Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1
Przejście graniczne 0 2
Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu funkcji 3
Dygresja matematyczna (Całkowanie) Całkę oznaczamy jako Całka jest określona z dokładnością do stałej zwanej stałą całkowania 4
Interpretacja geometryczna całki (Całka Riemana) x2 x1 5
Podstawowe twierdzenia o całkach: Wniosek: różniczkowanie i całkowanie są operacjami liniowymi Całkowanie przez części: 6
Wracamy do fizyki. Prędkość: 7
Wracamy do fizyki. Przyspieszenie: W praktyce często znamy przyspieszenie i na tej podstawie chcemy wyznaczyć tor ruchu I. w pierwszym kroku z całkując przyspieszenie po czasie, stałą całkowania warunków początkowych: wyznaczamy z 8
II. w drugim kroku z całkując prędkość po czasie, stałą całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: 9
II. w drugim kroku z całkując prędkość po czasie, stałą całkowania wyznaczamy z warunków początkowych: Przykład: a = const 10
Ogólnie: 11
Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642) Ruch może być rozpatrywany tylko względem innych ciał, które tworzą układ odniesienia. Zasada Galileusza (ZG): Wszystkie inercjalne układy odniesienia są sobie fizycznie równoważne (obowiązują w nich takie same prawa fizyki). Jaką mamy swobodę w wyborze układu współrzędnych: 1) jednorodność czasu dowolnie wybieramy chwilę początkową 2) jednorodność przestrzeni dowolnie wybieramy początek układu współrzędnych 3) izotropowość przestrzeni dowolnie wybieramy kierunki osi układu współrzędnych 4) równoważność układów (ZG) wybieramy dowolny układ inercjalny (poruszający się ze stała prędkością względem jakiegoś inercjalnego układu współrzędnych) 12
Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642) Transformacja z s do s' Transformacja odwrotna z s' do s 13
Transformacja Galileusza (TG) zawiera pogląd o absolutności czasu. TG działa dobrze dopóki możemy zaniedbać wyrażenia postaci (V/c)2, tzn. dopóki V << c (c prędkość światła w próżni). Gdy V c należy używać transformacji Lorentza. Transformacja Lorentza przechodzi w TG dla małych prędkości. Z Zasady Galileusza wynika że prawa fizyki są niezmiennicze względem TG. 14
Własności Transformacji Galileusza: (i) Odległość jest niezmiennikiem transformacji Galileusza. Załóżmy, że w chwili t w układzie s dwa punkty mają współrzędne x1,y1,z1 oraz x2, y2,z2. W układzie s' te same dwa punkty będą miały współrzędne x'1,y'1,z'1 oraz x'2, y'2,z'2. Wyliczmy odległość między punktami w układzie primowanym l'12 TG (ii) Addytywne prawo dodawania prędkości:. Załóżmy, że w układzie s' ciało porusza się z prędkością czyli 15
16
(iii) Przyspieszenie ciała we wszystkich układach inercjalnych jest takie samo: = 0 17
18
19
20
Przykłady składania ruchów: Rzut poziomy Rzut ukośny Ćwiczenia: 1. Przerobić rzut ukośny (zasięg, wysokość, czas, tor y(x)). 21
Definicja kąta płaskiego α = s/r r Kąt w jednostkach naturalnych to stosunek łuku do promienia. Kąt nie posiada wymiaru, ale żeby było wiadomo że mówimy o kącie to podajemy go w radianach: Co to znaczy, że α = s α 1 rad? 22
Ruch punktu po okręgu Rozważmy ruch punktu po okręgu ze stałą prędkością kątową =0 def 23
Ruch punktu po okręgu Rozważmy ruch punktu po okręgu ze stałą prędkością kątową wektor położenia jest funkcją czasu 24
r=const Prędkość jest prostopadła do wektora położenia styczna do toru 25
Moduł prędkości jest równy modułowi wektora położenia razy prędkość kątowa. Teraz liczymy przyspieszenie: Wektor przyspieszenia przeciwny do wektora położenia przyspieszenie dośrodkowe a = rω 2 26
27
Krzywoliniowe układy współrzędnych Układ sferyczny x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ 28
Układ sferyczny infinitezymalny element objętości (w układzie kartezjańskim dτ = dxdydz ) 29
Układ walcowy x = ρ cosφ y = ρ sinφ z=z 30
Układ walcowy x = ρ cosφ y = ρ sinφ z=z 31
Układ walcowy infinitezymalny element objętości 32
Uwaga o długości łuku 33
Różniczkowanie wyrażeń wektorowych. Niech i zależą od pewnego parametru t, np.. czasu pochodna wektora jest wektorem pochodna wektora pomnożonego przez funkcje skalarną pochodna sumy wektorów jest sumą pochodnych pochodna iloczynu skalarnego jest skalarem pochodna iloczynu wektorowego jest wektorem ważna kolejność czynników 34
Opis ruchu w układach krzywoliniowych. Układ walcowy Wersory nie są stałe lecz zmieniają się gdy zmienia się kąt azymutalny. Możemy je wyrazić w bazie kartezjańskiej: Jak widać do zapis macierzowy) przechodzimy obracając wersory bazy i o kąt ϕ (tabl. 35
Możemy sprawdzić, że zawsze prostopadłe: są wzajemnie (1) Wyliczamy prędkość jako pochodną wektora położenia: Wyliczmy pochodną wersora korzystając z (1): pochodną po czasie oznaczamy pisząc kropkę nad symbolem to składowa radialna składowa transwersalna 36
Teraz możemy policzyć przyspieszenie: Pochodna wersora już została policzona, liczymy : to składowa radialna składowa transwersalna Długość wektora przyspieszenia wyraża się jako: 37
Układ naturalny Mały fragment każdego łuku jest zbliżony do fragmentu okręgu. Aby jednoznacznie określić orientację w przestrzeni musimy określić trzy wersory:, i jest wersorem stycznym i jego zwrot wynika z kierunku ruchu wersor normalny skierowany jest do środka krzywizny jest wersorem bi normalnym danym wzorem W tak skonstruowanym układzie prędkość ma tylko jedną składową wzdłuż wersora a przyspieszenie co najwyżej dwie składowe styczną i normalną. Jest tak dlatego, że do konstrukcji i używamy właśnie wektorów prędkości i przyspieszenia. Z konstrukcji wynika, że Wektor zapiszemy jako kombinację liniową wektorów i : 38
Wersor powinien spełniać relacje and wyznaczyć współczynniki α1 and α2, mamy więc: co pozwoli (**) dostajemy więc: ( ) (**) patrz slajd nr 37 39
Ćwiczenia: 1. Udowodnić następującą tożsamość wektorową: 40