Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 25/8 el: (7) 32 2 6 fax: (7) 32 2 6 email: omasz.sikorski@pwr.wroc.pl Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
. Sygnały jako funkcje uogólnione... 5. Skok jednoskowy... 5.2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja... 9.3 Różniczkowanie dysrybucyjne... 2.4 Działania z udziałem impulsu Diraca... 4 2. Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu... 6 2. Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu... 7 2.2 Operacja splou... 2 2.3 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych... 22 2.4 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej... 27 2.5 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania... 32 2.6 Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności... 38 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Liniowość obwodu elekrycznego Obwód liniowy spełnia zasadę addyywności i zasadę homogeniczności (proporcjonalności, jednorodności) w sosunku do wielkości wejściowych i wyjściowych. Zasada addyywności: Zasada homogeniczności (proporcjonalności): ( ) ( ) i ( ) ( ) () + () () + () x y x2 y2 x x y y 2 2 Liniowy ( ) y( ) () ay() x ax Liniowy Sacjonarność obwodu elekrycznego Obwód nazywamy sacjonarnym, jeśli jego paramery nie ulegają zmianie w czasie, a zaem odpowiedź nie zależy od chwili pojawienia się wymuszenia. Obwód sacjonarny jes inwarianny względem przyjęej chwili począkowej. Sacjonarny x () y ( ) x ( + τ ) y ( + τ ) Przyczynowość obwodu elekrycznego Obwód nazywamy przyczynowym, jeśli przy braku wymuszenia nie wykazuje odpowiedzi. W obwodzie przyczynowym skuek(odpowiedź) nie może pojawić się wcześniej od przyczyny (wymuszenia). Każdy obwód liniowy pasywny musi być przyczynowy. Przyczynowy ( ) y ( ) x = = 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Bieżące podsumowanie w zakresie analizy sanu nieusalonego: Doychczas w analizie sanu nieusalonego wykorzysywaliśmy meodę klasyczną. Załączanie na napięcie sałe czy eż sinusoidalne ego samego obwodu było dla nas osobnym zagadnieniem, kóre rozwiązywaliśmy od począku do końca zgodnie z prawidłami meody klasycznej. Musimy eż pamięać, że dla ego rodzaju wymuszeń mamy szeroką wiedzę na ema wyznaczania składowej usalonej, kóra jes niezbędną dla określenia końcowej odpowiedzi. Pyania i problemy nasępne: Czy dla obwodów liniowych sacjonarnych (SLS czy LTI) musimy za każdym razem przeprowadzać pełną analizę sanu nieusalonego jeśli zmienimy np. rodzaj wymuszenia? Czy nie można danej srukurze obwodu przyporządkować jednoznacznej charakerysyki (lub charakerysyk) na podsawie, kórej da się określić szukaną odpowiedź np. dla dowolnego wymuszenia? Znaczenie akiej charakerysyki obwodu, byłoby ym większe, jeśli wymuszeniem byłby dowolny sygnał, wykraczający poza sandardy sygnału sałego bądź sinusoidalnego. Sprecyzujmy zagadnienie nasępująco: charakerysyki obwodu SLS w relacjach wejście wyjście, odpowiedź obwodu na dowolne wymuszenie, przejście sygnału przez obwód. x ( ) y ( ) WE SLS WY x ( ) np. e () e ( ) y ( ) np. u ( ) i ( ) C L dowolna relacja prądowonapięciowa 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
. Sygnały jako funkcje uogólnione Zanim spróbujemy rozwiązać posawiony problem relacji pomiędzy wejściem a wyjściem obwodu SLS musimy poszerzyć definicję funkcji, kóre służyć będą do opisu sygnałów. Zdążyliśmy się już zorienować, że w sanach nieusalonych nieciągłości ypu skok w sygnałach napięć czy prądów nie są niczym nadzwyczajnym, np. napięcie na cewce czy prąd płynący przez kondensaor, czy eż relacje napięciowoprądowe na rezysorze, mogą zmieniać się skokowo. Nawe, w szczególnych idealnych przypadkach, sygnały zachowawcze j. prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensaorze, mogą uracić swoją ciągłość. Wykracza o poza dziedzinę funkcji ciągłych, ponieważ nie możemy określić warości funkcji punk po punkcie, jak o ma miejsce w przypadku zwyczajnych funkcji. Poznajmy zaem dwie dodakowe funkcje, kóre w owarzyswie funkcji ciągłych, pozwolą w pełni opisać sygnały. Jes o ym bardziej isone, kiedy należy opisać analiycznie (maemaycznie wzorem) sygnał wejściowy i poddać go operacji przejścia przez obwód SLS.. Skok jednoskowy Funkcją Heaviside'a (skokiem jednoskowym, funkcją skoku jednoskowego) nazywamy funkcję () określoną nasępująco: () dla > = dla < ( ) 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
W ogólnym przypadku skok jednoskowy może być przesunięy na osi czasu o warość. Sosujemy wówczas zapis: dla > = dla < ( ) Wykorzysując skok jednoskowy można w prosy sposób zapisywać sygnały, kóre posiadają niejednorodny opis w różnych przedziałach czasowych. W ym celu określa się funkcję spełniającą rolę okna czasowego w(): w() ( ) = ( ) ( ) w 2 (- ) 2 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów: 3 2 x c () a x a () 3 () = ( ) x e 2 3 4 5 () ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 ( 2) ( 4) + ( 4) ( 5) x = + 2 2 + c,9999 x b () ( - e -2 ) 2 9999e -3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) xb = e 2 + 2 4 ( ) ( ) + 3 9999e 2 4 x d () 2 3 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 6) ( 2) ( 4) + 2 ( 4) ( 5) xd = 2 2 + + 7 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów okresowych: Sygnał okresowy możemy zapisać definiując jeden okres xt ( ) jako -T x() A T 2T Sygnał piłokszałny A x x kt kt kt kt T () = ( ) = ( ) ( ) ( ) T k= k= x() () = ( ) x x kt A k= x T () A x T T T () = () ( ) Sygnał sinusoidalny wyprosowany dwupołówkowo (dwufalowo) π 2 sin( 2) π [ / ], 2 π π [ ] ω = 2rad s T= = s ω 3 2 π () = sin ( ) ( ) ( + ) 3 π π π 2 2 ( 2) π x ( ) = sin( 2) ( ) ( ) T 2 x 2 k k k k= x T () T π 2 T [s] 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
.2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja Kolejną funkcją wykraczająca poza definicje funkcji ciągłych, jes impuls Diraca (dysrybucja). Funkcja impulsowa jes ypowym przedsawicielem funkcji uogólnionych. Definicja impulsu Diraca ma swoje źródła w aproksymacji skoku jednoskowego i próbie określenia pochodnej ze skoku jednoskowego. (,ε ) ( ε > ) Funkcję skoku jednoskowego można rozparywać jako granicę funkcji z paramerem : ( ) = ( ε ) lim, Przykładowe aproksymacje skoku jednoskowego przedsawia poniższy rysunek: (,ε) -5 ε =..5 ε =.5 (, ε ) 2 π arcg = + ε 5 ε = ε + ε (,ε) ε 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Różniczkując względem czasu dowolną funkcję aproksymującą skok jednoskowy,ε orzymujemy przebiegi posiadające kszał impulsu, pod kórym pole powierzchni (niezależnie od ε ) równe jes jeden. Teraz spróbujemy określić pochodne funkcji aproksymującej oraz wpływ parameru ε na ich kszał. Niech: ε =. ε =.2 3 δ (,ε) ε = -3 3 δ = (, ε ) (, ε ) ( ), arcg ε δ ε = + = 2 2 2 π ε π ε + δ, ε spełniają granicznie definicję impulsu Diraca Funkcje ( ) ε dla = δ () = lim δ (, ε ) = ε + dla δ (,ε) ε δ 2ε 2 ε ( ) (, ε ) = ( + ε) ( ε) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Impuls Diraca sanowi więc dysrybucyjną pochodną skoku jednoskowego. Przypomnijmy, pochodna w sensie zwykłym, w punkcie nieciągłości I-go rodzaju, jakim jes skok jednoskowy, nie isnieje. δ d () = lim (, ε) = lim (, ε) = () ε + ε + d Jednocześnie ak zdefiniowana funkcja impulsu Diraca, wciąż zachowuje właściwość: () δ d = Podobnie jak skok jednoskowy impuls Diraca może być przesunięy na osi czasu. Spełnia wówczas analogiczne: dla = δ ( ) =, ( ) d = dla δ Wzajemne relacje pomiędzy skokiem jednoskowym a impulsem Diraca podsumowują zależności: d d δ() = () ; () = δ ( τ ) dτ oraz δ ( ) = ( ) ( ) = δ ( ) -3 x() -4δ(+3) 2 5δ(-2) () = δ ( + ) + δ ( ) x 4 3 5 2 d ; τ dτ d Impuls Diraca przedsawia się na wykresach symbolicznie za pomocą odcinka zakończonego groem. Warość impulsu np. -4 oznacza, że "pole" pod impulsem wynosi -4 (impuls ma w ym przypadku warość ujemną) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
.3 Różniczkowanie dysrybucyjne Wprowadzenie funkcji skoku jednoskowego oraz impulsu Diraca daje możliwości opisu znacznie szerszej klasy sygnałów niż yko sygnałów ciągłych. Daje eż możliwość różniczkowania sygnału oraz jednoznacznego odworzenia sygnału z jego pochodnej, co przy pominięciu elemenów dysrybucyjnych nie jes zawsze możliwe. Podobnie więc różniczkowanie dysrybucyjne wnosi większą ogólność, niezbędną częso przy zapisie sygnałów. Niech będzie dana funkcja f(), kóra w każdym skończonym przedziale owarym: - posiada co najwyżej skończoną liczbę punków nieciągłości I-go rodzaju; - jes różniczkowalna (w zwykłym sensie) wszędzie poza ww. punkami nieciągłości, zn. jes przedziałami funkcją ciągłą f c (). Wykorzysując skok jednoskowy funkcję ę można zapisać w posaci : f f f f ( ) = ( ) + ( + ) ( ) ( ) c k k k k Δf Pochodną dysrybucyjna, zawierać będzie przedziałami ciągłe pochodne od składników f c (), ale również w punkach nieciągłości składniki dysrybucyjne w posaci impulsów Diraca o warościach równych różnicy prawo- i lewosronnej granicy funkcji w ych punkach. d d d f f f d δ () = () + Δ ( ) k c k k k 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykłady różniczkowania dysrybucyjnego: 2 ( ) x Teoria Obwodów 2 Przykład Przykład 2 Przykład 3 x () x 2 () x() 2 3 2 2 2 ( ) δ δ 2 2 ( ) x 2 () - δ ( ) 2 δ ( 2) - x ( ) x 3 2 3 ( ) δ ( ) 2δ ( 3) ( ) 2δ 3 δ ( 7) δ 2 7 7 ( 7) sygnał pochodna ciągła pochodna dysrybucyjna 2 3 δ ( ) ( 3) 2 δ 7 δ ( 7) 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
.4 Działania z udziałem impulsu Diraca Przypomnijmy, co wiemy już o impulsie Diraca: d ( ) = δ () d d d + Teoria Obwodów 2 ( ) dτ = ( ) δ τ ( ) = δ ( ) δ( τ ) dτ = ( ) δ() d= = δ() d δ( ) = = δ( ) + + d d Kolejne działania z udziałem impulsu Diraca doyczą iloczynu z funkcją f() z impulsem Diraca δ ( ) ( n lub jego pochodną, ogólnie n-ego rzędu δ ) ( ): f δ = f δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ ( ) f f f f f 2f f Ogólnie dla n-ego rzędu pochodnej impulsu Diraca iloczyn da się wyrazić jako: Przykład: () ( ) = ( ) = ( ) n ( ) ( ) ( n ) ( ) ( ) + ( ) ( ) n k n k f δ = f δ k k= e 3 δ e δ δ 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Charakerysyczną własnością impulsu Diraca, jes zw. własność filracyjna, umożliwiająca wyznaczenie warości funkcji lub jej pochodnych, za pomocą operacji całkowania. Własność ę orzymuje się wykorzysując m.in. omówioną powyżej operację iloczynu funkcji z impulsem Diraca lub jego pochodnymi: Dla funkcji (sygnału) własność filracyjna impulsu Diraca wyraża się jako: f () δ ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f δ d = f d = f δ W przypadku pierwszej pochodnej: W przypadku drugiej pochodnej () δ ( ) = ( ) ( ) ( ) δ = f d f d f () δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ( ) = ( ) f d f 2f f d f Osaecznie dla dowolnego n własność filracyjna impulsu Diraca przyjmuje posać: ( n ) n ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) f = f d δ 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2. Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu Wprowadzenie pojęcia układu jes pewnym uogólnieniem ze względu na funkcję pełnioną przez dany obwód elekryczny, a akże wypadkową funkcję jednosek zbudowanych z wielu obwodów elekrycznych. Niezależnie od różnic w inerpreacji lub srukurze układów, zawsze można wyróżnić w układzie wejście, na kóre wprowadzany jes sygnał wejściowy (zw. pobudzenie lub wymuszenie) oraz wyjście, z kórego odbierany jes sygnał wyjściowy (zw. odpowiedź), kóry nasępnie może być przekazywany dalej - do innych układów przewarzania. Na przykład dla rozgałęzionego obwodu elekrycznego, w kórym wysępuję kilka źródeł auonomicznych, dowolnego rodzaju (prądowe, napięciowe), możemy przyjąć wielkości określone przez źródła jako sygnały wejściowe, naomias prądy i napięcia w gałęziach obwodu jako sygnały wyjściowe. Ogólnie, układy więc mogą być rakowane jako wielowymiarowe. Wedy wejściem jes wekor zawierający wymuszenia, a wyjściem układu jes wekor odpowiedzi. Układ, w kórym wymuszenie oraz odpowiedź są skalarami nazywamy jednowymiarowym DEFINICJA: Relacje pomiędzy wyjściem a wejściem układu SLS opare są na operacji splou z wykorzysaniem odpowiedzi impulsowej h ( ) lub odpowiedzi skokowej k( ) SLS x ( ) ( h ( ) WE k ( ) y ) WY d y() = x() k() d y ( ) = x ( ) h ( ) Całka Duhamela Całka sploowa 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
k( ) h ( ) UWAGA nowe pojęcia: odpowiedź jednoskowa, odpowiedź skokowa, splo, wymuszenie (wejście), odpowiedź (wyjście). Choć wymienione pojęcia wprowadzamy po raz pierwszy, okazuje się, że jedno z nich, j. odpowiedź jednoskowa nie jes nam zupełnie obca. Bowiem dla układu jednowymiarowego, dla kórego sygnałem wejściowym jes źródło napięcia, poszukiwanie odpowiedzi jednoskowej oznacza analizę obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu na źródło napięcia sałego V w chwili =. Określony sygnał wyjściowy, czy o dowolne napięcie czy prąd w obwodzie, będzie odpowiedzią jednoskową układu. Przypomnijmy w ym miejscu ideę poszukiwania ogólnego związku pomiędzy wejściem a wyjściem dla danego układ. Oóż, dla danej srukury układu odpowiedź jednoskową czy impulsową będziemy wyznaczać ylko raz, rakując e je jako charakerysyki czasowe układu. Na ich podsawie korzysając z operacji splou możemy wyznaczyć odpowiedź na dowolne wymuszenia i zaoszczędzić pełnych analiz układu w sanie nieusalonym dla każdego wymuszenia z osobna. 2. Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu () = () y () = k ( ) x WE SLS WY ( ) = ( ) x() () k y = Odpowiedź jednoskowa ( ) k (charakerysyka jednoskowa) Odpowiedź jednoskowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący skokiem jednoskowym. 7 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
( ) = δ ( ) y() = h( ) x WE SLS WY Teoria Obwodów 2 ( ) = ( ) x() = () h y δ Odpowiedź impulsowa ( ) h (charakerysyka impulsowa) Odpowiedź impulsowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący impulsem Diraca jednoskowym. Ponado pomiędzy odpowiedzią jednoskową i impulsową isnieje wzajemna relacja różniczkowa aka, że: d d () = k () Przy czym należy pamięać, że różniczkowanie o ma sens ogólny, czyli dysrybucyjny. h Przykład wyznaczania odpowiedzi jednoskowej i impulsowej układu Niech dany będzie układ jak na rysunku, kórego sygnałem wyjściowym jes napięcie na kondensaorze. Do wyznaczenia odpowiedzi jednoskowej możemy posłużyć się analizą obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu napięcia sałego o warości E=V, poszukując napięcia na kondensaorze. R i() = R i() WE u R () u c () C WY Prakyczna realizacja odpowiedzi jednoskowej E= u R () u c () C WY k ( ) WE ( ) 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Wracając do wykładu 3 przebieg napięcia na kondensaorze w szeregowym obwodzie załączanym na napięcie sałe o warości E ma posać: RORN = RSRN + RORJ uc() = ucu() + ucp() = E Ee = E e, dla > Adapując dla E=, możemy określić odpowiedź jednoskową k() = e = e, dla > Mając wiedzę o wykorzysaniu funkcji jednoskowych w zapisie sygnału, dopisek > możemy zasąpić formą: k e () = () Chcąc wyznaczyć odpowiedź impulsową należy dokonać różniczkowania dysrybucyjnego odpowiedzi jednoskowej, wykorzysując przy ym własność iloczynu funkcji z impulsem Diraca d d h () = k() = e () e () ( ()) = + e = d d e δ e e δ e e = + = + = () () () () () 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2.2 Operacja splou Zanim wykorzysamy operację splou do wyznaczania odpowiedzi na dowolne wymuszenie przy danej charakerysyce jednoskowej lub impulsowej musimy poznać prawidła maemayczne rządzące ym przekszałceniem. Określmy je i poznajmy na podsawie dowolnych funkcji f ( ) i g( ) SPLOT DEFINICJA: Sploem funkcji (dysrybucji) ( ) i ( ) f g nazywamy funkcję (dysrybucję) określoną za pomocą całki: () = () () = ( ) ( ) s f g f τ g τ dτ Operację worzenia splou nazywamy splaaniem lub mnożeniem sploowym Do podsawowych własności splou należą: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
c.d. własności splou: Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Teoria Obwodów 2 ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s f g d f g Mnożenie splou s() = f ( ) g( ) + f ( ) g( ) przez Mnożenie splou przez funkcję a wykładniczą e () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, ( ) = ( ) ( ) s f g τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) f = f d = f d = f d = f d = f Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) ( n () ) ( n ( ) ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) - jedynka sploowa () δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2.3 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji prawosronnych f = f, g = g kórych splo zdefiniować można jako: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ dτ Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, z granic nieoznaczonych możemy usalić na oznaczone na podsawie czynników ( τ ) oraz ( 2 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ >, τ = gdy τ < ( ) ( ) 2 2 Sąd : gdy < τ < 2 ( τ ) ( τ 2 ) = gdy τ < lub τ > 2 A granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ przejdą w z (, + ) w, 2 Ich wzajemne połączenie wyznacza przedział zmiennej, w kórym splo różny jes od zera, czyli > + 2. Zapewni o wymnożenie przez skok jednoskowy o począku w punkcie + 2 22 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2 () = ( + ) ( ) ( ) s f τ g τ dτ 2 Do zobrazowania powyższego rozumowania możemy wprowadzić pojęcie sałego i ruchomego okna τ. Okno ruchome należy rozumieć, jako zależne względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o ( ) od parameru, a więc ( τ ) 2 a) - 2 < ( - 2 - τ ) (τ - ) τ okno ruchome b) - 2-2 = - 2 = okno sałe τ c) - 2 > przedział całkowania τ - 2 23 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e y ( ) =? Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: ( τ ατ ) y() = x() h() = x( τ ) h( τ) dτ = e ( τ) e ( τ) dτ = ( τ ) α τ ατ = e e ( τ ) ( τ) dτ e e ( τ) ( τ) dτ = Określamy granice całki sploowej : τ = gdy τ >, τ = gdy τ >, τ < ( ) ( ) ( τ) ( τ) gdy < τ < = gdy τ < lub τ > 24 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Określamy niezerowe warości splou < τ <, co względem zmiennej prowadzi do >. Zapewni o funkcja skoku jednoskowego () Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: () () () α τ y x h e e ( ) ( ) α τ = = τ τ dτ e e dτ () = = α τ e e () = = α τ e e ( ) = α α α e e () e α e e = = e () = α α α = e e () α 25 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykład dla danych : α = 2R, = Ω, C= F 2 2 2 h = e ; x () = e ( ) y = e e = e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).9.8 h x y=h*x.7.6 [pu].5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 [s] 26 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2.4 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej Rozparzmy ogólnie przypadek splou funkcji lewosronnej i prawosronnej f = f, g = g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Należy zwrócić uwagę na zapis funkcji lewosronnej z wykorzysaniem lewosronnego skoku jednoskowego: Lewosronny skok jednoskowy Prawosronny skok jednoskowy ( ) ( ) ( ) τ vs ( ) τ Splo funkcji lewosronnej i prawosronnej zdefiniujemy jako: ( ) = ( τ ) ( τ) τ = ( τ) ( τ) ( τ) ( τ) 2 s f g d f g dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( ) 2 τ, przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ > j. τ <, τ = gdy τ < ( ) ( ) 2 2 27 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Sąd dolna granica całkowania pozosaje nieoznaczona, czyli będzie od wzajemnych relacji pomiędzy oraz 2 ( τ) ( τ) = gdy τ < { } min, 2 2 Granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ,,min,, co przejdą z ( + ) w { } osaecznie zdefiniuje splo w posaci min {, } () = ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ 2 Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o τ. Okno ruchome należy lewosronne ( ) rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( 2 τ ) a) b) c), zaś górna granica całkowania zależeć - 2-2 = okno ruchome ( τ ) - 2 < okno sałe - 2 = - 2 > 2 τ ( τ ) τ τ - 2 28 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na lewosronne wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e lewosronne Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: R = Ω, C = F oraz α = R k e x = e WE u R () u c () i() C WY ( ) ( ) ( ) h ( ) = ( e ) ( ) y ( ) =? = ( ) ( ) ( ) lewosronne y =? 29 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: τ () () () ( ) ( ) ( ) ( τ ) ( ) y = x h = x τ h τ dτ = e τ e τ dτ = 2 ( τ ) τ ( ) ( ) ( ) ( ) τ = e e τ τ dτ = e e τ τ dτ Określamy granice całki sploowej : ( ) ( ) τ = gdy τ >, j. τ <, τ = gdy τ >, τ < ( τ ) ( τ) =, gdy τ< min {, } Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: min {, } min {, } () ( ) () ( ) () y = e e dτ = e e = e e + e e = e + e 2τ 2τ 2 2 2 2 2 2 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykład dla danych : α = R, = Ω, C= F x e h = e ; y = e + e ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2.9.8 h x y=h*x.7.6 [pu].5.4.3.2. -4-3 -2-2 3 4 [s] 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2.5 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji: prawosronnej i ogranioczonej f () = f ( ) ( ), g( ) = g( ) ( 3) ( 4) Splo funkcji prawosronnej i ograniczonej w czasie zdefiniujemy jako: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ τ dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( 3 τ ), ( 4 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. ( ) ( ) ( ) τ = gdy τ > j. τ >, τ τ = gdy < τ < 3 4 4 3 Realizacja omawianych granic całkowania zależeć będzie od wzajemnych relacji pomiędzy a 3 oraz 4 32 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej τ. Okno całkowania τ. Okno sałe o ( ) ruchome należy rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( τ ) ( τ ) 3 4 Szukany splo będziemy rozważać w dwóch warunkach j. a) kiedy obszar całkowania zawiera część okna ruchomego znajdującego się w obrębie okna sałego b) kiedy obszar całkowania zawiera pełne okno ruchome znajdujące się w obrębie okna sałego. - 4-3 ( τ ) ) τ - 4-3 okno sałe okno ruchome ( τ ) ( τ ) - 4-3 τ 3 4 τ τ τ 3 < < + 3 3 > < 4 + 3 < < + 4 4 > > + 4 <τ < Granice całkowania dla obszaru pierwszego wynoszą, przy niezerowych warościach splou 3 4, realizowanych jako ( ) ( + 3 ) ( ( + 4) ) + < < + 3. < τ < splou > + 4, realizowanych jako ( ( + 4) ). Granice całkowania dla obszaru drugiego wynoszą, przy niezerowych warościach 4 3 33 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Osaecznie wyniki splou zawierać będzie dwa składniki 3 3 ( 3 ) ( ( 4) ) ( ) ( ) ( ( 4) ) ( ) ( ) () ( ) s = + + + f τ g τ dτ + + f τ g τ dτ 4 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na ograniczone wymuszenie: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = A ( 2) [ 4] R i() x () = A ( 2) [ 4] ( ) WE u R () u c () C WY () = () k e h = e Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: WE R u c () i() C () () u R () ( ) ( ) ( ) WY y =? R = Ω, C = F oraz A=, =, 3 = 2, 4 = 4 k( ) = ( e ) ( ) x ( ) = ( 2) [ 4] y ( ) =? h e = 34 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem oraz z właściwości przemienności splou τ () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = h x = h τ x τ dτ = e τ 2 τ 4 τ dτ = Obszar : operacja splou obejmuje część wejściowego sygnału ograniczonego Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : < τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4< 2< < 4 2 > realizowane przez ( 2) ( 4). Wedy : 2 τ τ 2 ( ) ( ) ( ) τ ( ) ( ) y = 2 4 e d = 2 4 e = ( ) ( ) ( ( 2) ) = 2 4 e ( τ ) 4 2 τ τ 35 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Obszar 2: operacja splou obejmuje pełen wejściowy sygnał ograniczony Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako 2 ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : 4< τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4> > 4 2 > realizowane przez ( 4). Wedy : 2 2 ( ) ( ) τ τ τ ( ) ( ) 2 4 4 ( ( 2) ( 4) ) y = 4 e d = 4 e = 4 e e y () = y() + y2( ) ( ) () ( ) ( ) Osaecznie splo ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 4 y = 2 4 e 4 e e ( τ ) τ 4 2 τ 36 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Przykład dla danych : R Ω, C F Teoria Obwodów 2 = = h ( ) e ; ( ) () = ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x 2 4 = oraz A=,, 3, 4 = = 2 = 4 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 4 y = 2 4 e 4 e e.9.8 h x y=h*x.7.6 [pu].5.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 [s] 37 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2.6 Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności Nie zawsze konieczne jes wyznaczanie splou przez sprecyzowanie obszarów całkowania i wykonania poszczególnych całkowań. Niekiedy konsrukcja splou pozwala na wykorzysanie jego podsawowych właściwości: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Mnożenie splou przez Mnożenie splou przez funkcję wykładniczą e a () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s( ) = f ( ) g( ) s f g d f g () = ( ) ( ) + ( ) ( ) s f g f g () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, 38 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) - f τ f τ dτ τ f τ dτ τ f dτ f τ dτ f ( ) δ ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) ( n () ) ( n () ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) f jedynka sploowa () δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) Przykład: Przykłady wykorzysania właściwości splou: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 + e + δ 2 = 2 3 + e wykorzysana właściwość: f ( ) δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) a) b) ( 2) ( ) ( ) δ ( 2) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) δ ( 2) = ( ) δ ( ) = ( ) ( ) + = + = + = wykorzysana właściwość dodakowo lokalnie splo ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) δ δ δ δ f f f ( + ) ( 2) = ( + 2) = ( ) + () () = ( τ) ( τ) τ = τ () = () d d 39 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
ponownie wykorzysana właściwość Teoria Obwodów 2 ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f ( ) δ ( ) = ( ) ( ) c) ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) δ ( + 3) = ( + 5) ( + 2) f ( ) g ( ) = f ( ) g( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) wykorzysana właściwość oraz f f f 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski