Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy sobie wzajemne poªo»enie prostych i pªaszczyzn w przestrzeni. Dwie proste w przestrzeni s równolegªe, je±li zawieraj si w jednej pªaszczy¹nie i nie maj punktów wspólnych lub pokrywaj si. Dwie proste s sko±ne, je±li nie istnieje pªaszczyzna zawieraj ca obie proste. Proste k i l s prostopadªe w przestrzeni gdy prosta k jest prostopadªa do prostej k', równolegªej do l i przecinaj cej k. Proste równolegªe Proste przecinaj ce si Proste sko±ne Proste prostopadªe Wzajemne poªo»enie prostej i pªaszczyzny w przestrzeni Prosta jest równolegªa do pªaszczyzny, je»eli nie ma z ni punktów wspólnych lub le»y na niej. Je»eli prosta nie jest równolegªa do pªaszczyzny, wówczas prosta przecina pªaszczyzn w punkcie. Prosta jest prostopadªa do pªaszczyzny, je»eli jest prostopadªa do ka»dej prostej zawartej w tej pªaszczy¹nie. K t pomi dzy prost i pªaszczyzn Je±li prosta nie jest ani równolegªa ani prostopadªa do pªaszczyzny, to k tem nachylenia prostej do pªaszczyzny nazywamy k t ostry pomi dzy prost i jej rzutem prostok tnym na pªaszczyzn. Twierdzenie o 3 prostych prostopadªych Niech k b dzie prost, która nie jest równolegªa i nie jest prostopadªa do pªaszczyzny, a l prost zawieraj c si w pªaszczy¹nie i przechodz c przez punkt wspólny prostej k i pªaszczyzny. Prosta l jest prostopadªa do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy l jest prostopadªa do rzutu k prostej k na pªaszczyzn. Prosta prostopadªa do pªaszczyzny K t pomi dzy prost i pªaszczyzn 1
Prosta le» ca na pªaszczy¹nie prostopadªa do prostej przecinaj cej pªaszczyzn Pªaszczyzny w przestrzeni Pªaszczyzn w przestrzeni jednoznacznie wyznaczaj : 3 niewspóªliniowe punkty 2 przecinaj ce si proste Prosta i punkt poza ni 2 ró»ne proste równolegªe Pªaszczyzny nazywamy równolegªymi, je»eli nie maj punktów wspólnych lub pokrywaj si. Pªaszczyzny, które nie s równolegªe przecinaj si. Cz ±ci wspóln dwóch przecinaj cych si pªaszczyzn jest prosta. Dwie pªaszczyzny nazywamy prostopadªymi, je»eli istnieje taka prosta, która zawiera si w jednej z tych pªaszczyzn i jest prostopadªa do drugiej pªaszczyzny. Dwie pªaszczyzny przecinaj si wzdªu» prostej Pªaszczyzny prostopadªe K t dwu±cienny, k t liniowy K tem dwu±ciennym nazywamy zbiór zªo»ony z dwóch póªpªaszczyzn o wspólnej kraw dzi i jednej z dwóch gur wyci tych z przestrzeni przez sum tych póªpªaszczyzn. K tem liniowym k ta dwu±ciennego nazywamy k t pªaski otrzymany w wyniku przeci cia k ta dwu±ciennego pªaszczyzn prostopadª do jego kraw dzi. Miar k ta dwu±ciennego nazywamy miar jego k ta liniowego. Rzut równolegªy Je»eli mamy w przestrzeni dan pªaszczyzn zwan rzutni i prost k, która przecina pªaszczyzn π i której kierunek nazywamy kierunkiem rzutowania, wówczas rzutem równolegªym na pªaszczyzn dowolnego punktu A nazywamy punkt A przeci cia prostej przechodz cej przez punkt A, równolegªej do prostej k z pªaszczyzn π. Wªa±ciwo±ci rzutu równolegªego Rzut równolegªy nie zachowuje odlegªo±ci punktów (nie jest izometr ). Twierdzenie 2 Rzutem równolegªym odcinka równolegªego do rzutni jest odcinek równy i równolegªy do danego. Twierdzenie 3 Rzut równolegªy zachowuje uporz dkowanie punktów na prostej nierównolegªej do kierunku rzutowania. Twierdzenie 4 Rzut równolegªy zachowuje stosunki odcinków na prostej nierównolegªej do kierunku rzutowania. Twierdzenie 5 Rzut równolegªy zachowuje równolegªo± i stosunki odcinków do siebie równolegªych (ale nierównolegªych do kierunku rzutowania). Rzut prostok tny 2
Rzut prostok tny jest szczególnym przypadkiem rzutu równolegªego na prost, w którym kierunek rzutowania jest prostopadªy do rzutni. Odlegªo± punktu od pªaszczyzny Odlegªo± punktu od pªaszczyzny jest równa odlegªo±ci punktu od rzutu prostok tnego na pªaszczyzn. K t dwu±cienny Odlegªo± punktu od pªaszczyzny A - rzut prostok tny punktu A na pªaszczyzn. d = AA - odlegªo± punktu A od pªaszczyzny. Figury przestrzenne (bryªy) ograniczone i nieograniczone Figur nazywamy przestrzenn (bryª ), je»eli nie zawiera si w»adnej pªaszczy¹nie. Figur w przestrzeni nazywamy ograniczon, je»eli zawiera si w pewnej kuli. Figur w przestrzeni nazywamy nieograniczon, je»eli nie zawiera si w»adnej kuli. Wielo±cian. Bryª nazywamy wielo±cianem, je»eli jej brzeg jest sum sko«czonej liczby wielok tów, zwanych ±cianami wielo±cianu, przy czym: Je±li dwa wielok ty zawieraj si w jednej pªaszczy¹nie, to maj co najwy»ej jeden punkt wspólny, Boki ±cian wielo±cianu nazywamy kraw dziami, a wierzchoªki ±cian - wierzchoªkami wielo±cianu. :Twierdzenie Eulera Je±li wielo±cian wypukªy ma w wierzchoªków, k kraw dzi i s ±cian, to: w k + s = 2 Graniastosªup Graniastosªupem nazywamy wielo±cian, którego dwie ±ciany, zwana podstawami, s przystaj cymi wielok tami le» cymi w pªaszczyznach równolegªych, a pozostaªe ±ciany, zwane ±cianami bocznymi, s równolegªobokami, których wszystkie wierzchoªki s jednocze±nie wierzchoªkami podstaw. Graniastosªupy dzielimy na: proste kraw dzie boczne s prostopadªe do podstaw pochyªe kraw dzie boczne nie s prostopadªe do podstaw prawidªowe proste. o podstawach b d cych wielok tami foremnymi równolegªo±ciany podstaw jest równolegªobok, a przeciwlegªe ±ciany s równolegªe prostopadªo±ciany wszystkie ±ciany s prostok tami sze±ciany wszystkie ±ciany s kwadratami Wysoko± graniastosªupa jest to odlegªo± mi dzy podstawami. Przek tna graniastosªupa jest to odcinek ª cz cy dwa wierzchoªki nie le» ce na jednej ±cianie. Ostrosªup. Ostrosªupem nazywamy wielo±cian, którego podstawa jest dowolnym wielok tem, a ±ciany boczne s trójk tami o wspólnym wierzchoªku S, który nazywamy wierzchoªkiem ostrosªupa. Wysoko± ostrosªupa to odlegªo± wierzchoªka od podstawy. Ostrosªupy dzielimy na: proste na podstawie których mo»na opisa okr g, a punkt w którym wysoko± styka si z podstaw, jest jednocze±nie ±rodkiem tego okr gu 3
czworo±ciany o podstawie trójk ta prawidªowe kraw dzie boczne s równej dªugo±ci a podstaw jest wielok t foremny K ty w graniastosªupach i ostrosªupach K t nachylenia ±ciany bocznej do podstawy to k t pomi dzy pªaszczyzn zawieraj c ±cian boczn a pªaszczyzn podstawy. K t nachylenia kraw dzi ±ciany bocznej do podstawy to k t pomi dzy t kraw dzi i podstaw. K t nachylenia ±cian bocznych to k t pomi dzy pªaszczyznami tych ±cian. Wielo±cian foremny Wielo±cianem foremnym (bryª plato«sk ) nazywamy wielo±cian wypukªy, którego ±ciany s przystaj cymi wielok tami foremnymi. Od czasów Platona wiadomo,»e istnieje dokªadnie 5 wielo±cianów foremnych: Bryªy obrotowe S to bryªy ograniczone powierzchni powstaª z obrotu gury pªaskiej dookoªa prostej (osi obrotu). Najwa»niejsze bryªy obrotowe to: Walec Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu prostok ta wokóª jednej z kraw dzi Pole powierzchni bocznej walca: P b = 2πrh Pole powierzchni caªkowitej walca: Obj to± walca: gdzie r promie«podstawy, h wysoko± walca Sto»ek P c = 2πr(r + h) V = πr 2 h 4
Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu trójk ta prostok tnego wokóª przyprostok tnej Pole powierzchni bocznej sto»ka: P b = πrl Pole powierzchni caªkowitej sto»ka: Obj to± sto»ka: P c = πr(r + l) V = 1 3 πr2 h gdzie r promie«podstawy sto»ka h wysoko± sto»ka l tworz ca sto»ka Kula Jest to bryªa powstaªa w wyniku obrotu koªa wokóª jego ±rednicy Pole powierzchni kuli: P = 4πr 2 Obj to± kuli: V = 4 3 πr3 r promie«kuli 5