Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (IIIeR) I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności x, x, ) x, x xx 5x x xx x x xx x x x x 5 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np x, xxx I II III x, x x x x, x x x Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający poprawnie rozwiąże wszystkie trzy nierówności i poprawnie wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, a w trzecim przypadku popełni błąd i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca
Egzamin maturalny z matematyki poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź: x, lub x Zdający może włączyć liczby i do wszystkich ograniczonych tymi liczbami przedziałów Jeżeli natomiast nie włączy tych liczb do żadnego rozważanego przedziału (rozważy wszystkie przedziały otwarte), to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) x 0 x 0 x 0 Zapisujemy cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x niemożliwe x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x 5 x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności są x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x 0 x 0 x 0 x 0 Zdający zapisze cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 Jeżeli zdający błędnie zapisze którykolwiek z czterech przypadków, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów
Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze cztery układy nierówności: x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający poprawnie rozwiąże co najmniej trzy układy nierówności Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie III sposób rozwiązania (graficznie) Rysujemy wykres funkcji f x x x i prostą o równaniu y x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x, f x xx I II III x, f x x x x, f x x x Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci x, f x x I II x f x III, x, f x x lub x dla x, f x dla x,) x dla x, f xax b:
Egzamin maturalny z matematyki 5 Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y x : y 9 8 7 5-9 -8-7 - -5 - - - - 5 7 8 9 - - - - -5 - -7-8 -9 x Odczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresu funkcji f i prostej o równaniu yx : x Podajemy argumenty, dla których f x x : x, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały:,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający poprawnie zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np x, f x x lub I II x f x III, x, f x x x dla x, f x dla x,) x dla x,
Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y x Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze przedział: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie IV sposób rozwiązania Rysujemy wykres funkcji f x x xx, postępując np w opisany poniżej sposób Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x, f x xxx I II III x, f x x x x x, f x x xx Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci x, f x 5x I II III x, f x x x, f x x lub 5x dla x, f xx dla x,) x dla x, Rysujemy wykres funkcji f : y 9 8 7 5-9 -8-7 - -5 - - - - 5 7 8 9 - - - - -5 - -7-8 -9 f xax b: x
Egzamin maturalny z matematyki 7 Odczytujemy wszystkie argumenty, dla których f x 0, czyli: x lub zapisujemy: zbiorem rozwiązań nierówności jest, Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały:,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np x,,to f x 5x I Jeśli II Jeśli III Jeśli x,, to f x x x,, to f x x I Jeśli x, to f x5x II Jeśli x f x x III Jeśli x, to f xx 5x dla x, f xx dla x,) x dla x,, to Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze przedział: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie
8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie twierdzenia o równości wielomianów (IVaR) Rozwiązanie (porównanie współczynników wielomianu) Wielomian W zapisujemy w postaci kwadratu wielomianu P: Wx x cx d Przekształcamy ten wielomian i porządkujemy jego wyrazy: W x x cxd x cxd x cx dx cx c x cdxdx cdxd x cx d c x cdxd Porównujemy współczynniki wielomianu W i zapisujemy układ równań: c a d c b Stąd cd d 9 c a c d d c b c a lub c d d c b i następnie c d a 8 b lub c d a 8 b 0 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie wielomianu W w postaci kwadratu wielomianu P: Wx x cx d Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wielomianu W w postaci uporządkowanej, np: W x x cx d c x cdx d Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt c a d c b Zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie a oraz b, np: cd d 9 Rozwiązanie pełne pkt a 8 a 8 Obliczenie a oraz b: lub b b 0
Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie (0-5) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IVeR) I sposób rozwiązania Z równania cos sin wyznaczamy jedną z funkcji trygonometrycznych w zależności od drugiej, np cos sin Stąd i z jedynki trygonometrycznej mamy sin sin 8 7 sin sin 0 9 Otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą sin ma dwa rozwiązania: sin lub sin Gdy sin, to cos Natomiast gdy sin, to cos W każdym z tych przypadków wartość wyrażenia cos sin jest taka sama i równa Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania, w którym występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna kąta : sin sin cos cos wyznaczenie z równania cos sin jednej z funkcji w zależności od drugiej i zapisanie wyrażenia cos sin w zależności od tej funkcji: cos sin sin cos sin cos Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą w postaci uporządkowanej: 8 7 8 7 sin sin 0 cos cos 0 9 9
0 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wartości sin cos : sin lub sin cos lub cos Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt Obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej kąta : cos lub cos sin lub sin zapisanie wyrażenia cos sin w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej: cos sin sin cos sin cos Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie wartości wyrażenia: cos sin II sposób rozwiązania Podnosząc obie strony równania cos cossin sin 9 7 sin cos, więc cos sin 9 Zatem wartość wyrażenia cos sin jest równa cos sin do kwadratu dostajemy 7 cossin cossin cos cossin sin cossin 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 zapisanie wyrażenia cos w postaci cos sin sin Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 oraz zapisanie wyrażenia cos w postaci cos sin sin
Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 oraz zapisanie wyrażenia cos sin w postaci cos sin Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie wartości wyrażenia: cos sin Zadanie (0-5) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, Przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) I sposób rozwiązania (wzory Viète a) Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność 0 Zapisujemy układ warunków: 0 xx Wyznaczamy : m m 9 m m 8m 8 m m m Rozwiązujemy nierówność 0 Wariant I Równanie x x : m 0, czyli m 0 Stąd m zapisujemy najpierw w postaci równoważnej a dalej 9 x x xx 9 Stosując wzory Viète a zapisujemy równanie w postaci x x x x, czyli m m 9 Stąd m m 8 m m5 0 57 5 7 m lub m 8 8 Wariant II Zapisujemy wyrażenie x x w postaci równoważnej i przekształcamy: x x x x x x x x x x x x x, x 9
Egzamin maturalny z matematyki Stąd, stosując wzory Viète a, otrzymujemy: b c b c b ac xx a a a a a a m Równanie xx jest zatem równoważne równaniu m 7 Stąd m i następnie m lub m, czyli m lub Obie otrzymane wartości m są różne od 5 m Odpowiedź: 5 m lub 7 m II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki) Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność 0 Wyznaczamy : m m 9 m m 8m 8 m m m Warunek 0 zachodzi, gdy m 0, co ma miejsce, gdy m 0, czyli dla m m, zatem m m m Stąd x, x m m Warunek xx możemy zapisać w postaci x x lub x x Obliczamy: m m m m m m xx Zatem alternatywę x x lub xx możemy zapisać w postaci Ponieważ m m lub Pierwsze z otrzymanych równań jest sprzeczne, wystarczy więc rozwiązać drugie: m, stąd m 7 5 Zatem m lub m, czyli m lub m Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części Część a) polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie rozwiązujemy nierówność m 0: m Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozpatrzy warunek 0, wówczas za tę część otrzymuje 0 punktów
Egzamin maturalny z matematyki Część b) polega na rozwiązaniu równania x x : Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty 5 m lub 7 m Część c) polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązania nierówności z a) i rozwiązania równania z b) Za poprawne rozwiązanie części c) zdający otrzymuje punkt W ramach części b) rozwiązania wyróżniamy następujące etapy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania x x zapisanie równości x x x x w postaci równoważnej x x 9 m m obliczenie x i x : x, x m m oraz zapisanie równania x x w postaci alternatywy x x lub x x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie równania x x 9 do postaci m m5 0 zapisanie równania x x w postaci m m doprowadzenie równań x x i x x do postaci m i Rozwiązanie pełne części b) pkt 5 7 Rozwiązanie równania m m5 0: m lub m rozwiązanie równania m 5 7 : m lub m m m rozwiązanie alternatywy równań: lub : 7 5 m lub m Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i równania, to otrzymuje punkty
Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania (rozkład na czynniki) Równanie x ( m) x m 0 doprowadzamy do postaci iloczynowej kolejno otrzymując: x xmxm 0 x xxmxm 0 x x x m x 0 xxm 0 Zatem dla każdej wartości parametru m równanie ma pierwiastki: x, x m Warunek x x ma zatem postać m, czyli m Stąd m lub m i ostatecznie m lub m Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np: x xxmxm 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x xm 0 Zapisanie równania w postaci iloczynowej: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie x i x : x, x m Rozwiązanie pełne 5 pkt Rozwiązanie równania x x : m lub m Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Zadanie 5 (0-5) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV5c) Rozwiązanie Szukamy odpowiedzi na pytanie: dla jakiej największej wartości n suma S n początkowych kolejnych n wyrazów tego ciągu spełnia nierówność Sn 0 Suma n początkowych wyrazów ciągu a wyraża się wzorem więc otrzymujemy nierówność n n n 0 Sn n, a n r
Egzamin maturalny z matematyki 5 Stąd n 7 n 0 i następnie n 7n0 0 Miejscami zerowymi trójmianu n 7n 0 są liczby 7 87 7 87 n oraz n Zatem szukane n jest największą liczbą całkowitą dodatnią z przedziału n, n 7 9,8 Przybliżona wartość n 7,8, więc szukaną wartością jest n 7 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą: n n 5 n n 0 lub n 0 lub n 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej: n 7n0 0 lub n 7n0 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie nierówności n 7n0 0 lub równania n 7n0 0 : 7 87 7 87 n, 7 87 7 87 lub n, n Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego, 7 87 a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby n i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi (o ile liczba n ) n błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności n 0 n 5 lub n 0 (lub równania) i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi (o ile trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki, a liczba n jest całkowita dodatnia) Rozwiązanie pełne 5 pkt Zapisanie, że największą liczbą n dla której a a a n 0 jest n 7 Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba n 7 spełnia podaną nierówność, oraz sprawdzi, że liczba n 8 nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje 5 punktów
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (Vb) Rozwiązanie Obie strony nierówności są dodatnie, więc po podniesieniu obu stron nierówności do potęgi drugiej otrzymujemy nierówność równoważną ac bd a b c d Po otwarciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność abcd a d b c, a następnie a d abcd b c 0, czyli ad bc 0 Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b, c, d, co kończy dowód Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy przekształci nierówność do postaci równoważnejac bd a b c d i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy doprowadzi nierówność do postaci abcd a d b c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 7 (0-) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV8bR) I sposób rozwiązania,, r Obliczamy współrzędne środka okręgu i długość promienia okręgu: S Zapisujemy równanie okręgu: x y Okrąg jest styczny do prostej l w punkcie C, a równanie okręgu x y a, a, a, więc współrzędne tego punktu spełniają Stąd a lub a a nie spełnia warunku zadania, więc C, Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej CS: m Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do prostej CS i przechodzącej przez punkt C
Egzamin maturalny z matematyki 7 l: y xb xb b b A zatem prosta l: y x II sposób rozwiązania Podobnie, jak w I sposobie rozwiązania, znajdujemy współrzędne punktu C: C, Następnie obliczamy współrzędne wektora CS, Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do wektora CS i przechodzącej przez punkt C l: x y 0, czyli l: x y 0 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania okręgu: x y Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie współrzędnych punktu C : C, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej CS: m lub obliczenie współrzędnych wektora CS, Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie równania prostej l i zapisanie go w postaci kierunkowej y x lub ogólnej x y 0 : Jeżeli zdający nie odrzuci a i rozwiąże zadanie do końca podając równania dwóch prostych, to otrzymuje punkty
8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0-5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii (III7dR) Rozwiązanie C 5 D 7 A B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAD mamy BD AD AB 7 5 5 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCD mamy BC BD CD 5 5 5 5 00 0 PABCD PABD PBCD 7 50 Wariant I Ponieważ BD jest wspólną przeciwprostokątną trójkątów prostokątnych ABD i BCD, więc na czworokącie ABCD można opisać okrąg, którego średnicą jest BD W okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też wpisany trójkąt ABC Z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta wynika, że AC BD sin ABC, stąd AC BD sin ABC 5sin ABD DBC Stąd i ze wzoru na sinus sumy kątów mamy 7 0 5 AC 5sin ABD cos DBC cos ABD sin DBC 5 0 5 5 5 5 Wariant II Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC: AC AB BC AB BC cos ABC cos ABC cos ABD DBC cos ABD cos DBC sin ABD sin DBC 0 7 5 75 5 5 5 5 55 5 Stąd AC 0 0 57 00 57 00, czyli AC 0 5
Egzamin maturalny z matematyki 9 Wariant III Korzystamy z twierdzenia Ptolemeusza: AC BD AB CD BC AD czyli AC 5 5 07 500 Stąd AC 0 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie długości przekątnej BD: BD 5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości boku BC oraz pola czworokąta: PABCD PABD PBCD Jeżeli zdający obliczy pole czworokąta ABCD popełniając błędy rachunkowe i na tym poprzestanie lub dalej błędnie rozwiązuje zadanie, to otrzymuje punkt Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zauważenie, że przekątna BD jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie ABCD (czyli również na trójkącie ABC) i zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia AC przekątnej AC: BD sin ABC zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia przekątnej AC: AC AB BC AB BC cos ABC zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza do obliczenia przekątnej AC: AC BD AB CD BC AD Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Obliczenie długości przekątnej AC z błędem rachunkowym Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie długości przekątnej AC: AC 0 Zadanie 9 (0-) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) I sposób rozwiązania (konsekwencje reguły dodawania) Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Oznaczamy przez A k zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez k Mamy obliczyć A A5 A A5 A A5 A A5 A A5 A 0 Teraz wystarczy obliczyć, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez, następnie podzielnych przez 5 i następnie przez 0
0 Egzamin maturalny z matematyki Kolejne 900 liczb całkowitych można podzielić na 50 pełnych szóstek (czyli kolejnych sześć liczb całkowitych) W każdej takiej szóstce jest dokładnie jedna liczba podzielna przez Wynika stąd, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez jest dokładnie 50 Rozumując analogicznie stwierdzamy, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 5 jest 0, a trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 0 jest 0 Stąd A A5 A A5 A0 50 0 0 80 Liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 II sposób rozwiązania (diagram Venna) Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Oznaczamy przez A k zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez k Rysujemy diagram Venna dla A i A 5 Wpisujemy liczby elementów poszczególnych parami rozłącznych zbiorów zaczynając od AA5 A0 0, a następnie korzystając z faktów, że A 50 i A5 0 wpisujemy liczby w pozostałe zbiory i zapisujemy odpowiedź: liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 III sposób rozwiązania Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Stwierdzamy, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez jest 50, liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest 0 oraz, że dodając te liczby policzyliśmy liczby podzielne przez 0 dwa razy Stąd wynika, że liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy stosuje poprawną metodę rozwiązania zadania i popełnia błędy w obliczeniu A lub A 5 Zdający otrzymuje pkt gdy stosując poprawną metodę rozwiązania zadania obliczy A oraz A 5 i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy A 0 Zdający otrzymuje pkt gdy rozwiąże zadanie bezbłędnie Zadanie 0 (0-) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV8e, k) Rozwiązanie Każdy punkt P należący do prostej y 8x 0 Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej sumę AP ma współrzędne,8 0 BP : 8 8, stąd f x x x x x x x f x 0x 0x 0
Egzamin maturalny z matematyki Ponieważ parabola, będąca wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej f, ma ramiona skierowane do góry, to współrzędna x szukanego punktu P jest równa xw tej paraboli 0 x w 0 Szukany punkt P należy do prostej y 8x 0 P,, więc Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt P x,8x 0 Zapisanie za pomocą niewiadomej x współrzędnych punktu P: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt f x 0x 0x 0 Wyznaczenie wzoru funkcji f: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie x, dla którego funkcja f x 0x 0x 0 przyjmuje wartość najmniejszą: x Rozwiązanie pełne pkt Podanie współrzędnych punktu P, dla którego suma wartość: P, AP BP przyjmuje najmniejszą Zadanie (5 pkt) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) Rozwiązanie S h C A D O Obliczamy pole trójkąta ABC Oznaczmy wysokość trójkąta ABC opuszczoną na podstawę AB przez Pitagorasa: hab BC AB 9 5 B h AB Wtedy z tw
Egzamin maturalny z matematyki PABC AB CD 0 50 Z równości wysokości ścian bocznych ostrosłupa wynika, że punkt O spodek wysokości tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny ABC PABC Obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC ze wzoru r, gdzie p jest p 50 połową obwodu trójkąta ABC: r, czyli r 0 5 Oznaczmy wysokość DS ściany bocznej ABS tego ostrosłupa przez h Następnie obliczamy wysokość H OS ostrosłupa ABCS: H h r 0 oraz jego objętość V: V 50 0 Aby obliczyć pole trójkąta ABC, możemy także skorzystać ze wzoru Herona: P 555 5 50 ABC Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Obliczenie pola P trójkąta ABC: PABC 50 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie promienia r okręgu wpisanego w trójkąt ABC: r 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wysokości H ostrosłupa ABCS: H Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości V ostrosłupa: V 0 Zadanie (0-) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V0cd) Rozwiązanie Zdarzenia A B, A B oraz A B są parami rozłączne i AB AB AB AB Stąd i z faktu, że P AB wynika, że PAB PABPABP AB czyli P A B 0,7 Uwagi: Zdający nie musi zapisywać, że AB A B AB AB Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna, co kończy dowód
Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt P AB AB AB Zdający zapisze, że zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze, że zdarzenia A B, A B, A B są parami rozłączne zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B oraz zapisze, np: PABP AB P AB P AB, skąd wynika, że zdarzenia A B, A B, A B są parami rozłączne Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są parami rozłączne, to otrzymuje punkty