Zastosowanie algorytmu z wykładniczym zapominaniem do korekcji dynamicznej metodą w ciemno

Transkrypt

1 65 Prace Instytutu Mechank Górotworu PAN Tom 7, nr -, (5), s Instytut Mechank Górotworu PAN Zastosowane algorytmu z wykładnczym zapomnanem do korekcj dynamcznej metodą w cemno PAWEŁ JAMRÓZ, ANDRZEJ SKALSKI Instytut Mechank Górotworu PAN, ul. Reymonta 7; 3-59 Kraków Katedra Metrolog Akadem Górnczo-Hutnczej, al. Mckewcza 3; 3-59 Kraków Streszczene W artykule przedstawono deę korekcj dynamcznej z wykorzystanem dwóch czujnków pomarowych. Metoda ta pozwala na jednoczesną dentyfkację parametrów dynamcznych oraz korekcję błędu dynamcznego wnoszonego przez przetwornk. Z uwag na często występujące fluktuacje współczynnków opsujących dynamkę czujnków, w pracy skupono sę nad teracyjną metodą dentyfkacj pozwalającą na szybke ch wykrywane. W pracy zameszczono przykładowe wynk badań symulacyjnych przeprowadzonych z wykorzystanem omawanej metody. Słowa kluczowe: korekcja, błąd dynamczny, przetwornk I rzędu, dentyfkacja. Wstęp Zagadnene korekcj dynamcznej metodą w cemno porusza tematykę pomarów z wykorzystanem układu dwóch torów pomarowych, w których czujnk poddawane są temu samemu, neznanemu wymuszenu [4, 6, 7, 8]. Zakładając dowolny kształt przebegu merzonych sygnałów w funkcj czasu, zadane korekcj jest rozwązywalne w układze z dwoma czujnkam o różnych właścwoścach dynamcznych. Głównym celem stosowana takego systemu jest mnmalzacja błędów wynkających z budowy właścwośc czujnków pomarowych. W trakce dzałana takego systemu dokonywana jest mnmalzacja wskaźnka jakośc określonego jako kwadrat różncy sygnałów odpowedz z poszczególnych torów przetwarzana sygnałów. Zgodne z obecnym tendencjam konstruowana systemów pomarowych prezentowany system wykorzystuje proste układy analogowe, a cężar końcowego wyznaczana wynku pomaru został przerzucony na stronę programową. W odróżnenu od nnych metod korekcj (np. szeregowej lub równoległej) ne ma potrzeby przeprowadzana wcześnejszej dentyfkacj wartośc współczynnków modelu toru pomarowego zwązanych z jego właścwoścam dynamcznym. Wszelke zmany wartośc tych współczynnków są na beżąco wykrywane uwzględnane w procedurze korekcj. W faze projektowana tworzena torów pomarowych wystarczające jest tylko oszacowane zakresu możlwych zman wartośc tych współczynnków. Artykuł ten zawera przykładowe badana symulacyjne przeprowadzone dla czujnków pomarowych zamodelowanych jako obekty nercyjne perwszego rzędu. System oparty o powyższe założena można przedstawć w postac schematu blokowego przedstawonego na rys.. Sygnał merzony u( doprowadzony jest do wejść dwóch analogowych przetwornków o różnych właścwoścach dynamcznych. Sygnały wyjścowe tych przetwornków x ( oraz x ( przetwarzane są na ch reprezentację cyfrową z częstotlwoścą próbkowana f s. Na tak uzyskanych danych przeprowadzana jest procedura dentyfkacj współczynnków modelu dynamk przetwornków [7].

2 66 Paweł Jamróz, Andrzej Skalsk h(). u(t )d x ( A/C x( u( f s Algorytm dentyfkacj korekcj y( h(). u(t )d x ( A/C x( Rys.. Schemat blokowy systemu pomarowego wykorzystującego korekcję dynamczną metodą w cemno, h (τ), h (τ) odpowedz mpulsowe obektów, f s częstotlwość próbkowana Dynamkę powyższego systemu można zapsać w postac następujących równań: dx( u( x ( T dt dx( u( x ( T dt () Porównane prawych stron układu dalsze przekształcena prowadzą do powstana nadokreślonego układu równań zapsanego w postac macerzowej: dx () dt dx () dt dx dt dx ( N) dt dx() dt x () x () dx() x() x () dt T dx( T x( x dt dx ( ) x( N) x ( N) N dt () Problem dentyfkacj stałych czasowych sprowadza sę do rozwązana powyższego układu równań. W nnejszym artykule zaproponowano metodę z wykorzystanem algorytmu z wykładnczym zapomnanem.. Zmodyfkowany algorytm z wykładnczym zapomnanem Jednym z zadań w trakce procesu korekcj jest koneczność przeprowadzena autodentyfkacj parametrów określający dynamkę czujnków pomarowych. W badanym systeme opracowano algorytm dentyfkacj operający sę na właścwoścach klasycznego algorytmu z wykładnczym zapomnanem [, 4]. Idea algorytmu polega na tym, że wpływ przeszłych wynków pomarowych na aktualne wyznaczane parametry obektów maleje wraz z różncą czasu beżącego, a czasem uzyskana wynków. Szybkość, z jaką maleje wpływ przeszłych pomarów zależy od wartośc współczynnka zapomnana λ. W metodze tej w mejsce mnmalzacj zwykłej sumy kwadratów błędów, jak to ma mejsce w klasycznym algorytme najmnejszej sumy kwadratów, mnmalzowana jest suma ważona. Algorytm można przedstawć w postac : gdze: T T W celu uproszczena zapsu t zastąpono. ( T ) ( x x ) [ x x ( ] K ( ) K x P x ( (3) c (4)

3 Zastosowane algorytmu z wykładnczym zapomnanem do korekcj dynamcznej metodą w cemno 67 T ( A A ) P (5) T ( A A ) P (6) c x x ( T [ x x ] ( A A ) A [ x x ( )] (8) ( (7) ẋ (, ẋ ( perwsze pochodne sygnałów odpowedz czujnków x (, x ( w chwl t, wyznaczane jako progresywne lorazy różncowe perwszego rzędu. Warunk początkowe dobrano z następujących zależnośc: P T ( A A ),, (9) T T T ( A, A,) A,, b () A, x () x () ( ) ( ) x x, x ( ) ( ) x x() x () x() x () b, (), () x() x () Z uwag na fakt, że obydwa tory pomarowe są równorzędne, jako sygnał odtworzony y( wzęto średną arytmetyczną sygnałów na wyjścu korektorów dla wyznaczonej chwl czasu opsany zależnoścą (3). x( t ) T x ( t ) x( t T x ( t ) y( (3) Stosowane algorytmu z wykładnczym zapomnanem wymaga newelkej pamęc procesora oraz mnejszych nakładów oblczenowych. Dodatkową zaletą stosowana tego algorytmu jest możlwość pracy na beżąco. 3. Analza uzyskanych wynków symulacyjnych Decydującym o przebegu procesu dentyfkacj parametrem jest współczynnk λ. Mów on o wpływe poprzednch wynków dentyfkacj (dla chwl (,, 3,...)) na beżącą wartość oceny parametrów dynamcznych obektów. Przyjmując λ = otrzymujemy algorytm rekurencyjny, w którym wszystke wynk pomarowe wpływają z jednakową wagą na aktualną ocenę parametrów obektu. Wraz ze zmnejszenem wartośc współczynnka λ pamęć algorytmu staje sę krótsza, co oznacza, że o aktualnych to jest wyznaczonych w -tej chwl wartoścach współczynnków modelu decyduje coraz mnejsza lczba przeszłych wynków pomarowych. Wartość współczynnka λ dobera sę w zależnośc od szybkośc zman parametrów dentyfkowanego obektu oraz od pozomu zakłóceń zawartych w wynkach pomarowych gdyż jego wpływ jest dwukerunkowy. Z jednej strony skracane pamęc algorytmu (odpowada mu zmnejszane wartośc współczynnka λ) zwększa dynamkę tego algorytmu, co oznacza, że posada on wększą zdolność do reagowana na szybke zmany parametrów obektu. Z drugej strony wyznaczane ocen parametrów dentyfkowanego obektu (ma to mejsce właśne w przypadku skracana pamęc algorytmu) powoduje, że wynk dentyfkacj są bardzej wrażlwe na zakłócena. W oparcu o powyższe rozważana przeprowadzono badana symulacyjne wpływu parametru λ na bezwzględny błąd skutecznośc korekcj opsany wzorem: = max u(t ) y(t =,,..., N (4)

4 68 Paweł Jamróz, Andrzej Skalsk System pomarowy został poddany wymuszenu u( = 4,5. sn(ƒ U, gdze ƒ U = Hz. Zgodne z założenam odnośne różnej dynamk czujnków pomarowych, czujnk zamodelowano obektam nercyjnym perwszego rzędu o stałych czasowych wynoszących odpowedno: T = K +.5. K. sn(. ƒ T. ), T = K +.5. K. sn(. ƒ T. t + φ)), gdze ƒ T /ƒ U = var, K =.3, K =.7 (Rys. ). maksymalny b³¹d bezwzglêdny korelacj f T/f U=.5 f T/f U=. f T/f U=.5 f T/f U= wartoœæ wspó³czynnka Rys.. Wpływ współczynnka zapomnana λ na maksymalny błąd bezwzględny korekcj Dla założonych parametrów systemu pomarowego oraz przyjęcu ƒ T /ƒ U =. sprawdzono dokładność dentyfkacj (Rys. 3). a) b) =.9 =.97 =.99 = T( =.9 =.97 =.99 = T( Rys. 3. Wpływ współczynnka lambda na dokładność dentyfkacj parametrów dynamcznych czujnków pomarowych zamodelowanych jako obekty nercyjne -go rzędu. a) dentyfkacja T = K +.5. K. sn(. ƒ T. ), b) dentyfkacja T = K +.5. K. sn(. ƒ T. t + φ)), gdze K =.3, K =.7 Z uwag na wpływ dokładnośc dentyfkacj parametrów dynamcznych [4] czujnków pomarowych na skuteczność korekcj dynamcznej metodą w cemno, otrzymane lepsze wynk dentyfkacj będą przekładać sę na zwększene dokładnośc samej korekcj dynamcznej. Oprócz dokładnośc dentyfkacj,

5 Zastosowane algorytmu z wykładnczym zapomnanem do korekcj dynamcznej metodą w cemno 69 na skuteczność korekcj wpływ ma dokładność wyznaczena pochodnej sygnału otrzymanego z czujnków pomarowych, jak równeż sam zarejestrowany sygnał (wzór 3). Na rysunku 4 zaprezentowano fragment zasymulowanego sygnału, którym pobudzano układ pomarowy. Rysunek ten przedstawa równeż zarejestrowane, skorygowane w oparcu o opsywaną metodę sygnały odpowedz =.9 =.97 =.99 = wymuszene Rys. 4. Wpływ współczynnka lambda na dokładność korekcj dynamcznej metodą w cemno Otrzymane wynk symulacyjne potwerdzają wcześnejsze badana. Dla współczynnka λ =.99 otrzymano najlepsze dopasowane sygnału po korekcj do rzeczywstego sygnału pomarowego. Dzęk zastosowanu korekcj dynamcznej metodą w cemno uzyskuje sę lepsze odtworzene sygnału merzonego (Rys. 5) w porównanu do zarejestrowanego sygnału odpowedz czujnków pomarowych [4, 6, 7, 8]. 4 3 wymuszene odpowedÿ czujnka odpowedÿ czujnka sygna³ po korekcj chwlowa wartoœæ sygna³u Rys. 5. Wpływ korekcj dynamcznej metodą w cemno na odtworzony sygnał merzony. Parametry badana symulacyjnego: u( = 4,5. sn(ƒ U, T = K +.5. K. sn(. ƒ T. ), T = K +.5. K. sn(. ƒ T. t + φ)), gdze ƒ U = Hz, ƒ T /ƒ U =., K =.3, K =.7

6 7 Paweł Jamróz, Andrzej Skalsk Dla obektów stacjonarnych o nezmennych parametrach w czase zasadne jest stosowane algorytmu dla λ [], który przyjmuje postać rekurencyjnego algorytmu najmnejszej sumy kwadratów. W sytuacj gdy parametry obektu mogą ulegać zmane w czase, należy zastanowć sę nad odpowednm doborem wartośc parametru λ w zależnośc od dynamk tych zman, typu wymuszena oraz występujących zakłóceń. 4. Podsumowane W artykule zaprezentowano algorytm dentyfkacj parametrów dynamcznych metodą najmnejszych kwadratów z wykładnczym zapomnanem. Jak pokazały przeprowadzone badana stotnym problemem jest dobór parametru λ. W prezentowanym przykładze (rys. ) optymalna wartość współczynnka lambda wynos.99. Jeżel wpływ zman sygnału wymuszającego na parametry dynamczne jest duży zaleca sę stosowane metody przedstawonej w [8], która zwększa złożoność problemu dentyfkacyjnego. Przedstawona metoda dentyfkacj jest możlwa do mplementacj w strukturach FPGA, co pozwala na przeprowadzane korekcj w czase rzeczywstym. 5. Lteratura [] Björck Å., Dahlqust G.: Metody numeryczne, WN PWN, Warszawa 983. [] Gajda J., Szyper M.: Modelowane badana symulacyjne systemów pomarowych, Wyd. AGH, Kraków 998. [3] Hagel R., Zakrzewsk J.: Mernctwo dynamczne, Wyd. II, WNT, Warszawa 984. [4] Jamróz P., Skalsk A.: Badana symulacyjne wpływu wybranych algorytmów dentyfkacj na dokładność korekcj w cemno dla torów pomarowych nskego rzędu, Praca magsterska, Kraków AGH 5. [5] Mathworks Inc.: Matlab. User s Gude. [6] Nabelec J.: An Outlook on the DSP Dynamc Error Blnd Correcton of the Analog Part of the Measurement Channel, The 6 th IEEE Instrumentaton and Measurement Technology Conference IMTC/99, Vence, Italy, May 4-6, 999. [7] Nabelec J., Jamróz P., Skalsk A.: Hybrydowy algorytm korekcj w cemno dla torów pomarowych nskego rzędu, Elektrotechnka Elektronka 5, t. 4, z. w druku. [8] Nabelec J., Zatorsk A.: Korekcja błędu dynamcznego nestacjonarnego systemu pomarowego I rzędu w cemno dla wybranego przypadku okresowego, XV Sympozjum Modelowane Symulacja Systemów Pomarowych, 8- wrześna 5 r. Krynca w druku. Iteraton algorthm of the blnd correcton for the low order transducers Abstract The artcle presents the measurng system destned for the blnd correcton of the dynamc error and one of the dentfcaton method, whch can be used n real tme. Blnd correcton allows to dentfy dynamc characterstc of the I-order system sensors and to correct the dynamc error n the same tme. The presented teraton algorthm allows for slow fluctuaton of sensors value tme constants relatng to measurng sgnal. Theoretcal dscusson s vsualzed by smulaton research results. Keywords: dynamc error, I-order transducer, self-dentfcaton, blnd correcton Recenzował: dr nż. Barbara Bsztyga, Akadema Górnczo-Hutncza