Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany i funkcje wymierne 6 5 Macierze i wyznaczniki 7 6 Układy równań liniowych 10 7 Geometria analityczna w R 11 8 Iloczyn skalarny i odległość w R n 1 9 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 14 10 Powtórzenie 15 11 Pierwsze kolokwium 18 Zestaw A............................... 18 Zestaw B............................... 19 Zestaw C............................... 19 Zestaw D............................... 20 Zestaw E............................... 20 Zestaw F............................... 20 Zestaw G............................... 21 Zestaw H............................... 21 1

12 Drugie kolokwium 22 Zestaw A............................... 22 Zestaw B............................... 22 Zestaw C............................... 2 Zestaw D............................... 2 Zestaw E............................... 24 Zestaw F............................... 24 Zestaw G............................... 24 Zestaw H............................... 25 1 Egzamin 25 Zestaw A............................... 25 Zestaw B............................... 26 Zestaw C............................... 27 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 1.1. Uprość wyrażenie a b ( a ) (a) a 2 2ab + b 2 b 1, ( ) b a b (b) a 2 b 2 a + 1, (c) a4 + a b + a 2 b 2 a b ( ) b 2 a 2 1. 1.2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x) wyznacz współczynnik przy x m, jeśli ( (a) f(x) = x 5 + 1 ) 10, m = 9, x (b) f(x) = k=0 ( x 4 1 x 2 ) 9, m = 24. 1.. Zapisz w prostszej postaci liczbę n ( ) n (a) k, k k=0 n ( ) n (b) ( 2) k. k 1.4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : 2

(a) 1 2 + 2 2 + 2 +... + n 2 = (b) 4 n 1 n 2, n(n + 1)(2n + 1), 6 (c) liczba 7 n 4 n jest podzielna przez. 1.1. (a) 1 b, (b) 1 a, (c) a b. 1.2. (a) a 2 = ( 10 2 ) = 45, (b) a 2 = ( 9 2) = 6. 1.. (a) 4 n, (b) ( 1) n. 1.4. Najpierw przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1. Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1, T 2,..., T n (może wystarczyć użycie tylko T n ) wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1, gdzie n N +. 2 Geometria analityczna w R 2 2.1. Wyznacz w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli ( (a) u = 1, ) (, v = 1, ), ( (b) u = ) (, 1, v = 1, ), ( ) ( (c) u = 2, 2, v = 1, ), ( (d) u = 2, ) ( ) 2, v =, 1. Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów. 2.2. Wyznacz kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = (, 2 + ), C = (1 +, 2). 2.. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A = (, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2). 2.4. Wyznacz punkt przecięcia oraz { kąt, pod jakim przecinają { się proste, określone przez układy równań oraz x = 2 t, x = s, y = 5 + t y = 1 s, gdzie t, s R.

2.5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i ( 2, 2). 2.6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4, 5). 2.7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli (a) S = (1, ), A = ( 1, 2), B = (2, 4), (b) S = ( 2, 1), A = (1, 2), B = (4, 1). 2.8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x 2 +2x+y 2 = 0, które przecinają się z prostą x y + 1 = 0 pod kątem π. 2.1. (a) π, 2.2. π 2. (b) π 6, 2.. 10. (c) 11 12 π, (d) 7 12 π. 2.4. Proste przecinają się pod kątem π 6 w punkcie (, 4). 2.5. (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. 2.6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x 5) 2 + (y 6) 2 = 8. 2.7. (a) (x 1) 2 + (y + ) 2 = 192 1, (b) (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 122 10. 2.8. y = 2, y = 2, y = x + + 14, y = x + 14. Liczby zespolone.1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = 1 + i 2 i, (b) z = 2 + i 4 + 5i..2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek 4

(a) Re( 2iz + 4) 0, (b) Im(z i) = Im((2 i)z + i), (c) Re ( z 2) = [Im(iz)] 2 4, (d) iz + 2 = iz 2i, (e) 2z = 4z 4... Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = (1 + i) 20 (1 i) 40, (b) z = (c) z = (1 + i)40 ( i) 20, ( i) 24 (1 i) 14 (1 i) 20..4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 arg(1 + iz) π/2, (b) Im ( z 4) < 0..5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a) z = 1, (b) z = i, (c) z = 2 + 2i, (d) z = 1 + i..6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a) z 2 2z + 4 = 0, (b) z 4 = ( 1 + 2z) 4..7. Wyznacz pole figury F = {z C : Im ( z ) 0 1 Im(z) < 0}..1. (a) z = 1 5 + 5 i, (b) z = 2 41 + 2 41 i..2. (a) półpłaszczyzna y 2, (b) prosta y = 1 x 2, (c) proste y = 2, y = 2, 5

(d) prosta y = x, (e) okrąg o środku w punkcie ( 4, 0) i promieniu 2... (a) 1 2 + 2 i, (b) 1 2 2 i, (c) 1 2 2 i..4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Re(z) 0 Im(z) 1 z i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)), (b) arg(z) ( π 4, ) ( π 2 π 4, π) ( 5π 4, ) ( π 2 7π 4, 2π), co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech kątów..5. (a) w 0 = 1 2 + 2, w 1 = 1, w 2 = 1 2 2, (b) w 0 = 2 + 1 2 i, w 1 = 2 + 1 2 i, w 2 = i, (c) w 0 = 1 + i, w 1 = 1 ( 2 2 + 1 ) 2 + i, w 2 = 1 2 2 + 2 + ( 1 ) 2 i, 2 (d) w 0 = 1 + 1 2 2 + Wskazówka: cos ( π 1 2 2..6. (a) z { 1 + i, 1 i }, (b) z { 1, 2 5 1 5 i, 1, 2 5 + 1 5 i}. 2 2 i, w 1 = 1 + 1 2 2 i, w 2 = 1 ) 1+cos(2 12 = 12) π 2 = 2 2 1 + 2 2 i. 2+ 2 = 1+ 2 2, sin ( π 12) =.7.. 4 Wielomiany i funkcje wymierne 4.1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x 5 x 4 + x + x + 7, Q(x) = x + x + 1, (b) P (x) = x 4 + 2x + x 2 + x + 1, Q(x) = x 2 + x +. 4.2. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x 4 + x x 2 4x 4. 6

4.. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 4 + x + x 2 + x + 1 przez x 2 1. 4.4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z 2z 2 + 4z 8. 4.5. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x 2 + (a) f(x) = x + 2x 2 + 5x + 4, (b) f(x) = x + 2 x + x 2 + 4x + 4, (c) f(x) = 2x + 4x 2 + 5x + 5 x 4 + x + x 2 + x + 2. 4.6. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x4 5x + 5x 2 19x 1 x 5x 2. + 4x 20 4.1. (a) I(x) = x 2 x + 2, R(x) = 5, (b) I(x) = x 2 + x, R(x) = x + 10. 4.2. W (x) = (x + 2)(x 2) ( x 2 + x + 1 ). 4.. R(x) = 2x +. 4.4. W (z) = (z 2)(z + 2i)(z 2i). 4.5. (a) f(x) = 1 x 2 +x+4 + 1 x+1, (b) f(x) = x x 2 +x+2 + 1 x+2, (c) f(x) = 1 x+1 + 1 x+2 + 1 x 2 +1. 4.6. f(x) = x + 1 x 5 + 1 x 2 +4. 5 Macierze i wyznaczniki 5.1. Wyznacz macierz A wymiaru, której wyrazy określone są za pomocą wzoru a ij = i 2j. 5.2. Podaj przykład dwóch macierzy wymiaru 2 2 dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. 5.. Rozwiąż równanie macierzowe 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 + 2 A T = 0 1 0 1 0 1 2 2 1. 7

5.4. Wyznacz iloczyn A = ( x y 1 ) a h g h b f x y, a następnie g f c 1 z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisz równanie okręgu x 2 + y 2 + 4x + 6y 12 = 0. Zaznacz ten okrąg na płaszczyżnie. 5.5. Rozłóż na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację ( ) 1 2 4 5 6 (a) σ =, 2 4 6 1 5 ( ) 1 2 4 5 6 7 (b) σ =. 7 5 4 1 2 6 Określ parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach zastosuj zapis cykliczny. 5.6. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadź wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i (wzór Sarrusa). 5.7. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie (a) ze wzoru, w podpunkcie (b) ze wzoru Sarrusa, oblicz wyznacznik (a) 1 2 5, (b) (c) 1 1 1 1 2 2 1 2 4, 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2. 5.8. Dla jakich wartości parametru a R macierz ( ) a a (a) A =, 2 a a 1 1 (b) A = 1 1 a, 1 a 1 a 1 1 1 (c) B = 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 jest nieosobliwa? 8

5.9. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy ( ) 1 1 (a) A =, 1 4 (b) B = (c) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2., 1 5 5.1. A = 0 2 4. 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 5.2. np. = 0 1 0 0 ( ) 1 1. 0 1 ( ) 0 1 1 5.. A =. 1 1 1 ( 1 1 0 0 ) ( 1 2 0 0 5.4. A = ( ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c ), ( x y 1 ) ) = ( 1 1 0 0 ) 1 0 2 0 1 2 12 x y = ( 0 ) ; równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie ( 2, ) 1 i promieniu 5. 5.5. (a) Przykładowy zapis: σ = (1 2 4) ( 6) = (1 4) (1 2) ( 6), permutacja nieparzysta, znak sgn(σ) = 1, (b) przykładowy zapis: σ = (1 7 4) (2 5) = (1 4) (1 ) (1 7) (2 5), permutacja parzysta, znak sgn(σ) = 1. 5.6. Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6. 5.7. (a) 1, (b) 2, (c) 1. 9

5.8. (a) a R \ {0, 2}, (b) a R \ { 2, 1}, (c) a R \ {, 1}. 5.9. (a) A 1 = ( 4 5 1 5 (b) B 1 = (c) C 1 = ), 1 1 5 5 1 1 2 2 0 1 1 2 0 2 1 1 0 2 2, 1 1 1 1 0 1 0 1. 6 Układy równań liniowych 6.1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układ równań { x + y = (a) x y = 5, (b) (c) (a) x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = 2, x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = 2 x + y + z + t = 2. Dodatkowo, układ (a) rozwiąż za pomocą wzorów Cramera oraz metodą macierzy odwrotnej. 6.2. Rozwiąż układ równań (b) x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8, x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 x + 2y + z =. 6.. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? 10

1 dla x (, 0) 6.4. Niech sgn(a) = 0 dla x = 0 1 dla x (0, ) Wyznacz te wartości a, dla których układ równań x + 2y + z = 2 x + y + 2z = sgn(a) 1 2x + y + z = 2 2y + 2z = 0 nie ma rozwiązań. 6.1. (a) x = 1, y = 2, (b) x = 1, y = 0, z = 1, (c) x = 1, y = 1, z = 2, t = 2. 6.2. (a) y = 2, t = 4, z = x + 2, z dowolne, (b) układ sprzeczny (brak rozwiązań). 6.. a = 2. 6.4. a (, 0]. 7 Geometria analityczna w R oznacza znak liczby a R. 7.1. Dla jakich wartości parametru a R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (, a 2, ) i wierzchołku E = ( a 5, 4, 18) nad A, jest prostopadłościanem? 7.2. Dla jakich wartości parametru a R kąt pomiędzy wektorami u = (a, 16, 4) oraz v = (2a, 1, 4) jest prosty? 7.. Za pomocą iloczynu wektorowego wyznacz te wartości parametru a R, dla których wektory u = (1, a 2, 1), v = (, 12, ) są równoległe. 7.4. Podaj przykład równania ogólnego płaszczyzny (a) przechodzącej przez punkty A = ( 1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (, 0, 5), x = 1 + t + s (b) o równaniu parametrycznym y = 2 + t s gdzie t, s R. z = 1 + t + s, 7.5. Podaj przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0. 7.6. Podaj{ przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym x + y + z 1 = 0 x + 2y + z 2 = 0. 11

7.7. Podaj przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym y = 2 t gdzie t R. x = 1 + t z = 4 + t, 7.8. Podaj przykład równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych o równaniach y = 1 y = 2 + s gdzie t, s R. w punkcie x = t x = s z = 1 + t, z = 1 s, ich przecięcia. 7.9. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami π 1, π 2, jeśli π 1 jest określona równaniem parametrycznym y = t s gdzie t, s R, a π x = 1 + t + s 2 równaniem z = t + s, ogólnym y z 1 = 0. { x + y + z + 2 = 0 7.10. Wyznacz kąt pomiędzy prostą l : x y + z + = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0. 7.11. Wyznacz pole (a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, 2, 2), C = (2, 1, 2), (b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B = (0, 2, 2), (c) trójkąta o wierzchołkach A = ( 2, 2, 4), B = (0, 2, 2), C = ( 2, 1, 2). 7.12. Wyznacz objętość (a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, 2, 2) i D = ( 1, 1, 1), (b) równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2) oraz w = ( 1, 1, ) (1, 2, ). 7.1. a =. 7.2. a = 4 lub a = 4. 7.. a = 2 lub a = 2. 7.4. (a) x z + 2 = 0, 7.5. (b) x z = 0. x = 1 + t + 2s y = t z = s. 12

x = 1 + t 7.6. y = 1 2t z = 1 + t. { x + y 4 = 0 7.7. y + z 6 = 0. 7.8. 7.9. π. 7.10. π 6. x = 1 + t y = 1 z = 2 t. 7.11. (a) 2 6, (b) 4 5, (c) 6. 7.12. (a) 1, (b) 15. 8 Iloczyn skalarny i odległość w R n 8.1. Wyznacz odległość pomiędzy punktami P, Q R n, jeśli (a) n = 4, P = (1, 2,, 2), Q = (2, 1, 4, ), (b) n = 8, P = (5,, 2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (, 4,, 5, 9, 9, 2, 1). 8.2. Wyznacz kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v R n, jeśli (a) n = 5, u = (1, 0, 2, 2, 0), v = ( 1, 1, 1, 1, 0), (b) n = 7, u = (1, 2, 0,, 1, 0, 1), v = 2 (1, 1, 1, 1, 1, 2, 5) ( 1, 1, 0, 0, 0,, 10). 8.1. (a) 2, (b) 4. 8.2. (a) 1 6, (b) 9 20. 1

9 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 9.1. Zbadaj liniową niezależność układu złożonego z wektorów (a) (1, 2), (, 4) R 2, (b) (1, 2, ), (, 4, 5) R, (c) (1, 2, ), (, 4, 5), (4, 6, 8) R, (d) (1, 0, 2, 2, 0), ( 1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) R 5, (e) (1, 2, 0,, 1, 0, 1), (, 1, 2, 2, 2,, 0), (1, 1, 1, 1, 1, 2, 5), ( 1, 1, 0, 0, 0,, 10) R 7. 9.2. Zbadaj, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnij do bazy. 9.. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : R n R m jest określone wzorem (a) f(x, y, z, t) = (x y, x + y + z + 2t), (b) f(x, y, z) = (x y, x + y + z, x + y, x z), gdzie x, y, z, t R. Wyznacz n, m N +, a następnie zapisz w standardowych bazach macierz A f przekształcenia f. 9.4. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania. 9.5. Załóżmy, że macierz A f przekształcenia liniowego f : R n R m ma postać ( ) 5 1 1 0 0 (a) A f =, 8 4 1 1 2 1 1 0 (b) A f = 1 2 1 4 6. 1 5 7 Wyznacz n, m N +, a następnie zapisz przekształcenie f za pomocą wzoru. 9.6. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz f g w bazach standardowych, jeżeli f : R R 5 oraz g : R 4 R są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x, x+y, x+y +z, x+z, y +z), g(s, t, u, v) = (u + v, t + u + v, s + t + u + v). 9.7. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R 2 R 2, jeśli (a) f(x, y) = ( y, 6x 5y), (b) f(x, y) = ( x + y, 2x). 14

9.1. (a) liniowo niezależny, (b) liniowo niezależny, (c) liniowo zależny, (d) liniowo niezależny, (e) liniowo zależny. 9.2. Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu. ( ) 1 1 0 0 9.. (a) n = 4, m = 2, A f =, 1 1 1 2 1 1 0 (b) n =, m = 4, A f = 1 1 1 1 1 0. 1 0 1 9.4. (a) Ker(f) = {(x, x, 2t 2x, t) : x, t R} = {x(1, 1, 2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t R}(jedna z możliwości zapisu), Im(f) = R 2, Rz(f) = 2, (b) Ker(f) = {(0, 0, 0)}, Im(f) = {x(1, 1, 1, 1) + y( 1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, 1) : x, y, z R}, Rz(f) =. 9.5. (a) n = 5, m = 2, f(x, y, z, t, u) = (5x y z, 8x 4y + z + t + u), (b) n =, m = 4, f(x, y, z) = (x y, x + y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z). 9.6. Złożenie g f nie istnieje. Macierz złożenia f g ma postać 1 0 0 1 1 0 M f g = M f M g = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 = 0 0 1 1 0 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2. 9.7. (a) Wartości własnej a 1 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α(1, 2), wartości własnej a 2 = odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α(1, ), gdzie α R \ {0}, (b) wartości własnej a 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α(1, 2), wartości własnej a 2 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α(1, 1) dla α R \ {0}. 10 Powtórzenie 10.1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( 1, 5), B = (2, 4) oraz C = (1, 1). 15

10.2. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku ( C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 1), B = (, 2) oraz C = 2, 1 + ). 10.. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają { się proste na x = t, oraz y = t płaszczyźnie, określone równaniami parametrycznymi { x =, gdzie t, s R y = 1 + s, 10.4. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 1 2 1 1 1 1 2 2 10.5. Zbadaj, dla jakich rzeczywistych parametrów a R istnieje macierz odwrotna 1 1 1 A 1 do macierzy A = 1 2 1, 1 1 a a następnie wyznacz ogólny wzór na A 1. 10.6. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1 10.7. W zależności od rzeczywistego parametru a R, rozwiąż układ równań 2x + y z = 1 x ay + 2z = 2x ay + z = 5. 10.8. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s gdzie t, s R. z = 1 t + 2s, x = 1 + t x = s 10.9. Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 1 oraz y = s z = 1 + t z = 5 s, a następnie napisz równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste. 10.10. Wyznacz odległość punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π, zadanej w x = 1 + s + t postaci parametrycznej y = 2 + s z = 1 + s t. 10.11. Opisz oraz zaznacz na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 arg(2 iz) π 2,. 16

(b) Im ( z 4) > 0. 10.12. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = ( + i) 12 (1 i) 24, (b) z = (1 i ) 700 ( 1 + i) 1400. 10.1. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 2 2. 10.14. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x 4 + 2x x 2. 10.15. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x2 + 5x + 1 x + x 2 + x + 2. 10.16. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R 4 R 2, określonego wzorem f(x, y, z, t) = (z y, x + y + z + 2t), gdzie x, y, z, t R. 10.17. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x + y + z), g(u, v) = (u + v, v, u 2v, u, u). 10.1. 10. π 10.2. 6. 10.. P 0 = 10.4. A 1 = (, 1 ), ϕ = 2 π. 4 2 1 1 1 0 1 0 1. 10.5. Macierz odwrotna istnieje dla a R \ {1}, 2a 1 1 wtedy A 1 a 1 1 a 1 = 1 1 0. 10.6. a = 2. 1 1 a 1 0 a 1 10.7. Dla a R\{1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, x = 2 z, a dla a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 1 + z, z R. 17

10.8. x + y 2z + 1 = 0. 10.9. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = i s = 1), a płaszczyzna ma równanie x + z 2 = 0. 10.10. Równaniem ogólnym płaszczyzny jest x + 2y z 4 = 0, a odległość 2 d(p, π) =. 10.11. (a) Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz 2 z 2i}, ( (b) arg(z) 0, π ) ( π 4 2, π ) ( π, 5π ) ( π 4 4 4, 7π ), co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech 4 kątów. 10.12. (a) z = 1, 10.1. (b) z = 1 2 + 2 i. 2 6 2 6 2 + i 2, 2, 2 i 2. 10.14. W (x) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x + 1). 10.15. f(x) = 2x x 2 + x + 1 + 1 x + 2. 10.16. Ker(f) = {(z, z, 2t 2z, t) : z, t R} = {z(1, 1, 2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : z, t R}(jedna z możliwości zapisu), Im(f) = R 2, Rz(f) = 2. 10.17. Złożenie f g nie istnieje. Macierz złożenia g f mapostać 2 1 1 1 ( ) M g f = M g M f = 1 2 1 2 0 0 1 1 = 1 1 1 4 6 6 0. 1 0 1 2 0 11 Pierwsze kolokwium Zestaw A 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( 2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1). 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i) 25 (1 i) 50.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 5 x + 4x 5. 18

1. h = 22 4. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x 1 + Zestaw B x x 2 +x+5. 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku ( C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 6), B = (, 7) oraz C = 2, 6 + ). 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i ) 50 ( 1 + i) 100.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x2 + 6x + x + x 2 + x + 2. 1. π 6. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x+2 + 2x+1 x 2 +x+1. Zestaw C 1. { Wyznacz kąt pomiędzy prostymi { na płaszczyźnie, o równaniach x = t, y = x = s, t + 2 oraz y = gdzie t, s R. s 7, 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( i) 25 ( 1 + i) 50.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 2x + 2 x 2x 2 + x 2. 1. π. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x 1 + x x 2 x+2. 19

Zestaw D 1. Wyznacz kąt pomiędzy prostą y = 1 x 5, a prostą o równaniu { x = t, y = gdzie t R. t + 11, 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( 1 + i ) 50 (1 i) 100.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + x + 1 x + x 2 x + 2. 1. π 6. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x+2 + x x 2 x+1. Zestaw E 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy 1 x 5. ( x 2 + 1 x ) 20 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i) 21 (1 i) 42.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną x 2 + x + 10 f(x) = x + 2x 2 + 6x + 5. 1. 190. 2. z = 1.. f(x) = 2 x+1 + x x 2 +x+5. Zestaw F 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy 1 x 18. ( x 5 1 ) 0 x 20

2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i ) 15 ( 1 + i) 0.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną x 2 x 4 f(x) = x 2x 2 + 5x 4. 1. 45. 2. z = i.. f(x) = 1 x 1 + Zestaw G 2x x 2 x+4. 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy x 27. ( x + 1 x ) 0 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i) 21 (1 + i) 42.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 7 x + 6x + 7. 1. 45. 2. z = i.. f(x) = 1 x+1 + x x 2 x+7. Zestaw H 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy x 17. ( ) x 40 1 + x 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 + i) 15 (1 i) 0.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 5 x + 4x 5. 21

1. 780. 2. z = i.. f(x) = 1 x 1 + x x 2 +x+5. 12 Drugie kolokwium Zestaw A 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 2 5 2 1 1 1 2 2 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + 2s y = 2 + t gdzie t, s R. z = t + s,. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? ax + y + z = a 1. 4 6 1 1. A 1 = 1 2 0 1 1 1 2. x + y 2z 11 = 0.. a = 1.. Zestaw B 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 2 5 2 1 1 1 2 2 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + 2s y = 2 gdzie t, s R. z = t + s,. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1. 22

8 2 1 1. B 1 = 1 0 1 0 1 2. y = 2.. a = 2.. Zestaw C 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 t + 2s y = 2 t gdzie t, s R. z = t + s, 2. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? (1 + a)x + (1 + a)y + 2z = 1. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x y z), g(u, v) = (u v, v, u 2v, u, u). mają być uzupełnione Zestaw D 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + 2s y = 2 + s gdzie t, s R. z = t + s, 2. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 4x + (1 + a)y + ( + a)z = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 4 oraz g : R 2 R są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x+y+z, x, y), g(u, v) = (u+v, v, u). mają być uzupełnione 2

Zestaw E 1. Oblicz wysokość w czworościanie o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2), C = (1, 2, ), D = (2, 2, 2), opuszczoną z wierzchołka D. x y + z + t = 4 2. Rozwiąż układ równań 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8.. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (2, 1, 1, 1), w = (1, 2, 1, 1), m = (1, 1, 2, 1) R 4. mają być uzupełnione Zestaw F 1. Wyznacz odległość punktu P = (1, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + s gdzie t, s R. z = t + s, x y z + t = 4 2. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8.. Wyznacz rząd macierzy A = mają być uzupełnione Zestaw G 1 1 1 1 2 2 4 4 1. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w ostrosłupie o trzech wierzchołkach podstawy A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2), C = (2, 2, 1), opuszczoną z wierzchołka D = (2, 2, 2). 2. Rozwiąż układ równań. x y z + t = 4 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8.. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (5, 1, 1, 1), w = (1, 2, 1, 1), p = (1, 1, 2, 1) R 4. 24

mają być uzupełnione Zestaw H 1. Wyznacz odległość punktu P = (, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + 5s gdzie t, s R. z = t + s, 2x 4y 2z + 4t = 4 2. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8.. Wyznacz rząd macierzy A = mają być uzupełnione 1 Egzamin Zestaw A 2 1 2 2 4 4 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek Im ( z ) < 2 z. 4 11 4 2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 7 5. 1 2 2 Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w czworościanie o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2,, 4), C = (2, 5, 8), D = ( 1, 1, 1), opuszczoną z wierzchołka D. 4. Rozwiąż układ równań. 5x 7y 5z + t = 20 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8. 5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R 4 R oraz g : R R 6 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z, t) = (x 2y, x y z, x + t), g(u, v, w) = (u v, v, u 2v, u, u, u + v + w). 25

1. Otrzymujemy Im ( z ) = z sin(ϕ) < 2 z, stąd z 0 oraz sin(ϕ) < 2. Otrzymujemy ϕ ( 4 π, 1 π) ( 2 π, 7 π) ( 8 1 ( π, π), zatem ϕ 4 9 π, 1 9 π) ( 2 9 π, 7 9 π) ( 8 1 9π, 9 π), co przedstawia sumę wnętrz trzech kątów. 4 14 27 2. A 1 = 1 4 8. 1 5. Równanie x 2y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy, wysokość to odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = 2 2. 4. x = z 2, y = 2, z R, t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. Istnieje tylko złożenie g f, jego macierzą w bazach standardowych jest 0 1 0 1 1 0 M g f = 1 0 6 0 6 0 0. 1 2 0 0 1 Zestaw B 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek Re ( z ) 1 2 z. 2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 4 11 4 1 1 1 2 2 Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.. Wyznacz odległość punktu P = ( 2, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + 2s gdzie t, s R. z = 2 2t + s, 4x 6y 4z + 6t = 4 4. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8. 5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R 4 R 5 oraz g : R R 4 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z, t) = (x 2y, x + y + z, x, y, t z), g(u, v, w) = (u + v, v, u, u w).. 26

1. Otrzymujemy Re ( z ) = z cos(ϕ) 1 2 z, stąd z = 0 lub cos(ϕ) 2. W tym drugim przypadku, ϕ [ 1 π, 1 π] [ 5 π, 7 π] [ 11 1 π, π], zatem ϕ [ 1 9 π, 1 9 π] [ 5 9 π, 7 9 π] [ 11 1 9 π, 9 π]. Zbiór A jest sumą trzech kątów wraz z brzegami. 2. A 1 = 4 14 1 1 4 0 1 1.. Równanie 4x 5y +2z = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny, odległość d = 6 5. 4. x = z 2, y = 2, z R, t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. Istnieje tylko złożenie f g, jego macierzą w bazach standardowych jest 1 1 0 4 2 0 M f g = 1 1 0 0 1 0. 0 0 1 Zestaw C 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek 0 arg(2 iz) π 2. x = 1 + t + s 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu y = t + s z = 1 t + 2s, a następnie w mierze łukowej kąt pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o x = 2t równaniu y = 2 6t gdzie t, s R. z = 1 + 4t,. Rozwiąż równanie macierzowe X 1 = ( 1 0 1 0 1 1 ) gdzie X 1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X. 4. Określ, dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? 1 0 0 1 1 0, 27

5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 4 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x + y, y + z), g(u, v) = (u, v, u + v, u v). 1. Jest to (przesunięta) ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka, A = {z C : Re(z) 0 Im(z) 2} \ { 2i}. 2. x + y 2z + 1 = 0, α = π 2. ( 1 ). X = 2 0 1. 2 1 4. a = 2. 5. Istnieje tylko złożenie g f, jego macierzą w bazach standardowych jest 1 1 0 M g f = 0 1 1 1 2 1. 1 0 1 28