Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Transkrypt

1 Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz zbieżnością filtrów i netów w przestrzeniach topologicznych. Zostaną wskazane zastosowania filtrów i netów (konstrukcja ultraproduktu przestrzeni Banacha) i dalsze wnioski, które są wykorzystywane jako niestandardowe metody (metrycznej) teorii punktów stałych. 1 Filtry i ultrafiltry 1.1 Filtry. Bazy i podbazy filtrów Definicja 1 Niech X będzie niepustym zbiorem. Filtrem w zbiorze X nazywamy niepustą rodzinę F podzbiorów tego zbioru spełniającą następujące warunki: 1) / F, 2) iloczyn dwóch zbiorów będących elementami rodziny F jest nadal elementem tej rodziny, 3) każdy nadzbiór zbioru należącego do rodziny F jest elementem tej rodziny. Zauważmy, że X jest elementem każdego filtru w X. Definicja 2 Niepustą rodzinę zbiorów B F nazywamy bazą filtru F, jeśli każdy zbiór należący do filtru F zawiera pewien podzbiór należący do rodziny B. 1

2 Definicja 3 Rodzinę zbiorów B S F nazywamy podbazą filtru F, jeśli iloczyny skończonej liczby zbiorów należących do B S tworzą bazę filtru F. Przykład 1 Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru X. Rodzina F = { F 2 X : M F } jest filtrem w zbiorze X. Filtr F nazywamy generowanym przez ten podzbiór. Bazą tego filtru jest zbiór B = {M}. Przykład 2 Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Dla każdego punktu x X rodzina N (x) wszystkich T -otoczeń tego punktu jest filtrem w przestrzeni X. Bazą tego filtru jest każda baza otoczeń, w szczególności każda otwarta baza otoczeń. 1.2 Ultrafiltry Definicja 4 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech F oraz G będą filtrami w tym zbiorze. Jeśli F G, to mówimy, że filtr G jest subtelniejszy od filtru F lub że jest rozszerzeniem filtru F. Definicja 5 Ultrafiltrem w zbiorze X nazywamy każdy taki filtr U, którego jedynym rozszerzeniem jest U. Przykład 3 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech a X. Rodzina zbiorów U = { F 2 X : a F } jest ultrafiltrem w X. Przykład 4 Niech X będzie niepustym zbiorem zawierającym przynajmniej dwa różne elementy i niech a, b X, a b. Rozważmy rodzinę zbiorów F = { F 2 X : a F b F }. Łatwo można sprawdzić, że F jest filtrem generowanym przez zbiór {a, b}, ale nie jest ultrafiltrem. Istotnie, filtr G = { F 2 X : a F } jest rozszerzeniem filtru F różnym od F, gdyż {a} G, ale {a} / F. Lemat 1 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech U będzie filtrem w tym zbiorze. Następujące warunki są równoważne: 2

3 1) U jest ultrafiltrem, 2) dla każdego A X (A U X \ A / U) (A / U X \ A U). Twierdzenie 1 Niech A X będzie podzbiorem niepustego zbioru X i niech F będzie filtrem w tym zbiorze. Jeśli F A dla każdego F F, to w zbiorze X istnieje ultrafiltr U będący rozszerzeniem filtru F i taki, że A U. Wniosek 1 Każdy filtr F w niepustym zbiorze X zawiera się w pewnym ultrafiltrze. Przykład 5 Niech X będzie dowolnym zbiorem zawierającym przynajmniej dwa różne elementy i niech a, b X, a b. Rozważmy rodzinę zbiorów F = { F 2 X : a F b F }. Nietrudno sprawdzić, że filtr F zawiera się w każdym z ultrafiltrów U a = { G 2 X : a G } oraz U b = { G 2 X : b G } przy czym U a U b. Wniosek 2 Twierdzenie 1 nie daje żadnych wskazówek co do tego, jak skonstruować ultrafiltr U. Co więcej, taki ultrafiltr na ogół nie jest wyznaczony jednoznacznie, co pokazuje przykład 5 2 Ciągi uogólnione 2.1 Zbiory częściowo uporządkowane i skierowane Definicja 6 Zbiór A z określoną w nim relacją nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym, jeśli: 1) (relacja zwrotna), 2) jeśli β i β γ, to γ (relacja przechodnia), 3) jeśli β i β, to = β (relacja antysymetryczna) dla każdych, β, γ A. Zbiór częściowo uporządkowany A przez relację oznaczamy (A, ). 3

4 Definicja 7 Zbiór częściowo uporządkowany (A, ) nazywamy zbiorem skierowanym przez relację, jeśli 1, 2 A A 1 2. Często sam zbiór A nazywamy zbiorem skierowanym, jeśli wiadomo w danym momencie, jaka relacja została w nim wprowadzona. Przykład 6 Niech N (x) będzie rodziną wszystkich otoczeń punktu x X w przestrzeni topologicznej (X, T ). Zbiór N (x) jest skierowany przez relację odwrotnej inkluzji U V U V dla U, V N (x). 2.2 Ciągi i podciągi uogólnione Definicja 8 Niech (A, ) będzie zbiorem skierowanym, zaś X dowolnym zbiorem niepustym. Każdą funkcję x: A X, x() = x nazywamy ciągiem uogólnionym w zbiorze X. Będziemy używać następującego oznaczenia: x = (x : A). Definicja 9 Ciąg uogólniony (x : A) nazywamy maksymalnym, jeśli spełniony jest warunek: F X ( 0 A A 0 x F 0 A A 0 x / F ). Definicja 10 Niech x = (x : A) oraz y = (y β : β B) będą ciągami uogólnionymi w niepustym zbiorze X, gdzie (A, ) i (B, ) są dowolnymi zbiorami skierowanymi. Ciąg uogólniony y nazywamy subtelniejszym od ciągu uogólnionego x lub podciągiem uogólnionym ciągu uogólnionego x, jeśli istnieje taka funkcja ϕ: B A, że 1) 2) A β 0 B β B B β β 0 y β = x ϕ(β). ϕ(β), Uwaga. W anglojęzycznych tekstach matematycznych (patrz [1]) stosowane są najczęściej terminy: 4

5 net ciąg uogólniony, ultranet ciąg uogólniony maksymalny, subnet podciąg uogólniony ciągu uogólnionego. Z uwagi na zwięzłość tej terminologii od tego miejsca będziemy się nią posługiwać. Przykład 7 Niech (Q +, ) będzie zbiorem wszystkich liczb wymiernych dodatnich skierowanych przez relację r s s r, gdzie jest relacją naturalnego porządku na osi liczbowej. Niech x r = r dla każdego r Q +. Wtedy x = (r : r Q + ) jest netem w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech (N 1, ) będzie zbiorem liczb naturalnych dodatnich skierowanych przez relację. Łatwo można sprawdzić, że net ( 1 n : n N 1) jest subnetem netu x. W definicji 10 wystarczy przyjąć, że ϕ(n) = 1 n, ϕ: N 1 Q +. 3 Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych 3.1 Zbieżność filtrów i netów Definicja 11 1) Mówimy, że filtr F = {F : A} w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest zbieżny do punktu x 0 X, jeżeli dla każdego T -otwartego otoczenia U punktu x 0 istnieje takie A, że F U. T Punkt x 0 nazywamy granicą filtru F. Piszemy: F x 0. Jeżeli x 0 jest jedynym punktem w przestrzeni X będącym granicą filtru F, to będziemy pisać: T - lim F = x 0. Jeżeli nie ma wątpliwości, jaka topologia jest rozważana w zbiorze X, stosujemy odpowiednio oznaczenia: F x 0 oraz lim F = x 0. Filtr, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. 2) Mówimy, że net x = (x : A) (gdzie (A, ) jest zbiorem skierowanym) w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest zbieżny do punktu x 0 X, jeżeli dla każdego otoczenia T -otwartegu U punktu x 0 istnieje 0 A takie, że x U dla wszystkich A, 0. Punkt x 0 5

6 T nazywamy granicą netu x. Piszemy: x x 0. Jeżeli x 0 jest jedynym punktem w przestrzeni X będącym granicą netu x, to będziemy pisać: T - lim x = x 0. Jeżeli nie ma wątpliwości, jaka topologia jest rozważana w zbiorze X, stosujemy odpowiednio oznaczenia: x x 0 oraz lim x = x 0. Net, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Przykład 8 W przestrzeni topologicznej (X, T ) filtr N (x 0 ) wszystkich otoczeń punktu x 0 X jest zawsze zbieżny do tego punktu. Przykład 9 Net x = (r : r Q + ) z przykładu 7 jest zbieżny do punktu x 0 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Przykład 10 Niech T będzie topologią trywialną w niepustym zbiorze X. Każdy filtr {F : A} jest zbieżny w przestrzeni (X, T ) i F x dla każdego x X. Również dowolny net (x : A) jest zbieżny w przestrzeni (X, T ) i x x dla każdego x X. Zakończenie Wprowadzone pojęcia filtrów i netów pozwalają na dalsze konstrukcje, takie jak ultrapotęgi i ultraprodukty przestrzeni Banacha. Te z kolei prowadzą do wielu niestandardowych metod dających bardzo interesujące wyniki w metrycznej teorii punktów stałych. Chociaż metody te często nie są zaliczane do geometrii metrycznej, to mogą one stać się podstawą zupełnie nowej gałęzi tej nauki. Magdalena Ziębowicz Instytut Matematyki Katolicki Uniwersytet Lubelski ul. Konstantynów 1H Lublin Literatura [1] A. G. Aksoy, M. A. Khamsi, Nonstandard Methods in Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York,

7 [2] T. Pytlik, Analiza funkcjonalna, Wrocław, 2000, URL: pytlik/. [3] W. Rzymowski, Macierze i operatory, Wydawnictwo UMCS, Lublin, [4] K. Goebel, W. A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wydawnictwo UMCS, Lublin,