Zbiory wypukłe i stożki

Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016

Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R n : (a x) b}, {x R n : (a x) b} nazywamy półprzestrzeniami domkniętymi (odpowiednio otwartymi, jeśli znaki nierówności lub zastąpimy przez < lub przez >).

Rozmaitość liniowa Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Niech W będzie k-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni R n, a x 0 R n ustalonym wektorem. Zbiór X = x 0 + W = {x 0 + x : x W } nazywamy k-wymiarową rozmaitością liniową.

Rozmaitość liniowa przykłady Przykład Każda hiperpłaszczyzna H(a, b) w przestrzeni R n jest (n 1)-wymiarową rozmaitością liniową. Przykład Jeśli A jest macierzą o wymiarach m n, rza = m, to zbiór X b = {x R n : Ax = b} jest (n m)-wymiarową rozmaitością liniową.

Prosta Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Jednowymiarową rozmaitość liniową w przestrzeni R n, czyli zbiór {x 0 + td : t R}, gdzie d 0, nazywamy linią prostą (w skrócie prostą) w przestrzeni R n.

Półprosta Liniowe podzbiory przestrzeni R n O prostej {x 0 + td : t R} mówimy, że przechodzi przez punkt x 0 i jest równoległa do wektora d. Wektor d nazywamy wektorem kierunkowym prostej, a równanie x = x 0 + td, t R, nazywamy równaniem parametrycznym prostej. Ograniczając zakres zmienności parametru t do przedziału 0, + ), otrzymujemy półprostą o początku w punkcie x 0 równoległą do wektora d. Półprostą o początku w punkcie 0 i przechodzącą przez punkt a 0 oznaczać będziemy dalej przez (a), czyli (a) = {ta : t 0, + )}.

Odcinek Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Zbiór [a, b] = {(1 t) a + tb : t 0, 1 } nazywamy odcinkiem łączącym punkty a, b R n. Równanie x = (1 t) a + tb, t 0, 1 nazywamy równaniem parametrycznym odcinka łączącego punkty a, b R n.

Zbiór wypukły Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Zbiór M R n nazywamy zbiorem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy (1 t) x + ty M. Przykład x,y M t 0,1 Zbiorami wypukłymi są:, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, hiperpłaszczyzna, półprzestrzeń P = {x R n : (a x) b}, rozmaitość liniowa, prosta, odcinek.

Zbiór wypukły przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Kula domknięta clk (x 0, r) = {x R n : x x 0 r} jest zbiorem wypukłym. Przykład Zbiór A = { x R 3 : x 2 1 + x 2 2 = x 2 3 } nie jest wypukły.

Uwypuklenie zbioru Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór M i jest wypukły, to zbiór M = M i jest również wypukły. Definicja i I Część wspólną wszystkich podzbiorów wypukłych przestrzeni R n zawierających zbiór nazywamy A powłoką wypukłą lub uwypukleniem zbioru A i oznaczamy symbolem conva.

Kombinacja wypukła Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Kombinacją wypukłą punktów x 1, x 2,..., x k R n nazywamy punkt x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α k x k, gdzie α i 0 dla i = 1, 2,..., k oraz k α i = 1. i=1

Kombinacja wypukła cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Zbiór M jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k M ich kombinacja wypukła należy do zbioru M. Jeśli A, to conv A jest zbiorem wszystkich kombinacji wypukłych punktów zbioru A.

Hiperpłaszczyzna podpierająca Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym i x 0 bda. Hiperpłaszczyznę H (a, (a x 0 )) = {x R n : (a x) = (a x 0 )} nazywamy hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór A w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (a x) (a x 0 ) dla każdego x A albo (a x) (a x 0 ) dla każdego x A. Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym takim, że bd M. Dla każdego x 0 bd M istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca M w punkcie x 0.

Hiperpłaszczyzna rozdzielająca Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Niech A, B R n będą zbiorami niepustymi. Hiperpłaszczyznę H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną rozdzielającą zbiory A i B, jeśli (a x) b dla x A oraz (a x) b dla x B. Ponadto, jeśli co najmniej jedna z nierówności jest ostra, to mówimy, że hiperpłaszczyzna H(a, b) rozdziela ostro zbiory A i B.

Hiperpłaszczyzna rozdzielająca cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Jeśli M 1, M 2 są niepustymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 =, to istnieje hiperpłaszczyzna rozdzielająca zbiory M 1 i M 2. Jeśli M 1, M 2 R n są niepustymi, domkniętymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 = oraz jeden z nich jest zwarty, to istnieje hiperpłaszczyzna ostro rozdzielająca M 1 i M 2.

Hiperpłaszczyzna rozdzielająca cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Jeśli M R n jest niepustym zbiorem domkniętym i wypukłym, to M jest równy przecięciu wszystkich półprzestrzeni domkniętych zawierających M.

Punkt ekstremalny Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Punkt x nazywamy wierzchołkiem lub punktem ekstremalnym zbioru wypukłego M wtedy i tylko wtedy, gdy x M oraz zbiór M {x} jest wypukły. Zbiór wszystkich wierzchołków zbioru M oznaczać będziemy dalej symbolem M ex. Przykład Wierzchołkami odcinka [x, y] są punkty x i y.

Punkt ekstremalny przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Jeśli M = { x R 2 : x 2 1 + x 2 2 1}, to M ex = { } x R 2 : x1 2 + x2 2 = 1, tzn. każdy punkt leżący na brzegu koła jest jego punktem ekstremalnym. Przykład Jeśli M = { x R 2 : x 2 x 2 1 } to Mex = { x R 2 : x 2 = x 2 1 }.

Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne (Kreina-Milmana) Jeśli niepusty zbiór M R n jest wypukły, domknięty i ograniczony, to: a) M ex, b) M = conv M ex.

Funkcja wypukła Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Niech M R n będzie zbiorem wypukłym. Funkcję f : M R nazywamy funkcją wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy x,y M t 0,1 f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y). Funkcję f : M R nazywamy funkcją wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy x,y M t 0,1 f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y).

Funkcja wypukła Liniowe podzbiory przestrzeni R n Warunek podany w definicji [ oznacza, że dla dowolnych x, y M [ ] [ ] ] x y odcinek łączący punkty, w przestrzeni R f (x) f (y) n+1 (cięciwa wykresu f ) funkcji wypukłej (odpowiednio wklęsłej) leży na lub powyżej (odpowiednio leży na lub poniżej) wykresu funkcji f. Bezpośrednio z definicji wynika również, że jeśli funkcja f jest wklęsła, to funkcja g = f jest wypukła i na odwrót.

Funkcja wypukła przykłady Przykład Funkcja f : R n R określona wzorem f (x) = a T x + b jest jednocześnie wypukła i wklęsła. Przykład Funkcja f : R n R, f (x) = x jest wypukła.

Własności funkcji wypukłych Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym. Funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { [ ] } x Epi f = M R : y f (x) R n+1 y jest wypukły. Definicja Zbiór Epi f nazywamy epigrafem lub nadwykresem funkcji f.

Własności funkcji wypukłych cd (Nierówność Jensena) Niech M będzie zbiorem wypukłym. Funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej kombinacji wypukłej x = k α i x i, gdzie α i 0 dla i = 1, 2,..., k oraz i=1 k α i = 1, punktów zbioru M spełniony jest warunek i=1 ( k ) f α i x i k α i f (x i ). i=1 i=1

Różniczkowalne funkcje wypukłe Niech M będzie otwartym zbiorem wypukłym. Różniczkowalna funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 0 M. f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Warunek podany w twierdzeniu oznacza, że hiperpłaszczyzna [ ] x0 styczna do wykresu funkcji f w punkcie jest jednocześnie f (x 0 ) hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór Epif w punkcie [ x0 f (x 0 ) ].

Różniczkowalne funkcje wypukłe Niech M będzie otwartym zbiorem wypukłym. Dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej hesjan [ f 2 ] f (x) (x) = x i x j jest macierzą nieujemnie określoną dla każdego x M.

Przykład zastosowania nierówności Jensena Przykład Dla dowolnych liczb dodatnich a 1, a 2,..., a n i nieujemnych liczb α 1, α 2,..., α n takich, że k α 1 = 1 zachodzi nierówność i=1 a α 1 1 aα 2 2...aαn n α 1 a 1 + α 2 a 2 +... + α n a n.

Wielościenny zbiór wypukły Definicja Wielościennym zbiorem wypukłym nazywamy przecięcie skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych. Ograniczony i niepusty wielościenny zbiór wypukły nazywamy wielościanem wypukłym.

Wielościan wypukły Liniowe podzbiory przestrzeni R n Dowolny wielościenny zbiór wypukły W można przedstawić jako zbiór rozwiązań układu równań i/lub nierówności liniowych, to znaczy W = {x R n : (a i x) = b i } {x R n : (a i x) b i }, i I 1 i I 2 gdzie zbiór I = I 1 I 2 jest niepusty i skończony (jeden ze zbiorów I 1, I 2 może być pusty). Bezpośrednio z definicji wynika również, że W jest zbiorem domkniętym. Jeśli W jest wielościanem, to W = convw ex, gdzie zbiór W ex jest skończony. Wielościan wypukły w przestrzeni R n możemy zatem zdefiniować również jako powłokę wypukłą skończonej liczby punktów przestrzeni R n.

Wierzchołki wielościennego zbioru wypukłego Niech W będzie wielościennym zbiorem wypukłym. Dla dowolnego punktu x W oznaczmy przez I (x) = {i I : (a i x) = b i } zbiór indeksów ograniczeń aktywnych w punkcie x, a przez A (x) = {a i : i I (x)} zbiór wektorów wyznaczających ograniczenia aktywne w punkcie x.

Wierzchołki wielościennego zbioru wypukłego cd Punkt x R n jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego W wtedy i tylko wtedy, gdy x W oraz w zbiorze A(x) jest n wektorów liniowo niezależnych. Wniosek Wielościenny zbiór wypukły ma niepusty i skończony zbiór wierzchołków.

Wierzchołek zdegenerowany Definicja Wierzchołek x wielościennego zbioru wypukłego W R n nazywamy wierzchołkiem zdegenerowanym, jeśli z układu wektorów a i, i I A (x) można wybrać co najmniej dwie bazy przestrzeni R n. W przeciwnym przypadku x nazywamy wierzchołkiem niezdegenerowanym.

Wierzchołki zbioru rozwiązań dopuszczalnych Jeśli macierz A o wymiarach m n ma rząd równy m, to punkt x R n jest wierzchołkiem zbioru X = {x R n : Ax = b x 0} wtedy i tylko wtedy, gdy x jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym układu Ax = b.

Ściana wielościennego zbioru wypukłego Definicja Ścianą wielościennego zbioru wypukłego W nazywamy zbiór W H, gdzie H jest taką hiperpłaszczyzną że W H i W H jest zbiorem wypukłym. Wymiarem ściany nazywamy wymiar najmniejszej rozmaitości liniowej zawierającej tę ścianę. Ściany jednowymiarowe nazywamy krawędziami zbioru wypukłego W.

Ściana wielościennego zbioru wypukłego przykłady Przykład Wyznaczymy ściany wielościennego zbioru wypukłegow R 3 określonego układem nierówności 3x 1 + 4x 2 + x 3 12, x 1 + x 3 6, x 1 0 x 2 0 x 3 0.

Stożek Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Definicja Niepusty zbiór S R n nazywamy stożkiem wtedy i tylko wtedy, gdy αx S. α 0 x S Jeśli ponadto S jest zbiorem wypukłym, to nazywamy go stożkiem wypukłym.

Przykłady stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład Zbiory: {0}, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, półprosta (a) = {αa : α 0} są stożkami wypukłymi. Przykład Zbiór S = { x R 3 : x 2 1 + x 2 2 x 2 3 } jest stożkiem, ale nie jest stożkiem wypukłym.

Własności stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym), to zbiór S = S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym). Niech S. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy αx + βy S dla dowolnych x, y S i α 0, β 0. i I

Własności stożków cd dualne Wniosek Niech S będzie stożkiem. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy x + y S dla dowolnych x, y S. Wniosek Niepusty zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k S ich kombinacja liniowa k α i x 1 o nieujemnych współczynnikach należy do zbioru S. i=1

Promień ekstremalny dualne Definicja Półprostą (x) = {αx : α 0}, gdzie x 0, nazywamy krawędzią lub promieniem ekstremalnym stożka wypukłego S wtedy i tylko wtedy, gdy x S oraz zbiór S (x) jest wypukły. Przykład Stożek wypukły S = { x R 2 : x 2 x 1 } ( ma dwa promienie [ ] ) ( [ ] ) 1 1 ekstremalne i. 1 1

Przykłady Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład { } Stożek wypukły S = x R 3 : x 3 x1 2 + x 2 2 ma nieskończoną liczbę promieni ekstremalnych wyznaczonych na przykład przez wszystkie punkty x = [ x 1 x 2 1 ]T, gdzie x1 2 + x 2 2 = 1. Przykład Nieujemny orthant R n + = {x R n : x 0} ma n promieni ekstremalnych (e j ) gdzie j = 1, 2,..., n.

Wielościenny stożek wypukły dualne Definicja Stożek, który jest wielościennym zbiorem wypukłym, nazywamy wielościennym stożkiem wypukłym lub stożkiem skończonym.

Wielościenny stożek wypukły cd dualne Dowolny wielościenny stożek wypukły V jest częścią wspólną skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych, można go zatem przedstawić jako zbiór rozwiązań układu równań i/lub nierówności liniowych z prawymi stronami równymi zeru, tzn. V = {x R n : (a i x) = 0} {x R n : (a i x) 0}, i I 1 i I 2 gdzie zbiór I = I 1 I 2 jest niepusty i skończony (jeden ze zbiorów I 1, I 2 może być pusty). Zbiór V jest oczywiście również zbiorem domkniętym.

Wielościenny stożek wypukły cd dualne Niech V będzie wielościennym stożkiem wypukłym. Półprosta (x), gdzie x 0, jest promieniem ekstremalnym stożka V wtedy i tylko wtedy, gdy x V i zbiór A(x) = {a i : (a i x) = 0} zawiera n 1 wektorów liniowo niezależnych.

dualne Wielościenny zbiór wypukły i wielościenny stożek wypukły Z każdym wielościennym zbiorem wypukłym W = {x R n : (a i x) = b i } {x R n : (a i x) b i } i I 1 i I 2 związany jest wielościenny stożek wypukły W 0 = {x R n : (a i x) = 0} {x R n : (a i x) 0}. i I 1 i I 2

dualne Związki między W a W 0 Niepusty zbiór W jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy W 0 = {0}. Niech W będzie zbiorem niepustym. Wówczas zbiór W ma co najmniej jeden punkt ekstremalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 jest punktem ekstremalnym stożka W 0. (O reprezentacji) Jeśli W ex jest zbiorem niepustym, to W = conv (W ex ) + W 0.

o reprezentacji dualne Tezę twierdzenia o reprezentacji można również sformułować następująco. Dla dowolnego punktu x W istnieją takie liczby k α i 0, (i = 1, 2,..., k), α i = 1, β j 0, (j = 1, 2,..., q), że i=1 x = k α i x i + q β j y j, i=1 gdzie x 1, x 2,..., x k są punktami ekstremalnymi zbioru W, a (y 1 ), (y 2 ),..., (y q ) są promieniami ekstremalnymi stożka W 0. j=1

Stożek dualny Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym. em dualnym do A nazywamy zbiór Przykład A = {x R n : (a x) 0}. a A W przypadku zbiorów {0}, R n mamy odpowiednio {0} = R n, (R n ) = {0}.

Stożek dualny przykłady dualne Przykład em dualnym do zbioru jednopunktowego A = {a}, gdzie a 0, jest półprzestrzeń A = {x R n : (a x) 0}. Przykład em dualnym do zbioru dwupunktowego A = {a, b}, gdzie a i b są liniowo niezależne, jest stożek A = {x R n : (a x) 0} {x R n : (b x) 0}.

Własności stożków dualnych dualne Jeśli A B R n, to B A oraz A B. Niech A R n będzie zbiorem niepustym. Wówczas: a) A jest stożkiem wypukłym i domkniętym, b) A A, c) A = A A jest stożkiem wypukłym i domkniętym. Wniosek A jest najmniejszym stożkiem wypukłym i domkniętym zawierającym zbiór A.

Własności stożków dualnych cd dualne Dla dowolnej macierzy A o wymiarach m n określimy dwa domknięte stożki wypukłe S = { { } Ax : x R n +} i T = z R m : A T z 0. S i T spełniają warunki: a) S = T, b) T = S.

Lemat Farkasa Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Warunek T = S punktu twierdzenia 66 nazywa się lematem Farkasa. Można go sformułować również w następującej postaci. (Lemat Farkasa) Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, b R m. Poniższe warunki są równoważne: ( ) a) A T z 0 (b z) 0, b) z R m x R n + b = Ax.

Lemat Farkasa cd Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Wniosek Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, b R m. Wówczas dokładnie jeden z układów { Ax = b x 0 lub { A T z 0 b T z > 0 ma rozwiązanie.