Paul Erdős i Dowody z Księgi Antoni Kijowski, Michał Król, Krzysztof Kwiatkowski Faculty of Mathematics and Information Science Warsaw University of Technology Warsaw, 9 January 013 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 1 / 1
Dowody z Księgi Dowody z Księgi to ksiażka z dowodami matematycznymi napisana przez Martina Aignera i Guntera M. Zieglera. Jest dedykowana matematykowi Paulowi Erdősowi, który często nawiazywał do Księgi, w której według niego Bóg gromadził najdoskonalsze dowody twierdzeń matematycznych. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 / 1
Paul Erdős (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. -Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. -Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame. -Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 3 / 1
Paul Erdős (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów -kombinatoryka (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów -kombinatoryka (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 4 / 1
Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 5 / 1
Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 5 / 1
Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów. Nie sa to wszystkie dowody z Księgi, ale jedynie kilka przykładów wybranych przez autorów, którzy pragnęli, aby była ona dostępna dla każdego, nie tylko dla matematyków. Do zrozumienia tych dowodów wystarczy odrobina algebry liniowej, analizy matematycznej i teorii liczb oraz elementarne pojęcia z matematyki dyskretnej. Erdős sam dołożył wiele sugestii do ksiażki, ale zmarł przed jej publikacja. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 5 / 1
Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpnięty oczywiście z Księgi (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 6 / 1
Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpnięty oczywiście z Księgi Twierdzenie n=1 1 n = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 6 / 1
Dowód Dowód polega na dwukrotnym obliczeniu (różnymi sposobami) całki podwójnej I = 1 1 0 0 1 dx dy 1 xy (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 7 / 1
Rozwińmy 1 1 xy I = 1 1 0 0 w szereg geometryczny. n 0(xy) n dx dy = n 0 1 0 x n dx = 1 1 n + 1 n + 1 = 1 (n + 1) = 1 n n 0 n 0 n 1 1 0 y n dy = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 8 / 1
Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych: obrót o 45 o prowadzi do zmiennych u = y + x, v = y x (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 9 / 1
Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych: obrót o 45 o prowadzi do zmiennych u = y + x, v = y x lub inaczej x = u v, y = u + v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 9 / 1
Podstawiajac nowe zmienne, otrzymujemy 1 xy = 1 u v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 10 / 1
Podstawiajac nowe zmienne, otrzymujemy a zatem 1 xy = 1 u v 1 1 xy = u + v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 10 / 1
Nowy obszar całkowania, jak i funkcja, która należy scałkować, sa symetryczne względem osi u, musimy sięc jedynie obliczyć całkę po górnej połowie obszaru, która dzielimy na dwie części: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 11 / 1
I = 4 0 u 0 u + v dv du + 4 u 0 u + v dv du (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 1 / 1
I = 4 0 u 0 u + v dv du + 4 u 0 u + v dv du Korzystajac ze wzoru otrzymujemy dx a + x = 1 a arctan x a + C (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 1 / 1
I = 4 0 +4 ( 1 arctan u u u ( 1 u arctan u u ) du+ ) du (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 13 / 1
Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 14 / 1
Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: u = sin θ Przedział 0 u 1 odpowiada wartościom 0 θ π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 14 / 1
Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: u = sin θ Przedział 0 u 1 odpowiada wartościom 0 θ π 6 du = cosθdθ u = 1 sin θ = cosθ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 14 / 1
4 0 ( 1 arctan u u u ) du = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 15 / 1
= 4 4 π 6 0 0 ( 1 arctan u u u ) du = ( ) 1 sin θ arctan cos θdθ = cosθ cos θ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 15 / 1
= 4 4 π 6 0 0 ( 1 arctan u u u ) du = ( ) 1 sin θ arctan cos θdθ = cosθ cos θ = 4 π 6 0 θdθ = 4 1 ( π ) 1 = 6 3 π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 15 / 1
W drugiej całce korzystamy z podstawienia u = cos θ. Granice całkowania 1 u trzeba zmienić na π 6 θ 0 Otrzymujemy du = sin θdθ u = 1 cos θ = sin θ = cos θ sin θ u = (1 cos θ) = sin θ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 16 / 1
W drugiej całce korzystamy z podstawienia u = cos θ. Granice całkowania 1 u trzeba zmienić na π 6 θ 0 Otrzymujemy du = sin θdθ u = 1 cos θ = sin θ = cos θ sin θ u = (1 cos θ) = sin θ ( u ) A zatem 4 1 arctan du = u u 0 ( ) 1 4 arctan sin θ ( ) sin θ cos θ sin θ π 6 4 ( π 6 ) = π 3 6 sin θdθ = 4 π 6 0 θdθ = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 16 / 1
Dodajac obie całki, otrzymujemy: I = 1 π 3 6 + π 3 6 = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 17 / 1
Dodajac obie całki, otrzymujemy: W ostateczności dostajemy: I = 1 π 3 6 + π 3 6 = π 6 n 1 1 n = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 17 / 1
Twierdzenie Dla każdej konfiguracji n niewspółliniowych punktów płaszczyzny istnieje linia prosta, która przechodzi przez dokładnie dwa z tych punktów. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 18 / 1
Twierdzenie Niech P będzie zbiorem n (n 3) niewspółliniowych punktów płaszczyzny. Wtedy zbiór L wszystkich prostych, które przechodza przez co najmniej dwa punkty zbioru P, zawiera co najmniej n prostych. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 19 / 1
Twierdzenie Niech X będzie zbiorem n-elementowym, n 3. Załóżmy, że A 1,...A m sa podzbiorami właściwymi X, takimi, że dla każdego a, b X istnieje dokładnie jeden zbiór A i zawierajacy je. Wówczas m n. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 0 / 1
To koniec! Dziękujemy za uwagę ;) (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 1 / 1