O zbiorach małych w polskich grupach abelowych

Transkrypt

1 O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

2 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

3 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

4 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

5 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

6 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

7 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

8 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

9 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} M X := {A X : A jest zbiorem I kat. Baire a} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

10 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

11 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

12 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. Twierdzenie 1* (Darji [D]) Rodzina HM X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HM X = M X ; w przeciwnym razie HM X M X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

13 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór {x X : (A + x) A HN X } jest otoczeniem zera w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

14 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

15 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), Twierdzenie 2* (J. [J1]) Dla każdego borelowskiego zbioru A HM X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

16 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

17 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

18 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} Twierdzenie 3* (J. [to appear]) Dla każdego n N oraz zbioru borelowskiego A HM X zbiór {x X : jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} (A + kx) HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

19 Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

20 Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), Twierdzenie 4 (Christensen & Fischer [ChF]) Niech A HN X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HN X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

21 Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

22 Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). Twierdzenie 4* (J. [J2]) Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HM X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

23 Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

24 Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. Fakt Każdy zbiór zawierający pewne przesunięcie każdego zbioru zwartego nie jest zbiorem zerowym Haara ani zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

25 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

26 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

27 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), Twierdzenie 5 (Matou sková & Stegall [MS], Matou sková [M]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest zbiorem zerowym Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami zerowymi Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

28 Inne podobieństwa Twierdzenie 5* (J. [to appear]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest I kat. Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

29 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

30 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

31 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. Twierdzenie 6* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HM X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

32 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

33 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

34 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. Twierdzenie 7* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X, który nie jest zbiorem I kat. Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

35 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

36 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

37 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

38 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. Twierdzenie 8* (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

39 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

40 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

41 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. To znaczy, że każdy zbiór zerowy Haara ma tylko jeden parametr poświadczający miarę testującą; każdy zbiór I kat. Haara ma dwa parametry poświadczające poświadczającą przestrzeń oraz poświadczającą funkcję. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

42 Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

43 Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. Zatem każdy zbiór I kat. Haara ma w rzeczywistości tylko jeden parametr poświadczający funkcję poświadczającą. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

44 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

45 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

46 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

47 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. Twierdzenie (Dodos [D2]) Jeśli A HN X jest uniwersalnie mierzalny, to: T (A) jest gęsty w P(X ); jeśli A jest σ-zwarty, P(X ) \ T (A) jest zbiorem I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

48 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

49 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

50 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). Twierdzenie (Dodos [D3]) GHN HN Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. zbiorem zerowym Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

51 Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

52 Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. Twierdzenie (Banakh [B]) Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. I kat. Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

53 Uwagi końcowe Jeśli I jest ideałem takich zbiorów A X, że: to: istnieje zbiór zwarty K X, dla którego K (x + A) M K dla każdego x X, I HM X ; każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. Nie wiemy, czy ogólnie I HM X, a więc czy L(A) dla dowolnego zbioru I kat. Haara A X (dwa problemy Darji ego). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

54 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

55 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

56 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

57 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? Problem 2* Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Czy to prawda, że: W (A) jest gęsty w C(2 ω, X ); jeśli A jest σ-zwarty, to jest gen. I kat. Haara? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

58 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

59 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

60 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

61 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? Jeśli implikacja ta nie jest prawdziwa... E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

62 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

63 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

64 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. Twierdzenie (J. [to appear]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A DN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A DN X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

65 Uwagi końcowe T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

66 Uwagi końcowe P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124, E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22