Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego /3 Temat : POMIAR POJĘCIA PODSTAWOWE.. Defncja pomaru Mędzynarodowy słownk podstawowych ogólnych termnów metrolog GUM 996: Zbór operacj mających na celu wyznaczene wartośc welkośc. RZECZYWISTOŚĆ OBIEKTYWNA RZECZYWISTOŚĆ SUBIEKTYWNA WIELKOŚĆ POMIAR WYNIK POMIARU WARTOŚĆ WIELKOŚCI * * Rys.. Pomar w śwetle defncj SŁOWNIKA A.Strzałkowsk, A. Ślżyńsk Matematyczne metody opracowywana wynków pomarów PWN 969: Pomarem nazywamy operację przyporządkowana welkośc fzycznej wartośc lczbowej, wyrażającej wynk porównana merzonej welkośc z jej jednostką. M.Wołek Metrologa przemysłowa U.Śl. 979: Pomarem nazywamy proces poznawczy, który polega na dośwadczalnym porównanu welkośc merzonej z wzorcem jednostk mary. L.Fnkelsten (współautor) Podręcznk metrolog WKŁ 988 Pomar jest procesem emprycznym obektywnego przyporządkowana lczb właścwoścom obektów zdarzeń ze śwata realnego w sposób pozwalający je opsywać. J. Potrowsk Podstawy mernctwa P.Śl. 997: Pomarem nazywamy czynnośc, po których wykonanu możemy stwerdzć, że w chwl pomaru dokonanego w określonych warunkach, przy zastosowanu takch to środków wykonanu takch czynnośc welkość merzona mała wartość a x b.
RZECZYWISTOŚĆ RZECZYWISTOŚĆ OBIEKTYWNA SUBIEKTYWNA DEFINICJA WIELKOŚCI WZORZEC METODA POMIAROWA EKSPERYMENT POMIAROWY WYNIK SUROWY WIELKOŚĆ WARTOŚĆ WIELKOŚCI ANALIZA BŁĘDÓW DEFINICJA JEDNOSTKI MIANO MIANO WYNIK SKORYGOWANY WYNIK SKORYGOWANY NIEPEWNOŚĆ ZBIÓR ESTYMOWANYCH WARTOŚCI WIELKOŚCI
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8.. Defncja welkośc Perwszy krok w realzacj zadana pomarowego. Decydujący o przyjętej metodze pomaru. Neodpowedna specyfkacja może skutkować rozbeżnoścą wynków uzyskwanych dla pozorne tej samej welkośc. Przykład : grubość arkusza paperu w danej temperaturze Brak defncj grubośc (powerzchna nepłaska, mkroskopowo wręcz necągła), Brak określena mejsca pomaru (w punkce?, średno?, jaka średna?, przy jakej wlgotnośc?), Brak dostatecznej specyfkacj warunków (przy jakm nacsku mkromerza?, przy jakej wlgotnośc? Itd.). Przykład : napęce w gnazdku Brak specyfkacj parametru welkośc zmennej w czase (w. chwlowa, skuteczna, średna td.), Brak specyfkacj czasu pomaru ew. nnych warunków, stotnych w śwetle rozwązywanego problemu..3. Wzorzec Śwatowy system mar umożlwa powszechną wymenalność wynków pomarów: w handlu, technce nauce. Składa sę na nego herarchczny układ wzorców, metod procedur wzorcowana, oraz system norm przepsów. Model wzorca zawsze określa jego wartość w sposób obcążony błędem. W procese sprawdzana wzorca dzedzczenu podlega błąd wzorca wyższego pozomu błąd wnoszony przez metodę wzorcowana. Przy korzystanu z wzorca, dodatkowo pojawa sę błąd nestałośc wzorca (względem czasu, bądź warunków) oraz błąd zastosowanej metody porównana. 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Temat. ANALIZA BŁĘDÓW.. Jednolte ujęce 977 - Mędzynarodowy Komtet Mar (CIPM) zobowązane Mędzynarodowego Bura Mar (BIPM) do opracowana zalecena. 98 - Zalecene INC- Wyrażane nepewnośc eksperymentalnych. 993 - Gude to Expresson of Uncertanty n Measurements ISO. 999 - Wyrażane nepewnośc pomaru Przewodnk (+ J.Jaworsk Dodatek do wydana polskego) GUM. 996 - Mędzynarodowy słownk podstawowych ogólnych termnów metrolog GUM... Przeznaczene przewodnka Zasady przedstawone w Przewodnku przeznaczone są do stosowana w szerokm zakrtese pomarów, w szczególnośc nezbędnych przy: kontrola sterowane w produkcj; przestrzegane wprowadzane zarządzeń przepsów; prowadzene badań podstawowych wdrożenowych oraz wykorzystywanu ch wynków w nauce technce; kalbracj wzorców przyrządów oraz wykonywanu wszelkch badań w zakrese państwowego systemu mar, prowadzących do poprawy jego powązana z wzorcam państwowym; rozwjanu, utrzymywanu porównywanu wzorców mędzynarodowych państwowych, z materałam odnesena włączne..3. Nepewność 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Nepewność (pomaru) wg Słownka parametr, zwązany z wynkem pomaru, charakteryzujący rozrzut wartośc, które można w uzasadnony sposób przypsać wartośc welkośc merzonej. - nepewnoścą może być np. odchylene standardowe, lub jego krotność, - nepewność zawera wele składnków, - wynk pomaru stanow najlepsze oszacowane wartośc merzonej wszystke składnk nepewnośc, łączne z pochodzącym od efektów systematycznych, wnoszą swój udzał do rozrzutu. Uwaga: nepewność błąd.4. Pojęce błędu Błąd bezwzględny: x x R gdze: x - wynk pomaru, R - wartość (rzeczywsta) welkośc merzonej, z natury neznana Pojęce dealstyczne, stosowane w rozważanach teoretycznych, bezpośredno oblczenowo neprzydatne. Błąd poprawny: x x p X p Błąd względny: gdze: X p wartość poprawna (PN-7/N-5), wartość umowne prawdzwa (VIM), w tej rol często stosowana jest wartość średna z ser pomarów 5
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 δ x x px % % R X p Pozwala porównywać dokładnośc pomarów różnych welkośc. Błąd względny zakresowy: px δ x Z z % gdze: Z zakres przyrządu pomarowego, Zachodz z założena: δx δz x... Błąd granczny zakresowy δ max, Z x max Z ( x ) p Klasa dokładnośc przyrządu: Umowny zespół cech metrologcznych przyrządu pomarowego, określonych odnośną normą. Często oznaczene klasy (np.,;,5;,5 ale też A; B; C) nawązuje do błędu grancznego zakresowego, ale jej sens merytoryczny daleko wykracza poza określene jedyne grancznych błędów w warunkach znamonowych. kl δ max, Z x.5. Natura błędów 6
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Błąd jest sumą składowych systematycznej przypadkowej x S x + R x Błąd systematyczny różnca mędzy średną z neskończonej lczby pomarów tej samej welkośc merzonej, wykonanych w warunkach powtarzalnośc, a wartoścą prawdzwą welkośc merzonej (VIM 3.4). µ Sx x R Błąd systematyczny jego przyczyny ne mogą być znane dokładne, podobne jak wartość welkośc. Może być zredukowany poprzez wprowadzene addytywnej poprawk lub multplkatywnego współczynnka poprawkowego, uwzględnających rozpoznane oddzaływane welkośc wpływających. Z przyczyn zasadnczych poprawka określona być może jedyne ze skończoną dokładnoścą. Zakłada sę jednak, że po wprowadzenu poprawk wartość oczekwana błędu, wynkającego z oddzaływana systematycznego wynos zero. Błąd systematyczny często bywa szacowany przedzałowo, przez określane jego wartośc grancznych, co z natury rzeczy jest podejścem statystycznym. Błąd przypadkowy różnca mędzy wynkem pomaru a średną z neskończonej lczby wynków pomarów tej samej welkośc merzonej, wykonanych w warunkach powtarzalnośc (VIM 3.4) P x x µ x Można wykonać jedyne skończoną lczbę pomarów, zatem błąd ten może jedyne być szacowany (estymowany). Błąd przypadkowy przypuszczalne (Przewodnk) wynka z neprzewdywalnych (stochastycznych) czasowych przestrzennych zman welkośc wpływających. Może być zmnejszany przez zwększane lczby obserwacj; jego wartość oczekwana wynos zero. Podzał na składnk systematyczne przypadkowe często lustruje bardzej stan naszej śwadomośc o przyczynach powstawana błędu, nż zasadnczy determnzm lub ndetermnzm fzykalnego mechanzmu wpływana na wynk pomaru. 7
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8.6. Statystyczny model pomaru Założena: - ne występuje błąd systematyczny, - pomary są wykonywane w warunkach powtarzalnośc, - błędy poszczególnych pomarów są nezależnym zdarzenam losowym, - błędy o przecwnych wartoścach są jednako prawdopodobne, - błędy o małych wartoścach bezwzględnych są bardzej prawdopodobne. x x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - x n x n R R lm n x lm x R n n n lm x n R n n lm n n n x µ x R WNIOSEK Średna arytmetyczna wynków ser pomarów wykonywanych w warunkach powtarzalnośc jest estymatorem wartośc rzeczywstej, tym lepszym m dłuższa jest sera pomarów. 8
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Rozkład normalny błędów Zgodne z rozkładem normalnym gęstość prawdopodobeństwa błędu o wartośc x x µ wyraża sę następująco: x f ( x) σ π ( x) exp σ gdze: x - odczyt wartośc merzonej, µ - wartość oczekwana, σ - odchylene standardowe. Rozkład normalny: N(;,), N(;,) Gęstość prawdopodob. 5 4 3 -,4 -,,,4 Błąd 9
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Pozom ufnośc z jakm wartość bezwzględna błędu ne przekracza odchylena standardowego wynos: P P P { x ( σ, σ )} { x ( σ,σ )} σ σ σ σ 3σ f ( x) d x,687 f ( x) d x,9545 { x ( 3σ,3σ )} f ( x) d x, 9973 3σ Wartość rzeczywsta welkośc merzonej określona jest poprzez pojedynczy odczyt odchylene standardowe, następująco: P P { R ( X σ ; X + σ )} { R ( X σ ; X + σ )},687,9545 P { R ( X 3σ ; X + 3σ )}, 9973 X-3σ X-σ X-σ X X+σ X+σ X+3σ
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Jake jest odchylene średnej od wartośc oczekwanej? Z centralnego twerdzena grancznego wynka: Rozkład prawdopodobeństwa średnej arytmetycznej X z n obserwacj zmennej losowej, o wartośc oczekwanej µ x skończonym odchylenu standardowym σ, zblża sę do rozkładu normalnego o wartośc oczekwanej µ odchylenu standardowym σ σ / n, gdy n, nezależne od x tego jak jest rozkład x (vde Przewodnk, s.89). sr Pozwala to na przyblżene odchylena standardowego średnej, za pomocą estymatora zwanego eksperymentalnym odchylenem standardowym średnej : s ( X ) s( x) n n ( n ) n ( x X ) P P { R ( X s( X ); X + s( X )} { R ( X s( X ); X + s( X )},687,9545 P { R ( X 3s( X ); X + 3s( X )}, 9973 Jak łatwo zauważyć: ( X ) s(x) s < WNIOSEK Wykonane ser pomarów w warunkach powtarzalnośc pozwala na zawężene przedzału wartośc rzeczywstej, w stopnu tym wększym m wększa jest lczba pomarów.
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8.7. Korekcja estymatora odchylena standardowego rozkład Studenta Dla zmennej losowej y o rozkładze normalnym, oraz newelkej lczbe stopn swobody ν n, estymacja odchylena standardowego średnej jest mało dokładna. Stosunek odchylena standardowego estymaty odchylena standardowego średnej do tegoż odchylena wyraża sę zależnoścą przyblżoną: σ [ s( X )] σ ( X ) ( n ) (vde Przewodnk, Tab. E, s 73) Dla określena przedzału wartośc oczekwanej welkośc merzonej, posłużyć sę można rozkładem t-studenta, podającym dla zadanego pozomu ufnośc wartośc zmennej t w zależnośc od lczby stopn swobody. (Przewodnk, Tablca G., s.97) Sens zmennej t wynka z jej określena: t ( X µ x ) s( X ) Dla zadanego pozomu ufnośc lczby stopn swobody p, ν wartość t można odczytać z tablcy. Oznacza ona, na pozome ufnośc p, ż wartość zmennej t znajduje sę w przedzale ± t p (ν), co można zapsać: P { t ( t ( ν ); t ( ν ))} p p p skąd, dla wartośc oczekwanej wynka przedzał skorygowany: P { µ ( X t ( ν ) s( X ); X + t ( ν ) s( X ))} p x p p Zmenna t oznacza zatem krotność eksperymentalnego odchylena standardowego średnej, która wyznacza przedzał dla wartośc oczekwanej, przy założonym pozome ufnośc założonej lczbe stopn swobody. Przykładowo, dla 5 obserwacj -sgmowego pozomu ufnośc (68,7%) przedzał wymaga 4% rozszerzena, dla 6%, 5 4% td.
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8.7. Założena pojęca podstawowe teor nepewnośc, wg Przewodnka Nepewność rozumana jest jako pojęce ogólne bądź lczbowa mara tego pojęca. Według VIM: Nepewność pomaru parametr, zwązany z wynkem pomaru, charakteryzujący rozrzut wartośc, które można w uzasadnony sposób przypsać welkośc merzonej. Np. odchylene standardowe, lub jego welokrotność, albo połowa szerokośc przedzału o określonym pozome ufnośc. Na ogół złożona jest ona z welu składnków. Nektóre z nch można wyznaczać na podstawe rozkładu statystycznego wynków szeregu pomarów jako np. odchylene standardowe eksperymentalne. Inne mogą być szacowane na podstawe zakładanych rozkładów prawdopodobeństwa, opartych na dośwadczenu lub nnych przesłankach. Przyjmuje sę, że wynk pomaru stanow najlepsze oszacowane wartośc welkośc merzonej że wszystke składnk nepewnośc - systematyczne także - wnoszą swój udzał do rozrzutu. Nepewność standardowa nepewność wynku pomaru wyrażona w forme odchylena standardowego ( X ) s( X ) u Złożona nepewność standardowa nepewność standardowa wynku pomaru pośrednego. Jeżel welkość merzona metodą pośredną jest funkcją nezależnych welkośc merzonych bezpośredno: ( X X ) Y f,,... X N wówczas złożona nepewność standardowa jest określona jako: Jeżel funkcja ma postać loczynową: u c N ( y) u ( x ) f x w w Y cx X... wówczas względna złożona nepewność standardowa wyraża sę: X wn N 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 u c N ( y) u( x ) y w x Nepewność rozszerzona welkość określająca przedzał wokół wynku pomaru, od którego to przedzału oczekuje sę, że obejmuje dużą część rozkładu wartośc, które w uzasadnony sposób można przypsać welkośc merzonej Up kp u dla rozkładu normalnego: : 9, 95, 99 p k :,64;,96;, 58 p Współczynnk rozszerzena współczynnk lczbowy zastosowany jako mnożnk złożonej nepewnośc standardowej w celu otrzymana nepewnośc rozszerzonej. Metody wyznaczana nepewnośc standardowej: A - B - na podstawe ser pomarów, wykonywanych pod kontrolą statystyczną, t.zn. na podstawe obserwowanego rozkładu częstośc, na podstawe założonej funkcj gęstośc prawdopodobeństwa. Przykład Śwadectwo opornka wzorcowego stwerdza, że jego rezystancja R S w temperaturze 3 C wynos, 74 ± 9 µω, a podana nepewność określa przedzał o pozome ufnośc 99 %. Jaka jest nepewność standardowa nepewność standardowa względna? 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Praktyczne ogranczone rozkłady błędów Przykład Wyznaczyć nepewność standardową wag cyfrowej z najmnejszą cyfrą znaczącą g. f(x) /a - a a x σ a a a a f f ( x) dx ( x) x dx a 3 x 3 a a a 3 a σ u g, 9g 3 3 Rozkład: Odchylene standardowe: Prostokątny o ogranczenach ± a Trapezowy o d. podstawe a, górnej ba, wysokośc /[(+b)a] a 3 a +b 6 5
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Trójkątny o podstawe a wys. /a Normalny o podstawe a a a 3 6 Przykłady Wyznaczyć wynkającą ze skwantowana nepewność rozszerzoną standardową pomarów temperatury wykonywanych przy użycu przetwornków R/I o zakresach C /- ma C/ 4 ma, poprzez rezystory 4 Ω przyłączonych do btowej karty pomarowej o zakresach 5 V. Wynk pomarów napęca, dokonywanych w warunkach powtarzalnośc są następujące:,;,;,;,99;,98;,;,99;,;,9;, V. Zakładając normalny rozkład błędu przypadkowego, oraz błąd systematyczny wynoszący % proszę określć oszacowane merzonego napęca na pozome ufnośc 68,7%, 95% 99,73. Dla danych z ćwczena powyżej wyznaczyć nepewnośc w oparcu o rozkład t- Studenta. 6
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Temat 3. POMIARY WIELKOŚCI DYNAMICZNYCH 3.. Pojęce błędu dynamcznego Właścwośc dynamczne narzędz pomarowych mogą powodować, że wartośc welkośc wyjścowych różną sę od poprawnych w sposób zależny od czasu. Np. przebeg odpowedz skokowej może być jak na ponższym rysunku. x(t), y(t) x(t) y(t) Rys. 3.. Pojęce błędu dynamcznego t Sygnał błędu dynamcznego określony jest wówczas jako: e ( t) y( t) x( t) ; e( t) y( t) S x( t) ; lub e( t) y( t) S x( t τ ) 7
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Jako funkcja jest neprzydatny dla celów porównawczych, dlatego korzysta sę z funkcjonałów charakteryzujących błąd dynamczny przy pomocy pojedynczej lczby: w dzedzne rzędnej może to być np. wartość maksymalna ε ( t ), lub tzw. przelot w dzedzne czasu: czas odpowedz, czas połówkowy t 5 %, t,/,9,, t, 5 lub parametry określone funkcjonałam całkowym, jak: ( t ) J ε dt gdy ε(t) ne zmena znaku, ( t ) J ε dt gdy ε(t) znakozmenne, ( t ) J ε dt załatwa problem znaku, wzmacna błędy duże J ( t ) - ε dt z funkcją wag, uwzględna początek przebegu e t J ( - -t e ) ε( t ) dt z funkcją wag, zanedbuje początek przebegu 8
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 9 3.. Sygnały okresowe odkształcone Dla funkcj analtycznej, spełnająca warunk Drchleta, okresowej: ( ). ) sn( ) (, ) cos( ) (,, ) ( : sn ) ( : π ); ( ) ( + + + + T T T dt t t f T A dt t t f T A A A A dt t f T A gdze ψ t A A t f wowczas T f T T t f t f Postać szeregu Fourera dla sygnałów o różnych rodzajach symetr, sym. wg -x: tylko neparzyste harmonczne, sym. wg OO, f(t)-f(-t) (f. neparzysta) ϕ, (tylko snu, sym. wg O-y, f(t) f(-t) (f. parzysta) ϕ π/ (tylko cosnu,
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Wdmo wybranych sygnałów prostokątny: a A(f) A T t A*/3 A*/5 A*/7 /T 3/T 5/T 7/T f f ( a t ) 4 sn( π ( ) π T t ) 3.3. Warunk przetwarzana neznekształcającego x(t) y(t) x(t) y(t) k*x(t) k*x(t-tau) t t Rys. 3.. Przetwarzane neznekształcające Warunek w dzedzne czasu (realstyczny): y ( t) S x( t τ )
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Jeżel: wówczas x ( t) Xo + X sn( t + ψ) : y ( t) S X + S X sn( ( t τ) + ψ ) Y o + Y o o + φ Y Y sn ( t τ + ψ ) sn ( t φ + ψ ) gdze : τ; τ const Warunk w dzedzne częstotlwośc: ampltudowy: Y /X S(w) const wzmocnene take samo dla wszystkch harmoncznych, fazowy: ϕ *τ przesunęce fazowe harmoncznych proporcjonalne do częstotlwośc t. zn. czas opóźnena tak sam dla wszystkch harmoncznych Przetwarzane neznekształcające sygnału pomarowego zachodz, jeżel sygnał wyjścowy z przetwornka jest w dzedzne czasu proporcjonalny do sygnału wejścowego, lub opóźnonego sygnału wejścowego. W dzedzne częstotlwośc oznacza to ż ampltudy poszczególnych harmoncznych sygnału wejścowego są wzmocnone w tym samym stopnu, a przesunęce fazowe (kąt opóźnena) wprowadzane przez przetwornk jest proporcjonalne do częstotlwośc harmoncznych. Warunek powyższy w praktyce dotyczy harmoncznych o znaczących udzałach w wdme; na ogół ogranczene go do perwszych harmoncznych jest wystarczające.
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 3.4. Właścwośc dynamczne przetwornków pomarowych x(t) y(t) W sposób najpełnejszy, obekt lnowy opsywany jest modelem w postac lnowego równana różnczkowego: a n m d y dy d x dx +... + a a y b b b x n + m +... + + m dt dt dx dt n gdze: n m - warunek realzowalnośc fzycznej Dla stanu statycznego, z defncj pochodne sę zerują, zatem: a y bx skąd: y S x równane charakterystyk statycznej, gdze: b a S oznacza czułość statyczną. 3.4.. Transformata Laplace a Zastosowane transformaty Laplace a rachunku operatorowego ułatwa oblczane systemów dynamcznych jest szeroko rozpowszechnone w automatyce stosowanych programach oblczenowych.
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Transformata Laplace a funkcj czasu f(t) - defncja: L st [ f ( t)] F( f ( t) e dt gdze: operator s jest lczbą zespoloną: s α + j Właścwośc transformaty Laplace a: a f ( t) a F( - mnożene przez stałą, f( t) +... + fn ( t) F ( +... + Fn ( - sumowane, df ( t) s F( - różnczkowane, dt t f F( f ( t) dt - całkowane, s τs ( t τ ) F( e - przesunęce w dzedzne czasu. Określane wartośc grancznych w dzedzne czasu na podstawe transformaty: lm lm s s s F( lm + s F( lm t t f ( t) f ( t) Oblczane transformaty odwrotnej pozwala przetransformować funkcję w dzedznę czasu: a) z defncj: f ( t) L [ F( ] πj σ + j σ j F( e st ds b) na podstawe m. n. twerdzena o rozkładze: dla N( F ( o begunach jednokrotnych arg[ M ( ] M ( s k : 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 f ( t) N n sk sk t e k M ' sk Wnosek: odpowedź obektu na zadane wymuszene jest sumą funkcj eksponencjalnych, a jej charakter zależy od wartośc begunów funkcj F(, które ogólne są lczbam zespolonym. 3.4.. Transmtancja operatorowa Algebrazacja modelu, poprzez przejśce do postac operatorowej: a n m Y ( s +... + a Y ( s + ay ( bm X ( s +... + b X ( s bx ( n + wyłączając wspólne wyrazy przed nawas otrzymuje sę: n m Y ( [ an s +... + a s + a ] X ( [ bm s +... + b s + b ] Pozwala to na łatwe określene transmtancj operatorowej, jako stosunku transformaty sygnału wyjścowego do transformaty sygnału wejścowego. Jak wynka z równana zapsanego powyżej, transmtancja wyraża sę lorazem dwóch funkcj welomanowych, o ustalonej postac ogólnej: G( Y ( b X ( a m n s s m n +... + b s + b +... + a s + a Funkcja transmtancj, dla danego obektu (stacjonarnego) pozostaje stała, nezależne od postac sygnału wymuszena dzęk temu jest powszechne stosowana dla opsu dynamcznych właścwośc obektów. Rząd transmtancj (stopeń manownka) odpowada lośc magazynów energ zawartych w obekce, a jej lcznk może meć zredukowaną lość wyrazów o nezerowych współczynnkach (np. tylko wolny wyraz b ). 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Różne obekty fzyczne: mechanczne, termodynamczne, elektryczne wykazujące podobne właścwośc dynamczne opsywane są transmtancjam o analogcznej strukturze, dlatego rozpoznane jej właścwośc określa całą klasę obektów. Odmennym postacom transmtancj (np. I lub II rzędu) odpowadają charakterystyczne różnce właścwośc dynamcznych. Transmtancja jest formą modelu stosowaną także w paketach oprogramowana komputerowego, dla opsu właścwośc modelowanych obektów. Wobec ustalonej postac ogólnej, określać ją można w sposób uproszczony, defnując jedyne wektory współczynnków lcznka manownka (np. zgodne z syntaktyką paketu Matlab): l [ am am... a a]; m [ b bn... b b ]; n Przykład 4 Wektory współczynnków transmtancj są następujące: określają one obekt l m [] ; [ ]; I rzędu, z wyłączne wolnym wyrazem w lcznku, o stałej czasowej T równej wzmocnenu statycznym równym : G ( s + Dla dowolnego wymuszena, w dzedzne operatorowej odpowedź obektu można oblczyć łatwo, jako loczyn transmtancj transformaty wymuszena. Postać czasową odpowedz, określć można następne jako transformatę odwrotną: Y ( G( X ( y( t) L [ Y ( ] 5
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 3.4.3. Odpowedź skokowa obektu Jako standardowy testowy sygnał wejścowy, przydatny dla badana dynamcznych właścwośc obektów, przyjmuje sę często skok jednostkowy, o postac określonej w dzedzne czasu następująco: x ( t) ( t) t. zn. dla dla t t > Transformata skoku jednostkowego jest następująca: ( t) s Odpowedź skokową, oznaczaną tradycyjne lterą H wyraża sę w dzedzne operatorowej jako: H ( G(, s wystarczy zatem transmtancję obektu podzelć przez operator s aby otrzymać transformatę odpowedz skokowej. Początkową końcową wartość odpowedz skokowej w dzedzne czasu określć można bez konecznośc lczena transformaty odwrotnej bywa to przydatne dla badana ogólnych właścwośc obektu. Na podstawe twerdzeń grancznych (vde str. 7) przyjmują one wprost wartośc odpowednch granc transmtancj operatorowej: lm lm + t t h( t) lm h( t) lm s s s H ( lm s H ( lm s s G( G( Jeżel potrzebna jest pełna formuła odpowedz skokowej w dzedzne czasu, otrzymać ją można analtyczne jako transformatę odwrotną, oblczoną np. na podstawe twerdzena o rozkładze (str. 7). W pakece Matlab, wykres odpowedz skokowej otrzymać można łatwo dla zadanej transmtancj, za pomocą nstrukcj Step(l,m), gdze argumenty l m oznaczają, uprzedno zdefnowane wektory współczynnków transmtancj. Można także wygodne wygenerować 6
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 odpowedź skokową obektu o zadanej transmtancj, w podprograme symulacyjnym paketu Matlab, o nazwe Smulnk, wyposażonym w grafczny nterfejs użytkownka. W tym celu należy, korzystając z bblotek elementów, zestawć wrtualną strukturę grafczną, zkonfgurować elementy uruchomć eksperyment. Przykładowa struktura dla badana obektu I rzędu jest przedstawona na ponższym rysunku. Rys. 3.4. Struktura wrtualna dla otrzymana wykresu odpowedz skokowej w programe Smulnk Transmtancja wdmowa Dla badana właścwośc obektów, pracujących przy wymuszenach okresowych, standardowym sygnałem testowym jest sygnał harmonczny: ( +ψ ) x( t) Xm sn t gdze: X - oznacza ampltudę, πf - pulsację, a ψ - fazę początkową. m Transformata Laplace a służy do opsu zachowana obektów lnowych, przy wymuszenach dowolnych, tak w stanach przejścowych jak ustalonych, a operator s jest ogólne lczbą zespoloną: s α + j Jeżel rozważana ogranczy sę jedyne do stanów ustalonych, osąganych przy wymuszenach harmoncznych, wówczas jak dowedzono operator s przyjmuje jedyne wartośc urojone a jego część rzeczywsta sę zeruje: s j 7
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Wynka stąd pojęce transmtancj wdmowej, jako stosunku transformaty ustalonej odpowedz na wymuszene harmonczne do transformaty tegoż wymuszena, oraz jej zwązek z wcześnej defnowaną transmtancją zmennej s: Y ( j ) X ( j) G ( j ) G( s j Transmtancja wdmowa jest funkcją zespoloną, można zatem przedstawć ją jako sumę częśc rzeczywstej urojonej, lub też w postac wykładnczej: G( j ) A + jb G( j) e gdze: A B oznaczają odpowedno rzeczywstą urojoną część transmtancj wdmowej, jϕ moduł G ( j + B ) A, a faza B ϕ ar tg. A Moduł transmtancj wdmowej, oznaczany skrótowo jako G ( ) posada konkretną nterpretację fzykalną jako stosunek ampltudy harmoncznej odpowedz obektu do ampltudy harmoncznego wymuszena, co przedstawone w funkcj częstotlwośc określa ampltudowoczęstotlwoścową charakterystykę obektu. G ( j ) G( ) Y X m m Faza (argument transmtancj wdmowej), oznacza przesunęce fazowe, którego doznaje sygnał harmonczny przetwarzany przez obekt. Przedstawona w funkcj częstotlwośc określa charakterystykę fazowo-częstotlwoścową obektu. Obe wymenone charakterystyk stanową parę komplementarną podawane łączne w pełn opsują sposób, w jak obekt przetwarza sygnały harmonczne. 8
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Obekt nercyjny perwszego rzędu Szeroko rozpowszechnony model, odpowadający obektom o pojedynczym magazyne energ. Przykłady: napełnane zbornka z wypływem, ogrzewane pojedynczej pojemnośc ceplnej, elektryczny fltr RC. Stosowany często także jako uproszczony model obektów bardzej złożonych. Omówony zostane ponżej w wersj znanej w lteraturze jako model dealnego termometru. Założena: - termometr dobrze merzy własną temperaturę q(t), - termometr wykazuje neskończoną przewodność ceplną, w wynku czego ne występuje rozkład temperatury w objętośc termometru, - termometr posada wydłużony kształt walcowy, a wymana cepła z otoczenem o temperaturze q o odbywa sę wyłączne poprzez wnkane przez powerzchnę boczną A, ze współczynnkem przekazywana cepła a, zgodne z równanem Newtona, - cepło pobrane przez termometr z otoczena jest w całośc zużyte na podnesene własnej temperatury termometru, o mase m ceple właścwym c, zgodne z prawem Fourera; pojemność ceplna termometru jest jedynym występującym w rozważanym obekce magazynem energ. Zgodne z przedstawonym założenam traktujemy termometr jako obekt przetwarzający sygnał temperatury otoczena na własną temperaturę termometru, co schematyczne przedstawa rysunek 9 q o Termometr o parametrach: m, A, c, a l q Rys. 3.5. Termometr dealny jako obekt przetwarzana sygnału temperatury 9
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Blans ceplny stanow fzyczną podstawę modelu matematycznego rozważanego termometru, w którym prędkośc poberana cepła jego zużytkowana są dentyczne: dqp dqz dt dt dϑ A α ( ϑo ϑ ) m c dt m c dϑ + ϑ ϑo A α dt Netrudno zauważyć ż czułość statyczna obektu wynos, oraz wobec przyjętych defncj wejśca wyjśca o dentycznych postacach fzycznych wyraża sę lczbą nemanowaną. Oba wymenone fakty mogłyby ulec zmane przy zastosowanu nnych możlwych defncj obektu. m c Przyjmując oznaczene: T, oraz przechodząc z dzedzny czasu do dzedzny A α operatorowej otrzymuje sę model w forme równana algebracznego: T s ϑ ( + ϑ( ϑ ( o W konsekwencj transmtancja operatorowa wyraża sę bardzo prosto: G( ϑ( ( T s + ϑ o Badana właścwośc obektu w dzedzne czasu można przeprowadzć badając skokową odpowedź modelu, czemu fzyczne odpowada np. neskończene szybke przenesene termometru z otoczena o jednej temperaturze do otoczena o nnej temperaturze. Wartośc granczne odpowedz skokowej określć można bezpośredno z operatorowej postac transmtancj, oblczając jej grance (vde str. ): lm lm t + t h( t) lm h( t) lm s s G( G( 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Odpowedź skokowa rozpoczyna sę od wartośc zerowej (początkowa temperatura otoczena) po czase neskończene długm osąga wartość (końcowa temperatura otoczena). Dla blższego ustalena sposobu przejśca pomędzy tym wartoścam, koneczne jest określene funkcj odpowedz skokowej w dzedzne czasu, którą w tym przypadku łatwo znaleźć na podstawe twerdzena o rozkładze (str. 7). Transformata odpowedz skokowej wynos: H ( G( s s T s + Istneją dwa beguny (mejsca zerowe manownka) o wartoścach: s s, T Pochodna manownka ma postać ogólną: dla begunów przyjmuje wartośc: zatem odpowedź skokowa: M s ' s T + M ' s oraz M s ' h( t) t t T e e e t T Wykres odpowedz skokowej przedstawa rysunek. 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Rys. 3.6. Wykres odpowedz skokowej, wywołany w programe Matlab za pomocą nstrukcj step(l,m) gdze: l[], m[ ] Znaczene stałej czasowej T lustrują następujące wartośc: h( T ),63 h ( 3T ), 95 h ( 5T ), 993 Prędkość narastana odpowedz wynka z jej pochodnej: dh ( t ) e dt T która osąga wartość maksymalną: dh( t) dt t T dh( t) dt max t co nterpretować stałą czasową w oparcu o styczną do wykresu odpowedz, wystawoną w punkce t, jako odcętą punktu przecęca tej stycznej z asymptotą. T 3
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Przebeg odpowedz skokowej obektu nercyjnego I rzędu o transmtancj typu k/(ts+) wykazuje następujące właścwośc: zaczyna sę w punkce [,], rośne monotonczne, osąga wartość charakterystyczną,63k po czase równym stałej czasowej, najwększą prędkość narastana osąga w momence początkowym, zmerza do asymptoty pozomej o wartośc współczynnka wzmocnena statycznego. Wnosk: błąd dynamczny przetwornka I rzędu może osągać wartośc %, a odpowedź skokowa zblża sę do wartośc bezbłędnej po upływe ok. 5 stałych czasowych, przetwornk perwszego rzędu przetwarza poprawne sygnał dynamczny, jeżel jego stała czasowa jest pomjalne mała w skal czasu, w której rozważane jest zjawsko, Właścwośc obektu nercyjnego I rzędu dla sygnałów okresowych charakteryzuje transmtancja wdmowa: G( j ) G( s j jt + jt jt + jt + T A + jb T + j + T Moduł transmtancj wdmowej: G( j) G( ) Argument transmtancj wdmowej: A + B + T ( + T ) + T B ϕ( ) a tg a tg( t) A 33
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Wykresy obu charakterystyk częstotlwoścowych (ampltudowej fazowej) otrzymać można w Matlabe dla zadanej transmtancj obektu, poprzez proste wywołane nstrukcj bode(l,m). Uzyskane dla przykładowego obektu wykresy przedstawa ponższy rysunek. Rys. 3.7. Charakterystyk częstotlwoścowe obektu I rzędu wywołane w Matlabe nstrukcją bode(l,m) gdze: l[], m[ ] Wnosek: dolnoprzepustowy przetwornk I rzędu spełna ampltudowy fazowy warunek przetwarzana neznekształcającego w zakrese nskch częstotlwośc (począwszy od zera), stała czasowa pownna być dobrana tak, aby wdmo sygnału merzonego zmeścło sę w paśme o dopuszczalnych znekształcenach. Obekt drugego rzędu 34
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Transmtancja operatorowa obektu II rzędu może być przedstawona następująco: Y ( G( A( s + b s + gdze: s, o ( b ± b ) ( s s ) ( s s ) W powyższym równanu s,s oznaczają beguny, które jako rozwązana równana kwadratowego mogą przyjmować wartośc rzeczywste, bądź zespolone, w zależnośc od wartośc współczynnka b, zwanego stopnem tłumena wyrażonego lczbą rzeczywstą neujemną. Decyduje to o szczegółowych właścwoścach obektu. Odpowedź skokowa obektu drugego rzędu może być zapsana w postac operatorowej z której natychmast wynka obecność trzech begunów: H ( G( s s ( s s ) ( s s ) Na mocy twerdzena o rozkładze wynka z powyższego, ż czasowa postać odpowedz ogólne wyraz sę sumą trzech składnków eksponencjalnych (w tym jeden zredukowany do jednośc). W zależnośc od stopna tłumena funkcja ta przyjmuje postac przedstawone ponżej: b < h( t) b t e h b sn( t b + arcsn b ) b h( t) ( + t) e h t 35
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 b > h( t) e h T b t T snh( b T T ( T e T e ) t t t b + arc snh b ),8,6,4,,8,6,4, 5 5 Rys. 4 Odpowedz skokowe obektów II rzędu o stopnach tłumena:,;,5;,7; ; Właścwośc częstotlwoścowe obektu II rzędu wynkają z jego transmtancj wdmowej: G( j ) G( s j + jbo + Mnożąc lcznk manownk przez lczbę sprzężoną do manownka porządkując wyróżnć można rzeczywstą urojoną część transmtancj: o 36
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 37 [ ] 4 ) ( Re + o o o o b j G [ ] 4 ) ( Im + o o o o b b j G Moduł transmtancj wdmowej wyrażą sę następująco: 4 + b G o gdze: o - oznacza pulsację drgań własnych netłumonych, b - stopeń tłumena. Rodznę charakterystyk ampltudowo-częstotlwoścowych obektów rzędu przedstawa rysunek 5.
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 3,,5,,5,,5,,,5,,5,,5 Rys. 5. Moduł transmtancj wdmowej obektu II rzędu w funkcj pulsacj względnej, dla wybranych wartośc stopn tłumena:,,35,5,77 Warunk stnena współrzędne lokalnego maksmum funkcj modułu znaleźć można oblczając jej pochodną przyrównując ją do zera. Odcęta szczytu rezonansowego wynos: r b a warunkem stnena ekstremum jest: b < Rzędna rezonansu określona jest wartoścą modułu transmtancj dla odcętej rezonansowej wynos: 38
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 G ( ) ( ) G r b b Oba powyższe równana określają w forme parametrycznej mejsce geometryczne szczytów rezonansowych w zależnośc od stopna tłumena. Wnosk: Obekt II rzędu przenos składową stałą sygnały o nskch częstotlwoścach a tłum sygnały wysokoczęstotlwoścowe, wykazuje węc właścwośc fltru dolnoprzepustowego, Przebeg charakterystyk ampltudowo-częstotlwoścowej może być monotonczny lub wykazuje rezonans, w zależnośc od stopna tłumena, którego wartość granczna w tym aspekce, wynos /, Ze wzrostem stopna tłumena wysokość rezonansu maleje maleje jego odcęta, Warunk przetwarzana neznekształcającego spełnone są dla nskch częstotlwośc (począwszy od zerowej), Dla nezmennej częstotlwośc własnej przetwornka, zakres spełnena warunków przetwarzana neznekształcającego zależy od stopna tłumena może być optymalzowany. 39
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Temat 4. ANALOGOWE I ANALOGOWO - CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁU POMIAROWEGO 4.. Pojęce sygnału Struktura sygnału Przez sygnał rozumemy welkość fzyczną realzującą pewen przebeg czasowy. Sygnał składa sę z nośnka fzycznego funkcj czasu, stanowącej składnk nformacyjny. Przetwarzanu w torze pomarowym podlegają oba składnk sygnału. Rodzaje sygnałów Cągłe, (analogowe), necągłe (dyskretne, bnarne), Zmenne, okresowe, neokresowe Parametry sygnału pomarowego ch detekcja, jako realzacja funkcjonału: detekcja jako realzacja funkcjonału, wartośc ekstremalne, szczytowa, mnmalna, mędzyszczytowa wartość średna, X X max mn X p p X wartość średna wyprostowana, sr [ x( t ] t [ x( t ] t max ) mn ) X max X mn T t+ T t x( t) dt X sr, p T t + T t x( t) dt wartość skuteczna, 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 X sk T t+ T t x ( t) dt dla przebegów odkształconych: X sk X sk k, k współczynnk kształtu, wsp. szczytu. k X sk k, dla snusody Xsr, p X max ks Xsk dla snusody. 4.. Typowa struktura toru pomarowego a) z lną transmsyjną analogową Czujnk Kondycjoner A/C IF µp b) z lną cyfrową Lna + protok Czujnk Kondycjoner A/C IF IF µp 4.3. Przetwornk elementarny Przetwornk: elementarny zespół elementów realzujących określoną funkcję przetwarzana Podzał: N/N, N/E, E/E. Właścwośc statyczne przetwornków: 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 charakterystyka statyczna: czułość: S(X)const, zależność lnowa, lnowa z błędem lnowośc, S(X)var, zależność nelnowa (np perwastkująca, wykładncza), hstereza, jako odrębny parametr lub włączona w ogólny błąd, wrażlwość temperaturowa, ew. nne, dryfty: zera, czułośc. aktualność metryk. Właścwośc dynamczne przetwornków. 4.4. Czujnk Czujnk: wyodrębnony, funkcjonalny zespół przetwornków, poberający sygnał bezpośredno z obektu pomaru. Złożona struktura czujnka jego zadana Przykłady: a) rezystancyjny czujnk temperatury (ew. z przetwornkem elektroncznym w głowcy), b) pezorezystancyjny czujnk różncy cśneń. Zadana: a) fltracja sygnału z pola zjawskowego, b) powtarzalne właścwośc przetwarzana, c) ew. przystosowane sygnału do dalszego przetwarzana. Obcążające dzałane czujnka na obekt pomaru. 4.5. Kondycjonery 4
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Przetwornk elektronczne X/U X/U U f ( R Pt ) Rejestr ator R Pt U z V V Przetwornk elektronczne X/I z przyłączenem 4-przewodowym, R/I ( ) I f R Pt ma ma Rejestr ator R Pt U z I max I mn I S S I X ( X X ) max max I X X mn X max I [ ; ma] mn mn mn Przetwornk elektronczne X/I z przyłączenem -przewodowym, 43
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 X/I ma ma U z I f ( R Pt ) Rejestr ator ( t t mn ) Imn I S + [ 4; ] I ma X mn X maxmax 44
Konspekt wykładu dla Studum Doktoranckego 7/8 Sps lteratury A. Lteratura podstawowa. Notatk z wykładu. L.Mchalsk, K.Eckersdorf, J.Kucharsk Termometra Przyrządy metody WNT 968 3. S. Skoczowsk Technka regulacj temperatury PAK 4. E.Romer Mernctwo przemysłowe PWN 978 5. Praca zborowa Pomary ceplne WNT 993 6. P.H.Sydenham Podręcznk metrolog WKŁ 988 7. Wyrażane nepewnośc pomaru - Przewodnk GUM 998 8. Mędzynarodowy słownk podstawowych ogólnych termnów metrolog GUM 996 B. Lteratura uzupełnająca 9. R. Hagel, J.Zakrzewsk Mernctwo dynamczne WNT 984. M.Łapńsk, W.Włodarsk Mernctwo elektryczne welkośc neelektrycznych WNT 968. B.Szumelewcz n. Pomary elektronczne w technce WNT 98. J.Taler Teora praktyka dentyfkacj procesów przepływu cepła Ossol. 995 3. J.R.Taylor Wstęp do analzy błędu pomarowego PWN 995 4. S.Wśnewsk Pomary temperatury WNT 983 5. M.Wołek Metrologa przemysłowa UŚl. 979 6. Matematyka - Poradnk encyklopedyczny lubony podręcznk matematyk wyższej 45