Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji

Transkrypt

1 Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji Marek A. Kowalski Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie Wydział Matematyczno-Przyrodniczy. Szkoła Nauk Ścisłych

2 Paradygmat

3 Główny przedmiot wykładu: <

4 = dy.

5

6 ( * ) * *

7

8 -

9

10

11 W badaniach istotną rolę odgrywają średnice aproksymacyjne (liniowe średnice Kołmogorowa A, średnice Gelfanda C, średnice Kołmogorowa d)..

12 T, T.

13

14 ρ ρ ρ ρ

15

16 Ciekawostka: a,τ>0 n ε loglog 1/ε lim ε 0 + log 1/ε = 1. n ε log 1/ε loglog 1/ε

17 Cel: na podstawie,, Błąd algorytmu φ: e φ, γ, δ = sup y N f, f J(a,τ,1) Promień informacji: r γ, δ = inf φ e φ, γ, δ. f φ( y).

18 Algorytm optymalny dla γ = δ = 0:

19 ,

20 , Jeżeli to.

21 Informacja całkowa:. Jeśli γ = δ = 0, to algorytm optymalny jest dany równaniem.

22 Jeśli c = aτ 2, to dla nieujemnych, dostatecznie małych wartości γ, δ mamy. Jeśli to B B a.

23 ,.

24 ,,,.

25 Czołowe funkcje kuliste można też wykorzystać do wielokanałowej transmisji cyfrowej charakteryzującej się nadzwyczajną odpornością na zakłócenia. Ilustracją niech będzie krótki pokaz.

26 Band-limited HD transmission through low quality media (Bob Johnson, Marek Kowalski, Kris Sikorski)

27

28 Wybrane pozycje książkowe dotyczące analitycznej złożoności obliczeniowej: Traub, J. F., Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice Hall, Reissued Chelsea Publishing Company, 1982; Russian translation MIR, 1985; Reissued American Mathematical Society, 1998 Traub, J. F., and Woźniakowski, H., A General Theory of Optimal Algorithms, Academic Press, New York, 1980 Traub, J. F., Woźniakowski, H., and Wasilkowski, G. W., Information, Uncertainty, Complexity, Addison- Wesley, New York, 1983 Novak, E., Deterministic and Stochastic Error Bounds in Numerical Analysis, Lecture Nots in Mathematics, vol. 1349, Springer-Verlag, New York, 1988 Traub, J. F., Woźniakowski, H., and Wasilkowski, G. W., Information-Based Complexity. Academic Press, New York, 1988 Werschulz, A. G., The Computational Complexity of Differential and Integral Equations: An Information- Based Approach, Oxford University Press, New York, 1991 Kowalski, M., Sikorski, K., and Stenger, F., Selected Topics in Approximation and Computation, Oxford University Press, Oxford, UK, 1995 Plaskota, L., Noisy Information and Computational Complexity, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996 Traub, J. F., and Werschulz, A. G., Complexity and Information, Oxford University Press, Oxford, UK, 1998 Ritter, K., Average-Case Analysis of Numerical Problems, Springer-Verlag, New York, 2000 Sikorski, K., Optimal Solution of Nonlinear Equations, Oxford University Press, Oxford, UK, 2001.

29 Wybrane artykuły dotyczące tematyki wykładu: Kowalski M., Wershulz A., Woźniakowski H., Is Gauss quadrature optimal for analytic functions?, Num. Math. 47 (1985) Kowalski M., Optimal complexity recovery of band- and energy-limited signals, J. Complexity 2 (1986) Kowalski M., Sielski W., Approximation of smooth periodic functions in several variables, J. Complexity 4 (1988) Kowalski M., Stenger F., Optimal complexity recovery of band- and energy-limited signals. II, J. Complexity 5 (1989) Ikebe Y., Kowalski M., Stenger F., Rational approximation of the step, filter and impulse functions, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 124 (1990) Kacewicz B. Z., Kowalski M., Recovering signals from inaccurate data, Proc SPIE 1610 (1992) Kacewicz B. Z., Kowalski M., Approximating linear functionals on unitary spaces in the presence of bounded data errors with application to signal recovery, Int. J. Adaptive Control and Signal Processing 9 (1995) Kacewicz B. Z., Kowalski M., Recovering linear operators from inaccurate data, J. Complexity 11 (1995) Dąbrowska D., Kowalski M., Approximating band- and energy-limited signals in the presence of jitter, J. Complexity 14 (1998)

30 Kowalski M., Sensitivity of best recovery in the Sobolev spaces for perturbed sampling, Numerical Algorithms 23 (2000) Kowalski M., Odtwarzanie wielowymiarowych sygnałów analogowych o ograniczonym paśmie i ograniczonej energii, ISBN , Wydawnictwo UKSW (2001) Kowalski M., Obliczanie i reprezentacja czołowych funkcji kulistych, Rocznik Naukowy Wydziału Zarządzania w Ciechanowie, zeszyt 1-2, tom II (2008)

31 Dziękuję za uwagę!