Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od centrum pola. Przyjmijmy, iŝ działają siły przycią gają ce: (stała α jest wówczas wię ksza od zera). Wcze ś niej pokazano iŝ, w przypadku ruchu w polu centralnym jego radialna składowa moŝ e być rozumiania jako ruch jednowymiarowy w efektywnym potencjale: W rozpatrywanym przypadku (α>0) potencjał efektywny posiada minimum. Ruch jest zatem ograniczony dla energii E<0. 1
Ruch w potencjale U(r)=-α/r Równanie toru postaci ϕ(r) moŝ na otrzymać podstawiają c potencjał U(r) do ogólnego wzoru dla przypadku pola centralnego Je ś li kierunek od którego mierzymy ką t (ϕ=0) wybierzemy tak aby stała const=0 i wprowadzimy oznaczenia: to otrzymamy równanie toru w formie: (1) Ruch w potencjale U(r)=-α/r Współczynniki p i e wystę pują ce we worze (1) nazywa się parametrem i mimoś rodem toru. odpowiednio Ze wzoru (1) łatwo zauwaŝ yć, Ŝ e w przyję tym przez nas układzie współrzę dnych punktowi toru o współrzę dnej ϕ=0 odpowiada najmniejsza odległo ś ć od centrum pola (minimalna warto ś ć współrzę dnej r). Je ś li nasze rozwaŝ ania odnosimy do zagadnienia Keplera (tj. ruchu planet )w potencjale grawitacyjnym gwiazdy) to punkt ten nazywamy peryhelium orbity. Wzór (1) opisuje tzw. krzywe stoŝ kowe powstają ce jako przecię cie płaszczyzną powierzchni bocznej stoŝ ka. W zaleŝ no ś ci od warto ś ci mimo ś rodu e otrzymujemy: 0 e<1 elipsa e = 0 okrą g e = 1 parabola e > 1 hiperbola 2
Ruch w potencjale U(r)=-α/r Z definicji mimo ś rodu wynika, Ŝ e ruch jest ograniczony (tj. dobywa się po elipsie 0 e<1) gdy energia jest ujemna (E<0). Przy czy począ tek przyję tego w równaniu (1) układu współrzę dnych znajduje się w jednym z ognisk elipsy Małą i duŝ ą póło ś elipsy moŝ na obliczyć ze wzorów znanych z geometrii analitycznej: Ruch w potencjale U(r)=-α/r ZaleŜ no ś ć długo ś ci półosi od energii E i momentu pę du M otrzymuje się podstawiają c wzory na mimo ś ród e i parametr p. Warto zauwaŝ yć, Ŝ e długo ś ć półosi a nie zaleŝ y nie zaleŝ y od momentu pę du. duŝ ej (2) Punkty zwrotu, odpowiadają ce minimalnej i maksymalnej odległo ś ci do centrum, moŝ na obliczyć przyrównują c energię do potencjału efektywnego. Odnoszą c nasze rozwaŝ ania do zagadnienia Keplera, połoŝ enie r min nawyzywamy peryhelium, a r max - aphelium. Łatwo zauwaŝ yć, iŝ dla orbity kołowej (e=0) zachodzi r min =r max. 3
Ruch w potencjale U(r)=-α/r Czas obiegu T najłatwiej obliczyć korzystają c z zaleŝ no ś ci pomię dzy prę dko ś cią polową, a momentem pę du (tj. II prawa Keplera): Całkują c powyŝ szą zaleŝ no ś ci po czasie od 0 do T otrzymujemy: Po podstawieniu wzoru na pole elipsy Po podstawieniu wzoru na pole elipsy i uwzglę dnieniu wzorów (2) na jej półosie otrzymujemy: PowyŜ szy wzór wyraŝ a zaleŝ no ś ć pomię dzy okresem obiegu a długo ś cią dłuŝ ej półosi orbity i sanowi tre ś ć III prawa Keplera. Ruch w potencjale U(r)=-α/r Dla energii wię kszych lub równych zero (E 0) ruch jest nieograniczony. Gdy E>0 to mimo ś ród toru e>1. Oznacza to, Ŝ e torem ruchu jest hiperbola obiegają ca centrum pola (ognisko). Odległo ś ć wówczas do peryhelium orbity wynosi gdzie a jest półosią hiperboli: Je ś li energia wynosi zero (E=0) to, czą stka, rozpoczynają c ruch spoczywa w nieskoń czono ś ci (gdzie U ef =0). Dla tego przypadku mimo ś ród toru jest równy jedno ś ci (e=1) i czą stka porusza się po paraboli. Obległo ś do peryhelium wynosi wówczas: 4
Ruch w potencjale U(r)=-α/r Trajektoria r(t) dla ruch w polu centralnym okre ś lona jest uwikłanym równaniem w postaci: Podstawiają c do powyŝ szego wzoru jawną postać potencjału otrzymujemy: Dla orbity eliptycznej wzór ten przybiera postać : (3) Ruch w potencjale U(r)=-α/r Korzystają c z podstawienia: MoŜ na obliczyć całkę we wzorze (3) i przedstawić trajektorę w kostaci układu równań parametrycznych, r(ξ) i t(ξ) gdzie przeję to warunek począ tkowy r(0)=r min (tj. w chwili t=0 czą stka znajduje się w peryhelium), a parametr ξ zmienia się w zakresie od 0 do 2π Korzystają c ze wzorów: MoŜ na wyrazić współrzę dne kartezjań skie przez parametr ξ 5
Ruch w potencjale U(r)=-α/r Powtarzają c poprzednie rachunki dla przypadku trajektorii hiperbolicznej otrzymujemy ostatecznie: gdzie parametr ξ zmienia się w zakresie od - do. Stany równowagi równowaga trwała po wytrą ceniu z równowagi na ciało działa siła zwrotna, skierowana do punktu równowagi, przeciwdziałają ca wychyleniu ciała równowaga chwiejna siły działają ce na ciało poza punktem równowagi starają się oddalić ciało do punktu równowagi równowaga oboję tną inne punkty znajdują ce się otoczeniu punktu równowagi równieŝ są punktami równowagi 6
Drgania Z kaŝ dym minimum potencjału zwią zany jest stan równowagi trwałej. Wytrą cenie ciała z połoŝ enia równowagi powoduje, iŝ zaczyna ono drgać tj. wykonywać ruch okresowy pod wypływem siły zwrotnej. Rozwijają c w szereg Taylora róŝ nicę energii potencjalnej w punkcie równowagi q 0 i punkcie q (odległym nieznacznie od q 0 ) otrzymamy: gdzie w rozwinię ciu pominię to wyrazy rzę du wyŝ szego niŝ kwadratowy. Ze wzglę du na wystę powanie minimum potencjału w q 0 wyraz liniowy (q-q 0 ) nie wystę puje w rozwinię ciu. Oznaczają c wychylenie z połoŝ enia równowagi jako: i przyjmują c zero energii potencjalnej w punkcie q 0 moŝ emy zapisać energię potencjalną w nastę pują cej postaci: wzór na (4) Przybli Ŝ enie małych drgań jeden stopień swobody PrzybliŜ ony wzór na energię potencjalną (4), w otoczeniu punktu równowagi obowią zuje jedynie dla małych amplitud drgań. Uprawnione jest wówczas pominię cie wyrazów wyŝ szych rzę dów w rozwinię ciu Taylora energii potencjalnej. Energia kinetyczna układu jednym stopniu swobody ma nastę pują cą postać :v PrzybliŜ ony wzór na energię potencjalną, w otoczeniu punktu równowagi obowią zuje jedynie dla małych amplitud drgań. Uprawnione jest wówczas pominię cie wyrazów wyŝ szych rzę dów w rozwinię ciu Taylora energii potencjalnej. Je ś li wychyleni z połoŝ enia równowagi są przybliŝ enie: niewielkie to moŝ na wprowadzić Jak łatwo zauwaŝ yć stała m na w układzie kartezjań skim sens masy. Funkcję Lagrange a układu wykonują cego jednowymiarowe drgania moŝ na przedstawić postaci: (5) w 7
Przybli Ŝ enie małych drgań jeden stopień swobody Równanie Lagrange a dla funkcji Lagrange a (5) jednowymiarowego układu drgają cego przyjmuje postać : Wprowadzają c stałą zdefiniowaną jako: moŝ na równanie ruchu zapisać w nastę pują cej formie: Rozwią zanie ogólne tego równania ma postać : Wprowadzają c stałe całkowania a i α: MoŜ na przedstawić rozwią zanie ogólne w innej postaci: (6) Przybli Ŝ enie małych drgań jeden stopień swobody W przybliŝ eniu małych drgań trajektoria ruchu opisana jest funkcją sinus. Stała całkowania a nazywana jest amplitudą ruchu. Wielko ś ć ta ma sens maksymalnego wychylenia ciała jaki osią ga ono w punkcie zwrotu tzn. gdy jego prę dko ś ć równa się zeru. ś Stała α nazywana jest fazą począ tkową i okre la wychylenie ciała w chwili począ tkowej t=0. Parametr ω jest (w przybliŝ eniu małych drgań ) niezaleŝ ny od warunków począ tkowych. Nie zaleŝ y zatem do stałych całkowania: a amplitudy i α-fazy począ tkowej. Wielko ś ć ta nazywana jest czę sto ś cią drgań. Łatwo wykazać, iŝ czę sto ś ć (w przybliŝ eniu małych drgań ) jest zwią zana nastę pują cą zaleŝ no ś cią z okresem ruchu. 8
Przybli Ŝ enie małych drgań wiele stopni swobody W układach o wielu stopniach swobody energia potencjalna w przybliŝ eniu małych drgań ma postać : gdzie x i mają sens wychyleń z połoŝ enia równowagi: Współczynniki k ik i k ki wystę pują przy tym samym iloczynie wychyleń, stą d: Dla układu o wielu stopniach swobody energię kinetyczną moŝ na wyrazić jako: Stosują c analogiczne przybliŝ enia jak dla układu o jednym stopniu swobody moŝ na zapisać energię kinetyczną w postaci: Przybli Ŝ enie małych drgań wiele stopni swobody Z podobnych wzglę dów jak w przypadku energii potencjalnej współczynniki m ik i m ki są sobie równe: Funkcję Lagrage a układu moŝ na zatem zapisać w postaci: Zapiszmy róŝ niczkę zupełną funkcji Lagrange a: Wymieniają c oznaczenia indeksów sumowania dla korzystają c z własno ś ci współczynników m ik i k ik otrzymamy: 9
Przybli Ŝ enie małych drgań wiele stopni swobody Z jawnej postaci róŝ niczki zupełnej funkcji Lagrange a moŝ na odczytać nastę pują ce pochodne czą stkowe: Korzystają c z powyŝ szych wzorów moŝ na zapisać formie: (i-te) równanie Lagrange a w (7) Rozwią zania szczególne równania Lagrange a mają w tym przypadku postać : Aby jawnie wyznaczyć równań postaci (7) warto ś ci parametru ω podstawmy rozwią zanie do kaŝ dego z Otrzymamy wówczas układ równań jednorodnych, który posiada niezerowe rozwią zania wtedy, gdy jego wyznacznik równa się zero: (8) Przybli Ŝ enie małych drgań wiele stopni swobody Równanie (8) nosi nazwę równania charakterystycznego, a jego pierwiastki ω α nazywane są czę stoś ciami własnymi. Je ś li kilka czę sto ś ci własnych ma taką samą warto ś ć to nazywamy je czę stoś ciami zdegenerowanymi. W ogólnym przypadku zespolone amplitudy A k drgań wszystkich współrzę dnych x k są róŝ e od zera dla danej czę sto ś ci własnej ω α. MoŜ na pokazać, iŝ da się wybrać taki układ współrzę dnych uogólnionych, w którym danej czę sto ś ci własnej odpowiada tylko jedna niezerowa amplituda drgań. Współrzę dne takie nazywamy współrzę dnymi normalnymi Θ. Równania Lagrange a we współrzę dnych normalnych są niezaleŝ ne od siebie. a funkcja Lagrange a rozkłada się na sumę wyraŝ eń : w której kaŝ dy składnik dopowiada jednowymiarowemu drganiu o czę sto ś ci ω α. 10
Przybli Ŝ enie małych drgań drgania czą steczki Rozpatrzmy drgania czą steczki liniowej składają cej się z trzech atomów: A-B-A. Układ posiada trzy czę sto ś ci własne drgań (µ=2m A +m B ): zwią zane z nastę pują cymi współrzę dnymi normalnymi: Podsumowanie Tory ciał poruszają cych się w potencjale postaci U(r)=α/r są krzywymi stoŝ kowymi. Gdy potencjał U(r)=α/r jest przycią gają cy (α> 0), to moŝ liwy jest ruch ograniczony którego torem jest elipsa. Ciało porusza się po elipsie, je ś li jego energia i moment pę du są wystarczają co małe. Warunek ten jest spełniony gdy mimo ś ród jest mniejszy od jedno ś ci. Je ś li e>1, to ruch jest nieograniczony i cało porusza się po hiperboli. W przybliŝ eniu małych drgań ciało wykonuje ruch harmoniczny (tj. opisamy funkcjami typu sinus) Małe drgania układów o wielu stopniach swobody moŝ na przedstawić we współrzę dnych normalnych. Dzię ki temu kaŝ de drganie o czę sto ś ci własne jest zwią zane tylko z jedną współrzę dną. 11