Wykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet

Transkrypt

1 Wykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet Reinhard Kulessa 1

2 Prawa Keplera W roku 140 n.e. Claudius Ptolemeus zaproponował swój geocentryczny model Świata. Gwiazdy stałe zostały ustalone, a wszystkie inne planety razem ze Słońcem i Księżycem krążyły wokół Ziemi, przy czym planety po skomplikowanych torach. System ptolomeuszowski był w stanie wytłumaczyć obserwowane pętle kreślone przez Mars Reinhard Kulessa

3 Zobaczmy, jak wyglądała linia zakreślana przez Merkurego w 1955 r Reinhard Kulessa 3

4 Poniżej widzimy pętle kreślone przez Marsa. U.J. Schrewe Reinhard Kulessa 4

5 Układ heliocentryczny został zaproponowany przez Kopernika w 1543 r Reinhard Kulessa 5

6 Wytłumaczenie pętli zataczanych przez Marsa w oparciu o układ heliocentryczny Reinhard Kulessa 6

7 W końcu wieku 16 Tycho de Brache doszedł do wniosku, że aby odpowiedzieć na pytanie, czy planety naprawdę obracają się dookoła Słońca, należy raczej przeprowadzić dokładne pomiary, a nie debatować nad tym. Przez wiele lat wykonywał pomiarów w swoim obserwatorium na wyspie Hven koło Kopenhagi. Wyniki pomiarów Tycho de Brache opracowywał jego asystent Kepler, który odkrył prawa ruchu planet nazwane później jego imieniem. Oto do czego doszedł Kepler. 1. Planety poruszają się dookoła Słońca po elipsach, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy Reinhard Kulessa 7

8 b r r F ϕ F εa εa a P ε stanowi mimośród elipsy. Tylko dla Merkurego i Plutona ε > 0.0. Elipsa posiada dwie półosie, dużą i małą, oraz dwa ogniska. W układzie biegunowym równanie elipsy ma postać: k r = (3.4) a + ε cosϕ przy czym, k ε = a(1 = a ε ). b. Promień wodzący od Słońca do Planety zatacza w tych samych odcinkach czasy te same pola powierzchni Reinhard Kulessa 8

9 Pole, jakie zakreśla planeta w małym czasie t, wynosi S = (1/) r Θ Reinhard Kulessa 9

10 Planeta Słońce r Pamiętamy, że pole trójkąta jest dane przez równanie: S = ½a b sinγ, możemy wprowadzić wektor pola zakreślanego przez wektor r jako: S 1 dr = r dt Zgodnie z drugim prawem Keplera: ds 0 dt = Reinhard Kulessa 10, (3.5)

11 czyli, dt dt dt dr dr d r + r = 0. Pierwszy człon w równaniu jest równy zero. Zostaje więc, r = dt dr 0. (3.6) Widzimy więc, że przyśpieszenie, a tym samym też siła są równoległe do promienia r, czyli linii łączącej Planetę i Słońce. Taką siłę nazywamy siłą centralną. Zdefiniujmy sobie jeszcze trzecie prawo Keplera Reinhard Kulessa 11

12 Prawo to porównuje okresy ruchu różnych planet i stwierdza; 3. Stosunek kwadratu okresu obiegu Planety dookoła Słońca do trzeciej potęgi dłuższej półosi elipsy jest równy dla wszystkich orbit planetarnych. a T m = = s C Załóżmy, że orbity po których krążą Planety są kołowe. Możemy wtedy znaleźć zależność siły grawitacji od odległości. Przyśpieszenie radialne w ruchu po okręgu jest równe 4π = =. T ar ω r r Wstawmy 1/T =C/r 3 w oparciu o trzecie prawo Keplera Reinhard Kulessa 1

13 ar 4 1 C r = π. Możemy więc napisać, że r F = mar = 4π C m r Reinhard Kulessa 13

14 Zestawienie Praw Keplera Słońce 1. Planety poruszają się dookoła Słońca po elipsach, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy S 1 =S. Promień wodzący od Słońca do Planety zatacza w tych samych odcinkach czasy te same pola powierzchni T T r = = C = r const 3. Stosunek kwadratu okresu obiegu Planety dookoła Słońca do trzeciej potęgi dłuższej półosi elipsy jest równy dla wszystkich orbit planetarnych Reinhard Kulessa 14

15 Wyznaczenie stałej grawitacji Stała grawitacji może zostać wyznaczona tylko w oparciu o Prawo Powszechnego Ciążenia Newtona. G = F r m m 1 Musimy więc wyznaczyć siłę F działającą pomiędzy dwoma masami m 1 i m znajdującymi się w odległości r. Dane astronomiczne nie wystarczą, gdyż nie znamy dokładnie mas. Pomiarów dokonał Cavendish w oparciu o dwie znane masy wykorzystując wagę skręceń w 1798 r Reinhard Kulessa 15

16 równowaga Pozycja 1 nitka sprężysta Pozycja równowagi Pozycja Widok z góry Widok z boku Reinhard Kulessa 16

17 Równania opisujące ruch planet Jeśli chcemy opisać ruch planety o masie m dookoła Słońca, które ma masę M, musimy napisać następujące równanie ruchu. dv m = F F = G mm r dt r r Ponieważ ruch odbywa się na płaszczyźnie, możemy napisać, dv x = = dt r dv y = = dt r x m GMm k 3 x y m GMm k 3 y, (3.8) Reinhard Kulessa 17

18 gdzie x + y = r. Te równania najprościej jest rozwiązać metodami numerycznymi. Zwykle sytuacja nie jest tak prosta, gdyż oddziaływanie grawitacyjne działa pomiędzy wszystkimi ciałami niebieskimi. Siłę działająca na planetę i o pozycji x i, y i, z i, liczymy jako sumę sił pochodzących od innych planet posiadających pozycję x j, y j, z j Reinhard Kulessa 18

19 dv ix mi dt N j= 1 i j j= 1 i j j= 1 i j Gmm ( x x ) i j i j 3 ij dv N iy G mim j ( yi y j ) mi = dt r dv iz mi dt = = N r 3 ij Gmm ( z z ) i j i j r 3 ij (3.9) r = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ij i j i j i j r ij jest odległością pomiędzy planetami i i j. Równań tych nie da się rozwiązać analitycznie. Trzeba te równania rozwiązać numerycznie Reinhard Kulessa 19

20 4. Zasady zachowania Zasady zachowania występujące w fizyce są to prawa określające stałość pewnych parametrów charakteryzujących układ fizyczny. Do najważniejszych należą zasady zachowania: energii, pędu, krętu, ładunku elektrycznego, liczby barionowej, liczb leptonowych, parzystości kombinowanej CPT. Zasady zachowania wynikają (twierdzenie Noether) z niezmienniczości równań opisujących stan układu względem pewnych transformacji Reinhard Kulessa 0

21 Twierdzenie Noether Twierdzenie to mówi, że każda ciągła symetria praw fizyki (czyli taka, która nie zmienia zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ albo innych, równoważnych tym dwom, praw fizyki), opisywana przez grupę Liego generuje tyle praw zachowania, ile jest niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego (lub generatorów grupy Liego). Grupa - jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór na którym określono tylko jedno działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup Reinhard Kulessa 1

22 Monoid to półgrupa, która zawiera element neutralny swojego działania. Monoidem są na przykład liczby całkowite nieujemne z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero. Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa Reinhard Kulessa

23 W mechanice klasycznej obowiązują zasady zachowania; energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje pewnych symetrii. Zasada zachowania energii wynika więc z niezmienniczości względem przesunięcia w czasie. Inaczej mówiąc, jeżeli w każdej chwili czasu zasada wariacyjna najmniejszego działania, oraz równania ruchu opisujące układ nie zmieniają się, to energia układu w tych chwilach jest taka sama. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię (zmienia się wówczas zasada wariacyjna najmniejszego działania i równania ruchu) to energia układu w kolejnych chwilach czasu przyjmuje różne wartości Reinhard Kulessa 3

24 Zasada najmniejszego działania jest w mechanice teoretycznej podstawową zasadą wariacyjną. Zgodnie z nią rzeczywiste ruchy ciał charakteryzują się najmniejszymi wartościami działania. Działanie, wielkość fizyczna mająca wymiar iloczynu energii i czasu lub pędu i położenia (jak kręt). Charakteryzuje ruch układu mechanicznego, ale pojęcie to wykorzystuje się również w elektrodynamice, termodynamice i mechanice kwantowej Reinhard Kulessa 4

25 Podobnie zachowanie pędu odzwierciedla niezmienniczość zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem przesunięcia. Zachowanie orbitalnego momentu pędu -wiąże się z niezmienniczością zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem obrotu. Inne zasady zachowania wiążą się również z odpowiednimi symetriami ciągłymi. Na przykład zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości względem transformacji cechowania funkcji falowej elektronu. Transformacja cechowania, to w teorii pola przekształcenie matematyczne równań opisujących pola fizyczne, które nie prowadząc do zmiany wartości obserwowanych wielkości, usuwa dowolność wyboru pewnych wielkości (np. dodanie stałej wartości do potencjału elektrostatycznego lub grawitacyjnego, zmiana fazy funkcji falowej) Reinhard Kulessa 5

26 ψ ( x, t) ψ ( x, t) = e iα ψ ( x, t) Transformacje e iα generowane są przez ciągły kąt α, ich zbiór tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych U(1). Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni nie zmienia podstawowych praw fizyki to lokalna grupa cechowania U(1) wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elekromagnetycznego Reinhard Kulessa 6