GRUPA PODSTAWOWA GRZEGORZ ZBOROWSKI 1. Definicja i podstawowe poj cia Pierwszym krokiem do zdeniowania grupy podstawowej b dzie poj cie drogi w przestrzeni topologicznej, czyli mówi c nie±ci±le, krzywej ª cz cej dwa dowolne punkty, przy czym nie wymagamy od tej krzywej nic ponad to, by skªadaªa si z jednego kawaªka mo»e w szczególno±ci przecina si sama ze sob, mie ostre k ty lub by po prostu punktem. X b dzie przestrzeni topologiczn, a I oznacza przedziaª [0, 1]. Denicja 1. Drog w przestrzeni X nazywamy ci gªe odwzorowanie f : I X. Jak do± ªatwo zauwa»y, takich dróg jest bardzo du»o nawet na prostej rzeczywistej. Przykªadem mo»e by ruch punktów po odcinku z ró»nymi pr dko±ciami, daj cy ró»nie sparametryzowane drogi na tym odcinku. Wprowadzimy zatem pewn relacj równowa»no±ci. Denicja 2. Dwie drogi f 0 i f 1 w przestrzeni X s homotopijne, f 0 f 1, gdy istnieje ci gªe odwzorowanie F : I I X takie,»e F (s, 0) = f 0 (s) oraz F (s, 1) = f 1 (s) dla wszystkich s I. Odwzorowanie F nazywamy homotopi dróg. Mo»emy te» zdeniowa homotopi mi dzy drogami f 0 i f 1 jako rodzin ci gªych odwzorowa«{f t : I X} t I takich,»e odwzorowanie F (s, t) := f t (s) jest ci gªe. Od razu wida,»e obie denicje s równowa»ne. Je»eli F (0, t) = x 0 oraz F (1, t) = x 1 dla wszystkich t I, to powiemy,»e homotopia F zachowuje punkty ko«cowe. Od tego momentu, gdy mówimy o homotopii mi dzy drogami, mamy na my±li homotopi zachowuj c punkty ko«cowe. Przykªad 1. Homotopie liniowe. Ka»de dwie drogi f 0 i f 1 w dowolnym podzbiorze wypukªym topologicznej przestrzeni wektorowej (w szczególno±ci R n ) s homotopijne przez odwzorowanie F (s, t) = (1 t)f 0 (s)+tf 1 (s), zwane homotopi liniow. Twierdzenie 1. Relacja homotopijno±ci dróg jest relacj równowa»no±ci w zbiorze dróg. Dowód. Niech f b dzie dowoln drog w przestrzeni X. Zwrotno±, f f, otrzymujemy za pomoc homotopii staªej, F (s, t) = f(s) dla wszystkich s, t I. 1
2 GRZEGORZ ZBOROWSKI Niech teraz f 0 f 1 dla pewnych dróg f 0 i f 1, przez homotopi F. Homotopi f 1 f 0 deniujemy wówczas za pomoc wzoru G(s, t) := F (s, 1 t) (homotopia odwrotna do F ). Mamy wi c symetryczno± relacji. Pozostaje udowodni przechodnio±. Niech f g oraz g h dla pewnych dróg f, g, h. Oznaczmy homotopi mi dzy f i g przez G, a homotopi mi dzy g i h przez H. Homotopi F mi dzy f i h deniujemy wówczas nast puj co: { G(s, 2t), t [0, 1 F (s, t) = 2 ], H(s, 2t 1), t [ 1 2, 1]. Ci gªo± tego odwzorowanie wynika z ci gªo±ci G i H. Oznaczmy przez [f] klas homotopii drogi f, czyli klas równowa»no±ci wzgl dem relacji bycia homotopijnym. Elementami grupy podstawowej s klasy homotopii dróg o tym samym pocz tku i ko«cu. Denicja 3. P tl zaczepion w punkcie x 0 X nazywamy drog f : I X tak,»e f(0) = f(1) = x 0. Punkt x 0 b dziemy nazywali punktem zaczepienia. Niech π 1 (X, x 0 ) oznacza zbiór wszystkich klas homotopii p tli w przestrzeni X zaczepionych w punkcie x 0. Zdeniujemy teraz pewne dziaªanie wewn trzne w π 1 (X, x 0 ). Je»eli drogi f i g speªniaj warunek f(1) = g(0), to mo»emy zdeniowa ich iloczyn jako { f(2s), s [0, 1 (f g)(s) = 2 ] g(2s 1), s [ 1 2, 1]. Z denicji tej wynika,»e iloczyn dróg jest równie» drog. Iloczyn dróg zachowuje homotopie w tym sensie,»e je»eli f 0 f 1, g 0 g 1 oraz speªnione s warunki f 0 (1) = g 0 (0) i f 1 (1) = g 1 (0), to f 0 g 0 f 1 g 1. Wida,»e iloczyn dwu dowolnych p tli zaczepionych w tym samym punkcie jest dobrze zdeniowany i jest p tl zaczepion w tym»e punkcie. Twierdzenie 2. Zbiór π 1 (X, x 0 ) wraz z dziaªaniem mno»enia dróg jest grup, zwan grup podstawow przestrzeni X w punkcie x 0. Dowód. W celu zwi zªego zapisu dowodu zdeniujmy poj cie reparametryzacji drogi f jako drog f ϕ, gdzie ϕ : I I jest odwzorowaniem ci gªym oraz ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = 1. Mamy f f ϕ przez homotopi f ϕ t, gdzie ϕ t (s) = (1 t)ϕ(s) + ts. Na pocz tek udowodnimy,»e dziaªanie mno»enia klas homotopii jest ª czne. Niech f, g, h b d drogami w X takimi,»e f(1) = g(0) i g(1) = h(0). Iloczyny (f g) h i f (g h) s wtedy dobrze zdeniowane, a f (g h) jest reparametryzacj (f g) h przez funkcj 1 2 s, s [0, 1 2 ], ϕ(s) := s 1 4, s [ 1 2, 3 4 ], 2s 1, s [ 3 4, 1].
GRUPA PODSTAWOWA 3 Ograniczaj c si do klas homotopii p tli zaczepionych w x 0 dostajemy ª czno± dziaªania w π 1 (X, x 0 ). Kolejnym krokiem b dzie pokazanie istnienia elementu neutralnego. Niech f : I X b dzie ustalon drog w X i niech c b dzie drog staª : c(s) = f(1). Wida,»e f c jest reparametryzacj f, wi c f c f. Podobnie, je±li c(s) = f(0), to c f f. Wobec tego, dla dowolnej p tli f zaczepionej w punkcie x 0 i p tli staªej c(s) = x 0 pokazali±my,»e c f f c f. Ostatnim elementem dowodu jest pokazanie,»e ka»da klasa homotopii w π 1 (X, x 0 ) ma klas odwrotn. Niech g b dzie dowoln drog i g(0) = x 0, g(1) = x 1. Drog odwrotn ḡ deniujemy przez ḡ(s) = g(1 s). Droga g ḡ jest homotopijna z drog staª c(s) = g(0) przez homotopi {f t g t } t I, gdzie { f(s), s [0, 1 t] f t (s) = f(1 t), s [1 t, 1], a {g t } t I jest homotopi odwrotn do {f t } t I. Analogicznie mozna pokaza,»e ḡ g c 1, gdzie c 1 (s) = x 1. Nasuwa si teraz naturalne pytanie o zwi zek mi dzy grupami π 1 (X, x 0 ) i π 1 (X, x 1 ). Gdy punkty x 0 i x 1 mo»na poª czy drog h (czyli h(0) = x 0 i h(1) = x 1 ), odpowied¹ jest bardzo prosta. Twierdzenie 3. W powy»szej sytuacji odwzorowanie β h : π 1 (X, x 1 ) π 1 (X, x 0 ) zdeniowane przez β h ([f]) = [h f h] jest izomorzmem. Dowód. Odwzorowanie β h jest dobrze zdeniowane poniewa», je»eli {f t } t I jest homotopi p tli p i q zaczepionych w punkcie x 1, to {h f t h} t I jest homotopi p tli h p h oraz h q h zaczepionych w punkcie x 0. By pokaza,»e β h jest homomorzmem, wystarczy zauwa»y,»e Poniewa» β h ([f g]) = [h f g h] = [h f h h g h] = β h ([f]) β h ([g]). β h β h([k]) = β h ([ h k h]) = [h h k h h] = [k], to β h jest homomorzmem odwrotnym do β h. Tak samo pokazujem,»e (β h β h )([f]) = [f], wi c β h jest izomorzmem. Z powy»szego twierdzenia otrzymujemy natychmiastowy wniosek,»e je»eli przestrze«x jest drogowo spójna, czyli ka»de dwa jej punkty mo»na poª czy drog, to grupa π 1 (X, x 0 ) jest niezale»na od punktu x 0 (z dokªadno±ci do izomorzmu). Piszemy wtedy π 1 (X) zamiast π 1 (X, x 0 ). Przykªad 2. Dla dowolnego podzbioru wypukªego U topologicznej przestrzeni wektorowej X (np. R n ) mamy π 1 (U) = 0. Dzieje si tak, poniewa», jak pokazali±my w poprzednim przykªadzie, ka»de dwie drogi w zbiorze U s homotopijne.
4 GRZEGORZ ZBOROWSKI Ka»d przestrze«drogowo spójn z trywialn grup podstawow nazywamy przestrzeni jednospójn. W celu podania przykªadu przestrzeni, która nie jest jednospójna b dziemy musieli na chwil odej± od gªównego tematu. Jak si jednak pó¹niej oka-»e, ta dygresja zaopatrzy nas w wa»ne narz dzie do obliczania grup podstawowych przestrzeni. Najpierw jednak podamy twierdzenie o zwi zku grupy podstawowej produktu dwóch przestrzeni z grupami podstawowymi ka»dej z tych przestrzeni z osobna. Twierdzenie 4. Dla drogowo spójnych przestrzeni topologicznych X i Y grupa π 1 (X Y ) jest izomorczna z π 1 (X) π 1 (Y ). Szkic dowodu. Šatwo sprawdzi,»e X Y jest przestrzeni drogowo spójn. Twierdzenie wynika z prostego faktu,»e odwzorowanie f : Z X Y jest ci gªe wtedy i tylko wtedy, gdy wspóªrz dne g : Z X oraz h : Z Y zdeniowane przez f(x) = (g(x), h(x)) s ci gªe. W takim przypadku ka»dej p tli w X Y zaczepionej w punkcie (x 0, y 0 ) odpowiadaj p tle w X i Y zaczepione odpowiednio w x 0 i y 0. Podobnie ka»dej homotopii p tli w X Y odpowiadaj homotopie p tli w X i Y. 2. Przestrzenie nakrywaj ce Denicja 4. Nakryciem przestrzeni topologicznej X nazywamy przestrze«topologiczn X wraz z ci gª surjekcj p : X X tak,»e istnieje pokrycie otwarte {U α } przestrzeni X speªniaj ce nast puj cy warunek: dla ka»dego α zbiór p 1 (U α ) jest sum rodziny parami rozª cznych zbiorów otwartych w X, przy czym p Vβ : V β U α jest, dla ka»dego β, homeomorzmem. Przestrze«X nazywamy, w powy»szej sytuacji, przestrzeni nakrywaj c, a nakryciem czasem nazywa si samo odwzorowanie p. Zbiór p 1 (x), gdzie x X nazywamy wªóknem nakrycia. Zauwa»my,»e nasza denicja wyklucza tzw. nakrycia rozgaª zione. Przykªad 3. Krzywa ±rubowa S w R 3 o przedstawieniu parametrycznym R s (cos 2πs, sin 2πs, s) S wraz z odwzorowaniem p : S S 1 b d cym rzutowaniem na pierwsze dwie wspóªrz dne jest nakryciem okr gu S 1. Nakryciem okr gu S 1 jest równie» para (R, p), gdzie p : R t (sin t, cos t) S 1. Dzi ki parametryzacji krzywej ±rubowej S przez parametr t przebiegaj cy caªy zbiór liczb rzeczywistych, pierwsze nakrycie mo»emy traktowa jako geometryczn interpretacj drugiego. Przykªad 4. Odwzorowanie p : S 1 S 1 zdeniowane przez p(z) = z n jest n-krotnym nakryciem okr gu.
GRUPA PODSTAWOWA 5 Jak wida na powy»szych przykªadach, jedna przestrze«topologiczna mo-»e mie wiele przestrzeni nakrywaj cych. Istotn cech nakry jest zachowanie wzgl dem ci gªych odwzorowa«f : Y X, gdzie X i Y s przestrzeniami topologicznymi. Niech p : X X b dzie nakryciem przestrzeni X. Dla ka»dego takiego odwzorowania mo»emy zdeniowa odwzorowanie f : Y X, speªniaj ce warunek f = p f, zwane podniesieniem odwzorowania f. Twierdzenie 5. Niech p : X X b dzie nakryciem przestrzeni X, a {ft : Y X} t I homotopi. Zaªó»my,»e Y jest spójn przestrzeni topologiczn oraz,»e istnieje podniesienie f 0 : Y X odwzorowania f 0. Istnieje wówczas dokªadnie jedna homotopia { f t : Y X} t I podnosz ca {f t } t I. Przyjmuj c,»e Y jest przestrzeni jednopunktow, uzyskamy wªasno± podnoszenia dróg dla nakrycia p dla ka»dej drogi f : I X, ka»dego x 0 X i ka»dego elementu x 0 p 1 (x 0 ) takiego,»e f(0) = x 0, istnieje dokªadnie jedna droga f : I X podnosz ca f i zaczynaj ca si w x 0. Gdy Y = I, widzimy,»e ka»da homotopia {f t } t I drogi f 0 : I X podnosi si do homotopii { f t } t I dla dowolnego podniesienia f 0 drogi f 0. Podniesienie f t jest homotopi ustalaj c punkty ko«cowe, poniewa» gdy t si zmienia, to oba punkty ko«cowe f t przebywaj drogi b d ce podniesieniami drogi staªej, wi c staªe. 3. Przestrzenie z nietrywialn grup podstawow Gªównym wynikiem tej cz ±ci jest twierdzenie o grupie podstawowej okr gu S 1. Twierdzenie 6. Grupa podstawowa okr gu S 1 jest izomorczna z grup (Z, +) przez odwzorowanie Φ : Z π 1 (S 1 ), które ka»dej liczbie caªkowitej m przyporz dkowuje klas homotopii p tli ω m (s) = (cos 2πms, sin 2πms). Dowód. Idea dowodu polega na porównywaniu dróg w S 1 i R, gdzie R jest nakryciem okr gu zdeniowanym w przykªadzie 3. Ka»d p tl ω m w S 1 mo»emy podnie± do drogi ω m w R, o pocz tku w 0, danej przez ω m (s) = ms. Droga ta owija si w wokóª krzywej ±rubowej m razy w dóª, gdy m < 0, lub w gór, gdy m > 0. Zauwa»my teraz,»e mo»emy zmodykowa denicj odwzorowanie Φ w nast puj cy sposób. Niech Φ(m) b dzie równe klasie homotopii p tli p f, gdzie f : I R jest dowoln drog o pocz tku w zerze i ko«cu w m. Droga f jest homotopijna z ω m przez homotopi liniow (1 t) f + t ω m, wi c p f jest homotopijne z p ω m = ω m, a nowa denicja Φ zgadza si ze star. Na pocz tek wyka»emy,»e Φ jest homomorzmem. Niech n Z i niech τ n : R R b dzie translacj o n (τ n (x) = x + n). Wtedy ω n (τ n ω m ) jest drog w R, o pocz tku w zerze i ko«cu w m + n. Wobec tego Φ(m + n)
6 GRZEGORZ ZBOROWSKI jest klas homotopii p tli w S 1 b d cej obrazem drogi ω n (τ n ω m ) przez odwzorowanie p. Obraz ten to ω n ω m, wobec czego Φ(m + n) = Φ(m)Φ(n). By pokaza,»e Φ jest surjekcj we¹my dowoln p tl f : I S 1 zaczepion w (1, 0) reprezentuj c element [f] grupy podstawowej π 1 (S 1 ). Wskutek wªasno±ci podnoszenia dróg mo»emy t p tl podnie± do drogi f w R, o pocz tku w zerze, i to podniesienie jest jedyne. Poniewa» (p f)(1) = f(1) = (1, 0) oraz p 1 (1, 0) = Z, to droga f ma koniec b d cy pewn liczb caªkowit n, co daje nam Φ(n) = [p f] = [f]. Na koniec poka»emy,»e Φ jest injekcj. Zaªó»my,»e Φ(n) = Φ(m) dla pewnych n, m Z czyli,»e ω n ω m przez pewn homotopi {f t } t I. W szczególno±ci f 0 = ω m i f 1 = ω n. Ponownie korzystaj c z twierdzenia 5 widzimy,»e homotopia {f t } t I oraz p tle f 0 i f 1 podnosz si do jedynej homotopii { f t } t I oraz dróg ω m = f 0 i ω n = f 1 o pocz tku w zerze. Poniewa» { f t } t I jest homotopi dróg, to m = ω m (1) = f 0 (1) = f 1 (1) = ω n (1) = n. Dzi ki twierdzeniu 4 mo»emy od razu uzyska kolejny przykªad przestrzeni z nietrywialn grup podstawow. Przykªad 5. Jak wiemy, torus T = S 1 S 1 jest iloczynem kartezja«skim dwóch okr gów, wobec tego jego grupa podstawowa π 1 (T ) jest równa Z Z. To,»e jaka± p tla na torusie ma klas homotopii (p, q), mo»na rozumie jako p-krotny obieg wokóª jednego egzemplarza S 1 i q-krotny wokóª drugiego. Korzystaj c z powy»szego przykªadu podamy konstrukcj przestrzeni, której grupa podstawowa nie jest przemienna. Przykªad 6. Niech T b dzie torusem jak w poprzednim przykªadzie. Wybierzmy jeden punkt p na zewn trznej cz ±ci torusa i oznaczmy przez T 1 torus z wykªutym punktem p. Mo»na pokaza,»e grupa podstawowa π 1 (T 1 ) jest nieprzemienna. Idea dowodu polega na wybraniu dwu p tli f i g zaczepionych w punkcie r jak poªudniki tak, by mi dzy nimi znajdowaª si punkt p. Nast pnie nale»y udowodni,»e bez ruszania punktu r nie da si zdeformowa jednej p tli w drug, wi c obie p tle reprezentuj ró»ne elementy w grupie podstawowej. Zauwa»my jednak,»e istnieje p tla h zaczepiona w punkcie r, która obiega torus po wewn trznej stronie, jak równole»nik, oraz h f = g h. Gdyby grupa podstawowa tej przestrzeni byªa abelowa, to obie p tle byªyby homotopijne. Sprzeczno±. 4. Zwi zek przestrzeni nakrywaj cych z grup podstawow Jak pokazali±my wcze±niej, ka»da przestrze«topologiczna mo»e mie wiele przestrzeni nakrywaj cych. Przy pewnych zaªo»eniach dotycz cych spójno±ci
GRUPA PODSTAWOWA 7 mo»na jednak pokaza,»e dla ka»dej przestrzeni topologicznej X istnieje dokªadnie jedna jednospójna przestrze«nakrywaj ca X, zwana uniwersaln przestrzeni nakrywaj c przestrzeni X. Poka»emy teraz»e pewna podgrupa grupy autohomeomorzmów uniwersalnej przestrzeni nakrywaj cej p : X X jest izomorczna z grup podstawow przestrzeni nakrywanej X. Gdyby X nie byªa uniwersalnym nakryciem, to co prawda nie byªoby izomorzmu, ale zachodziªyby inne, sªabsze zwi zki. Dla uªatwienia zaªó»my,»e X jest drogowo spójna. Zdeniujemy najpierw potrzebn nam grup odwzorowa«. W tym celu wprowadzimy nast puj ce poj cie. Denicja 5. Izomorzmem przestrzeni nakrywaj cych p 1 : X1 X i p 2 : X2 X nazywamy homeomorzm f : X1 X 2 speªniaj cy warunek zachowywania wªókien p 1 = p 2 f. Warunek ten oznacza,»e dla ka»dego x X wªókno p 1 1 (x) przechodzi we wªókno p 1 2 (x). Dla ustalonego nakrycia p : X X deniujemy przeksztaªcenie przestrzeni nakrywaj cej (deck-transformacj ) X jako izomorzm przestrzeni nakrywaj cych X X. Wszystkie takie przeksztaªcenia tworz grup G( X) przeksztaªce«przestrzeni nakrywaj cej. Twierdzenie 7. Je»eli p : G( X) jest izomorczna z π 1 (X). X X jest nakryciem uniwersalnym, to grupa Dowód tego twierdzenia przedstawimy na przykªadzie krzywej ±rubowej nakrywaj cej okr g (przykªad 3). Transformacjami przestrzeni nakrywaj cej s translacje o n zwoi do góry lub w dóª tak, by po translacji ka»dy punkt pozostawaª w swoim wªóknie. Wida,»e okre±lenie przesuni cia jednego punktu przestrzeni nakrywaj - cej deniuje caªe odwzorowanie. Ta wªasno± zachodzi dla dowolnej przestrzeni nakrywaj cej. Ka»demu przesuni ciu o n zwoi przyporz dkowujemy teraz klas homotopii p tli nawijaj cej si n razy na okr g w odpowiedni stron. Na koniec podamy przykªad przestrzeni, która w przeciwie«stwie do tego, co prezentowali±my do tej pory, ma sko«czon i nietrywialn grup podstawow. Przykªad 7. Nakrycie p : S 2 RP 2 dane przez sklejenie ka»dych dwu punktów antypodycznych jest nakryciem uniwersalnym pªaszczyzny rzutowej RP 2. Przez punktu antypodyczne rozumiemy punkty le» ce na tej samej prostej przechodz cej przez ±rodek sfery. Przeksztaªcenie antypodyczne x x sfery S 2 w ni sam jest tu tranfsormacj przestrzeni nakrywaj - cej. Mo»na pokaza,»e wraz z identyczno±ci odwzorowanie to tworzy grup przeksztaªce«przestrzeni nakrywaj cej S 2. Wobec twierdzenia 7, π 1 (RP 2 ) jest zatem izomorczna z Z 2. Zauwa»my,»e ka»da droga w S 2 ª cz ca punkty antypodyczne generuje p tl w RP 2. Zªo»enie takich dwóch p tli w RP 2 podnosi si z kolei do p tli
8 GRZEGORZ ZBOROWSKI w S 2. Poniewa» S 2 jest jednospójna, to nasze zªo»enie p tli w RP 2 jest homotopijne z identyczno±ci, czyli ka»da klasa homotopii p tli na rzeczywistej pªaszczy¹nie rzutowej ma rz d 2. Literatura [AT] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009. [RD] Roman Duda, Wprowadzenie do topologii cz ± II, PWN, 1986.