Macierze i Wyznaczniki

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz C = [c ij m p określoną następująco: w k w k... w k r w k w k... w k r C = A B =..., w m k w m k... w m k r gdzie oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast: w,..., w m - wiersze macierzy A, k,..., k r - kolumny macierzy B. Oznacza to, że iloczyn macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element c ij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B. Definicja. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a ij n n, o elementach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy funkcję, którą oznaczamy symbolem det A lub A przyporządkowującą danej macierzy liczbę. Funkcja ta jest określona następująco: Jeśli n =, to det A = a. Jeśli n, to det A = ( ) + a det A + ( ) + a det A +... + ( ) +n a n det A n, gdzie A ij jest macierzą stopnia n, otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego [ a b det = ad bc. c d Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego. a b c det d e f = aei + bfg + cdh ceg afh bdi. g h i

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Uwaga. Reguły te nie przenoszą się na wyznaczniki wyższych stopni. Definicja. Niech A = [a ij będzie macierzą kwadratową stopnia n. Dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczbę d ij = ( ) i+j det A ij, gdzie A ij jest macierzą stopnia n powstałą z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j- tej kolumny. Twierdzenie.Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to det A = a j d j + a j d j +... + a nj d nj, j ustalone, j n (rozwinięcie Laplace a względem j-tej kolumny), lub det A = a i d i + a i d i +... + a in d in, i ustalone, i n (rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza). Własności wyznacznika ) Jeśli wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A są równe 0, to det A = 0, ) Jeśli w macierzy A dwa wiersze są proporcjonalne, to det A = 0, ) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Jeśli do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną liczbę, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.: 5) det AB = det A det B oraz det (A + B) = det A + det B, 6) det A = det A T, 7) Pomnożenie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomnożenie przez α jej wyznacznika. Uwaga. Powyższe własności pozostają prawdziwe także dla kolumn. Macierz odwrotna Definicja.Niech A będzie macierzą nieosobliwa stopnia n. Mówimy, że macierz B jest macierzą odwrotną do A, jeśli AB = BA = I n. Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A. Niech D = [d ij n n oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A wyraża się wzorem: A = det A d d... d n d d... d n... d n d n... d nn T = det A DT.

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Operacje elementarne: dowolny wiersz mnożymy przez liczbę różną od 0 przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze do dowolnego wiersza dodajemy dowolną kombinację pozostałych wierszy Definicja.Minorem stopnia k N macierzy A wymiaru m n nazywamy wyznacznik powstały z macierzy A przez wykreślenie m k wierszy i n k kolumn. Definicja. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora, jaki można uzyskać z macierzy A. Rząd macierzy oznaczamy R(A) (rz(a) lub rank (A)). Przyjmujemy, że jeśli A jest macierzą zerową, to R(A) = 0. Macierz schodkowa Definicja. Macierz schodkowa to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie. Rząd macierzy jest wtedy liczbą znaczących wierszy tego układu, czyli liczba schodków. Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności za pomocą tzw. metody Gaussa.. Dane są macierze: 0 A = 5 0, B = 0 0 0 D = 0 Zadania 0 0 0, E = [ 0 0, C =, F = 0 5 4 Wykonaj następujące działania (jeśli to możliwe): A + B A C (c) A B (d) B T A (e) A + B T (f) A D T (g) A T C (h) C T (A + B) (i) E C B (j) F F T + D A. Oblicz: (c) 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, [, (d) 0 0 0 0 0 0 4 0 0 [ 0 T 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0,,,

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04. Oblicz wartość wielomianu: [ P (x) = x 5x dla macierzy A =, 4 P (x) = x x + dla macierzy A = 0. 4. Wykorzystując poznane metody oblicz następujące wyznaczniki: 5 8 cos x sin x (c) 4 5 0 6 7 0 0 (d) 0 6 (e) 0 4 0 0 (f) 4 6 0 0 0 0 0 0 8 5 4 0 0 (g) 0 4 0 0 0 (h) 5 4 (i) 0 0 0 4 0 4 0 5 4 8 5 4 0 6 0 5 0 0 0 0 (j) 4 0 (k) 0 6 7 0 (l) 0 0 5 9 6 6 0 0 0 4 6 0 0 0 0 5 5 9 4 8 4 5. Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych równania: x x x + = 0 0 0 5 = 0 (c) 5 x x 4 x y 4 y z 4 z x y z 6. Wykazać, że x x y y z z x x y y z z = x y z x y z. x 4 y 4 z 4 x 0 0 x x = x x 7. Znajdź macierz odwrotną do danej: [ 4 5 7 [ (c) 0 0 0 (d) 5 7 6 4 5 (e) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 8. Rozwiązać[ poniższe równania [ macierzowe: [ [ 4 0 X + = (d) X 0 5 [ [ 0 4 9 X = (e) X + 0 = X [ [ [ 0 0 5 5 (c) X = (f) X 0 4 5 9 = = [ 4 [ 6 8 5 0 5 9. Oblicz rząd macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni: [ 4 5 6 4 0 (c) 9 6 4 8 0 4 (d) 8 (e) 4 0 5 4 0 4 (f) 0 0 0 4 4 4 6 0. Wykonując elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy. 0 4 0 7 5 0 4 4 (c) (e) 4 5 5 5 4 0 0 (d) (f) 6 4 4 4 5 0 4 0 0. Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy: 7 0 0 5 8 0 5 4 0 4 7 4 6 (c) 5 4 4 0 0 0 60 (d) 5 6 7 8 9 0 (e) 45 0 45 90 5 75 0 75 50 4 5 6 4 60 0 60 0 8 5 4 6 9 7 0 9 6 5

dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04. W zależności od parametru p wyznaczyć rząd macierzy: p p p 5 p (c) 0 6 p 5 4 p 0 p 4 (d) p 5 4 p 0 0 0 Odpowiedzi:. a) 0 0 0 7 6 0 0 4 7 0 7 0 0 7 ; b) 4 0 0 5 4 0 0 0 0 6 6 0 0 8 ; c) 4 6 6 9 ; d) a) -; b) sin x + 8 cos x; c) -6; d) 0; e) -4; f) ; 4. g) 0; h) 0; i) -0; j) 060; k) -; l) 0. [ [ 7 4 0 0 7. a) ; b) ; c) 0 ; 5 0 0 0 7 9 d) 9 4 ; e) 0 0 0 45 0 0 0 ; 7 9 4 [ [ 0 0 0 [ 8. a) ; b) ; c) 0 [ 8 0 [ d) ; e) 0 0 ; f) 0 5 9. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). 0. a) ; b) 4; c) ; d) 4; e) ; f).. a) 4; b) ; c) ; d) ; e). ; ; 5 4 7. 6