Lista 2 z rozwiązaniami

Transkrypt

1 Lista 2 z rozwiązaniami Autor rozwiązań dr W.Białas Działania na wektorach. Elementy metodologii fizyki. 1. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4j 5k oraz b = -i +2j +6k. Wyznaczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny a b, c) kąt pomiędzy wektorem (a b) a wektorem (a + b). 2. Wektory a i b spełniają relacje: a + b = 11i - j +5k ; a 5b = -5i +11j +9k. Wyznaczyć wektory a i b. Czy wektory te są do siebie prostopadłe? 3. Dany jest wektor a = 7i + 11j. Wyznaczyć wektor jednostkowy, prostopadły do tego wektora. 4. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4j oraz b = 6i + 16j. Rozłożyć wektor b na składowe: równoległą i prostopadłą do wektora a. 5. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (3,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek. 6. Dany jest wektor A = 3i + 5j. Wyznaczyć jego długość i kąt, jaki tworzy z osią 0X. 7. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M 1 = (2,10) oraz M 2 = (5,6). Jaki kąt z osią 0X tworzy prosta łącząca te punkty?

2 8. Wektor o długości 5N jest w płaszczyźnie XY nachylony pod kątem 30 względem osi 0X. Zapisać wektor w postaci A = A x i + A y j. 9. Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v 1 kula uderza w ścianę pod kątem α i odbija się pod kątem β. Nowa wartość prędkości wynosi v 2. Wyznaczyć wektor zmiany prędkości. 10. Dla każdego z poniższych przypadków wyznaczyć wektory C = A + B oraz D = A B. Dane: Rys. a) długości wektorów: A = 2,80, B = 1,90; kąty: α = β = 60 Rys. b) długości wektorów: A = 3,60, B = 2,40; kąty: α = 70, β = 30 Rys. a y Rys. b y A A α β x β α x B B 11. Dane są dwa wektory: A = 2i + 5j oraz B = 2i - 4j. Wyznaczyć: a) długość każdego z wektorów; b) długość wektora C = A + B oraz kąt jaki tworzy on z wektorem A.

3 12. Barka jest ciągnięta przez dwa holowniki: pierwszy napina siłą 12 kn hol tworzący kąt 60 względem prawego trawersu barki (kierunku prostopadłego do płaszczyzny symetrii statku), a drugi napina swój hol siłą 8 kn pod kątem 75 względem lewego trawersu. Wyznaczyć siłę wypadkową działającą na barkę i obliczyć kąt pod jakim jest ona odchylona od płaszczyzny symetrii barki. 13. Wektory a oraz b spełniają relacje: a + b = 11i j; a 5b = -5i + 11j. Wyznaczyć te wektory. Czy są one do siebie prostopadłe? 14. Wektory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co możemy powiedzieć o tych wektorach? 15. Długość wektora A wynosi 5 jednostek, a wektora B 7 jednostek. Jaka może być największa i najmniejsza długość wektora R = A + B? 16. A i B to wielkości fizyczne mające określone wymiary. Które z podanych działań mają sens fizyczny: A-B, A+B, A/B, A B, jeśli wymiary A i B są: a) identyczne, b) różne? 17. Położenie cząstki zależy od czasu jak: x(t)=asin(ωt). Jaki wymiar mają w układzie jednostek miar SI wielkości A i ω? 18. Przyspieszenie dośrodkowe a d ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zależy od prędkości tego ciała v i promienia R jak a d =v α R β. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej wartości wykładników α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: długość/(czas) 2, wymiar prędkości: długość/czas.

4 19. a)kropla oleju o masie 900 μg (mikrogramów) i o gęstości 918 kg rozpłynęła się na powierzchni wody tworząc kolistą, szarą plamę o średnicy 42 cm, utworzoną z jednej warstwy (monowarstwy) cząsteczek oleju, Oszacować rząd wielkości średnicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku to kuleczka kwarcu o średnicy 50 μm (mikrometrów) i gęstości 2650 kg/m 3, a gęstość piasku wynosi 2600 kg/m 3. Oszacować rząd liczby ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym. 20. Odległość Ziemi od Słońca wynosi 0,15 Tm (terametra). Jak, za pomocą igły, kawałka kartonu i przymiaru o długości 1m oszacować średnicę Słońca? Spróbuj samodzielnie wykonać taki pomiar, a wynik porównaj z wartością tej średnicy, znalezioną w tablicach. Czy można, (unikając jakiegokolwiek patrzenia na Słońce, co grozi uszkodzeniem wzroku!) oszacować jego średnicę przy pomocy przymiaru i jakiejś monety (np. 10 groszowej)? 21. Miliarder oferuje ci przekazanie miliarda złotych w monetach jednozłotowych, ale pod warunkiem, że przeliczysz je osobiście. Czy można przyjąć tę propozycję, jeśli przeliczenie jednej monety trwa tylko sekundę? Rozwiązania RZad1 Długość wektora definiujemy tak: a = (a x i + a y j +a z k) = ( a x 2 + a y 2 + a z 2 ), zatem: a = ( (-5) 2 ) = b = ((-1) ) = 41 6,4 Iloczyn skalarny definiujemy tak: a b = a x b x + a y b y + a z b z, zatem: a b = 3 (-1) (-5 6) = -25 Geometryczna definicja iloczynu skalarnego jest taka: a b = a b cos(a,b), więc kąt pomiędzy wektorami można obliczyć następująco: arccos(a,b) = arccos[ a b/( a b )] arccos (-25)/(7 6,4) = arccos( -0,55) 124 ( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos -1.) Odpowiedź: Długości wektorów wynoszą: a = i b = 41 6,4, a kąt między nimi ma wartość około 124.

5 RZad2 Skorzystamy z definicji: a = a x i + a y j + a z k, b = b x i + b y j + b z k, 5b = 5b x i + 5b y j + 5b z k a + b = (a x +b x )i + (a y +b y )j + (a z +b z )k = 11i j +5k a -5b = (a x -5b x )i + (a y -5b y )j + (a z -5b z )k = -5i+11j + 9k otrzymujemy stąd trzy układy równań, każdy z dwiema niewiadomymi: a x +b x = 11 a y +b y = -1 a z +b z = 5 a x -5b x =-5 a y -5b y =11 a z -5b z =9 Po ich rozwiązaniu otrzymujemy: a x = 8⅓, a y = 1, a z = 5⅔ i b x = 2⅔, b y = -2, b z =-⅔. Czyli wektor a = 8⅓i + j + 5⅔k, a wektor b = 2⅔i 2j ⅔k Iloczyn skalarny wektorów a b = a b cos(a,b) miałby dla wektorów prostopadłych wartość równą zeru (bo cos(a,b) = cos90 = 0), a tu: a b = a x b x + a y b y + a z b z = 8⅓ 2⅔ - 2-5⅔ ⅔ > 0, więc wektory a i b nie są prostopadłe. Odpowiedź: Wektory mają następujące postaci: a = 8⅓i + j + 5⅔k, b = 2⅔i 2j ⅔k, i nie są one wzajemnie prostopadłe. RZad3 Wektor a ma składowe tylko w płaszczyźnie xy. Wektorem jednostkowym do niego prostopadłym jest więc wektor (0i + 0j + 1k), czyli wektor k. RZad4 Składowa równoległa jest rzutem wektora a na wektor b. Obliczymy jej wartość z iloczynu skalarnego: a b = a b cos(a,b) a = ( ) = 5 b = ( ) 17 a b = a x b x + a y b y + a z b z = = 82 b r = b cos(a,b) = a b/ a 16,4 Wartość tej składowej jest 16,4:5 3,28 razy większa od wartości wektora a. Składowa b r jest więc wektorem b r = 3,28a = 3,28(7i + 11j) = 9,84i + 13,12j Wektor b jest sumą swych składowych b = b r + b p, więc: b p = b b r =( 6i +16j) (9,84i + 13,12j) = -3,84i + 2,88j

6 Odpowiedź: Składowa wektora b, równoległa do wektora a to wektor b r = 9,84i + 13,12j, a składowa prostopadła to wektor b p = -3,84i + 2,88j RZad5 Wektory wodzące zapiszemy tak: r 1 = 2i +2j, r 2 =3i +7j Kąt między tymi wektorami obliczymy wykorzystując geometryczną interpretację iloczynu skalarnego wektorów: a b = a b cos(a,b) Obliczmy wartości (moduły) wektorów wodzących: r 1 = = 2 2, r 2 = = 58, r 1 r 2 = =20 Teraz możemy obliczyć kąt między wektorami wodzącymi: arccos(r 1,r 2 ) = arccos20/(2 (2 58)) = 21,8 ( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos -1.) Odpowiedź: Kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek ma 21,8 RZad6 Długość (wartość, moduł) wektora: A = (A x 2 +A y 2 ) = ( ) = 34, i = 1 Wektor jednostkowy na osi 0X to i. Kąt między wektorem A, a osią, czyli wektorem i, obliczymy używając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a b = a b cos(a,b) Iloczyn skalarny: A i = (3i+5j) i = 3 Kąt(A,i) = arccos[ A i/( A i )] = 3/ ( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos -1.) Odpowiedź: Długość wektora wynosi 34 5,83,a z osią 0X tworzy kąt 59 RZad7 Znajdziemy wektory wodzące tych punktów: M 1 = 2i + 10j, M 2 = 5i + 6j. Prosta łącząca oba punkty jest równoległa do wektora M, który jest różnicą M 1 - M 2. Obliczymy go: M = M 1 - M 2 = (2i+10j) - ( 5i+6j) = (2-5)i + (10-6)j = -3i - 4j Wektor jednostkowy na osi 0X to i. Kąt między wektorem M, a osią, czyli wektorem i, obliczymy używając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a b = a b cos(a,b) Iloczyn skalarny M i = -3, długość M = [(-3) 2 + (-4) 2 ] = 5, i = 1

7 Kąt(M,i) = arccos[ M i/( M i )] = arccos (- 3/5) = 126 Odpowiedź: Prosta łącząca te punkty przecina oś 0X pod kątem 126 RZad8 Składowe A x i A y są rzutami wektora A na osie 0X i 0Y. Obliczymy je: A x = 5Ncos30 = 5N 3/2 i A y = 5Nsin30 = 5N/2 Odpowiedź: Wektor ma postać A = A x i+a y j = (5N 3/2) i + (5N/2)j. RZad9 Jeżeli do wektora v 1 dodamy wektor zmiany prędkości Δv, otrzymamy wektor v 2. Zatem = v 2 v 1. Wyznaczymy oba te wektory i obliczymy ich różnicę. v 1 = (v 1 cosα)i - (v 1 sinα)j i v 2 =(v 2 cosβ)i + (v 2 sinβ)j Δv = v 2 v 1 = [(v 2 cosβ)i + (v 2 sinβ)j ] [(v 1 cosα)i - (v 1 sinα)j] = (v 2 cosβ - v 1 cosα)i + (v 2 sinβ + v 1 sinα)j RZad10 a): A = (2,80cos60 )i + (2,80sin60 )j = 1,40i + 2,42j B = (1,90cos60 )i - (1,90sin60 )j = 0,95i + 1,65j C = A + B = (1,40i + 2,42j) + (0,95i + 1,65j) = 2,35i + 0,77j D = A B = (1,40i + 2,42j) - (0,95i + 1,65j) = 0,45i + 4,07j Rozwiązanie b): A = (3,60cos70 )i + (3,60sin70 )j = 1,23i + 3,38j B = (-2,40cos30 )i - (2,40sin30 )j = -2,08i + 1,20j C = A + B = (1,23i + 3,38j) + (-2,08i + 1,20j) = -0,85i + 2,18j D = A B = (1,23i + 3,38j) - (-2,08i + 1,20j) = 3,31i + 4,58j Rysunki objaśniające:

8 Rys. a y Rys. b y A D D α -B A C x C -B x β B B β α RZad11 a): A = ( ) = 29 5,4 B = ( ) = 20 4,5 Rozwiązanie b): C = A + B = (2i + 5j) + (2i - 4j) = 4i + j C = ( ) = 17 4,1 A C = A C cos (A,C) = A x C x + A y C y = = 13, stąd obliczymy kąt między wektorami kąt(a,c) = arccos = arccos = 54 RZad12 Przyjmiemy następujący układ współrzędnych: oś 0X (z wektorem jednostkowym i) skierowaną wzdłuż trawersu w prawo, a oś 0Y (z wektorem jednostkowym j) skierowaną wzdłuż płaszczyzny symetrii barki w przód. Wektory sił F 1 i F 2 obliczymy w tym układzie. F 1 = (12cos60 )i + (12sin60 )j F 2 = -(8cos75 )i + (8sin75 )j teraz obliczymy siłę wypadkową W

9 W = F 1 + F 2 = [(12cos60 )i + (12sin60 )j] + [(-8cos75 )i + (8sin75 )j] = (12cos60-8cos75 )i + (12sin60 + 8sin75 )j = 3,93i +18,0j, W = (3,93i ,0 2 ) = 18,4kN Kąt względem osi barki obliczymy składowe są dodatnie: z wartości jego tangensa, zwracając uwagę na to, że obie Kąt (W,j) = arctg 3,93/18 = 12,3 (Uwaga: arctg jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako tg -1 ) Odpowiedź: Wektor siły wypadkowej działającej na barkę ma w takim układzie postać: W = 3,93i +18,0j, jego wartość wynosi 18,4 kn, i jest skierowany pod kątem 12,3 w prawo od osi barki RZad13 a + b = (a x i + a y j) + (b x i + b y j) = (a x + b x )i + (a y + b y )j = 11i j a 5b = (a x i + a y j) 5(b x i + b y j) = (a x 5b x )i + (a y - 5b y )j = -5i +11j otrzymujemy dwa układy równań: a x + b x = 11 a y + b y = -1 a x 5b x = -5 a y - 5b y = 11 po rozwiązaniu ich w dowolny sposób otrzymujemy: a x = 8⅓, a y = 1, b x = 2⅔, b y = -2, i możemy napisać wektory: a = 8⅓i + j, b =2⅔i -2j Prostopadłość wektorów sprawdzimy obliczając ich iloczyn skalarny, który dla wektorów prostopadłych ma wartość równą zeru. a b = a x b x + a y b y = 8⅓ 2⅔ + 1 (1) > 0, Zatem wektory te nie są wzajemnie prostopadłe. RZad14 Ponieważ suma wektorów, czyli ich wypadkowa ma wartość równą zeru, więc wektory te mają taką samą długość i są przeciwnie skierowane. RZad15 Największa długość jest równa sumie obu długości (przy wektorach o ty samym kierunku i zwrocie) i wynosi 12 jednostek, a najmniejsza długość odpowiada ich różnicy (przy wektorach o tym samym kierunku, ale przeciwnych zwrotach) i wynosi 2 jednostki. RZad16 Jeżeli wymiary A i B są identyczne, to sens mają te działania:

10 A-B zmiany wartości, na przykład: czasu, położenia, siły, temperatury, napięcia itd. A+B suma wartości, na przykład: czasu, położenia, prędkości, siły itd. A/B krotność zmiany wartości, na przykład ile razy przyspieszenie jest mniejsze na Księżycu A B pola powierzchni, potęgi wartości Jeżeli wymiary A i B są różne, to sens mają tylko te działania: A/B definicje nowych wielkości, na przykład: prędkość, ciśnienie, moc, natężenie prądu, itd. A B definicje nowych wielkości, na przykład: praca, moment siły, moc prądu, itd. RZad17 A ma taki sam wymiar, jak położenie x, czyli metr (m), a ponieważ argument funkcji sin(ωt) jest bezwymiarowy to ω ma wymiar odwrotności czasu, czyli sekunda -1 (s -1 ). RZad18 Równość a d =v α R β przepiszemy używając wymiarów wielkości: długość/(czas) 2 = [długość/(czas)] α (długość) β = (długość) α+β /(czas) α wynika stąd, że α+β = 1, a α=2, zatem β = 1-2 = -1, i równanie na przyspieszenie ma postać: a d = v 2 R -1 = v 2 /R RZad19 a)objętość plamy oleju na wodzie V obliczymy z masy m i gęstości ρ: V=m/ρ, można ją też obliczyć z wymiarów plamy: jej średnicy d i wysokości h, która jest właśnie poszukiwaną średnicą cząsteczki oleju: V=πd 2 h/4 i porównując oba wyrażenia otrzymujemy m/ρ = πd 2 h/4, skąd obliczamy h: Odpowiedź: Średnica molekuły oleju jest rzędu kilku nanometrów. b)liczbę ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym oszacujemy dzieląc masę tej ilości piasku (czyli jego gęstość) przez masę jednego ziarenka, która wynosi:

11 Zatem ilość ziarenek jest: Odpowiedź: W metrze sześciennym piasku jest około 15 milionów takich ziarenek. RZad20 Jeżeli kartonikiem z otworkiem po igle w środku, rzucimy w słoneczny dzień jego cień na białą kartkę, to na tej kartce zauważymy jasną plamkę, której średnica rośnie, gdy oddalamy kartonik. Plamka ta jest obrazem Słońca utworzonym przez promienie przechodzące po liniach prostych przez otworek. Kąt między skrajnymi promieniami jest taki sam po obu stronach kartonika, więc stosunek średnicy Słońca D do jego odległości od kartonika (czyli jego odległości od Ziemi L) jest taki sam, jak stosunek średnicy obrazu Słońca d do jego odległości l od otworka w kartoniku. Zatem D = L d/l. By wykonać taki pomiar, warto na kartce narysować kółeczko o średnicy np. 5 mm i zmierzyć odległość kartonika potrzebną do wypełnienia obrazem Słońca tego kółeczka. Słooce o średnicy D D Kartonik z małym otworkiem Ekran z obrazem Słooca o średnicy d d L l Moneta może też być bezpiecznie dla wzroku użyta do oszacowania średnicy Słońca, ponieważ cień monety oddalanej od kartki jest otoczony widocznym wyraźnie półcieniem. Wyznaczenie odległości, w jakiej znika cień, a pozostaje tylko półcień pozwala w taki sam sposób oszacować średnicę Słońca.

12 Słooce o średnicy D Obiekt o średnicy d Cieo Półcieo Odległośd do Słooca, L Długośd cienia, l RZad21 Przeliczenie wszystkich monet trwało by10 9 (miliard) sekund. Zajęło by to: Pracując 8 godzin na dobę bez dni wolnych, trwało by takie liczenie 93 lata! Odpowiedź: Ta kusząca oferta jest, niestety, do odrzucenia! ***