3 oraz p,2, R 3 tej macierzy obliczamy, rozwi zuj c równania: (A λ I 3 )p,, = 3 (A λ I 3 )p,2, = 3 Pami tamy przy tym,»e wektory p,, oraz p,2, musz by liniowo niezale»ne; poniewa» η = 2 zatem takie wektory istniej Z kolei, kolumna p 2,, R 3 stanowi rozwi zanie równania (A λ 2 I 3 )p 2,, = 3 Tak post puj c, uzyskuje si przykªadow macierz podobie«stwa, zªo»on z odpowiednich wektorów wªasnych macierzy A Z postaci wektora P = p,, p,2, p 2,, = ˆb = P b = b, b,2 b2, = wynika,»e para (A, B) nie jest par caªkowicie sterowaln W rozwa»anym przypadku zachodzi τ = τ 2 =, a zatem macierzy A przyporz dkowany jest wielomian minimalny ψ A (λ) = (λ + )(λ ) stopnia m = 2 < 3 Zredukowana macierz sterowalno±ci Mc = b Ab R 3 2 nie mo»e z oczywistych wzgl dów wykazywa peªnego wierszowego rz du c) Trzeci przypadek dotyczy spectr A = {,, } Mamy zatem: n = 3, λ = oraz λ 2 =, przy czym: ρ = 2, ρ 2 =, η 2 = Krotno± geometryczna pierwszej warto±ci wªasnej wynika ze wzoru η = dim Ker (A λ I n ) = n rank (A λ I n ) = 3 = 2 Macierz A, nie b d c macierz prost, jest jednak macierz diagonalizowaln zachodzi bowiem η = ρ oraz η 2 = ρ 2 Ponadto: ν, =, ν,2 = oraz ν 2, = Macierz P R 3 3 wyznaczamy w sposób analogiczny do opisanego w przypadku b Przykªadowe rozwi zanie ma posta P = P, P,2 P 2, = p,, p,2, p 2,, = 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 7 Macierz ˆB = P B przyjmuje posta ˆB = ˆB, ˆB,2 ˆB 2, = b, b,2 b2, T = /2 /2 /2 /2 Poniewa» rank b, b,2 = 2, zatem para (A, B) nie jest par caªkowicie sterowaln Takiego wyniku nale»aªo si spodziewa : wielomian minimalny macierzy A jest wielomianem stopnia ni»szego od n = 3, mamy bowiem m = τ + τ 2 = + = 2 Odpowiednia zredukowana macierz sterowalno±ci M c = B R 3 2 nie mo»e by przeto macierz o peªnym wierszowym rz dzie d) Teraz n = 4 Widmo macierzy A ma posta spectr A = {2, 2, 2, 2} Oznaczaj c λ = 2 oraz λ 2 = 2, mamy: ρ = 3, ρ 2 =, η 2 =, a ponadto ν 2, = Krotno± geometryczna warto±ci wªasnej λ wynosi η = dim Ker (A λ I n ) = n rank (A λ I n ) = 4 2 = 2 Na tej podstawie wnioskujemy,»e musi obowi zywa równo± ν, + ν,2 = 3 Przykªadowym warto±ciom ν, = oraz ν,2 = 2 odpowiada kanoniczna posta Jordana macierzy A J = J (λ ) 2 2 J 2 (λ ) 2 2 J (λ 2 ) T, J (λ ) R, J 2 (λ ) R 2 2, J (λ 2 ) R Macierz podobie«stwa ma blokow struktur P = P, P,2 P 2, = p,, p,2, p,2,2 p 2,, R 4 4 Kolumny tej macierzy wyznacza si z równa«: (A λ I 4 )p,, = 4 (A λ I 4 )p,2, = 4 Przykªadow macierz P R 4 4 jest (A λ I 4 )p,2,2 = p,2, (A λ 2 I 4 )p 2,, = 4 P = p,, p,2, p,2,2 p 2,, =

8 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) Z kolei, analizuj c macierz uzyskujemy: b, = ˆB = P B = 3 ˆB, ˆB,2 ˆB 2, 2, b,2 = = 3 2 oraz b2, = Z faktu, i» rank b, b,2 = 2, wnioskujemy,»e (A, B) nie jest par caªkowicie sterowaln Wniosek ten ªatwo mo»na potwierdzi, wyznaczaj c rz d zredukownej macierzy sterowalno±ci Mc = B AB Przykªad 4 Na podstawie rz du macierzy obserwowalno±ci zbadaj caªkowit obserwowalno± obiektu dynamicznego opisanego równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = Cx(t), gdzie: 3 a) A = 5 2 b) A = 2, C = c T = 2, C = 2 Rozwi zanie Para (A, C), w której A R n n oraz C R q n, jest caªkowicie obserwowalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalno±ci M o R n q n zdeniowana wzorem M o = C CA CA n posiada peªny kolumnowy rz d, rank M o = n a) Dla obiektów z pojedynczym wyj±ciem, a zatem tak»e dla obiektów SISO, macierz obserwowalno±ci M o jest macierz kwadratow co oznacza,»e macierz ta ma peªny rz d wtedy i tylko wtedy, je»eli jej wyznacznik nie równa si zero W omawianym przypadku c T 2 det M o = det c T = det = 5 A 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 9 Zatem badany obiekt jest caªkowicie obserwowalny b) Macierz obserwowalno±ci jest w tym przypadku macierz prostok tn : M o = C T A T C T (A 2 ) T C T T, M o R 6 3 Rozwa»any obiekt b dzie caªkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta b dzie miaªa peªny rz d kolumnowy Jak ªatwo sprawdzi M o = 2 5 8 2 2 5 Poniewa» rank M o = 2, zatem obiekt ten nie jest caªkowicie obserwowalny Para (A, C), w której A R n n oraz C R q n, jest caªkowicie obserwowalna wtedy i tylko wtedy, gdy rank M o = n, gdzie M o = C T A T C T (A n r C ) T C T T przy czym r C = rank C O obserwowalno±ci obiektu opisanego par (A, C) mo»na zatem orzeka na podstawie analizy kolumnowego rz du zredukowanej macierzy obserwowalno±ci Mo R (n r C+) q n o odpowiednio zmniejszonej liczbie wierszy (macierz M o posiada bowiem n q wierszy) Tak post puj c, otrzymujemy rank M o = 2, co potwierdza tez o braku caªkowitej obserwowalno±ci badanego obiektu Przykªad 5 Dana jest para macierzy (A, C), gdzie A R n n oraz C R q n, przy czym macierz A ma jednokrotne warto±ci wªasne spectr A = {λ i } n i= : a) 2 A = 3 b) A =, C =, C = c T = T Przeksztaªcaj c par (A, C) w par podobn (M AM, CM), gdzie M R n n (w ogólno±ci M C n n ) jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, sprawd¹ caªkowit obserwowalno± pary (A, C) Rozwi zanie Macierz diagonalizuj c macierzy A o jednokrotnych warto±ciach wªasnych jest dowolna macierz modalna M o kolumnach utworzonych z wektorów wªasnych macierzy A przyporz dkowanych poszczególnym warto±ciom wªasnym tej macierzy Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna, gdy w macierzy CM nie wyst puj zerowe kolumny Obecno±

ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) takiej zerowej kolumny ±wiadczy,»e odpowiedni mod e λt, λ spectr A, jest modem nieobserwowalnym Dla q = para (A, c T ), gdzie c R n, jest caªkowicie obserwowalna, gdy wektor M T c nie posiada zerowych wspóªrz dnych) a) W tym przypadku spectr A = { 3, 2} Przykªadowej macierzy modalnej M = przyporz dkowujemy wektor M T c = Na tej podstawie wnioskujemy,»e para (A, c T ) nie jest par caªkowicie obserwowaln : mod e 2t jest nieobserwowalny b) W drugim z rozwa»anych przypadków zachodzi spectr (A) = {,, } Przykªadowej macierzy modalnej M, podanej w przykªadzie 2, odpowiada macierz CM = 2 2 Macierz ta posiada zerow kolumn, zatem para (A, C) nie jest par caªkowicie obserwowaln : mod e t jest nieobserwowalny Poniewa» jest to mod stabilny, przeto (A, C) jest par wykrywaln Analizuj c stosowne macierze obserwowalno±ci, uzyskujemy potwierdzenie powy»szych wniosków: a) M o =, 3 3 rank M o = T b) M o =, rank M o = 2 Przykªad 6 Dana jest para macierzy (A, C), gdzie A R n n oraz C R q n, przy czym A jest macierz o wielokrotnych warto±ciach wªasnych: a) 5/6 /3 A = 4/3 /6 2 3 9 b) A = 2 2 4 7, C = c T = 4 2, C = c T = 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI c) A = d) A = 6 9 8 5 2 3 2 6 5, C = 25 5 9 6 25 5 9 5 3 5 7 7 7, C = 2 Przeksztaªcaj c (A, C) w par podobn (P AP, CP ), w której P AP przyjmuje kanoniczn posta Jordana, za± P R n n (w ogólno±ci P C n n ) jest odpowiedni macierz podobie«stwa, zbadaj caªkowit obserwowalno± pary (A, C) Rozwi zanie Zadanie mo»na ªatwo rozwi za, je»eli zauwa»y si,»e jest ono równowa»ne zadaniu analizy sterowalno±ci dualnej pary (A T, C T ) Opieraj c si na wynikach uzyskanych w przykªadzie 3 (oraz zachowuj c oznaczenia tam wprowadzone) sformuªowa mo»na nast puj ce twierdzenie Para (A, C), w której macierz A posiada ˆn n ró»nych warto±ci wªasnych {λ }ˆn i i=, jest caªkowicie obserwowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wektorów { c i,j } η i j= jest zbiorem liniowo niezale»nym dla i {,, ˆn}, przy czym c i,j R q, j {,, η i }, oznacza pierwsz kolumn podmacierzy Ĉ i,j R q ν i,j nast puj co zdeniowanej macierzy Ĉ = CP = Ĉ, Ĉ,η Ĉˆn, Ĉˆn,ηˆn za± P R n n (w ogólno±ci P C n n ) jest macierz podobie«stwa (??), sprowadzaj cego macierz A do kanonicznej postaci Jordana Koniecznym warunkiem caªkowitej obserwowalno±ci pary (A, C) jest zatem zachowanie nierówno±ci η i q, i {,, ˆn} Gdy A jest macierz prost, konieczny i wystarczaj cy warunek caªkowitej obserwowalno±ci przyjmuje posta»adania c i, q, i {,, ˆn} W przypadku diagonalizowalnych macierzy A odpowiedni warunek formuªuje si jako rank Ĉ i, Ĉ i,ρi = rank ci, c i,ρi = ρi, i {,, ˆn} Mo»na tak»e pokaza,»e (A, C) jest par caªkowicie obserwowaln, gdy rank M o = n, gdzie M o = C T A T C T (A m r C ) T C T T oznacza zredukowan macierz obserwowalno±ci, m = deg ψ A (λ) jest stopniem minimalnego wielomianu macierzy A, za± r C = rank C O obserwowalno±ci pary (A, C) orzeka si zatem na podstawie oceny kolumnowego rz du

2 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) zredukowanej macierzy obserwowalno±ci Mo R (m r C+) q n Z powy»szego wywodu wynika,»e w przypadku obiektu o pojedynczym wyj±ciu (q = ) para (A, c T ), w której macierz A nie jest macierz prost, nie mo»e by par caªkowicie obserwowaln a) Macierz A jest macierz o podwójnej warto± wªasnej: λ = 5, ρ = 2 Poniewa» dim Ker (A λ I 2 ) = 2 rank (A λ I 2 ) =, zatem η = Rozwa»ana macierz A jest przeto macierz prost, lecz niediagonalizowaln Na tej podstawie wnioskujemy,»e ν, = 2 oraz J = J (λ ) = 5 5 Kolumny p,,, p,,2 R 2 macierzy podobie«stwa P = p,, p,,2, P R 2 2, speªniaj równania Wektory 2/3 /3 (A λ I 2 )p,, = 4/3 2/3 2/3 /3 (A λ I 2 )p,,2 = 4/3 2/3 p,, = 2 oraz p,,2 = p,, = 2 p,,2 = p,, stanowi przykªadowe rozwi zanie Pierwsza wspóªrz dna wektora P T c = 6 ma warto± zerow, zatem rozwa»ana para (A, c T ) nie jest par caªkowicie obserwowaln b) W tym przypadku macierz A posiada potrójn warto± wªasn : λ = 2 oraz ρ = 3 Krotno± geometryczn η tej warto±ci obliczamy w nast puj cy sposób: η = 3 rank (A λ I 3 ) = 3 2 = Macierz A jest zatem macierz prost, dla której ν, = ρ = 3 Macierz J zbudowana jest przeto z jednej klatki Jordana 2 J = J 3 (λ ) = 2 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 3 Kolumny macierzy podobie«stwa P = P, = p,, p,,2 p,,3, P R 3 3, speªniaj równania (A λ I 3 )p,, = 3 (A λ I 3 )p,,2 = p,, (A λ I 3 )p,,3 = p,,2 w których p,, R 3 jest wektorem wªasnym, za± p,,2 R 3 oraz p,,3 R 3 to wektory doª czone, przyporz dkowane warto±ci wªasnej λ Przykªadowe rozwi zanie dane jest wzorem P = p,, p,,2 p,,3 = Wektor ĉ = P T c przyjmuje nast puj c posta ĉ = ĉ, = 6 2 6 6 2 6 4 2 4 2 z której wobec tego,»e c, = 6 wnioskujemy, i» (A, c T ) jest par caªkowicie obserwowaln c) Trzeci przypadek tak»e dotyczy potrójnej warto±ci wªasnej: λ = 3, ρ = 3 Krotno± geometryczn tej warto±ci wªasnej okre±la wzór η = 3 rank (A λ I 3 ) = 3 = 2, z którego wynika,»e macierz J kanonicznej postaci Jordana macierzy A skªada si z dwóch klatek o wymiarach ν, = oraz ν,2 = 2 J = J 3 (λ ) = J (λ ) 2 2 J 2 (λ ) = 3 3 3 Macierz podobie«stwa P = P, P 2,2 = p,, p,2, p,2,2 R 3 3 uzyskuje si po rozwi zaniu równa«(a λ I 3 )p,, = 3 (A λ I 3 )p,2, = 3 (A λ I 3 )p,2,2 = p,2,

4 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) gdzie p,,, p,2,, p,2,2 R 3 Jak nietrudno sprawdzi, przykªadowa macierz P mo»e mie posta P = 3 3 p,, p,2, p,2,2 = 3 5 2 2 Rozwa»aj c macierz Ĉ = CP = Ĉ, Ĉ,2 = 2 2 4 dochodzimy do wniosku,»e para (A, C) nie jest caªkowicie obserwowalna: wektory c, = T oraz c,2 = 2 2 T s bowiem liniowo zale»ne Wniosek ten potwierdza analiza kolumnowego rz du zredukowanej macierzy obserwowalno±ci Mo W rozwa»anym przypadku mamy m = τ = 2 oraz r C = 2 Macierz ta ma zatem posta M o = C R 2 3, wykazuj c defekt kolumnowego rz du d) Widmo macierzy A R 4 4 zªo»one jest z dwóch podwójnych zespolonych sprz»onych warto±ci wªasnych: λ = + j2 oraz λ 2 = j2 Zachodzi przeto ρ = ρ 2 = 2 Jak ªatwo sprawdzi η = η 2 = 4 rank (A λ I 4 ) = 4 3 =, zatem A jest macierz prost, dla której ν, = ν 2, = 2 Kanonicza posta Jordana tej macierzy dana jest wzorem J = J2 (λ ) 2 2 2 2 J 2 (λ 2 ) = + j2 + j2 j2 j2 Macierz podobie«stwa P = P, P 2, = p,, p,,2 p 2,, p 2,,2 C 4 4 wyznaczamy, rozwi zuj c równania (A λ I 4 )p,, = 4 (A λ I 4 )p,,2 = p,, a nast pnie korzystaj c z faktu,»e warto±ci wªasne wyst puj w sprz»onych parach Tak post puj c, otrzymujemy 2 3 P = 6 4 32 + j76 744 + j2592 32 j76 744 j2592 32 j24 376 j432 32 + j24 376 + j432 8 + j4 92 + j56 8 j4 92 j56 7 5

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 5 Ĉ = Macierz Ĉ = CP = Ĉ, Ĉ,2 przyjmuje posta 832 + j576 944 + j892 832 j576 944 j892 64 + j352 3488 + j584 64 j352 3488 j584 z której wynika,»e (A, C) jest par caªkowicie obserwowaln pierwsza i trzecia kolumna tej macierzy (wektory c, oraz c 2, ) s bowiem niezerowe Przykªad 7 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna je»eli x() R n oraz < t f < istnieje takie sterowanie u :, t f R p, przy którym x(t f ) = n Poka»,»e nast puj ce zdania s równowa»ne: a) Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna b) Macierz W c (t) R n n dana wzorem W c (t) = t e Aτ BB T e AT τ dτ jest dodatnio okre±lona t > : Wc (t) > c) Macierz sterowalno±ci M c = B AB A n B, M c R n n p () posiada peªny wierszowy rz d rank M c = n, a zatem Im M c = R n Rozwi zanie a b) Zaªó»my,»e W c (t f ) jest macierz osobliw dla pewnego t f > Wynika st d, i» n v R n, dla którego v T Wc (t f )v = Poniewa» e At BB T e AT t, t, zatem musi zachodzi v T e At B = p dla t t f Ze sterowalno±ci pary (A, B) wynika istnienie takiego sterowania u :, t f R p,»e e At f x() + t f ea(t f τ) Bu(τ)dτ = n, x() R n Po obustronnym wymno»eniu tego wyra»enia przez v T e At f otrzymujemy v T x() = Dla x() = v mamy zatem v T v =, co jest mo»liwe tylko, gdy v = n Dochodz c do sprzeczno±ci, musimy uzna tez, i» sterowalno± pary (A, B) implikuje W c (t f ) >, t f > b a) Niech W c (t f ) > t f > Sterowanie u(t) = B T e AT t W c (t f )x(), t t f

6 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) sprowadza dowolny pocz tkowy stan x() R n do zera: tf x(t f ) = e At f x() + e A(t f τ) Bu(τ)dτ = e At f x() e At f tf = e At f x() e At f Wc (t f ) e Aτ BB T e AT τ dτ W c (t f )x() = n W c (t f )x() b c) Niech W c (t) >, t >, za± M c nie ma peªnego wierszowego rz du Istnieje zatem taki wektor n v R n,»e v T A i B = p, i {,, n } Bior c pod uwag,»e A n = n i= a ia i, gdzie det(λi n A) = n i= a iλ i oraz a n = (co wynika z twierdzenia Cayleya-Hamiltona), ªatwo jest pokaza,»e równo± v T A i B = p musi zachodzi i Mamy zatem v T e At B = i= (( t)i /i!)v T A i B = p, t Oznacza to,»e v n : v T Wc (t) = n, co przeczy zaªo»eniu o nieosobliwo±ci macierzy W c (t) c b) Niech rank M c = n, za± W c (t f ) b dzie macierz osobliw dla pewnego t f > Istnieje przeto taki wektor n v R n,»e v T e At B = p dla t t f Uwzgl dniaj c,»e d i e At /dt i t= = ( ) i A i, uzyskujemy równo± v T A i B = p, i, z której wynika,»e v T M c = n p, to jednak pozostaje w sprzeczno±ci z przyj tym zaªo»eniem o peªnym wierszowym rz dzie macierzy sterowalno±ci Przykªad 8 Poka»,»e dla dowolnej pary (A, B) R n n R n p nast puj ce zdania s równowa»ne a) Macierz sterowalno±ci M c R n n p zdeniowana wzorem () jest macierz o peªnym wierszowym rz dzie, rank M c = n b) Macierz A λi n B posiada peªny wierszowy rz d λ R (w ogólno±ci λ C) c) Niech λ R oraz x R n (w ogólno±ci λ C oraz x C n ) oznaczaj, odpowiednio, dowoln warto± wªasn macierzy A, λ spectr A, oraz dowolny lewy wektor wªasny macierzy A, przyporz dkowany tej warto±ci wªasnej, x T A = λx T, wtedy x T B p Rozwi zanie Rozumowanie opieramy na metodzie dowodzenia niewprost a b) Przyjmijmy zatem,»e macierz A λi n B dla pewnego λ R nie posiada peªnego wierszowego rz du Istnieje wtedy taki wektor n

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 7 v R n,»e x T A λi n B = (n+p) Mamy zatem: x T A = λx T oraz x T B = p Na tej podstawie otrzymujemy równo± x T M c = x T B λx T B λ n x T B = (n p) co przeczy zaªo»eniu o peªnym kolumnowym rz dzie macierzy sterowalno±ci b c) Kªad c x T B = p, wobec x T A = λx T, stwierdzamy,»e x T A λi n B = (n+p), co przeczy zªo»eniu o peªnym wierszowym rz dzie macierzy A λi n B, λ R c a) Niech rank M c = n c < n Istnieje wtedy taka podobna para (Â, ˆB) R n n R n p,»e  = Q c AQ c =   2 n c n c  22 oraz ˆB = Q c B = ˆB n c p gdzie Q c R n n jest odpowiedni macierz podobie«stawa, za± n c = n n c (zob przykªad 2) Oznaczmy przez λ R oraz ˆx R n c, odpowiednio, dowoln warto± wªasn podmacierzy Â22 R n c n c oraz dowolny lewy wektor wªasny tej podmacierzy, przyporz dkowany warto±ci wªasnej λ, ˆx T  22 = λˆx T Wektor x R n zdeniowany jako nc x = ˆx jest lewym wektorem wªasnym macierzy Â, przyporz dkowanym warto±ci wªasnej λ tej macierzy Mamy bowiem Wobec x T  = nc ˆx T   2 n c n c  22 x T ˆB = nc ˆx T ˆB n c p wnioskujemy,»e wektor x R n, zdeniowany jako x = Q T c x = nc λˆx T = λx T = p jest lewym wektorem wªasnym macierzy A, skojarzonym z warto±ci wªasn λ tej macierzy (widmo macierzy jest niezmiennikiem relacji podobie«stwa), dla którego obowi zuje równo± x T B = p Otrzymali±my wi c sprzeczno±, co ko«czy dowód

8 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) Przykªad 9 Dana jest para macierzy (A, B), przy czym A R n n oraz B R n p Poka»,»e przestrze«im M c = n i= Im Ai B R n, gdzie M c R n n p oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, B), jest przestrzeni A-niezmiennicz, a zatem v Im M c zachodzi Av Im M c Rozwi zanie Niech v Im M c, v R n Istnieje przeto taki wektor w R n p,»e v = M c w Mamy zatem Av = AM c w = n i= Ai Bw i, gdzie w = w T wn T T oraz w i R p, i {,, n} Z twierdzenia Cayleya- Hamiltona wynika,»e A n = n i= a ia i, gdzie n i= a iλ i = ϕ A (λ) = det(λi n A), a n = Na tej podstawie otrzymujemy n Av = a Bw n + A i B(w i a i w n ) = M c i= Co oznacza,»e Av Im M c a w n w a w n w n a n w n Przykªad Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p Przestrze«P c R n, tak»e x() P c oraz < t f < istnieje sterowanie u :, t f R p, przy którym x(t f ) = n, nazywamy (caªkowicie) sterowaln podprzestrzeni przestrzeni stanu obiektu opisanego par (A, B) Poka»,»e warunkiem koniecznym dla x() P c jest istnienie takiego sterowania u :, t f R p, które speªnia nast puj ce równanie tf e Aτ Bu(τ)dτ = x() Rozwi zanie Niech u(t), t t f, b dzie poszukiwanym sterowaniem Zachodzi wówczas e At f x() + t f ea(t f τ) Bu(τ)dτ = n Mno» c t równo± obustronnie przez e At f otrzymujemy dowodzon formuª Nietrudno tak»e wykaza,»e P c jest przestrzeni Zadanie Analizuj c rz d macierzy sterowalno±ci, zbadaj sterowalno± obiektu opisanego równaniem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), w którym: a) A = 2 b) A = 2, B =, B = 2 4 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 9 c) A = d) A = e) A = f) A = g) A = h) A = 3 2 4 7 3 4 2 2, B =, B =, B = 2 3 2 2 2 3 2 2, B = 4 5 2 2 2 4 3, B =, B = 4 2 3 Odpowied¹ W przypadkach a, c, d, e oraz h macierz sterowalno±ci, wyznaczona dla odpowiedniej pary macierzy (A, B), ma peªny wierszowy rz d, co oznacza, i» stosowny obiekt jest caªkowicie sterowalny W pozosta- ªych przypadkach dany obiekt jest niesterowalny Zadanie 2 Dana jest para macierzy (A, B), w której macierz A posiada jednokrotne warto±ci wªasne Przeksztaªcaj c t par w par podobn (M AM, M B), gdzie M jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, sprawd¹ caªkowit sterowalno± pary (A, B) Zbadaj przypadki: a) 2 A = 4 2 6 b) A = 2, B =, B = 2

2 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) c) A = d) A = 3 3 6 5 3 2 2 2 4 2, B =, B = 3 2 2 Odpowied¹ adna z rozwa»anych par nie jest caªkowicie sterowalna, ponadto w przypadku b para (A, B) nie jest jest stabilizowalna Przykªadowe macierze diagonalizuj ce maj posta : a) M = c) M = 2, b) M =, d) M = 2 2 2 Zadanie 3 Dana jest para macierzy (A, B), przy czym macierz A posiada wielokrotne warto±ci wªasne Przeksztaªcaj c (A, B) w par podobn (P AP, P B), w której P AP jest dowoln postaci Jordana macierzy A, sprawd¹ caªkowit sterowalno± pary (A, B) Rozwa» przypadki: a) 8/3 4/3 2 A =, B = /3 4/3 3 3 3 2 b) A = 5 7 5, B = 7 2 2 2 6 4 c) A = d) A = 5 3 9 2 85 2 4 95 5 9 2 9 3 6 7 3 2 2 8 6, B =, B = 3 2 2 2 Odpowied¹ Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna jedynie w przypadku c Ni»ej podano przykªadowe macierze podobie«stwa oraz odpowied-

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 2 nie postacie Jordana macierzy A: a) 2/3 /3 2 P =, J = /3 /3 2 3 3 2 b) P = 3 5 2, J = 2 2 2 c) P = d) P = 3/2 3/2 /2 3/2 5/2 /2 /2 2 3 4 3 6 4 2, J =, J = /2 /2 /2 2 Zadanie 4 Udowodnij,»e sterowalno± (niesterowalno± ) jest niezmiennikiem relacji podobie«stwa, ª cz cej odpowiednie pary macierzy Odpowied¹ Dla par podobnych (A, B) R n n R n p oraz (Â, ˆB) R n n R n p, gdzie  = T AT oraz ˆB = T B za± T R n n oznacza macierz podobienstawa, wystarczy pokaza,»e dla odpowiednich macierzy sterowalno±ci zachodzi ˆMc = T M c Podobny wniosek ªatwo jest wyprowadzi dla cechy obserwowalno±ci w klasie równowa»no±ci par macierzy podobnych Zadanie 4 Analizuj c rz d macierzy obserwowalno±ci, zbadaj obserwowalno± pary (A, C): 2 a) A = 2 b) A = c) A = d) A =, C =, C = 7 4 3 2 2 7 7 6 5 2 24 9, C = 2, C =

22 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) e) A = f) A = g) A = h) A = 2 2 4 5 2 2 4 5, C = 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 4, C =, C =, C = Odpowied¹ W przypadkach a, c, f oraz g macierz obserwowalno±ci, wyznaczona dla pary macierzy (A, C), posiada peªny kolumnowy rz d, co oznacza, i» odpowiedni obiekt jest caªkowicie obserwowalny W pozostaªych przypadkach obiekt nie jest caªkowicie obserwowalny Zadanie 5 Dana jest para macierzy (A, C), przy czym macierz A ma tylko jednokrotne warto±ci wªasne Transformuj c t par w par podobn (M AM, CM), zbadaj caªkowit obserwowalno± pary (A, C) Rozwa» nast puj ce przypadki: a) 5 A = 3 4 2 b) A = 2 c) A = d) A =, C = 7 3 6 5 3 8 2 8 6 2, C =, C =, C = 2 2 3 3 8 5 4 2

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 23 Odpowied¹ Para (A, C) jest par caªkowicie obserwowaln tylko w przypadku b, ponadto w przypadku c para ta nie jest wykrywalna Przykªadowe macierze diagonalizuj ce M maj posta : a) M = c) M = 3 2 b) M = d) M = 4 4 8 4 Zadanie 6 Dana jest para macierzy (A, C), w której macierz A posiada wielokrotne warto±ci wªasne Przeksztaªcaj c (A, C) w par podobn (P AP, CP ), w której P AP jest dowoln postaci Jordana macierzy A, sprawd¹ czy caªkowit obserwowalno± pary (A, C) Rozwa» nast puj ce przypadki: a) /6 /3 A = 4/3 5/3 2 5 2 b) A = 3 2 3 5 3 c) A =, C = 2, C = 25 25 25 5 25 75 375 25 3 3 3 5 2, C = 6 4 5 8 3 Odpowied¹ Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna w jedynie w przypadku a Ni»ej podano przykªadowe macierze podobie«stwa oraz odpowiednie postacie Jordana macierzy A: a) /3 /3 /2 P =, J = 2/3 /3 /2 5 b) P = 2 3, J = 5 3 6 5 /2 /2 /2 /2 c) P = /2 3/2, J = /4 /2 3/2 3 /4

24 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) Zadanie 7 Model (A, b, c T )w przestrzeni stanu pewnego ukªadu dynamicznego skªada si z elementów: A = λ λ λ λ 2, b = α, c = Podaj warunki sterowalno±ci oraz obserwowalno±ci tego ukªadu β, α, β, λ, λ 2 R Odpowied¹ Gdy λ λ 2 mod e λ t jest niesterowalny dla α =, za± mod e λ 2t jest nieobserwowalny przy β = W przypadku, gdy λ = λ 2 ukªad nie jest ani sterowalny ani obserwowalny α, β Zadanie 8 ma posta Operatorowa transmitancja pewnego obiektu dynamicznego G(s) = + 2s 5s + s 2 a) Podaj kanoniczn form sterowaln modelu w przestrzeni stanów tego obiektu Czy jest to realizacja minimalna? Co mo»esz powiedzie o jej obserwowalno±ci? b) Podaj kanoniczn form obserwowaln modelu w przestrzeni stanów tego obiektu Czy jest to realizacja minimalna? Co mo»esz powiedzie o jej sterowalno±ci? Odpowied¹ a) Kanoniczna forma sterowalna stanowego modelu rozwa»anego obiektu ma posta : A c = 5, b c =, c c = 2 Model ten nie jest minimaln realizacj transmitancji G(s) Para (A c, c T c ) nie jest caªkowicie obserwowalna b) Kanoniczna forma obserwowalna dana jest wzorem: A o = 5, b o = 2, c o = Realizacja ta nie jest realizacj minimaln : para (A o, b o ) nie jest par caªkowicie sterowaln

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 25 Zadanie 9 Dane s modele ukªadów dynamicznych jak na rys Z uwagi na wyst puj ce skre±lenia w parach zero-biegun odpowiednich transmitancji, ukªady te nie mog by równocze±nie sterowalne i obserwowalne Deniuj c zmienne stanu w pokazany na rysunku sposób, okre±l, który tych ukªadów jest sterowalny, a który obserwowalny Wska» niesterowalne oraz nieobserwowalne zmienne stanu Rys Zadanie 9: schematy strukturalne ukªadów dynamicznych o kaskadowej strukturze Odpowied¹ Ukªad pokazany na rys a jest sterowalny i nieobserwowalny, zmienna x (t) jest nieobserwowalna; ukªad z rys b jest obserwowalny i niesterowalny, zmienna x (t) jest niesterowalna Zadanie Na rys 2 pokazano model pewnego ukªadu dynamicznego Zachodzi przy tym k k 2 oraz γ γ 2 Deniuj c zmienne stanu x (t) oraz x 2 (t) jak na rysunku, podaj model w przestrzeni stanu tego ukªadu oraz okre±l warunek, przy którym ukªad ten b dzie caªkowicie sterowalny i obserwowalny Rys 2 Zadanie : schemat strukturalny ukªadu dynamicznego o równolegªej strukturze

26 ROZDZIAŠ STEROWALNO I OBSERWOWALNO (PJS) Odpowied¹ ẋ (t) ẋ 2 (t) Rozwa»any ukªad opisany jest równaniami: α x (t) k = + α 2 x 2 (t) k 2 y(t) = γ γ 2 x (t) x 2 (t) u(t) Ukªad ten jest caªkowicie sterowalny i obserwowalny, z wyª czeniem przypadku, gdy α = α 2 Zadanie Dana jest para macierzy (A, C), przy czym A R n n oraz C R q n Poka»,»e przestrze«ker M o = n i= Ker CAi R n, gdzie M o R n n q jest macierz obserwowalno±ci pary (A, C), jest przestrzeni A-niezmiennicz : co oznacza,»e v Ker M o zachodzi Av Ker M o Odpowied¹ Zadanie rozwi zuje si w sposób analogiczny do przedstawionego w przykªadzie 8 Zadanie 2 Dany jest model obiektu dynamicznego: ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), gdzie A R n n oraz C R q n Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli znajomo± funkcji y :, t f R q (wyj±cia obiektu) dla dowolnego czasu obserwacji < t f < pozwala na jednoznaczne okre±lenie stanu pocz tkowego x(), x() R n Poka»,»e nast puj ce zdania s równowa»ne: a) Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna b) Macierz W o (t) R n n dana wzorem W o (t) = t e AT τ C T Ce Aτ dτ jest dodatnio okre±lona t > : Wo (t) > c) Macierz obserwowalno±ci M o = C T A T C T (A n ) T C T T, M o R n q n ma peªny kolumnowy rz d rank M o = n, a zatem Ker M o = { n } Odpowied¹ Zadanie rozwi zuje si w sposób podobny do przedstawionego w przykªadzie 7 oraz przykªadzie 8

ANALIZA STEROWALNO CI I OBSERWOWALNO CI 27 Zadanie 3 Poka»,»e dla dowolnej pary (A, B) R n n R n p nast puj ce zdania s równowa»ne a) Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna b) Macierz W c (t) R n n dana wzorem W c (t) = t e Aτ BB T e AT τ dτ jest dodatnio okre±lona t >, W c (t) > c) Macierz sterowalno±ci M c R n n p zdeniowana wzorem () posiada peªny wierszowy rz d, rank M c = n Odpowied¹ Skorzystaj z poni»szych wskazówek a b) (dowód niewprost) Niech para (A, B) b dzie caªkowicie sterowalna, za± macierz W c (t f ) b dzie osobliwa dla pewnego t f > Wystarczy pokaza,»e istnieje taki wektor n v R n,»e v T e At B = p dla t t f, a nast pnie rozpatrzy rozwi zanie równania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) dla warunków pocz tkowych x() = e At f v b a) Rozwa» sterowanie u :, t f R p dane wzorem u(t) = B T e AT (t f t) Wc (t f )e At f x() zastosowane w systemie o modelu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() R n b c) Dowód tej równowa»no±ci przebiega w sposób analogiczny do rozumowania przedstawionego w przykªadzie 7