O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta

O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta Krzysztof RYKACZEWSKI Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu SNA 2011 Toruń, 10 września 2011 Krzysztof RYKACZEWSKI 1/23

Sformułowanie problemu Załóżmy, że H jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Problem: { y (t) Ay(t) + F ( t, y(t) ) + Bu(t), dla t J := [0, T ], T > 0, y(0) = x 0 H. (1) Krzysztof RYKACZEWSKI 2/23

Sformułowanie problemu Definicja 1. Przez rozwiązanie inkluzji (1) rozumiemy łagodne rozwiązanie, tj. y C(J, H) będące postaci t t y(t) = y(t; u) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + S A (t s)bu(s) ds, (2) 0 0 gdzie f (t) F ( t, y(t) ), dla p.w. t J, oraz u L 2 (J, U). Krzysztof RYKACZEWSKI 3/23

Historia i motywacja Przypadek hiperboliczny: [OZ09] (α) A: D(A) H H jest domkniętym operatorem generującym C 0 półgrupę liniowych ograniczonych operatorów S = { S A (t) := e At} t 0. (ψ0) F : J H H ma zwarte i wypukłe wartości; (ψ1) F (, x): J H ma mierzalny selektor dla każdego x H; (ψ2) dla p.w. t J multifunkcja F (t, ): H H jest u.s.c.; (ψ3) dla każdego ograniczonego podzbioru Ω H istnieje funkcja µ Ω L 1( J, [0, + ) ) taka, że χ H ( F (t, Ω) ) µω (t)χ H (Ω); (3) (β) B : L 2 (J, U) H jest ciągłym liniowym operatorem. Krzysztof RYKACZEWSKI 4/23

Historia i motywacja Definicja 2. Powiemy, że układ (1) jest całkowicie sterowany na odcinku J, jeśli dla każdego x 0, x 1 H istnieje u L 2 (J, U) takie, że łagodne rozwiązanie problemu (1) spełnia y(0; u) = x 0, y(t ; u) = x 1. Twierdzenie 3 ([OZ09]). Jeśli liniowa cześć zagadnienia (1) jest całkowicie sterowalna, to całkowicie sterowalny jest też układ zaburzony. Przypadek paraboliczny: [DM02], [M08] Krzysztof RYKACZEWSKI 5/23

Uwaga 4. Triggiani pokazał [T77, T80], że jeśli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha i B jest zwartym operatorem, lub S A (t) jest zwarty dla każdego t J, to problem (1) nie jest nigdy całkowicie sterowalny. Definicja 5. Układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na odcinku J jeśli dla każdego x 0 H mamy R(T, x 0 ) = H, gdzie R(T, x 0 ) := {y(t ; u) u L 2 (J, U), y(0; u) = x 0 } jest zbiorem osiągalnym dla układu (1) z stanu początkowego x 0 w czasie końcowym T. Krzysztof RYKACZEWSKI 6/23

Uwaga 4. Triggiani pokazał [T77, T80], że jeśli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha i B jest zwartym operatorem, lub S A (t) jest zwarty dla każdego t J, to problem (1) nie jest nigdy całkowicie sterowalny. Definicja 5. Układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na odcinku J jeśli dla każdego x 0 H mamy R(T, x 0 ) = H, gdzie R(T, x 0 ) := {y(t ; u) u L 2 (J, U), y(0; u) = x 0 } jest zbiorem osiągalnym dla układu (1) z stanu początkowego x 0 w czasie końcowym T. Krzysztof RYKACZEWSKI 6/23

Założenia Liniowa część: (A) A: D(A) H H jest domkniętym operatorem generującym zwartą C 0 półgrupę liniowych ograniczonych operatorów S = { S A (t) } t 0, tzn. dla każdego t > 0 operator S A (t) L(H) jest zwarty. Wielowartościowe zaburzenie F : J H H (por. [GK] i [OZ09]): (F0) F ma słabo zwarte i wypukłe wartości; (F1) F (, x): J H ma mierzalny selektor dla każdego x H; (F2) dla p.w. t J multifunkcja F (t, ): H H jest u.h.c.; (F3) dla każdego ograniczonego podzbioru Ω H istnieje funkcja µ Ω L 1( J, [0, + ) ) taka, że F (t, x) = sup z F (t,x) z µ Ω (t), dla p.w. t J, x Ω; (4) (B) B : L 2 (J, U) H jest ciągłym liniowym operatorem. Krzysztof RYKACZEWSKI 7/23

Rodzaje ciągłości Odwzorowanie φ jest górnie półciągłe (lub u.s.c.) jeśli zbiór φ 1 (A) := {x X φ(x) A } jest domknięty dla każdego domkniętego podzbioru A Y ; odwzorowanie φ jest dolnie półciągłe (lub l.s.c.) jeśli zbiór φ 1 (U) = {x X φ(x) U } jest otwarty dla każdego otwartego podzbioru U Y. Odwzorowanie φ: X H jest górnie hemiciągłe (lub u.h.c.), jeśli dla każdego p H funkcja X x σ φ(x) (p) := sup y φ(x) p, y R {+ } jest górnie półciągła (jako rozszerzona funkcja rzeczywista). Krzysztof RYKACZEWSKI 8/23

Operator Nemitskĭı ego P F : C(J, H) L 1 (J, H): P F (y) = { f L 1 (J, H) f (t) F ( t, y(t) ), dla p.w. t J }. (5) Łatwo widać, że P F (y) jest wypukły dla każdego y C(J, H). Udowodnimy teraz kilka prostych własności operatora P F. Lemat 6 (por. [GK]). Niech y C(J, H) i F : J H H spełnia (F0) (F3). Wtedy istnieje przynajmniej jedna całkowalna w sensie Bochnera selekcja f F (, y( ) ). Innymi słowy, operator Nemitskĭı ego ma niepuste wartości. Fakt 7 (por. [GK]). Operator P F jest ciągowo u.h.c. o słabo zwartych wartościach. Krzysztof RYKACZEWSKI 9/23

Wygodnym jest w tym miejscu wprowadzić dwa pomocnicze operatory i założenia na nie. H T 0 = T 0 S A (T s)bb S A(T s) ds : H H, R(α, H T 0 ) = (αi + H T 0 ) 1 : H H. Krzysztof RYKACZEWSKI 10/23

Jest znanym fakt [DM02], że warunek (HBA) αr(α, H T 0 ) 0, gdy α 0+ w silnej topologii operatorowej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy { y (t) = Ay(t) + Bu(t), y(0) = x 0 (6) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 11/23

Rozwiązanie problemu Istnienie sterowalności aproksymacyjnej jest równoważne rozwiązywalności natępującego układu równań: u(t) = u α x 1,f (t) = B S A(T t)r(α, H T 0 )p(f ), (7) t t y(t) = y α (t) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + S A (t s)bux α 1,f (s) ds, (8) 0 0 gdzie T p(f ) = x 1 S A (T )x 0 S A (T s)f (s) ds i f P F (y). 0 Krzysztof RYKACZEWSKI 12/23

W tej części prezentacji będziemy starali się rozwiązać problem (1) za pomocą teorii punktów stałych odwzorowań wielowartościowych. W tym celu dla α > 0 definiujemy operator S α : L 1 (J, H) C(J, H) za pomocą wzoru ( S α f ) t (t) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + 0 t 0 S A (t s)bu α x 1,f (s) ds, dla f L 1 (J, H). Krzysztof RYKACZEWSKI 13/23

Problem punktu stałego Rozważmy operator Γ α : C(J, H) C(J, H) dany wzorem Γ α (y) = { z C(J, H) z(t) = ( S α f ) (t), dla f P F (y) }, dla α > 0. (9) Wnisek 8 (por. [OZ09]). Operator Γ α = S α P F jest u.s.c. i ma zwarte wartości, dla α > 0. Pokażemy, że operatory Γ α mają punkty stałe. Krzysztof RYKACZEWSKI 14/23

Możemy teraz sformułować główny rezultat. Twierdzenie 9. Załóżmy, że założenia (A), (B), (F0), (F1) oraz (F2) są spełnione. Ponadto załóżmy, że mamy (F3 ) istnieje N L 1( J, [0, + ) ) takie, że sup F (t, x) N(t) dla p.w. t J. (10) x H Wówczas jeśli aproksymacyjnie sterowalny jest układ liniowy, to układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 15/23

Niech J = [0, T ] i W = [0, π]. Mamy model układu sterowania zdefiniowany na J W : y(t,z) t = 2 y(t,z) z + φ ( t, z, y(t, z), v(t, z) ) + Bu(t, z), 2 t J, z W, y(0, z) = y 0 (z), na {0} W, y(t, z) = 0 na J W, (11) gdzie u( ) L 2 (J, U). Intensywność źródeł może być sterowana za pomocą mierzalnej funkcji v : J L 2( W, R ), która spełnia warunek sprzężenia zwrotnego v(t) V ( y(t, ) ), t J, gdzie V : L 2( W, R ) L 2( W, R ) jest odwzorowaniem u.s.c o wypukłych i słabo zwartych wartościach, które jest globalnie ograniczone: dla każdego y L 2 (W, R), gdzie Q > 0. V (y) Q, Krzysztof RYKACZEWSKI 16/23

Definiujemy nieskończenie wymiarową przestrzeń U { } U = u = u n e n (θ) un 2 < L 2 (W, R), n=2 n=2 2 gdzie e n (θ) = π sin(nθ), 0 θ π, n = 1, 2,.... Norma w U jest zdefiniowana jako u = n=2 u2 n. Absolutne sterowanie jest zdefiniowane przez operator B : U L 2( W, R ) z przestrzeni Hilberta U dany wzorem (Bu)(θ) = 2u 2 e 1 (θ) + u n e n (θ), dla u = u n e n U. n=2 n=2 Krzysztof RYKACZEWSKI 17/23

Zakładamy, że funkcja φ spełnia następujące warunki: (φ1) φ(,, y, v): W R R jest mierzalna dla każdych y, v R, (φ2) φ(t, z, y, v) α(t, z) + β(t, z) v dla każdych y, v R, gdzie α, β L 2( J W, [0, ) ), (φ3) (y, v) φ(t, z, y, v) jest ciągła dla każdych t J, z W, (φ4) v φ(t, z, y, v) jest wypukła dla każdych z W, t J, y R. Krzysztof RYKACZEWSKI 18/23

Możemy teraz przepisać nasz problem jako problem sterowania inkluzją ewolucyjną w przestrzeni Hilberta H. { y (t) Ay(t) + F ( t, y(t) ) + Bu(t), t J, (12) y(0) = y 0. Odwzorowanie F spełnia założenie (F3 ). Podobnie można pokazać, że F (t, ) jest mierzalna dla p.w. t J i F (, x) jest u.h.c. dla wszystkich x H (zob. [G06]). Krzysztof RYKACZEWSKI 19/23

Jako warunek wystarczający dla układu liniowego, żeby był aproksymacyjnie sterowalny sformułujmy Twierdzenie 10. Jeśli mamy, że B S A(t)x = 0 na J x = 0, to układ liniowy (13) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Z Twierdzenia 10, układ liniowy odpowiadający problemowi (12) jest aproksymacyjnie sterowalny. Twierdzenie 11. y (t) = Ay(t) + Bu(t) (13) Przy założeniach (φ1) (φ4) układ (11) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 20/23

Bibliografia I Aubin, J.-P., Ekeland, I., 1984. Applied nonlinear analysis. Wiley, New York. Carmichael, N., Quinn, M. D., 1984. Distributed Parameter Systems Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 75. Springer-Verlag, Berlin, Ch. Fixed point methods in nonlinear control, pp. 24 51. Dauer, J. P., Mahmudov, N. I., 2002. Approximate controllability of semilinear functional equations in Hilbert spaces. J. Math. Anal. Appl. 273, 310 327. Diestel, J., 1977. Remarks on weak compactness in l 1 (µ, x). Glasgow Math. J. 18, 87 91. Gabor, D., Kryszewski, W., to appear. The generalized Krasnosel ski formula and bifurcation problem. George, R. J., 1995. Approximate controllability of nonautonomous semilinear systems. Nonlinear Anal. 24, 1377 1393. Górniewicz, L., 2006. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Topological Fixed Point Theory and Its Applications. Springer-Verlag, Berlin. Krzysztof RYKACZEWSKI 21/23

Bibliografia II Kamenskiĭ, M., Obukhovskiĭ, V., Zecca, P., 2001. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach space. Walter de Gruyter. Mahmudov, N. I., 2008. Approximate controllability of evolution systems with nonlocal conditions. Nonlinear Analysis 68, 536 546. Obukhovskiĭ, V., Zecca, P., 2009. Controllability for systems governed by semilinear differential inclusions in a Banach space with a noncompact semigroup. Nonlinear Anal. 70 (9), 3424 3436. Pazy, A., 1983. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Applied Mathematical Sciences. Vol. 44. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo. Triggiani, R., 1977. A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces. SIAM J. Control Optimization 15 (3), 407 411. Triggiani, R., 1980. Addendum: A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces. SIAM J. Control Optim. 18 (1), 98 99. Krzysztof RYKACZEWSKI 22/23

Dziękuję za uwagę! Krzysztof RYKACZEWSKI 23/23