Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych

Transkrypt

1 Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015

2 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych Dla partycji (β 1, β 2,..., β s ) oznaczamy: N β = s i=1 K[T ]/(T β i ) nilpotentny opertor liniowy (K[T ]-moduł)

3 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych Dla partycji (β 1, β 2,..., β s ) oznaczamy: N β = s i=1 K[T ]/(T β i ) nilpotentny opertor liniowy (K[T ]-moduł) S β α,γ kategoria, której obiektami są systemy X = (N α, N β, f ) gdzie f : N α N β jest mono oraz Coker f = N γ ;

4 Ciągi dokładne i LR-tablice Twierdzenie (Green, Klein, 1968/69) Istnieje ciąg dokładny nilpotentnych operatorów liniowych η : 0 N α f N β N γ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje tablica Littlewooda-Richardsona (LR-tablica) Γ typu (α, β, γ).

5 Ciągi dokładne i LR-tablice Twierdzenie (Green, Klein, 1968/69) Istnieje ciąg dokładny nilpotentnych operatorów liniowych η : 0 N α f N β N γ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje tablica Littlewooda-Richardsona (LR-tablica) Γ typu (α, β, γ). Problem (Birkhoff, 1934) Podać klasyfikację podgrup grup abelowych, tzn. opisać systemy (A 0, A 1, f ), gdzie A 0 jest skończoną p-grupą abelową oraz A 1 jest jej podgrupą oraz f : A 1 A 0 jest zanurzeniem.

6 Morfizmy w kategorii S β α,γ Niech X = (N α, N β, f ) oraz Y = (N α, N β, g) będą obiektami kategorii S β α,γ. Morfizmem H : X Y jest para homomorfizmów (h 1, h 2 ) taka, że: N α h 1 N α f g N β h 2 N β

7 Rozmaitość monomorfizmów Ustalmy partycje α, β, γ i rozważmy trójki (N α, N β, f ), gdzie Coker f = N γ.

8 Rozmaitość monomorfizmów Ustalmy partycje α, β, γ i rozważmy trójki (N α, N β, f ), gdzie Coker f = N γ. H β α = Hom K (N α, N β ) = M α, β (K) rozmaitość afiniczna (topologia Zariskiego)

9 Rozmaitość monomorfizmów Ustalmy partycje α, β, γ i rozważmy trójki (N α, N β, f ), gdzie Coker f = N γ. H β α = Hom K (N α, N β ) = M α, β (K) rozmaitość afiniczna (topologia Zariskiego) V β α,γ H β α podzbiór składający się ze wszystkich monomorfizmów f : N α N β takich, że Coker f = N γ

10 Działanie grupy Grupa G = Aut K[T ] N α Aut K[T ] N β działa na V β α,γ:

11 Działanie grupy Grupa G = Aut K[T ] N α Aut K[T ] N β działa na V β α,γ: (g, h) f = h f g 1 N α g N α f h f g 1 N β h N β

12 Działanie grupy Grupa G = Aut K[T ] N α Aut K[T ] N β działa na V β α,γ: (g, h) f = h f g 1 N α g N α f h f g 1 N β h N β O f orbita monomorfizmu f Dla X = (N α, N β, f ) oraz Y = (N α, N β, g) def. częściowy porządek X deg Y O g O f

13 Kategoria S 2 Mamy bijekcję pomiędzy zbiorem G-orbit w V β α,γ oraz zbiorem klas izomorfizmu obiektów w S β α,γ.

14 Kategoria S 2 Mamy bijekcję pomiędzy zbiorem G-orbit w V β α,γ oraz zbiorem klas izomorfizmu obiektów w S β α,γ. Dla dowolnych α, β, γ możemy mieć nieskończenie wiele takich orbit. W ogólności problem jest dziki (nie ma szans na parametryzację orbit).

15 Kategoria S 2 Mamy bijekcję pomiędzy zbiorem G-orbit w V β α,γ oraz zbiorem klas izomorfizmu obiektów w S β α,γ. Dla dowolnych α, β, γ możemy mieć nieskończenie wiele takich orbit. W ogólności problem jest dziki (nie ma szans na parametryzację orbit). S 2 kategoria, której obiektami są trójki: (N α, N β, f ) gdzie α oraz β są partycjami, α 1 2 oraz f : N α N β jest monomorfizmem; morfizmy w S 2 są zdefiniowane w naturalny sposób; Zauważmy, że S 2 = S β α,γ.

16 Nierozkładalne obiekty w kategorii S 2 Twierdzenie (Beers, Hunter, Walker, 1983) Kategoria S 2 ma własność Krulla-Remaka-Schmidta. Każdy nierozkładalny obiekt w S 2 jest izomorficzny z jednym z poniższych. P0 m : 0 N (m) (m 1) P1 m : (T m 1 ) N (m) (m 1) P2 m : (T m 2 ) N (m) (m 2) B m,r 2 : ((T m 2, T r 1 )) N (m,r) (m 2 r 1)

17 Nierozkładalne obiekty w kategorii S 2 Twierdzenie (Beers, Hunter, Walker, 1983) Kategoria S 2 ma własność Krulla-Remaka-Schmidta. Każdy nierozkładalny obiekt w S 2 jest izomorficzny z jednym z poniższych. P0 m : 0 N (m) (m 1) P1 m : (T m 1 ) N (m) (m 1) P2 m : (T m 2 ) N (m) (m 2) B m,r 2 : ((T m 2, T r 1 )) N (m,r) (m 2 r 1) Dla α = (2, 2, 1, 1), β = (5, 4, 3, 3, 2, 1), γ = (4, 3, 2, 2, 1): 0 N α f N β N γ 0 Γ : Π : :

18 Narzędzia kombinatoryczne Nierozkładalne obiekty w S 2 - narzędzia kombinatoryczne X : P0 m P1 m P2 m B m,r 2 Γ(X ) :. } m 1. } m. 1 2 m.. } r 1 m. 2 Π(X ) :. } m 1. } m 1. m 2 r r=m 1 (X ) : m m m 1.. } r 1 m. 2r r<m 1 m r

19 Diagram łukowy dowolnego obiektu Tablica Klein sumy prostej M M ma diagram dany przez sumę partycji β β. Ponadto w każdym wierszu współrzędne porządkujemy leksykograficznie. S 2 X Π(X ) (X ) Przykład: X = B 5,3 2 B 4,2 2 P 3 1 P 1 1. Γ : Π : :

20 Porządek łukowy S β α,γ X (X ) diagram łukowy obiektu X

21 Porządek łukowy S β α,γ X (X ) diagram łukowy obiektu X Mówimy, że dwa diagramy łukowe są w porządku łukowym jeśli pierwszy powstał z drugiego poprzez ciąg ruchów typów:

22 Porządek łukowy S β α,γ X (X ) diagram łukowy obiektu X Mówimy, że dwa diagramy łukowe są w porządku łukowym jeśli pierwszy powstał z drugiego poprzez ciąg ruchów typów: (A) < arc > arc (C) (B) < arc > arc (D)

23 Porządek łukowy S β α,γ X (X ) diagram łukowy obiektu X Mówimy, że dwa diagramy łukowe są w porządku łukowym jeśli pierwszy powstał z drugiego poprzez ciąg ruchów typów: (A) < arc > arc (C) (B) < arc > arc (D) Definicja: X arc Y wtedy i tylko wtedy, gdy (X ) arc (Y )

24 Równoważność porządków Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech α, β, γ będą partycjami takimi, że α 1 2.

25 Równoważność porządków Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech α, β, γ będą partycjami takimi, że α Dla Y, Z S β α,γ zachodzi Y deg Z wtedy i tylko wtedy, gdy Y arc Z.

26 Równoważność porządków Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech α, β, γ będą partycjami takimi, że α Dla Y, Z S β α,γ zachodzi Y deg Z wtedy i tylko wtedy, gdy Y arc Z. 2 Przypuśćmy, że diagram łukowy obiektu Y = (N α, N β, f ) w Sα,γ β posiada x( ) przecięć. Wtedy dim O f = m(β) m(α) m(γ) x( ) + α + 2m(α).

27 Równoważność porządków Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech α, β, γ będą partycjami takimi, że α Dla Y, Z S β α,γ zachodzi Y deg Z wtedy i tylko wtedy, gdy Y arc Z. 2 Przypuśćmy, że diagram łukowy obiektu Y = (N α, N β, f ) w Sα,γ β posiada x( ) przecięć. Wtedy dim O f = m(β) m(α) m(γ) x( ) + α + 2m(α). Definicja: Dla partycji α = (α 1,..., α s ) określamy m(α) = s i=1 α i (i 1) oraz α = α 1 + α

28 Własności posetu D β α,γ D β α,γ zbiór wszystkich G-orbit w V β α,γ, D β α,γ = (D β α,γ, arc ) poset Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) W posecie D β α,γ: istnieje dokładnie jedna arc -maksymalna G-orbita,

29 Własności posetu D β α,γ D β α,γ zbiór wszystkich G-orbit w V β α,γ, D β α,γ = (D β α,γ, arc ) poset Twierdzenie (K-Schmidmeier 2011/12) W posecie Dα,γ: β istnieje dokładnie jedna arc -maksymalna G-orbita, istnieje cα,γ β arc -minimalnych G-orbit, inne własności kombinatoryczne... c β αγ współczynnik Littlewooda-Richardsona.

30 Przykład: poset D ,321 Niech α = (211), β = (4321), γ = (321). Obiekty w S β α,γ (z dokładnością do izo):

31 Przykład: poset D ,321 Niech α = (211), β = (4321), γ = (321). Obiekty w S β α,γ (z dokładnością do izo): B 4,1 2 P1 3 P1 2 B 4,2 2 P1 1 P P1 4 P1 2 B 4,3 2 P1 2 P B 3,1 2 P1 4 P1 1 B 2,1 2 P1 3 P B 3,2

32 Przykład: poset D ,321 6 : : : : : :

33 Przykład: poset D ,321 4 : 1 : : 2 : : 3 : dim = 11 dim = dim = 13

34 Uwagi końcowe Porządki ext oraz hom pojawiają się w dowodzie

35 Uwagi końcowe Porządki ext oraz hom pojawiają się w dowodzie Zawsze: ext = deg = hom

36 Uwagi końcowe Porządki ext oraz hom pojawiają się w dowodzie Zawsze: ext = deg = hom Ponadto łatwo: arc = ext = deg = hom

37 Uwagi końcowe Porządki ext oraz hom pojawiają się w dowodzie Zawsze: ext = deg = hom Ponadto łatwo: arc = ext = deg = hom Trudno: hom = arc

38 Uwagi końcowe Porządki ext oraz hom pojawiają się w dowodzie Zawsze: ext = deg = hom Ponadto łatwo: arc = ext = deg = hom Trudno: hom = arc Ogólny przypadek (bez założenia α 1 2): bardziej skomplikowana sytuacja /14 wspólne wyniki z M. Schmidmeierem

39 References Justyna Kosakowska and Markus Schmidmeier, Operations on arc diagrams and degenerations for invariant subspaces of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc. 367, (2015). Justyna Kosakowska and Markus Schmidmeier, Arc diagram varieties, Contemporary Mathematics series of the AMS, 607, Justyna Kosakowska and Markus Schmidmeier, The boundary of the irreducible components for invariant subspace varieties, preprint 2014,