Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Podobne dokumenty
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

LISTA ZADAŃ Z MECHANIKI OGÓLNEJ

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory

e) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10.

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

1 Definicja całki oznaczonej

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych - Mechanika Stosowana. y P 1. Śr 1 (x 1,y 1 ) P 2

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Sprawdzian całoroczny kl. III

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna

dr inż. Zbigniew Szklarski

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Zastosowania całki oznaczonej

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe

Iloczyn skalarny

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

dr inż. Zbigniew Szklarski

Podstawowe pojęcia geometryczne

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Zadania do rozdziału 7.

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

2.2. ZGINANIE UKOŚNE

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Morfologia kryształów

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu kulistym

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

UZUPEŁNIENIA MATEMATYCZNE

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

Spis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

KINEMATYKA. 7. Ruch punktu we współrzędnych kartezjańskich

Lista działów i tematów

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

Tydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Pierwiastek z liczby zespolonej

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów poprzecznych pręta

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Transkrypt:

Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl rozwżnej figur przjmiem dw współśrodkowe ukłd współrzędnch orz Ob ukłd są ukłdmi centrlnmi Ukłd jest pondto ukłdem osi głównch poniewż osie i są osimi smetrii figur Nleż oczwiście ustlić, któr z osi ukłdu jest osią mksmlnego momentu bezwłdności, któr osią minimlnego momentu bezwłdności 5 5 5 5

W celu wznczeni momentu bezwłdności względem osi dokonm podziłu rozptrwnej figur n figur skłdowe c 5 c c V c 5 5 5 Moment bezwłdności rozptrwnej figur względem osi policzm jko podwojoną sumę momentów bezwłdności względem osi figur skłdowch (figur,, i V) Moment bezwłdności figur względem osi m tką smą wrtość W przpdku figur V nleż zstosowć twierdzenie Steiner Pole powierzchni figur i V wnosi V A A V + + + 8 ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + Dewicjn moment rozptrwnej figur w ukłdzie policzm jko podwojoną sumę momentów dewicjnch figur skłdowch (figur,, i V) W przpdku figur i V nleż zstosowć twierdzenie Steiner Moment dewicjne tch dwóch figur w ukłdzie mją te sme wrtości, możn więc w obliczenich uwzględnić to, licząc podwojoną wrtość momentu dewicjnego np dl figur V ( + + + ) ( + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + 7 57 Główn oś bezwłdności, względem której moment bezwłdności m wrtość

m tworz z osią kąt ϕ, ntomist główn oś bezwłdności, względem której moment bezwłdności m wrtość min tworz z osią kąt ϕ Poniewż, < 0 to ϕ, ntomist ϕ Moment bezwłdności względem głównch centrlnch osi bezwłdności osiągją wrtości ekstremlne: + m + + + 8 + 57 + min + 8 57 5 05 90 - kierunek mksmlnego momentu bezwłdności ϕ ϕ - kierunek minimlnego momentu bezwłdności Główne centrlne moment bezwłdności możem wznczć w inn sposób

Obliczm wrtość momentu bezwłdności względem osi, stosując now podził n figur skłdowe Figurę trktujem jko pole "ujemne" Moment bezwłdności figur i mnożm przez czter ( ) + ( ) 90 W dlszch obliczenich wkorzstm to, że sum momentów bezwłdności względem obu osi ukłdów współśrodkowch jest stł + + 5 czli + 8 90 05 Z porównni wrtości głównch momentów bezwłdności wnik, że oś jest kierunkiem mksmlnego momentu bezwłdności, oś jest kierunkiem minimlnego momentu bezwłdności 5 min 90, m 05 Główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne możn wznczć metodą grficzną, stosując konstrukcję koł Mohr Korzstm z wznczonch wrtości momentów bezwłdności w ukłdzie 8 8 7 orz wrtości momentu dewicjnego 57 57 50 Kolejność postępowni prz wznczniu głównch momentów bezwłdności i kierunków głównch metodą grficzną jest nstępując: Wznczenie położeni punktów A i B Wrtości momentów bezwłdności w ukłdzie 8 7 współrzędne punktów A ( 8 7, 0) i B ( 8 7, 0) zdniu położenie punktów A ( 8 7, 0) i B ( 8 7, 0) Wznczenie położeni punktu 0 5 + 8 7, 0 Punkt ( ( ) ), czli ( 8 7, 0) jest wspólne stnowią odpowiednio W rozptrwnm, jest środkiem odcink AB i środkiem koł Mohr W rozptrwnm zdniu położenie punktów, A i B jest wspólne Wznczenie położeni punktu D Po uwzględnieniu wrtości 8 7 orz 57 50 otrzmm współrzędne punktu D ( 8 7, ( 57 50 ), czli D ( 8 7, 57 50 ) Wznczenie promieni koł Mohr Łączm punkt i D odcinkiem D, któr stnowi promień R koł Mohr Promieniem tm ztczm okrąg 5 Wznczenie głównch momentów bezwłdności Koło Mohr przecin oś poziomą w dwu punktch: E i F Współrzędne tch punktów są 90 97, 0 05 7, 0 Długość odcink OE odpowid nstępujące: E ( ), F( ) minimlnemu momentowi bezwłdności, ntomist długość odcink mksmlnemu momentowi bezwłdności Wznczenie kierunków głównch O F odpowid

Oś przechodząc przez punkt E i D jest osią mksmlnego momentu bezwłdności, oś przechodząc przez punkt F i D jest osią minimlnego momentu bezwłdności Moment dewicjne O Przjęt skl: 50 r E + kierunek mksmlnego momentu bezwłdności ϕ D ϕ R F AB Moment bezwłdności kierunek minimlnego momentu bezwłdności A B E F (, 0) (, 0) + D (, ) (, 0) (, 0), 0 5