Załącznik 2 Autoreferat

Transkrypt

1 POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI STOSOWANEJ Autoreferat przedstawiający opis dorobku i osiągnięć naukowych, w szczególności określonych w art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 roku o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki Instytut Matematyki Zakład Metod Probabilistycznych i Symulacyjnych 17 maja 2017

2 Spis treści 1 Imię i Nazwisko Posiadane dyplomy, stopnie naukowe Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych Opis osiągnięcia naukowego Tytuł osiągnięcia naukowego Omówienie celu naukowego prac i osiągniętych wyników wraz z ich ewentualnym wykorzystaniem Wprowadzenie Sterowalność układów z opóźnieniami we współrzędnych stanu Sterowalność układów z opóźnieniami w sterowaniu Podsumowanie Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo-badawczych Omówienie dorobku naukowego Omówienie działalności dydaktycznej i organizacyjnej LITERATURA

3 1 Imię i Nazwisko 2 Posiadane dyplomy, stopnie naukowe 2002 Doktor nauk technicznych w zakresie dyscypliny naukowej automatyka i robotyka, Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Politechnika Śląska. Temat pracy doktorskiej: Sterowalność układów dynamicznych z opóźnieniami (promotor: Prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka) Magister w zakresie matematyki, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii, Uniwersytet Śląski, specjalność: zastosowania matematyki. Temat pracy magisterskiej: O problemie Ulama dla odwzorowań addytywnych. 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych stanowisko kierownika projektu w Instytucie Matematyki, Wydział Matematyki Stosowanej, Politechnika Śląska. Zatrudnienie na podstawie umowy o pracę. Od adiunkt w Instytucie Matematyki, Wydział Matematyki Stosowanej, Politechnika Śląska. Zatrudnienie na podstawie mianowania asystent w Instytucie Matematyki, Wydział Matematyki Stosowanej, Politechnika Śląska (od do na bezpłatnym urlopie w związku z odbywaniem studiów doktoranckich na Wydziale Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechniki Śląskiej). 4 Opis osiągnięcia naukowego 4.1 Tytuł osiągnięcia naukowego Sterowalność układów dynamicznych z opóźnieniami ułamkowego oraz całkowitego rzędu z uwzględnieniem ograniczeń sterowania 3

4 Osiągnięcie habilitacyjne stanowi jednotematyczny cykl publikacji przedstawionych poniżej. [BS1] Sikora B.: On the constrained controllability of dynamical systems with multiple delays in the state, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2003, vol.13, no. 4, pp (indeksowane w WoS). [BS2] Sikora B. (75%), Klamka J.: On constrained stochastic controllability of dynamical systems with multiple delays in control, Bulletin of Polish Academy of Science: Technical Sciences, 2012, vol. 60, no. 2, pp (IF 0,980, 30 pkt. MNiSW). [BS3] Sikora B.: Controllability of time-delay fractional systems with and without constraints, IET Control Theory & Applications, 2016, vol.10, no. 3, pp (IF 1,957, 35 pkt. MNiSW). [BS4] Sikora B.: Controllability criteria for time-delay fractional systems with retarded state, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2016, vol.26, no. 6, pp (IF 1,420, 25 pkt. MNiSW). [BS5] Klamka J., Sikora B. (50%): New controllability criteria for fractional systems with varying delays, Theory and applications of non-integer order systems in Lecture Notes in Electrical Engineering, 2017, vol. 407, pp (indeksowane w WoS). [BS6] Sikora B. (75%), Klamka J.: Cone-type constrained relative controllability of semilinear fractional systems with delays, Kybernetika, 2017, vol. 53, no. 2, pp (IF= 0,628, 15 pkt. MNiSW). [BS7] Sikora B. (75%), Klamka J.: Constrained controllability of fractional linear systems with delays in control, Systems & Control Letters, 2017, vol. 106, pp (IF= 2,550, 35 pkt. MNiSW). 4.2 Omówienie celu naukowego prac i osiągniętych wyników wraz z ich ewentualnym wykorzystaniem Wprowadzenie Przedstawione osiągnięcie habilitacyjne składa się z cyklu siedmiu publikacji powiązanych tematycznie, opublikowanych w czasopismach indeksowanych w bazie Web of Science TM Core Collection. Pięć z nich to publikacje w czasopismach znajdujących się w bazie Journal Citation Reports. Na dzień wysłania wniosku habilitacyjnego 4 pozycje [BS1] [BS4] ukazały się już w bazie WoS. Dwie kolejne, [BS5] i [BS6], jeszcze nie zostały umieszczone w WoS, natomiast są już w bazie SCOPUS. Najnowsza praca [BS7] również będzie indeksowana w WoS. 4

5 Cykl publikacji dotyczy sterowalności ciągłych, liniowych i nieliniowych układów dynamicznych całkowitego oraz ułamkowego rzędu z opóźnieniami oraz ograniczeniami nakładanymi na sterowanie. Celem mojej pracy habilitacyjnej było zbadanie własności układów sterowania z operatorami różniczkowymi zarówno całkowitego, jaki i niecałkowitego rzędu, które w równaniach stanu zawierają opóźnienia we współrzędnych stanu bądź w sterowaniu. W swoich analizach uwzględniłam różne ograniczenia nakładane na wartości sterowań, gdyż w rzeczywistych procesach sterowania są one zazwyczaj w pewien sposób ograniczone. Badanie sterowalności układów dynamicznych jest jednym z kluczowych zagadnień w teorii sterowania. Od 1960, kiedy Kalman w [1] zdefiniował pojęcie sterowalności, powstało wiele prac na temat sterowalności różnych typów układów dynamicznych. Przegląd problemów dotyczących sterowalności układów dynamicznych poruszanych w ostatnich latach można znaleźć w pracy [2]. Wśród nich, ważną klasę stanowią ciągłe, liniowe układy dynamiczne, deterministyczne i stochastyczne, którymi w głównej mierze zajmuję się w swojej pracy naukowej. W bardzo wielu modelach matematycznych opisujących układy dynamiczne pojawiają się opóźnienia w sterowaniu, w stanie lub zarówno w sterowaniu, jak i w stanie. Stąd, badanie własności układów dynamicznych z opóźnieniami jest ważnym elementem teorii sterowania. W praktyce nie mamy nieograniczonych możliwości sterowania rzeczywistymi procesami, dlatego celem mojej pracy naukowej opisanej w publikacjach [BS1]-[BS7] było sformułowanie kryteriów sterowalności dla układów dynamicznych z opóźnieniami, przy ograniczeniach nakładanych na wartości sterowań. Uzyskane kryteria sterowalności są w większości łatwe w stosowaniu, co pokazują liczne przykłady ilustrujące wyniki teoretyczne. W ostatnich dekadach modelowanie matematyczne różnych procesów liniowych i nieliniowych wskazało potrzebę zastosowania do ich opisu nie tylko równań różniczkowych całkowitego rzędu, ale również równań różniczkowych rzędu ułamkowego. Modele niecałkowitego rzędu mogą bardziej precyzyjnie odzwierciedlać przebieg wielu rzeczywistych procesów ze względu na tzw. pamięć systemu stany przyszłe zależą zarówno od stanu obecnego, jak i przeszłych. Podobną cechę mają układy z opóźnieniami. Równania różniczkowe ułamkowych rzędów pojawiają się, między innymi, w modelach matematycznych zjawisk z zakresu mechaniki, biologii, chemii czy medycyny. Szczegółowe omówienie zagadnień związanych z równaniami różniczkowymi ułamkowego rzędu oraz ich praktycznymi zastosowaniami można znaleźć w monografiach [3]-[8]. Moje zainteresowania naukowe skupiają się głównie na teorii sterowania i celem mojej pracy naukowej jest stworzenie narzędzi dla badaczy zajmujących się konkretnymi zastosowaniami teorii sterowania. Narzędzia te, czyli kryteria sterowalności dla omawianych układów dynamicznych, są potrzebne do weryfikacji m.in. czy dany stan w danych warunkach może przez dany układ sterowania zostać osiągnięty, czy też nie. Jednak we wszystkich publikacjach wskazuję przykłady rzeczywistych układów dynamicznych opisanych modelami matematycznymi rozważanymi w danej pracy. 5

6 4.2.2 Sterowalność układów z opóźnieniami we współrzędnych stanu Sterowalność ciągłych układów dynamicznych z opóźnieniami we współrzędnych stanu i ograniczeniami sterowania została omówiona w pracach [BS1] dla układów całkowitego rzędu (pierwszego rzędu) oraz [BS4] dla układów rzędu ułamkowego Układy z opóźnieniami we współrzędnych stanu opisane równaniami różniczkowymi całkowitego rzędu W pracy [BS1] przedstawiłam analizę sterowalności liniowych układów dynamicznych z wielokrotnymi, stałymi opóźnieniami we współrzędnych stanu postaci x (t) = A x(t h ) + Bu(t), t 0, (1) gdzie x(t) R jest wektorem stanu, u L ([0, + ), R ) jest sterowaniem, A, i = 1,2,, M są (n n)-wymiarowymi macierzami o elementach rzeczywistych, B jest (n m)-wymiarową macierzą o elementach rzeczywistych oraz h, i = 1,2,, M są stałymi opóźnieniami, spełniającymi następujące nierówności 0 = h < h < < h < h. Sformułowałam i udowodniłam nowe kryteria względnej oraz aproksymacyjnej względnej sterowalności ww. układów przy różnego typu ograniczeniach na sterowanie. Pewne kryteria sterowalności dla liniowych układów z pojedynczym opóźnieniem stanu były omówione w pracach [9]-[11], jednak dotyczyły nieograniczonych sterowań. Ponieważ w praktyce sterowania są zawsze w różny sposób ograniczone, celowym jest uwzględnienie ograniczeń sterowania przy analizie sterowalności układów dynamicznych. Niech U R będzie niepustym zbiorem. Dowolne sterowanie u L ([0, + ), U) nazywamy sterowaniem dopuszczalnym dla układu dynamicznego (1). Parę z(t) = (x(t), x ) R L ([ h, 0), R ), gdzie x (τ) = x(t + τ) dla τ [ h, 0) jest fragmentem trajektorii o długości h, określonej w przedziale czasowym [t h M, t), nazywamy stanem zupełnym układu dynamicznego (1). Dla układów z opóźnieniami stan zupełny daję pełną informację o układzie w dowolnej chwili t 0. Dla układów z opóźnieniami, rozważając warunki jego sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie, mówimy o względnej sterowalności [11], tzn. pytamy czy dla dowolnego początkowego stanu zupełnego z(0) oraz dowolnego wektora x (t) R istnieje sterowanie u L ([0, t ], U) takie, że trajektoria x(t, z(0), u) tego układu spełnia równanie x(t, z(0), u) = x. 6

7 Na podstawie [11] oraz [12] można wykazać, że przy zadanych warunkach początkowych z(0) = (x(0), x ) (początkowy stan zupełny układu) oraz sterowaniu dopuszczalnym u L ([0, t], U), dla każdego t 0, istnieje jednoznaczne, absolutnie ciągłe rozwiązanie x(t, z(0), u) równania różniczkowego (1), które wyraża się wzorem x(t, z(0), u) = x(t, z(0), 0) + F(t τ)bu(τ)dτ, (2) gdzie (n n)-wymiarowa macierz tranzycji F(t) jest rozwiązaniem następującego równania macierzowego F(t) = I + F(τ)A dτ, dla F(0) = I oraz F(t) = 0 dla t < 0, I macierz jednostkowa, oraz rozwiązanie swobodne x(t, z(0), 0), które zależy tylko od początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), x ) dane jest wzorem x(t, z(0), 0) = F(t)x(0) + F(t τ h )A x (τ)dτ. Ponieważ w ogólnym przypadku, wyznaczanie macierzy tranzycji jest skomplikowane, zaproponowałam i opisałam w pracy metodę kroków wyznaczania rozwiązania równania różniczkowego (1) w przypadku pojedynczego opóźnienia. W celu sformułowania pierwszego z kryteriów sterowalności, wprowadziłam następujące oznaczenia: Q (t) = A Q (t h ), t [0, + ), k = 1,2,, oraz dla t = h, 2h, 3h,, i = 0,1,2,, M. B dla t = 0 Q (t) = 0 dla t 0 Q (t ) = {Q (t), Q (t),, Q (t), t [0. t ]} (5) Niech rzq (t ) oznacza rząd macierzy blokowej utworzonej ze wszystkich macierzy należących do zbioru Q (t ) oraz niech c to transpozycja wektora c. 7

8 Uogólniając wyniki zaprezentowane w pracach [11], [13] dla układów bez ograniczeń sterowania, sformułowałam i udowodniłam następujące twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech U R będzie takim niepustym, wypukłym i zwartym zbiorem, że 0 U. Jeżeli dla układu dynamicznego z opóźnieniami we współrzędnej stanu (1), dla wszystkich t 1 0 spełniony jest jeden z warunków (i) jeżeli c F(t)B = 0 dla t [0, t ] oraz c R, to c = 0, (ii) rzq (t ) = n, (iii) układ dynamiczny (1) jest względnie sterowalny w przedziale [0, t ] bez ograniczeń sterowania oraz układ ten jest asymptotycznie stabilny, to układ dynamiczny z opóźnieniami (1) jest względnie U-sterowalny do zera. Niech S będzie rozmaitością liniową w przestrzeni R postaci S = {x R : Lx = c}, (3) gdzie L jest znaną macierzą wymiaru p n, rzędu p oraz c R jest danym wektorem. W szczególnym przypadku, kiedy L = I n oraz c = 0, otrzymujemy S = {0}. Kolejne kryteria sterowalności, które sformułowałam i udowodniłam w pracy [BS1] bazują na pojęciu funkcji podpierającej zbioru osiągalnego. Funkcja podpierająca zbioru osiągalnego została zdefiniowana w pracy [14]. Zbiorem osiągalnym K [0, t], z(0) układu dynamicznego (1) z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), x ) w chwili t 0, dla u(t) U nazywamy zbiór K [0, t], z(0) = {x(t) R : x(t) = x(t, z(0), 0) + F(t τ)bu(τ)dτ, u L ([0, t], U)}. Dla układu dynamicznego (1) funkcja podpierająca zbioru osiągalnego to funkcja skalarna dana wzorem J(z(0), t, v) = v Lx(t, z(0), 0) + sup{v LF(t τ)bu(τ)dτ, u L ([0, t], U)} v c, (4) gdzie v R jest dowolnym wektorem. 8

9 W kolejnych dwóch twierdzeniach sformułowałam i udowodniłam kryteria względnej sterowalności układu dynamicznego (1) przy tych samych ograniczeniach na sterowanie, ale przy użyciu funkcji podpierającej zbioru osiągalnego. Twierdzenie 2. Niech E R będzie dowolnym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny oraz U R będzie niepustym, wypukłym i zwartym zbiorem zawierającym 0. Układ dynamiczny z opóźnieniami we współrzędnych stanu (1) jest względnie U-sterowalny z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), x ) do zbioru S postaci (3) wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego t [0, + ) spełniona jest nierówność lub, równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy min{j(z(0), t, v): v E} = 0 J(z(0), t, v) 0 dla każdego v E, gdzie funkcja skalara J jest zdefiniowana wzorem (4). W konsekwencji, gdy S = {0}, otrzymujemy analogiczne kryterium U-sterowalności do zera. Wniosek 1. Niech E R będzie dowolnym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny oraz U R będzie niepustym, wypukłym i zwartym zbiorem zawierającym 0. Układ dynamiczny z opóźnieniami we współrzędnych stanu (1) jest względnie U-sterowalny z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), x ) do zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego t [0, + ) spełniona jest nierówność lub, równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy min{j(z(0), t, v): v E} = 0 J(z(0), t, v) 0 dla każdego v E, gdzie funkcja skalara J jest zdefiniowana wzorem (4). Następne twierdzenie przedstawione i udowodnione w pracy [BS1] dotyczy względnej sterowalności przy dodatnich sterowaniach, bardzo często występujących w praktycznych zastosowaniach, czyli zakładam że U = R. Twierdzenie 3. Układ dynamiczny z opóźnieniami we współrzędnych stanu (1) jest względnie R -sterowalny w przedziale [0, t ], jeżeli (n n)-wymiarowa macierz sterowalności W(t ) tego układu, dana wzorem W(t ) = F(t τ)bb F (t τ)dτ, spełnia warunek rz W(t ) = n oraz W (t ) R, B F (t t) R dla każdego t [0, t ], (x x(t, z(0), 0)) R. 9

10 Ostatnie dwa twierdzenia podają kryteria aproksymacyjnej względnej sterowalności przy założeniu, że U jest stożkiem w przestrzeni R, którego otoczka wypukła ma niepuste wnętrze. Niech Ψ(s) = si A e oraz ψ(s) = det Ψ(s), gdzie Ψ(s) jest macierzą o wymiarach n n. Uogólniając wyniki przedstawione w [15], udowodniłam następujące twierdzenie. Twierdzenie 4. Niech U będzie stożkiem w przestrzeni R, którego otoczka wypukła ma niepuste wnętrze. Niech det A 0 oraz m = 1. Układ dynamiczny z opóźnieniami (1) jest aproksymacyjnie względnie U-sterowalny wtedy i tylko wtedy i tylko wtedy, gdy rz[ψ(s), B] = n dla każdego s C oraz równanie quasi charakterystyczne ψ(s) = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wniosek 2. Niech U = R oraz det A 0 i m = 1. Układ dynamiczny z opóźnieniami (1) jest aproksymacyjnie względnie R -sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rz[ψ(s), B] = n dla każdego s C oraz równanie quasi charakterystyczne ψ(s) = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Aproksymacyjna względna sterowalność jest pojęciem słabszym od względnej sterowalności, ale w wielu przypadkach wystarczającym. Do najważniejszych moich osiągnięć zawartych w pracy [BS1] można zaliczyć: sformułowanie i udowodnienie kryterium względnej sterowalności do zera układu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (1) w przypadku, gdy zbiór wartości sterowań jest niepustym, wypukłym i zwartym zbiorem zawierającym 0, metodami bazującymi na macierzach układu oraz sterowalności odpowiadającego układu bez ograniczeń sterowania (Tw.1); sformułowanie i udowodnienie kryterium względnej sterowalności układu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (1) w przypadku, gdy zbiór wartości sterowań jest niepustym, wypukłym i zwartym zbiorem zawierającym 0, za pomocą funkcji podpierającej zbioru osiągalnego do zbioru S postaci (3) (Tw.2) oraz do zera (Wn.1); sformułowanie i udowodnienie warunku wystarczającego względnej sterowalności układu (1) przy dodatnich sterowaniach, za pomocą pojęcia macierzy sterowalności (Tw.3); sformułowanie i udowodnienie warunków koniecznego i wystarczającego aproksymacyjnej względnej sterowalności układu dynamicznego (1), gdy zbiór sterowań dopuszczalnych jest stożkiem, którego otoczka wypukła ma niepuste wnętrze (Tw.4); szczególnym przypadkiem jest wówczas zbiór U = R, czyli otrzymujemy sterowania dodatnie (Wn.2); 10

11 wyprowadzenie wzoru na postać rozwiązania w chwili t 1 0 dla układu dynamicznego (1) w przypadku pojedynczego opóźnienia we współrzędnej stanu, przy zastosowaniu metody kroków. Jako przykład wykorzystania wyników teoretycznych zaprezentowanych w pracy [BS1] zaproponowałam układ sterowania stężeniami roztworów chemicznych złożony z dwóch mieszalników kaskadowo połączonych reaktorem. Równania stanu tego układu mają postać dc1 ( t) Q1 Q1 c1 ( t) cwe1 ( t) dt V V dc2 ( t) ( Q1 Q2 ) Q1 Q2 c ( ) ( ) 2 t c1 t h c dt V V V gdzie c 1 (t), c 2 (t) to stężenia roztworu w mieszalnikach (współrzędne stanu), c we1 (t), c we2 (t) to wejściowe stężenia produktu (sterowania), Q 1, Q 2 to stałe natężenia przepływu, odpowiednio dla stężeń c we1 (t) and c we2 (t), V 1, V 2 to objętości mieszalników (dla uproszczenia założyłam, że V 1 = V 2 = V), h to stałe opóźnienie powstające w reaktorze. Innym przykładem układu opisanego równaniami stanu postaci (1) ze stałymi opóźnieniami we współrzędnych stanu jest biologiczny układ drapieżnik-ofiara [16]. Z opóźnieniami w stanie można się też spotkać w przypadku układów ze sprzężeniem zwrotnym, zawierających opóźnienia (np. pomiarowe) w pętli sprzężenia zwrotnego Układy z opóźnieniami we współrzędnych stanu opisane równaniami różniczkowymi ułamkowego rzędu W pracy [BS4] przedstawiłam analizę sterowalności liniowych układów dynamicznych ułamkowego rzędu z wielokrotnymi, stałymi opóźnieniami we współrzędnych stanu postaci we2 ( t) D x(t) = A x(t h ) + Bu(t), t 0, (6) dla 0 < α < 1, gdzie x(t) R jest wektorem stanu, u L ([0, + ), R ) jest sterowaniem, A, i = 1,2,, M są (n n)-wymiarowymi macierzami o elementach rzeczywistych, B jest (n m)-wymiarową macierzą o elementach rzeczywistych oraz h, i = 1,2,, M są stałymi opóźnieniami, spełniającymi następujące nierówności 0 = h < h < < h < h. C D α f(t) oznacza pochodną ułamkową Caputo dla danej funkcji rzeczywistej f, zdefiniowaną wzorem C D α f(t) = 1 f Γ(n α + 1) (t τ) α n dτ, gdzie Γ oznacza funkcję gamma oraz n < α < n + 1, n N t (n+1) (τ)

12 W pracach dotyczących pochodnych ułamkowego rzędu zastosowałam pochodną Caputo, gdyż w tym podejściu warunki początkowe mają formę analogiczną, jak w przypadku równań rzędu całkowitego [4]. W pracy [BS4] wyprowadziłam wzór na postać rozwiązania równania (6), stosując w tym celu przekształcenie Laplace a. Twierdzenie 5. Przy zadanych warunkach początkowych z(0) = (x(0), x ) oraz sterowaniu dopuszczalnym u, dla każdego t 0 istnieje jednoznaczne rozwiązanie x(t) = x(t, z(0), u) równania różniczkowego ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) postaci x(t) = Φ (t)x(0) + Φ(t τ) A x(τ h )dτ + Φ(t τ)bu(τ)dτ, (7) gdzie A t Φ (t) = E, (At ) = Γ(kα + 1), oraz E, jest funkcją Mittag-Lefflera. A t Φ(t) = t E, (At ) = t Γ(k + 1)α Funkcja specjalna Mittag-Lefflera E, (z) =, z C, α, β > 0, pełni ważną rolę () w rachunku różniczkowym ułamkowego rzędu. Jak pokazują powyższe wzory, na jej podstawie definiujemy macierz Φ (t) nazywaną macierzą pseudo-tranzycji układu liniowego rzędu ułamkowego D x(t) = Ax(t), która jest odpowiednikiem macierzy tranzycji F(t) dla układów liniowych całkowitego rzędu. Następnie, sformułowałam i udowodniłam kilka kryteriów sterowalności dla układów dynamicznych z opóźnieniami postaci (6) bez ograniczeń sterowania oraz przy ograniczeniach nałożonych na sterowanie. Pierwsze trzy dotyczą dowolnych sterowań, tzn. u(t) R. Twierdzenie 6. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) jest względnie sterowalny w przedziale [0, t ] wtedy i tylko wtedy, gdy (n n)-wymiarowa macierz sterowalności postaci jest nieosobliwa, gdzie Φ (t) = E, (A t ). W(0, t ) = Φ(t τ)bb Φ (t τ)dτ 12

13 Aby sformułować kolejne kryterium względnej sterowalności, przekształciłam rozwiązanie (7) do postaci zawierającej rozwiązanie swobodne układu dynamicznego (6). Niech Φ (t) będzie zdefiniowane wzorem t dla t > 0 oraz Φ (t) = 0 dla t < 0. Wówczas Φ (t) = Γ(1 α) I + Φ(τ)A dτ x(t, z(0), 0) = Φ (t)x(0) + Φ (t)(t τ h )A x (τ)dτ jest rozwiązaniem swobodnym, które zależy tylko od początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), x ). Rozwiązanie (7) można zapisać w postaci x(t) = x(t, z(0), 0) + Φ (t τ)bu(τ)dτ. Stosując metodę zaprezentowaną w [17] dla układów rzędu całkowitego, sformułowałam i udowodniłam kolejne nowe kryterium względnej sterowalności układu rzędu ułamkowego (6). Twierdzenie 7. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) jest względnie sterowalny w przedziale [0, t ] wtedy i tylko wtedy, gdy z równości dla a R oraz t [0, t ] wynika, że a = 0. a Φ (t t)b = 0 Następne twierdzenie również podaje warunek konieczny i wystarczający względnej sterowalności układu (6). Jest to algebraiczne, łatwe w zastosowaniu, kryterium bazujące na macierzach A,, A oraz B tego układu, podobne do warunku Kalmana dla ciągłych układów liniowych całkowitego rzędu bez opóźnień. W celu sformułowania tego twierdzenia, dla t [0, ), analogicznie jak w przypadku układów pierwszego rzędu (wzory (5)), definiuję rekurencyjnie macierze Q (t), Q (t), Q (t ). Niech rzq (t ) oznacza rząd macierzy blokowej utworzonej ze wszystkich macierzy należących do zbioru Q (t ). Twierdzenie 8. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) jest względnie sterowalny w przedziale [0, t ] wtedy i tylko wtedy, gdy rzq (t ) = n. 13

14 Warto zauważyć, że dla t < h, otrzymujemy Q (t ) = {B, A B, A B,, A B} i warunek rzq (t ) = n redukuje się do analogicznego kryterium sterowalności dla układów ułamkowych bez opóźnień, przedstawionego w [7]. Kolejne twierdzenia podają kryteria sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie. Twierdzenie 9 bazuje na warunku względnej sterowalności układu (6) bez ograniczeń sterowania (Tw.8) oraz na warunku asymptotycznej stabilności tzw. układów ułamkowych współmiernego rzędu (ang. commensurate order) [18]. Oznaczam A = A e. Twierdzenie 9. Niech U R m będzie wypukłym i zwartym zbiorem, zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny oraz układ dynamiczny (6) jest współmiernego rzędu. Jeżeli rzq (t ) = n, arg(λ ) > α, 1 i n, gdzie λ są wartościami własnymi macierzy A oraz równanie charakterystyczne det (s I A) nie ma pierwiastków czysto urojonych, wówczas układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) jest względnie U-sterowalny do zera w przedziale [0, t ]. Twierdzenie 10. Niech U R m będzie zbiorem wypukłym zawierającym 0. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnej stanu (6) jest względnie U-sterowalny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy poniższa równość supa Φ (t τ)bu(τ): u L 2 ([0, t], U) dτ = + zachodzi dla dowolnego, niezerowego wektora a R oraz t > 0. W szczególności, z Tw. 9 wprost wynika poniższy wniosek, który stanowi kryterium sterowalności układu (6) dla sterowań dodatnich. Wniosek 3. Niech U = R {0}. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6) jest względnie U-sterowalny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy poniższa równość supa Φ (t τ)bu(τ): u L 2 ([0, t], U) dτ = + zachodzi dla dowolnego, niezerowego wektora a R oraz t > 0. 14

15 Do najważniejszych moich osiągnięć zawartych w pracy [BS4] można zaliczyć: wyprowadzenie wzoru na postać rozwiązania (7) układu ułamkowego rzędu z opóźnieniami we współrzędnych stanu (6), metodą przekształcenia Laplace a (Tw.5); sformułowanie i udowodnienie nowych kryteriów względnej sterowalności układów rzędu ułamkowego z opóźnieniami w stanie (6) bez ograniczeń (Tw.6-8); sformułowanie i udowodnienie kryterium względnej sterowalności do zera układu z opóźnieniami w stanie (6) przy ograniczeniach na sterowanie w przypadku, gdy zbiór wartości sterowań jest wypukłym i zwartym zbiorem, zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny (Tw.9); sformułowanie i udowodnienie warunków koniecznego i wystarczającego względnej sterowalności do zera układu dynamicznego (6), gdy zbiór sterowań dopuszczalnych U jest zbiorem wypukłym zawierającym 0 (Tw.10); w szczególnym przypadku otrzymujemy zbiór U = R {0}, czyli mamy dodatnie sterowania (Wn.3). Równania różniczkowe liniowe ułamkowego rzędu z opóźnieniami występują m.in. w modelach matematycznych układów chemicznych. Przykładem może być kaskadowe połączenie całkowicie wypełnionych cieczą mieszalników substancji chemicznych. Częstym zastosowaniem modeli liniowych zawierających pochodne niecałkowitego rzędu, również z opóźnieniami we współrzędnych stanu są modele biologiczne, gdyż przebieg wielu procesów biologicznych ma tzw. efekt pamięć lub następstwa (ang. after-effects), np. opóźnienie ze względu na czas inkubacji choroby Sterowalność układów z opóźnieniami w sterowaniu Drugi typ układów dynamicznych z opóźnieniami, które analizowałam w swoich badaniach to ciągłe układy dynamiczne z opóźnieniami w sterowaniu. Wyniki badań zostały opublikowane w pracach [BS2] w przypadku liniowych układów stochastycznych całkowitego rzędu (pierwszego rzędu) oraz [BS3], [BS5], [BS6] i [BS7] dla układów deterministycznych ułamkowego rzędu, liniowych i semiliniowych. Badałam sterowalność ww. układów przy różnych ograniczeniach nakładanych na wartości sterowań Układy stochastyczne z opóźnieniami w sterowaniu Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną z miarą prawdopodobieństwa P zdefiniowaną na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω oraz filtracją {F : t [0, t ]} generowaną przez n-wymiarowy proces stochastyczny Wienera {ω(s): 0 s t}, określony na (Ω, F, P). Ponadto, niech L (Ω, F, R ) oznacza przestrzeń Hilberta wszystkich F -mierzalnych, całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych o wartościach w R oraz niech L ([0, t ], R ) oznacza przestrzeń Hilberta wszystkich całkowalnych z kwadratem i F -mierzalnych procesów o wartościach w R. 15

16 W pracy [BS2] rozważałam liniowe, ciągłe skończenie-wymiarowe układy dynamiczne z wielokrotnymi opóźnieniami w sterowanie opisane równaniem różniczkowym stanu postaci dx(t) = A(t)x(t) + B (t)u(v (t) dt + σ(t)dω(t), t [0, t ] (8) gdzie x(t) R jest wektorem stanu; u L ([0, + ), R ) jest sterowaniem; A(t) jest (n n)-wymiarową macierzą o elementach a L ([0, + ), R), k, j = 1,, n; B (t), i = 1,2,, M są (n m)-wymiarowymi macierzami o elementach b L ([0, + ), R), k = 1,, n, j = 1,, m; v : [0, t ] R, i = 1,2,, M są absolutnie ciągłymi, ściśle rosnącymi funkcjami, spełniającymi nierówności v (t) < v (t) < < v (t) < v (t) = t, t [0, t ], przy czym, v (t) = t h (t) i h (t) 0, i = 1,2,, M, są zmiennymi w czasie opóźnieniami w sterowaniu; σ(t) jest (n n)-wymiarową macierzą o ciągłych elementach σ, k, j = 1,, n; ω(t) jest n-wymiarowym procesem Wienera. Sformułowałam i udowodniłam twierdzenia o stochastycznej względnej sterowalności układu dynamicznego (8) do zbioru S postaci (3). Zastosowałam metodę funkcji podpierającej zbioru osiągalnego oraz lemat o równoważności rozwiązań układu (8) oraz pewnego układu bez opóźnień. W tym celu przekształciłam postać rozwiązania układu (8), które przy zadanych warunkach początkowych (początkowy stan zupełny układu) z(0) = (x(0), u ), gdzie u jest dana funkcją określoną w przedziale [v (0), 0], wyraża się wzorem x(t, z(0), u) = Φ(t, 0)x(0) + Φ(t, s) B (t)u(v (t)) ds + Φ(t, s) σ(t)dω(t) (9) oraz Φ(t, s) jest (n n)-wymiarową macierzą tranzycji układu liniowego dx(t) = A(t)x(t)dt, do postaci w przedziale [0, t ], gdzie x(t, z(0), u) = Φ(t, 0)qz(0), σ(t) + Φ(t, s)b (s)u(s)ds, (10) qz(0), σ(t) = Φ(0, s) σ(s)dω(s) + () + Φ0, r (s)b r (s)r (s) u (s)ds, ( ) () Φ0, r (s)b r (s)r (s) u (s)ds + 16

17 r : [v (0), v (t )] [0, t ] to funkcje odwrotne do v, oraz dla t v (t ), v (t ), i = 0,1,, k 1, B (t) = Φ 0, r (t) B r (t) r (t). W ten sposób rozwiązanie równania (8) będzie równoważne rozwiązaniu układu liniowego bez opóźnień postaci dy(t) = A(t)y(t) + B (t)u(t)dt, czyli x(t, z(0), u) = y(t, qz(0), σ(t), u) dla t [0, t ]. Zatem, jeżeli U R jest niepustym zbiorem, to funkcja podpierająca zbioru osiągalnego układu stochastycznego (8) wyraża się wzorem Jqz(0), σ(t), t, a = a LΦ(t, 0)qz(0), σ(t) + + supa LΦ(t, s)b (s)u(s): u L ([0, t ], U) ds a c. (11) Poniższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający stochastycznej względnej sterowalności układu (8) do zbioru S postaci (3) jeżeli zbiór wartości sterowań dopuszczalnych jest zbiorem zwartym. Twierdzenie 11. Niech U R będzie zbiorem zwartym oraz E R będzie dowolnym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny. Wówczas, układ dynamiczny z opóźnieniami w sterowaniu (8) jest stochastycznie względnie U-sterowalny z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), u ) do zbioru S postaci (3) wtedy i tylko wtedy gdy, dla pewnego t [0, + ), lub, równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy minjqz(0), σ(t), t, a a E = 0 Jqz(0), σ(t), t, a 0 dla każdego a E, gdzie funkcja podpierająca Jqz(0), σ(t), t, a zdefiniowana jest wzorem (11). Istota Tw.11., czyli zastosowania funkcji podpierającej zbioru osiągalnego polega na tym, że przy ustalonych założeniach, z początkowego stanu zupełnego układu dynamicznego można uzyskać stan końcowy należący do zbiór S, jeżeli wektor c z definicji zbioru S i zbiór osiągalny układu nie są separowalne hiperpłaszczyzną. 17

18 Oczywiście w szczególnym przypadku, kiedy macierz L jest macierzą jednostkową wymiaru n n oraz c = 0, otrzymujemy zbiór S = {0} i mamy stochastyczną względną U-sterowalność układu (8) do zera. Możemy, zatem sformułować następujący wniosek z Tw.11. Wniosek 4. Niech U R będzie zbiorem zwartym oraz E R będzie dowolnym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny. Wówczas, układ dynamiczny z opóźnieniami w sterowaniu (8) jest stochastycznie względnie U-sterowalny z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), u ) do zera wtedy i tylko wtedy gdy, dla pewnego t [0, + ), lub, równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy minjqz(0), σ(t), t, a a E = 0 Jqz(0), σ(t), t, a 0 dla każdego a E, gdzie funkcja podpierająca Jqz(0), σ(t), t, a zdefiniowana jest wzorem (11). Do najważniejszym wyników zaprezentowanych w pracy [BS2] zaliczam: przedstawienie rozwiązania (9) równania stanu układu dynamicznego z opóźnieniami w sterowaniu (8) w postaci bez opóźnień (10); sformułowanie i udowodnienie warunku koniecznego i wystarczającego stochastycznej względnej sterowalności układu (8) dla sterowań o wartościach w zbiorze zwartym, do zbioru, który jest rozmaitością liniową postaci (3) (Tw.11), w szczególnym przypadku sprowadzającego się do względnej sterowalność do zera (Wn.4). Stochastyczne równania różniczkowe liniowe zawierające proces Wienera mają zastosowanie, między innymi, w modelowaniu procesów ekonomicznych [19], [20] Układy deterministyczne z opóźnieniami w sterowaniu Publikacje [BS3] oraz [BS5]-[BS7] przedstawiają wyniki mojej pracy naukowej nad sterowalnością układów dynamicznych ułamkowego rzędu z pochodną Caputo D f(t) jako operatorem różniczkowym, z opóźnieniami w sterowaniu. W pracach [BS3] oraz [BS7], jako model matematyczny rozważanych układów ułamkowych przyjęłam następujące równanie różniczkowe D x(t) = Ax(t) + B u(t h ), t 0, (12) dla 0 < α < 1, gdzie x(t) R jest wektorem stanu, u L ([0, + ), R ) jest sterowaniem, A jest (n n)-wymiarową macierzą o elementach rzeczywistych, B, i = 1,2,, M są (n m) 18

19 -wymiarowymi macierzami o elementach rzeczywistych, oraz h, i = 1,2,, M są stałymi opóźnieniami, spełniającymi następujące nierówności 0 = h < h < < h < h. Za pomocą przekształcenia Laplace a, w pracy [BS3] wyprowadziłam wzór na postać rozwiązania układu (12) gdzie x(t) = Φ (t)x(0) + Φ(t τ) B u(τ h )dτ (13) A t Φ (t) = E, (At ) = Γ(kα + 1), A t Φ(t) = t E, (At ) = t. (14) Γ(k + 1)α Następnie, sformułowałam i udowodniłam następujący warunek konieczny i wystarczający sterowalności układów dynamicznych z opóźnieniami w sterowaniu opisanych równaniem (12) bez ograniczeń sterowania. Twierdzenie 12. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie sterowalny w przedziale [0, t ] wtedy i tylko wtedy, gdy rz gdzie Φ (t τ h ) = E, (A (t τ h ) ). Φ(t τ h )B B Φ (t τ h )dτ = n, Warto wspomnieć, że inne kryterium macierzowe względnej sterowalności dla układów ułamkowych z opóźnieniami w sterowaniu zostało zaproponowane w [21], jednak bazuje ono na macierzy dodatnio określonej. Weryfikacja tego kryterium wymaga obliczania wyznaczników danej macierzy oraz wszystkich jej minorów, podczas gdy moje kryterium (Tw.12) sprowadza się do obliczenia jednego wyznacznika. W kolejnym kroku zakładam, że wartości sterowań są ograniczone, tzn. u(t) U R. Po przekształceniu rozwiązania (13) dla dowolnego t > 0, do postaci x(t ) = Φ (t )x(0) + Φ(t τ h )B u (τ)dτ + 19

20 + Φ(t τ h )B u (τ)dτ + Φ(t τ h )B u(τ)dτ. Ponieważ pierwsze trzy składniki zależą tylko od początkowego stanu zupełnego z(0), wprowadzam następujące oznaczenia: qz(0) = x(0) + Φ (t ) Φ(t τ h )B u (τ)dτ + + Φ (t ) Φ(t τ h )B u (τ)dτ, oraz dla t [t h, t h ), i = 0,1,, k 1, B (t) = Φ (t ) Φ(t τ h )B. Dzięki tym przekształceniom mogę ponownie zastosować funkcję podpierającą zbioru osiągalnego do sformułowania kryterium sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie. Zatem, dla układu ułamkowego rzędu (12), funkcja podpierająca będzie określona wzorem J(z(0), t, a) = a LΦ(t )qz(0) + + supa LΦ(t τ)b (τ)u(τ): u L ([0, t ], U) dτ a c. (15) Kryterium sterowalności ma następującą postać. Twierdzenie 13. Niech U R będzie zbiorem zwartym oraz E R będzie dowolnym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie U-sterowalny z początkowego stanu zupełnego z(0) = (x(0), u ) do zbioru S postaci (3) wtedy i tylko wtedy gdy, dla pewnego t [0, + ) spełniony jest warunek gdzie J(z(0), t, a) dane jest wzorem (15). J(z(0), t, a) 0 dla każdego a E, W szczególnym przypadku, dla S = {0} otrzymujemy kryterium względnej U-sterowalności układu (12) do zera. W następnym twierdzeniu również sformułowałam i udowodniłam kryterium sterowalności do zera dla układu (12). 20

21 Twierdzenie 14. Niech U R będzie zbiorem zwartym zawierającym 0. Układ ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie U-sterowalny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność supa Φ(t τ)b (τ)u(τ): L ([0, t ], U) dτ = + zachodzi dla każdego niezerowego wektora a R oraz t > 0. Zauważmy, że Tw.14 jest prawdziwe dla często spotykanych w praktycznych zastosowaniach sterowań dodatnich, czyli w przypadku U = R {0}. Pewne kryteria sterowalności dla ciągłych układów ułamkowego rzędu przy dodatnich sterowaniach zostały zaprezentowane w [22], jednak dotyczą one jedynie układów dodatnich. W mojej pracy pozostałe parametry układu nie muszą być dodatnie. W pracy [BS7] zaprezentowałam kilka nowych kryteriów opartych na warunkach stabilności układu (12) oraz bazujących na metodach macierzowych. Jednakże, w tej najnowszej publikacji, dodatkowo zaproponowałam wprowadzenie pewnej modyfikacji opisu układów ułamkowego rzędu w przestrzeni stanów, która uwzględnia tzw. stany wewnętrzne układu z (ω, t). Stan x(t) układu dynamicznego (12), który w przypadku układów niecałkowitego rzędu jest często nazywany pseudo-stanem tego układu [23], możemy zapisać jako całkę ważoną postaci x(t) = μ (ω)z (ω, t)dω, gdzie stan wewnętrzny z (ω, t) jest faktycznym stanem układu ułamkowego rzędu (12) oraz μ (ω) = ω [24]. W ostatnich latach, m.in. w pracach [25], [26] wykazywano, że w przypadku niezerowych warunków początkowych zastosowanie operatorów różniczkowych ułamkowego rzędy takich, jak pochodna Caputo czy pochodna Riemann-Liouville a może powodować pewne odchylenia w stosunku do rzeczywistych trajektorii układu. Na podstawie [24], modyfikacja pochodnej Caputo ma postać D x(t) = I dx(t) dt gdzie I ( ) oznacza całkowanie ułamkowego rzędu 1 α. Wówczas, transformata Laplace a zmodyfikowanej pochodnej Caputo D x(t) wyraża się wzorem C L D α x (t) = s L[x(t)] s x(0) + μ (ω)z (ω, 0) dω, s + ω gdzie x(0) i z (ω, 0) to zadane warunki początkowe. 21

22 Wobec powyższego, zmodyfikowana postać rozwiązania układu dynamicznego (12) to x(t) = Φ (t)x(0) + Φ(t τ) μ (ω)z (ω, 0) dω dτ + s + ω 22 + Φ(t τ) B u(τ h )dτ, (16) dla dowolnych warunków początkowych, czyli początkowego stanu zupełnego z(0) i początkowego stanu wewnętrznego z (ω, 0), Φ (t) i Φ(t) dane są wzorami (14). Dzięki tej modyfikacji, metoda operatorowa Caputo rozwiązywanie równań różniczkowych ułamkowego rzędu, przy dowolnych warunkach początkowych, daje rozwiązania zgodne z rzeczywistymi fizycznymi modelami. Poniżej przedstawiam najważniejsze kryteria sterowalności układów z opóźnieniami w sterowaniu (12) przy ograniczeniach na sterowanie, które podałam i udowodniłam w pracy [BS7]. Twierdzenie 15. Niech U R będzie zbiorem wypukłym, zawierającym 0 w swoim wnętrzu oraz niech układ z opóźnieniami w sterowaniu (12) będzie układem ułamkowym współmiernego rzędu. Jeżeli rz (t τ h ) E, (A(t τ h ) )B B E, (A (t τ h ) )dτ = n oraz arg (λ ) > α, 1 i n, gdzie λ są wartościami własnymi macierzy A, to układ dynamiczny (12) jest względnie U-sterowalny do zera w przedziale [0, t ]. Twierdzenie 16. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie U-sterowalny w przedziale [0, t ] dla pewnego h < t h, k = 0,1,, M, h = + wtedy i tylko wtedy, gdy układ dynamiczny bez opóźnień postaci D x(t) = Ax(t) + B(t)v(t) jest V-sterowalny w [0, t ], gdzie B(t) = B 0 B 1 B j B k, v L ([0, t 1 ],V) oraz V = U U U R () jest danym domkniętym i wypukłym stożkiem o niepustym wnętrzu i wierzchołku w zerze. Twierdzenie 17. Niech U R będzie stożkiem o wierzchołku w zerze i niepustym wnętrzu w przestrzeni R. Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie U-sterowalny w przedziale [0, t ] dla pewnego h < t h, k = 0,1,, M, h = + wtedy i tylko wtedy, gdy

23 rz[b B B AB AB AB A B A B A B A B A B A B ] = n oraz macierz A nie ma rzeczywistych wektorów własnych ω spełniających warunek ω B(t)u 0 dla wszystkich u = u(t) U. Wniosek 5. Niech m = 1 oraz U = [0, + ). Układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12) jest względnie U-sterowalny w przedziale [0, t ] dla pewnego h < t h, k = 0,1,, M, h = +, wtedy i tylko wtedy, rz[b B B AB AB AB A B A B A B A B A B A B ] = n oraz macierz A ma tylko zespolone wartości własne. W pracy [BS5] przedstawiłam uogólnienie układu z opóźnieniami (12) na przypadek zmiennych macierzy B = B (t) oraz zmiennych opóźnień. Równanie stanu przyjmuje wtedy postać D x(t) = Ax(t) + B (t)u(v (t)), t t, (17) gdzie v (t) = t h (t), a h (t) > 0 są zmiennymi w czasie opóźnieniami w sterowaniu. Wyprowadziłam wzór na postać rozwiązania x(t, z(t ), u) = Φ (t)x(t ) + Φ(t τ) B (τ)uv (τ)dτ, (18) gdzie Φ (t) i Φ(t) zdefiniowane są wzorami (14). Wspólnie ze współautorem, sformułowaliśmy i udowodniliśmy dwa kryteria względnej sterowalności układu ze zmiennymi opóźnieniami w sterowaniu, przy ograniczeniach na sterowanie. Kryteria te bazują na tzw. macierzy sterowalności W (t, t ) układu (16). Niech W (t, t ) = Φ(t τ) B (τ)b (τ)φ(t τ)dτ, B (t) = Φ (t t) Φt r (t)b r (t) r (t) dla t v (t ), v (t ), i = 0, 1,, k 1, B (t) jest (n n)-wymiarową macierzą zdefiniowaną na przedziale [t, t ] (ponieważ t = v (t )) o elementach całkowalnych z kwadratem, a r to funkcje odwrotne do v. 23

24 Twierdzenie 18. Niech U R będzie wypukłym i zwartym zbiorem zawierającym 0 jako punkt wewnętrzny. Jeżeli rz W (t, t ) = n i układ dynamiczny ułamkowego rzędu ze zmiennymi opóźnieniami w sterowaniu (17) jest asymptotycznie stabilny, to układ ten jest względnie U-sterowalny do zera w przedziale [t, t ]. Twierdzenie 19. Niech U będzie stożkiem o wierzchołku w zerze i niepustym wnętrzu w przestrzeni jednowymiarowej R. Układy dynamiczny ułamkowego rzędu ze zmiennymi opóźnieniami w sterowaniu (17) jest względnie U-sterowalny w przedziale [t, t ] wtedy i tylko wtedy, gdy rz W (t, t ) = n oraz macierz A ma tylko zespolone wartości własne. Praca [BS6] dotyczy sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie typu stożkowego ciągłych układów semiliniowych z opóźnieniami w sterowaniu opisanych równaniem różniczkowym stanu D x (t) = Ax(t) + B u(t h ) + f(x(t), u(t), u(t h ),, u(t h )), (19) dla t 0, 0 < α < 1, gdzie x(t) R jest wektorem stanu, u L ([0, + ), R ) jest sterowaniem, A jest (n n)-wymiarową macierzą o elementach rzeczywistych, B, i = 1,2,, M są (n m)-wymiarowymi macierzami o elementach rzeczywistych, oraz h, i = 1,2,, M są stałymi opóźnieniami, spełniającymi nierówności 0 = h < h < < h < h oraz funkcja f: R R R R R jest nieliniowym odwzorowaniem klasy C, różniczkowalnym w otoczeniu początku układu współrzędnych w przestrzeni R R R R takim, że f(0,0,,0) = 0. Stosując metodę Laplace a, wyprowadziłam wzór na postać rozwiązania układu semiliniowego (19) x(t) = Φ (t)x(0) + Φ(t τ) B u(τ h )dτ + (20) + Φ(t τ)f(x(t), u(t), u(t h 1 ),, u(t h M ))dτ, gdzie Φ (t) i Φ(t) zdefiniowane są wzorami (14). W pracy [BS6] przyjęłam, że zbiór wartości sterowań dopuszczalnych U R jest domkniętym, wypukłym stożkiem o niepustym wnętrzu i wierzchołku w zerze. W przypadku układów semiliniowych i nieliniowych, zarówno całkowitych, jak i niecałkowitych rzędów, zdecydowana większość kryteriów bazuje na twierdzeniach o punktów stałych. W pracy 24

25 [BS6] zaproponowaliśmy zastosowanie pochodnej Frecheta. Niech X i Y będą danymi przestrzeniami Banacha oraz g: X Y będzie odwzorowaniem klasy C, różniczkowalnym w otoczeniu zera w przestrzeni X Jeżeli pochodna Frecheta w zerze D (0): X Y odwzorowuje przestrzeń X na całą przestrzeń Y, to nieliniowe odwzorowanie g przekształca otoczenie zera w przestrzeni X na pewne otoczenie zera w przestrzeni Y. Poniższe twierdzenie, które podałam i udowodniłam w [BS6], stanowi kryterium likalnej względnej sterowalności ułamkowego układu semiliniowego z opóźnieniami w sterowaniu postaci (19) przy ograniczeniach na sterowanie. Twierdzenie 20. Niech będą spełnione następujące warunki (i) U R jest domkniętym i wypukłym stożkiem o niepustym wnętrzu i wierzchołku zerze; (ii) f(0,0,,0) = 0; (iii) rz[b B B AB AB AB A B A B A B A B A B A B ] = n dla h < t h, k = 0,1,, M, h = + ; (iv) macierz A nie ma rzeczywistych wektorów własnych ω spełniających warunek ω B(t)u 0 dla wszystkich u = u(t) U, gdzie B(t) = B B B B. Wówczas semiliniowy układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (19) jest lokalnie względnie U-sterowalny w przedziale [0, t ]. W szczególnym przypadku, gdy m = 1, warunek (iv) jest równoważny warunkowi, że macierz A ma tylko zespolone wartości własne. Można zatem sformułować następujący wniosek. Wniosek 6. Niech będą spełnione następujące warunki (i) m = 1 i U = [0, + ); (ii) f(0,0,,0) = 0; (iii) rz[b B B AB AB AB A B A B A B A B A B A B ] = n dla h < t h, k = 0,1,, M, h = + ; (iv) macierz A ma tylko zespolone wartości własne. Wówczas semiliniowy układ dynamiczny ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (19) jest lokalnie względnie U-sterowalny w przedziale [0, t ]. 25

26 We wszystkich publikacjach przedstawiłam przykłady ilustrujące jak stosować sformułowane przeze mnie kryteria do badania sterowalności omawianych układów dynamicznych. W przypadku układów ułamkowego rzędu, w przykładach, gdzie należało wyznaczyć macierze Φ (t) i Φ(t) zastosowałam metodę opartą na twierdzeniu Cayleya-Hamiltona, które mówi, że macierz A układu spełnia swoje własne równanie charakterystyczne. To znaczy, jeżeli to det[s I A] = (s ) + a (s ) + + a s + a, A + a A + + a A + a I = 0. Do najważniejszych moich osiągnięć dotyczących badania sterowalności układów z opóźnieniami w sterowaniu ułamkowego rzędu, przedstawionych w pracach [BS3] oraz [BS5] -[BS7] można zaliczyć: wyprowadzenie, za pomocą przekształcenia Laplace a, wzoru na postać rozwiązania (13) liniowego układu dynamicznego ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu (12); sformułowanie i udowodnienie kryterium względnej sterowalności układu (12) bez ograniczeń sterowania (Tw.12); sformułowanie i udowodnienie kryteriów względnej U-sterowalności układu (12) przy ograniczeniach na sterowanie, w przypadku gdy: U jest zbiorem zwartym (Tw.13) oraz zbiorem zwartym zawierającym 0 (Tw.14), gdzie w szczególnym przypadku U = R, czyli otrzymujemy sterowania dodatnie; wprowadzenie modyfikacji operatora różniczkowego Caputo i wyprowadzenie postaci zmodyfikowanego rozwiązania (16) w odpowiedzi na niektóre najnowsze badania nad fizyczną interpretacją niezerowych warunków początkowych w przypadku metod operatorowych dla równań różniczkowych niecałkowitego rzędu; sformułowanie i udowodnienie warunków koniecznych i wystarczających względnej U-sterowalności układu (12) do zera, opartych na metodach macierzowych, przy założeniach: U jest zbiorem wypukłym i zawierającym 0 w swoim wnętrzu (Tw.15), U jest domkniętym i wypukłym stożkiem o niepustym wnętrzu i wierzchołku w zerze (Tw.16), U jest stożkiem o wierzchołku w zerze i niepustym wnętrzu w przestrzeni R (Tw.16, Wn.5); sformułowanie i udowodnienie, wspólnie ze współautorem, dwóch kryteriów względnej sterowalności liniowego układu dynamicznego ułamkowego rzędu ze zmiennymi opóźnieniami w sterowaniu postaci (17), przy ograniczeniach na sterowanie (Tw.18, Tw.19), kryteria te bazują na tzw. macierzy sterowalności W (t, t ); zastosowanie pochodnej Frecheta do badania sterowalności układów semiliniowych ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu postaci (19) i, za jej pomocą, sformułowanie i udowodnienie warunku wystarczającego lokalnej względnej sterowalności tego układu w przypadku, gdy zbiór wartości sterowań dopuszczalnych jest 26

27 domkniętym i wypukłym stożkiem o niepustym wnętrzu i wierzchołku w zerze (Tw.20, Wn.6). Przykładem układu ułamkowego rzędu z opóźnieniami w sterowaniu o dodatnich sterowaniach (lub z pewnego przedziału domkniętego zawartego w R ) może być układ sterowania stężeniami roztworów chemicznych złożony z dwóch całkowicie wypełnionych mieszalników oraz dwóch reaktorów połączonych równolegle. Równania stanu tego układu mają postać C Q Q D c1 ( t) c1 ( t) c V V Q Q D c2( t) c2( t) c V V C we1 we2 ( t h ) 1 ( t h ) gdzie 0<α 1, c 1 (t), c 2 (t) (stężenia roztworu w mieszalnikach) to współrzędne stanu, a c we1 (t), c we2 (t) (wejściowe stężenia produktu) to sterowania, Q to stałe natężenie przepływu, V objętość każdego z mieszalników (dla uproszczenia przyjęłam równą objętość obu mieszalników), h 1, h 2 to stałe opóźnienia. Układy dynamiczne z opóźnieniami i ograniczeniami typu stożkowego występują w wielu procesach przemysłowych, na przykład w modelowaniu procesu walcowania stali, w którym grubość może być mierzona tylko w pewnych odległościach od rolek, co prowadzi do opóźnień w pomiarach. Opóźnienia powstają również przy próbkowaniu, kodowaniu i transmisji danych w sieci, czy w modelowaniu procesu cięcia metalu, gdzie pomiar grubości w trakcie cięcia powoduje opóźnienia w zależności od czasu pełnego obrotu. 4.3 Podsumowanie Zaprezentowany cykl publikacji obejmuje 7 prac na temat sterowalności ciągłych układów dynamicznych z opóźnieniami oraz z ograniczeniami na sterowania. Przedstawione prace obejmują szerokie spektrum układów dynamicznych. W ramach cyklu omawiane są zarówno układy całkowitego, jaki i ułamkowego rzędu. Analizowane są układy deterministyczne i stochastyczne. Opóźnienia występują we współrzędnych stanu lub w sterowaniu. Rozpatrywane są różne ograniczenia na wartości sterowań. Badanie sterowalności układów dynamicznych polega na wskazaniu warunków istnienia rozwiązania równania występującego w modelu matematycznym danego układu dynamicznego. W ramach przedstawionego osiągnięcia habilitacyjnego sformułowałam i udowodniłam ponad 20 twierdzeń podających kryteria (warunki) sterowalności ww. układów dynamicznych. Są to zarówno warunki wystarczające, jak i wielu przypadkach konieczne i wystarczające. Wyniki teoretyczne zilustrowałam przykładami, które pokazują jak weryfikować sterowalność omawianego typu układów za pomocą sformułowanych w pracy kryteriów. 2 27

28 W swoich badaniach związanych ze sterowalnością układów dynamicznych zastosowałam szeroki wachlarz narzędzi matematycznych, m.in. przekształcenie Laplace a, metody macierzowe, funkcję podpierającą zbioru osiągalnego czy pochodną Frecheta. Moja dalsza praca naukowa będzie się koncentrować na sterowalności nieliniowych układów dynamicznych ułamkowych rzędów z opóźnieniami. W szczególności, następny artykuł będzie dotyczył zastosowania twierdzenia Rotha o punkcie stałym. W związku z udziałem w projekcie naukowo-badawczym Analysis of hybrid system properties in applications to modeling and control of complex dynamical systems (Rozdz. 5.2, poz.1 na liście projektów), podejmę również pracę nad zagadnieniem istnienia sterowania optymalnego dla modeli biologicznych, w tym dla modelu ułamkowego rzędu rozwoju nowotworu [27]. 5 Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo-badawczych W niniejszym rozdziale omówię pozostały swój dorobek po uzyskaniu stopnia doktora nauk technicznych. Składają się na niego mniej znaczące prace z teorii sterowania, które nie zostały ujęte w cyklu prac przedstawionym jako osiągnięcie habilitacyjne, dorobek związany z metodami analizy danych, praca dotycząca metod e-learningu oraz podręczniki akademickie z analizy matematycznej i równań różniczkowych. Poniżej przedstawiam listę pozostałych moich publikacji po doktoracie. [BS8] Sikora B.: On controllability and minimum energy control of linear positive systems with delay, Archives of Control Sciences, 2003, vol. 13, no. 4, pp [BS9] Łobos E., Sikora B.: Calculus and differential equations in exercises, Wydawnictwo Politechniki Śl., 2004 (2006, 2012). [BS10] Sikora B.: On constrained controllability of dynamical systems with multiple delays in control, Applicationes Mathematicae, 2005, vol. 32, no. 1, pp [BS11] Sikora M., Sikora B.: Indukcja reguł jako technika Data Mining w eksploracji przemysłowych baz danych, Bazy danych. Modele, technologie, narzędzia. Tom 2: Analiza danych i wybrane zastosowania, Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, 2005, pp [BS12] Sikora M., Sikora B.: Application of machine learning for prediction a methane concentration in a coal-mine, Archives of Mining Sciences, 2006, vol. 51, no. 4, pp ; [BS13] Sikora M., Sikora B.: Systemy monitorowania w kopalniach węgla kamiennego bazy danych, wizualizacja, analiza danych, Bazy danych. Nowe technologie. Tom 2: 28