Typ potęgowy Szlenka

Transkrypt

1 Uniwersytet Śląski w Katowicach Letnia Szkoła Instytutu Matematyki Podlesice, września 2014 r.

2 Motywacja Pytanie (Banach Mazur, Księga Szkocka, Problem 49) Czy istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń Banacha (izomorficznie) uniwersalna dla wszystkich ośrodkowych i refleksywnych przestrzeni Banacha?

3 Motywacja Pytanie (Banach Mazur, Księga Szkocka, Problem 49) Czy istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń Banacha (izomorficznie) uniwersalna dla wszystkich ośrodkowych i refleksywnych przestrzeni Banacha? Odpowiedź (Szlenk, 1968) Jeżeli X jest przestrzenią Banacha (izomorficznie) uniwersalną dla wszystkich ośrodkowych i refleksywnych przestrzeni Banacha, to przestrzeń X jest nieośrodkowa; w szczególności przestrzeń X nie może być ośrodkowa i refleksywna.

4 Definicje Niech X będzie przestrzenią Banacha, zaś K X zbiorem -słabo zwartym. Dla ε > 0 definiujemy s ε K = K \ {V : V jest zbiorem -słabo otwartym, diam V K < ε}.

5 Definicje Niech X będzie przestrzenią Banacha, zaś K X zbiorem -słabo zwartym. Dla ε > 0 definiujemy s ε K = K \ {V : V jest zbiorem -słabo otwartym, diam V K < ε}. Dla następnikowej liczby porządkowej α = β + 1 definiujemy ) s α ε = s ε (s β ε K,

6 Definicje Niech X będzie przestrzenią Banacha, zaś K X zbiorem -słabo zwartym. Dla ε > 0 definiujemy s ε K = K \ {V : V jest zbiorem -słabo otwartym, diam V K < ε}. Dla następnikowej liczby porządkowej α = β + 1 definiujemy ) s α ε = s ε (s β ε K, zaś dla granicznej liczby porządkowej α s α ε = β<α s β ε K.

7 Definicje cd. Dalej definiujemy Sz ε (X ) = min{α: s α ε B X = } oraz Sz(X ) = sup{sz ε (X ): ε > 0};

8 Definicje cd. Dalej definiujemy Sz ε (X ) = min{α: s α ε B X = } oraz Sz(X ) = sup{sz ε (X ): ε > 0}; liczbę Sz(X ) nazywamy indeksem Szlenka przestrzeni X.

9 Przykłady Sz(X ) = 1 dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej X.

10 Przykłady Sz(X ) = 1 dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej X. Sz(c 0 ) = ω.

11 Przykłady Sz(X ) = 1 dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej X. Sz(c 0 ) = ω. Jeżeli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią superrefleksywną, to Sz(X ) = ω.

12 Przykłady Sz(X ) = 1 dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej X. Sz(c 0 ) = ω. Jeżeli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią superrefleksywną, to Sz(X ) = ω. Sz ( C [ 0, ω ωα ]) = ω α+1 dla każdej liczby porządkowej α < ω 1.

13 Przykłady Sz(X ) = 1 dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej X. Sz(c 0 ) = ω. Jeżeli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią superrefleksywną, to Sz(X ) = ω. Sz ( C [ 0, ω ωα ]) = ω α+1 dla każdej liczby porządkowej α < ω 1. Sz (C [0, ω 1 ]) = ω ω 1+1.

14 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda.

15 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda. Sz ε (X ) zawsze jest liczbą następnikową.

16 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda. Sz ε (X ) zawsze jest liczbą następnikową. Sz(X ) = ω α dla pewnej liczby porządkowej α.

17 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda. Sz ε (X ) zawsze jest liczbą następnikową. Sz(X ) = ω α dla pewnej liczby porządkowej α. Sz(X ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią skończenie wymiarową.

18 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda. Sz ε (X ) zawsze jest liczbą następnikową. Sz(X ) = ω α dla pewnej liczby porządkowej α. Sz(X ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią skończenie wymiarową. Dla nieskończenie wymiarowej przestrzeni X, Sz(X ) = ω wtedy i tylko wtedy, gdy Sz ε (X ) < ω dla każdego ε > 0.

19 Podstawowe własności Indeks Szlenka jest poprawnie zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Asplunda. Sz ε (X ) zawsze jest liczbą następnikową. Sz(X ) = ω α dla pewnej liczby porządkowej α. Sz(X ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią skończenie wymiarową. Dla nieskończenie wymiarowej przestrzeni X, Sz(X ) = ω wtedy i tylko wtedy, gdy Sz ε (X ) < ω dla każdego ε > 0. Sz εη (X ) Sz ε (X )Sz η (X ) dla wszelkich ε, η > 0.

20 Lemat Jeżeli f : R [0, ) jest rosnącą funkcją podaddytywną, to istnieje skończona granica lim x f (x) x.

21 Lemat Jeżeli f : R [0, ) jest rosnącą funkcją podaddytywną, to istnieje skończona granica lim x f (x) x. Twierdzenie Jeżeli Sz(X ) = ω, to istnieje taka liczba p [1, ), że dla każdej liczby r (p, ) mamy gdzie C jest stałą. Sz ε (X ) Cε r dla ε (0, 1),

22 Lemat Jeżeli f : R [0, ) jest rosnącą funkcją podaddytywną, to istnieje skończona granica lim x f (x) x. Twierdzenie Jeżeli Sz(X ) = ω, to istnieje taka liczba p [1, ), że dla każdej liczby r (p, ) mamy gdzie C jest stałą. Sz ε (X ) Cε r dla ε (0, 1), Liczbę p nazywamy wówczas typem potęgowym Szlenka przestrzeni X i oznaczamy p(x ).

23 Szkic dowodu Ponieważ funkcja ε Sz ε (X ) jest malejąca i podmultiplikatywna, funkcja x ln Sz e x (X ) jest rosnąca i podaddytywna. Na mocy lematu istnieje granica f (x) ln Sz ε (X ) p := lim = lim. x x ε 0 ln ε

24 Szkic dowodu Ponieważ funkcja ε Sz ε (X ) jest malejąca i podmultiplikatywna, funkcja x ln Sz e x (X ) jest rosnąca i podaddytywna. Na mocy lematu istnieje granica f (x) ln Sz ε (X ) p := lim = lim. x x ε 0 ln ε Jeżeli r > p, to Sz ε (X ) ε r w pewnym prawostronnym otoczeniu zera. Istnienie stałej z tezy wynika z faktu, że dla pozostałych wartości ε indeks Sz ε (X ) przyjmuje jedynie skończenie wiele wartości.

25 Podstawowe własności Załóżmy, że Sz(X ) = ω. p(x ) = inf{q > 0: sup{ε q Sz ε (X ): ε (0, 1)} < }.

26 Podstawowe własności Załóżmy, że Sz(X ) = ω. p(x ) = inf{q > 0: sup{ε q Sz ε (X ): ε (0, 1)} < }. Jeżeli X i Y są izomorficznymi przestrzeniami Banacha, to Sz(Y ) = ω oraz p(x ) = p(y ).

27 Podstawowe własności Załóżmy, że Sz(X ) = ω. p(x ) = inf{q > 0: sup{ε q Sz ε (X ): ε (0, 1)} < }. Jeżeli X i Y są izomorficznymi przestrzeniami Banacha, to Sz(Y ) = ω oraz p(x ) = p(y ). Niech Y będzie (domkniętą) podprzestrzenią przestrzeni X. Jeżeli dim(y ) =, to Sz(Y ) = ω oraz p(y ) p(x ).

28 Podstawowe własności Załóżmy, że Sz(X ) = ω. p(x ) = inf{q > 0: sup{ε q Sz ε (X ): ε (0, 1)} < }. Jeżeli X i Y są izomorficznymi przestrzeniami Banacha, to Sz(Y ) = ω oraz p(x ) = p(y ). Niech Y będzie (domkniętą) podprzestrzenią przestrzeni X. Jeżeli dim(y ) =, to Sz(Y ) = ω oraz p(y ) p(x ). Jeżeli dim(x /Y ) =, to Sz(X /Y ) = ω oraz p(x /Y ) p(x ).

29 Przykłady p(c 0 ) = 1, czyli przestrzeń c 0 ma najlepszy typ potęgowy Szlenka.

30 Przykłady p(c 0 ) = 1, czyli przestrzeń c 0 ma najlepszy typ potęgowy Szlenka. Jeżeli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta, to p(h) = 2.

31 Przykłady p(c 0 ) = 1, czyli przestrzeń c 0 ma najlepszy typ potęgowy Szlenka. Jeżeli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta, to p(h) = 2. p(l p ) = q, gdzie p 1 + q 1 = 1.

32 Przykłady p(c 0 ) = 1, czyli przestrzeń c 0 ma najlepszy typ potęgowy Szlenka. Jeżeli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta, to p(h) = 2. p(l p ) = q, gdzie p 1 + q 1 = 1. Uwaga Z ostatniego przykładu wynika, że nie istnieje superrefleksywna przestrzeń Banacha, która byłaby (izomorficznie) uniwersalna dla wszystkich przestrzeni ośrodkowych i superrefleksywnych.

33 Pytania Wiadomo [2], że Sz(K(l 2 )) = ω, gdzie K(l 2 ) jest przestrzenią operatorów zwartych na l 2. Ile wynosi p(k(l 2 ))?

34 Pytania Wiadomo [2], że Sz(K(l 2 )) = ω, gdzie K(l 2 ) jest przestrzenią operatorów zwartych na l 2. Ile wynosi p(k(l 2 ))? Niech Y będzie (domkniętą) podprzestrzenią przestrzeni X. Wiadomo [1], że jeżeli Sz(Y ) = ω oraz Sz(X /Y ) = ω, to Sz(X ) = ω. Czy prawdą jest, że jeżeli p(y ) = p oraz p(x /Y ) = p, to także p(x ) = p?

35 Pytania Wiadomo [2], że Sz(K(l 2 )) = ω, gdzie K(l 2 ) jest przestrzenią operatorów zwartych na l 2. Ile wynosi p(k(l 2 ))? Niech Y będzie (domkniętą) podprzestrzenią przestrzeni X. Wiadomo [1], że jeżeli Sz(Y ) = ω oraz Sz(X /Y ) = ω, to Sz(X ) = ω. Czy prawdą jest, że jeżeli p(y ) = p oraz p(x /Y ) = p, to także p(x ) = p? Uwaga Odpowiedź na drugie pytanie jest twierdząca, o ile Y jest podprzestrzenią komplementarną.

36 P.A.H. Brooker, G. Lancien: Three-space property for asymptotically uniformly smooth renormings. J. Math. Anal. Appl. 398 (2013), R. Causey: Estimation of the Szlenk index of Banach Spaces via Schreier spaces. Studia Math. 216 (2013), G. Lancien: A survey on the Szlenk index and some of its applications. Rev. R. Acad. Cien Serie A. Mat. 100 (2006),