Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje się widnokrąg. Zad.. Soisz na poziomie widokowym Sky Tower we Wrocławiu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje się widnokrąg. Zad..3. A) Oszacuj liczbę molekuł worzących Ziemię, przyjmując średnią masę molekuły jako 30 g/mol. B) Oszacuj liczbę aomów miedzi w jednym merze sześciennym ego mealu, niezbędne dane znajdź w ablicach. Zad..4. A) Oszacuj średnicę Słońca przyjmując za daną średnią gęsość jej masy 0 3 kg/m 3. B) Oszacuj liczbę uderzeń własnego serca i oddechów w ciągu przewidywanego czasu Twojego życia Zad..5. A) Oszacuj odległość Słońca od Ziemi wiedząc, że jego kąowy rozmiar widziany z Ziemi jes rzędu połowy jednego sopnia. B) Oszacuj liczbę cząseczek wody we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 80% z wody. Zad..6. A) Oszacuj promień Księżyca przyjmując za daną średnią gęsość jego masy 3 0 3 kg/m 3. B) Oszacuj liczbę aomów powierza w pomieszczeniu, w kórym akualnie przebywasz. Zad..7. A) Oszacuj odległość Księżyca od Ziemi wiedząc, że jego kąowy rozmiar widziany z Ziemi jes rzędu połowy jednego sopnia. B) Oszacuj liczbę oddechów w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia. Zad..8. A) Oszacuj N operacji zmiennoprzecinkowych (arymeyczne dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), kóre człowiek może wykonać w rakcie swojego życia. B) Oszacuj czas wykonywania N operacji przez superkompuer. Uwaga: Niezbędne dane posaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć samodzielnie. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Grupa. Podsawy analizy wymiarowej Zad... Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależność i obliczyć warości wykładników a, b, c, jeśli założona zależność ma posać P = (ħ) a (c) b (G) c czas (sekundę) Plancka; więcej na sronach hp://pl.wikipedia.org/wiki/jednoski_plancka i hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/meodologia_fizyki.pdf. Zad... Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności i obliczyć warości wykładników d, e, f, jeśli założyć, że poszukiwana zależność ma posać l P = (ħ) d (c) e (G) f długość (mer) Plancka); więcej na sronach hp://pl.wikipedia.org/wiki/jednoski_plancka i www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/meodologia_fizyki.pdf. Zad..3. Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć posać maemayczną zależności prędkości V fali mechanicznej w mealu zakładają, że zależność a ma posać (E) d (ρ) e, gdzie E moduł Younga, ρ gęsość mealu, j. należy wyznaczyć warości wykładników d i e. Zad..4. Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności czasu T obiegu gwiazdy o masie m planey orbiującej wokół ej gwiazdy w odległości r, wiedząc, że szukana zależności jes dana wzorem (G) a (r) b (m) c, gdzie G sała grawiacji; należy wyznaczyć warości wykładników a, b, c. Zad..5. Siła F bezwładności Coriolisa, działa na ciała o masie m poruszające się z prędkością o warości V w układzie odniesienia obracającym się z prędkością kąowa ω, przy czym warość F dana jes (zakładamy) formułą (m) a (V) b (ω) c ; należy wyznaczyć warości wykładników a, b, c korzysając z reguł analizy wymiarowej. Zad..6. Liczba Reynoldsa L RE służy do określania charakeru przepływu rzeczywisego płynu o lepkości dynamicznej µ (jednoską jes Pa s, Pa o skró jednoski ciśnienia w SI), gęsości ρ poruszającego się z prędkością V w rurze o średnicy D. Jeśli L RE > 00 przepływ jes płynu jes laminarny. Zakładając, że szukana zależność maemayczna ma posać (µ) - (V) b (D) c (ρ) d, należy wyznaczyć warości wykładników b, c i d korzysając z reguł analizy wymiarowej. Zad..7. Warość prędkości cząseczek gazu idealnego V zależy od masy cząseczki, sałej Bolzmanna k B oraz emperaury bezwzględnej T gazu, przy czym warość V dana jes (przypuszczamy) wzorem (m) a (k B ) b (T) c ; należy wyznaczyć warości wykładników a, b, c korzysając z reguł analizy wymiarowej. Zad..8. Prędkość fali dźwiękowej w gazie jes proporcjonalna do wyrażenia (p) a (ρ) b, gdzie p i ρ o odpowiednio ciśnienie i gęsość gazu. Należy wyznaczyć warości wykładników a i b korzysając z reguł analizy wymiarowej.
Grupa 3. Elemeny rachunku wekorowego i różniczkowo-całkowego Zad. 3.. Pokaż z definicji, że iloczyn skalarny dwóch wekorów ma posać w karezjańskim układzie współrzędnych posać a b= ab + a b + ab. x x y y z z Zad. 3.. Pokaż z definicji, że iloczyn wekorowy dwóch wekorów danych w karezjańskim układzie współrzędnych ma posać: Zad. 3.3. Pokaż, że prawdziwe są związki a ( b c) = b ( c a) = c ( a b). Zauważ, że cykliczne przesawianie symboli wekorów znacznie pomaga i uławia zapamięywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Parz maeriał zamieszczony na końcu pracy domowej. a b c = b c a c a b. Zauważ, że cykliczne przesawianie Zad. 3.4. Pokaż, że prawdziwe są związki ( ) ( ) ( ) symboli wekorów znacznie pomaga i uławia zapamięywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Parz maeriał zamieszczony na końcu pracy domowej. Zad. 3.5. Dwa wekory a i b mają składowe (w merach): a x = 3,; a y =,6; b x = 0,5; b y = 4,5. Znajdź ką między kierunkami wekorów a i b. Na płaszczyźnie OXY można znaleźć dwa wekory, kóre są prosopadłe do wekora a i mają długość równą 5 m. Jeden z nich c ma dodanią składową x, a drugi d ma składową x ujemną. Wyznacz składową x i składową y wekora c. Wyznacz składową x i składową y wekora d. Zad. 3.6. Wyznaczyć pochodne (parz ablica wzorów maemaycznych) nasępujących funkcji, gdzie x 0, A, w są sałymi: d d v( ) = ( A sin( ω) ), d v( ) = ( A sin ( ω) ), v( ) = (( A sin ( ω) ) ), d sin( ω) d f ( ) =, f ( ) = ( sin ( ω) cos ( ω ) ). cos( ω) Zad. 3.7. Oblicz całki nieoznaczone (parz ablica wzorów maemaycznych, gdzie v 0, a, ω są sałymi, n jes liczbą całkowią ( ) ( v 0± a ) d n, ( ±a) d, sin( ω), cos( ω) d, v 0± a d (rozparzyć różne przypadki n). Zad. 3.8. Wyznaczyć całki oznaczone (parz ablica wzorów maemaycznych, gdzie v 0, a, ω są sałymi, n jes, ( ) n liczbą całkowią: ( v0 ± a ), ( ±a) d, sin( ω) cos ω d, v0 ± a, gdzie n jes liczbą całkowią; rozparzyć różne warości n. Ws-ka: Warość całki oznaczonej jes, w odróżnieniu od całki nieoznaczonej będącej rodziną funkcji, liczbą, kórej warość obliczamy, jako różnicę warości całki nieoznaczonej, odpowiednio, dla górnej i dolnej granicy całkowania. ( ) ln d ln cons, ale ln d ln ln ln. Można sprawdzić Przykład: x x= x x x+ x x= ( x x x) = ( ) bezpośrednim rachunkiem, że pochodna funkcji pierwonej xlnx x+ cons jes równa funkcji podcałkowej ln x. Wrocław, października 07 W. Salejda
Pożyeczne maeriały dosępne w Inernecie hp://pl.wikibooks.org/wiki/meody_maemayczne_fizyki hp://pl.wikibooks.org/wiki/meody_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Dowód ze srony: hp://pl.wikibooks.org/wiki/meody_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Iloczyn mieszany Pierwsza równość w (.3) jes iloczynem skalarnym wekorów c ia b. Tożsamości (.4) są nasępswem właściwości wyznacznika z (.3). Przesawiając pierwszy wiersz kolejno z drugim i rzecim orzymujemy pierwszą równość (.4), j. ax ay ac b b b. x y z c c c x y c Podobnie przesawiając osani wiersz kolejno z drugim i pierwszym dosajemy drugą równość w (.4), j. Wrocław, X 05 b b b x y c c c c. x y z a a a x y c W. Salejda 3
4
5
Wrocław, X 009 6 K. Tarnowski