The Wroclaw School of Banking Research Journal ISSN 1643-7772 I eissn 2392-1153 Vol. 15 I No. 5 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu ISSN 1643-7772 I eissn 2392-1153 R. 15 I Nr 5 Tesowanie współzależności w rozwoju gospodarczym Auor: Anna Janiga-Ćmiel Absrak Celem zaprezenowanych w niniejszej pracy badań jes analiza współzależności kszałowania się rozwoju gospodarczego Polski i Wielkiej Bryanii. Przedsawiony zosanie wielorównaniowy model GARCH, prezenujący wzajemne relaywne powiązania w zakresie dynamiki rozkładów empirycznych ze szczególnym zwróceniem uwagi na dynamikę warości oczekiwanych i wariancji. Słowa kluczowe: wielorównaniowy model GARCH, specyfikacja modelu, rozwój gospodarczy. JEL: C01, C32, C51. Wprowadzenie Przeobrażenia, jakim podlegają sysemy społeczno-gospodarcze, ich kszał i o, jak będą się kszałowały, są wynikiem działania szeregu różnych czynników. Gospodarka, wzros gospodarki są pojęciami bardzo skomplikowanymi. Cykle koniunkuralne i związane z nimi recesje wysępują od zawsze. Przyczyny kszałowania się realizacji cykli nie zawsze są znane. Określenie ich wymaga zazwyczaj skomplikowanych rozwiązań, doświadczeń i czasochłonnych obserwacji. Pozyskane w en sposób dane saysyczne pozwalają sprecyzować kierunki dalszego poziomu rozwoju gospodarczego. Poszukujemy przyczyn ich powsawania, dążymy do ego, by wzbogacić nasze doświadczenia i obserwacje. Jedne zjawiska podlegają samoczynnie zmianom, inne wpływają na zmiany w drugich zjawiskach. W lieraurze świaowej znajdujemy różnorodne eorie związane ze wzrosem gospodarczym czy eż z zanikiem cykli koniunkuralnych w okresach długorwałej prosperiy, kóre powsawały na przesrzeni wielu la (Drozdowicz-Bieć 2006). Ekonomiści zauważają posępującą synchronizację cykli koniunkuralnych na świecie (Skrzypczyński 2006), co związane jes z rozwojem globalizacji, posępem echnicznym, zmianami poliycznymi. Fak, że każdy cykl różni się od nasępnego i poprzedniego, swarza problemy w konsruowaniu modeli, znajdowaniu uniwersalnych narzędzi kszałowania gospodarek. Należy więc w badaniach odpowiednio dobrać apara maemayczny, za pomocą kórego można przeprowadzać analizy. Analiza ekonomeryczna pozwala na wyznaczenie modeli współzależności wysępujących między czynnikami kszałującymi dynamikę rozwoju gospodarczego. W celu uzyskania spójnego źródła kszałującego rozwój gospodarczy wprowadzić możemy zmienne syneyczne, kóre sanowią punk wyjścia konsrukcji modeli ekonomerycznych, modeli maemaycznych. Wybrane modele eoreyczne badanego zagadnienia sanowią przybliżony opis współzależności mających miejsce w rozparywanym zagadnieniu i sanowią jednocześnie obraz badanej rzeczywisości. Wielorównaniowe modele GARCH są sosowane do badania zależności między procesami rozwoju w różnych populacjach. Zbadać można między innymi niezmienność lub wzros korelacji w krókim lub długim okresie spowodowanym globalizacją lub liberalizacją wymagań sawianych Anna Janiga-Ćmiel Wydział Zarządzania Kaedra Maemayki Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eissn 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5 funkcjonowaniu zjawisk. Zbadać można wpływ posępu echnologicznego w poszczególnych populacjach i odpowiedni wpływ jednej populacji na drugą. Modele GARCH spełniają również ważną rolę przy badaniu przepływu informacji między badanymi populacjami. Duże znaczenie przypisuje się modelom GARCH przy opisie zmienności rozwoju badanego zjawiska. Modele GARCH są odporne na wszelkie zmiany syuacji w czasie powodujące niesabilność związków. Są odporne na szybkość zmian w przekazywanej informacji i sanowią uniwersalne podejście do wygładzania zniekszałceń i przekłamań w przekazywanej informacji. Wielorównaniowe modele (Doman, Doman 2004) charakeryzuje duża zgodność z rzeczywisością badanego zjawiska. Wielowymiarowe ujęcie modelowania rozwojów gospodarczych Złożone procesy ekonomiczne możemy opisywać, wykorzysując między innymi auoregresyjny model klasy GARCH. Model en podlegał z upływem czasu skomplikowanym modyfikacjom i rozszerzeniom. W lieraurze znajdujemy dziesiąki możliwych rozszerzeń modelu GARCH zaproponowanych przez badaczy (Fiszeder 2009)] (Bollerslev, Ding, Granger, Hafner, Lauren, Chou i Kroner, Bera i Higgins, Engle i Nelson, Gourieroux, Osiewski i Pipień, Tsay, Bauwens, Lauren i Rombous, Weron, Brzeszczyński i Kelm, Doman, Fiszeder). Nieusająca modyfikacja posaci modeli zmienności zależna była od wysępujących w szeregach czasowych własności. Rozszerzenia modelu ([Hosking 1980) polegały w szczególności na dołączaniu dodakowych paramerów srukuralnych w równaniu zmienności lub na ransformacji posaci ego równania. Jedną z największych zale analizowanych modeli z rodziny GARCH jes możliwość rozbudowywania równań przez wprowadzenie różnego ypu zmiennych egzogenicznych. Zmodyfikowany model pozwala na przykład na powiązanie dynamiki zmienności z procesami mającymi miejsce w ooczeniu gospodarczym rynku oraz przeprowadzenia analizy zaisniałych zależności. Model DCC-GARCH (Franco i Zakoian 2009), zosał zaproponowany przez Engele a, naomias Bollerslev (Bollerslev 2009) wprowadził do badań model sałych warunkowych współczynników korelacji CCC-GARCH. Model en zakłada (Wang 2003), że zmieniające się w czasie warunkowe kowariancje są proporcjonalne do iloczynu odpowiednich warunkowych odchyleń sandardowych. Modele DCC i CCC sosujemy do opisu dynamiki rozwoju zjawisk (Doman, Doman 2009), scharakeryzowanych za pomocą wielowymiarowych szeregów czasowych, przy czym model CCC w przypadku uzyskania sałej macierzy korelacji przy upływie czasu, a przy zmiennej macierzy korelacji model DCC. Wielowymiarowe procesy sochasyczne sanowią losowy opis dynamiki zjawiska, w kórym mamy do czynienia z różnego rodzaju charakerem współzależności między poszczególnymi zmiennymi. W procesach gospodarczych san oczekiwany zjawiska jes zmienny i zależny zasadniczo od upływu czasu oraz od innych czynników specyficznych dla rozparywanej gospodarki: (1) Gdzie: o jednoska czasowa związana z numeracją okresów badania empirycznego w laach 2001 2012, czyli = 1,, 12, o uwarunkowania związane z działalnością gospodarczą w poprzednich laach kszałujące zarówno san oczekiwany jak i czynniki losowe. Wielorównaniowy model GARCH (Franco, Zakoian 2009) wymaga sprecyzowania odrębnego opisu realizacji warości oczekiwanych i zmienności wariancji. W akiej syuacji proces sochasyczny ma losowość skupioną w składniku losowym i przedsawia się nasępująco: y = µ + ε, (2) gdzie: (3) D jes macierzą diagonalną lub sprowadzaną do posaci kanonicznej: h 1 0 (4) D = 0 hn Proces sochasyczny rozparujemy w przesrzeni N-wymiarowej. Proces z jes również procesem N-wymiarowym o warościach oczekiwanych równych zero (Nakaani i Teräsvira 2009a). z z1, = (5) z n, 662
Anna Janiga-Ćmiel Tesowanie współzależności w rozwoju gospodarczym Wekor sanów oczekiwanych procesu sochasycznego:, (6) µ 1, µ = µ n, Za pomocą R oznaczamy macierz korelacji między zmiennymi worzącymi proces sochasyczny:, (7) Z kolei o zmienna losowa (Nakaani 2010), kórej warunkowa warość oczekiwana jes równa zero w syuacji, gdy uwarunkowania sanowią sany z okresów wcześniejszych. (8) Przy powyższych założeniach warunkowy san oczekiwany wariancji i kowariancji składnika losowego przedsawiony jes za pomocą macierzy w nasępujący sposób: (9) Macierz definiujemy, zaem nasępująco: (10) Macierz jes odpowiednio macierzą podobieńswa macierzy i R. W syuacji, gdy R jes macierzą sałą, wówczas macierz kowariancyjna jes również macierzą sałą. Kolejne wekory macierzy wyznaczamy z wykorzysaniem modelu GARCH(p,q) i wekory e przedsawione są w nasępujący sposób: (11) h1, q p (2) h = = a0 + Aiε i + B jh j i = 1 j = 1 h N, Zaprezenowany N-wymiarowy model GARCH(p,q) zawiera kombinację liniową wekorów składnika losowego i macierzy wariancji i kowariancji. Wysępujące macierze, zawierają oszacowania ocen paramerów srukuralnych kolejnych równań wielorównaniowego modelu i są macierzami kwadraowymi sopnia N. W modelu ym wekor wyznaczamy nasępująco: (12) Wariancje losowe procesu sochasycznego zapisujemy w posaci: (13) (14) oraz opóźnionych wariancji dla p okresów wsecz. Zaprezenowany wielorównaniowy model dynamiki za pomocą równań (11) jes rozszerzonym modelem ([Nakaani 2010), DCC(EDCC)- GARCH(p,q). W syuacji, jeżeli, są macierzami diagonalnymi, wówczas uwzględniany model jes modelem DCC-GARCH(p,q). Naomias, gdy są macierzami zerowymi, model upraszcza się do posaci modelu CCC-ARCH(p,q). Engle połączył właściwości modelu czynnikowego z modelem DCC (Engle 2002) i zaproponował model czynnikowy DCC, sanowiący jednak rozszerzenie czynnikowego modelu GARCH (Fiszeder 2009). Modyfikację modelu DCC zaproponowali również Engle i Kelly, wprowadzając założenie, że warunkowe współczynniki korelacji są idenyczne dla wszyskich par szeregów czasowych, modyfikację określono modelem DECO (Choi i Hyung 2011). W lieraurze znajdujemy również model DCC zaproponowany przez Tse i Tsui, kóry różni się od modelu DCC Engle a głównie parameryzacją macierzy korelacji. W przypadku zjawisk heeroskedasycznych wykazano, że wysarczający opis zjawiska gwaranują modele rzędu pierwszego. W przypadku modeli rzędu pierwszego macierz VECH wymaga oszacowania n(2n+1) paramerów. W przypadku modeli rzędu p i q najlepsze wyniki orzymujemy dla procesów ściśle sacjonarnych, jeżeli naomias mamy do czynienia z procesem niesacjonarnym, o rozparywać należy modele EDCC-GARCH(2,2). Doyczy o modeli procesów z heeroskedasycznością (Nakaani i Teräsvira 2009b). W en sposób wprowadzamy odpowiednio macierz do modelu uwzględniającą dynamikę macierzy korelacji. W szczególności, gdy badamy zjawisko obciążone wyłącznie auokorelacją i o zarówno w przypadku, gdy znana jes lub nieznana funkcja auokorelacji, wysarczy posłużyć się modelami rzędu p=q=4. Dla procesów uwzględniających heeroskedasyczność wyznaczamy model posaci: (15) 663
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eissn 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5 Wymagane jes dodakowo wyznaczenie paramerów zgodnie z przedsawioną srukurą modelu: (16) W modelu powyższym dokonano rozbicia na składową zależną od opóźnień składników losowych. Jes o składowa związana z macierzą. Druga składowa związana z macierzą zawiera opóźnienia uwarunkowań z przeszłości, kóre kszałują akualny poziom wariancji. Rozgraniczenia akiego dokonano, by rozróżnić czynniki kszałujące współzależność od ych czynników, kóre nie mają wpływu na dynamikę współzależności. Model en, jak już wcześniej zaznaczono, wymaga wyznaczenia modelu VECH dla oszacowania 10 paramerów. Paramery e przedsawiamy pomocniczo w posaci poniższych wekorów. Wekor: (17) Gdzie: - doyczy paramerów pierwszego równania, o znaczy jednej spośród wybranych obserwacji, naomias drugiego równania, czyli drugiej spośród wybranych obserwacji. Zgodnie z powyższym wekor przyjmuje posać: (18) Analogicznie wekor zawiera paramery: (19) Wprowadzamy pomocniczy wekor wariancji składników losowych: (20) W celu sprawdzenia, czy isnieją uwarunkowania sacjonarne procesu, obliczamy na podsawie orzymanego modelu pierwsze pochodne cząskowe,, względem i (Nakaani 2010). Pochodne e wyznaczamy nasępująco: Zauważmy, że przedsawione pochodne cząskowe nigdy nie przyjmują jednocześnie warości zero. Powierdzają o przedsawione rozwinięcia zawierające pochodne cząskowe rzędu pierwszego, a wśród nich wysępujące pochodne i-ej wariancji względem j-ego wekora. Pochodne są różne od zera, ponieważ wariancja nie jes sała. Naomias pochodne i-ej wariancji względem j-ej obserwacji byłyby równe zero, gdyby nie wysępowała współzależność w rozwoju analizowanych zjawisk. Różne od zera pochodne cząskowe świadczą o wysępowaniu współzależności w rozwoju zjawisk. Skoro dla nie wysępuje o ze względu na jes sałe i pochodna ze względu na wynosi zero. I odwronie, skoro dla nie wysępuje, o oznacza, że jes sała ze względu na i pochodna ze względu na Oznacza o, że w żadnym wypadku zjawisko nie będzie procesem sacjonarnym. Podsawą weryfikacji współzależności rozwojów gospodarczych są sany zjawisk przedsawione za pomocą wekorów ocen paramerów Wekory e są wekorami ocen modeli wariancji rozwojów gospodarczych, W modelach ych uwzględniono macierze oraz. Jeżeli macierze okażą się diagonalne, wówczas kowariancje badanych rozwojów gospodarczych będą równe zero, więc oznaczać o będzie niezależność rozwojów gospodarczych i wówczas wekory (18), (19) przyjmują posacie: (22) (23) Powyższe dwa wekory sanowią podsawę konsrukcji hipoezy głównej esu. : oraz Hipoeza alernaywna:. (24) (21) W rakcie weryfikacji przedmioowych hipoez badamy, czy wekor oraz wekor. Analizujemy saysyczną zgodność, przy usalonym poziomie isoności. Orzymanie równości obu par wekorów gwaranuje brak współzależności zjawisk w procesie rozwoju, ponieważ uzasadnia o wysępowanie zerowych współrzędnych odpowiedniego wekora. W przeciwnym wypadku należy powierdzić zachowanie współzależności rozwoju zjawisk. Jeżeli wykażemy słuszność ej hipoezy, wówczas 664
Anna Janiga-Ćmiel Tesowanie współzależności w rozwoju gospodarczym przy usalonym poziomie isoności możemy swierdzić, że rozwoje gospodarcze odbywają się w sposób skorelowany. Jeżeli naomias nie wykażemy saysycznej zgodności równości wekorów, wówczas hipoezę ę należy odrzucić i przyjąć hipoezę o niezależności rozwojów gospodarczych. Analiza zależności rozwoju gospodarczego Polski i Wielkiej Bryanii W celu przedsawienia analiz dla wybranych pańsw (Wielka Bryania, Polska) przygoowano dane empiryczne, korzysając z danych publikowanych przez Główny Urząd Saysyczny oraz na sronie Eurosau dane o rocznym poziomie PKB (Hellwig 1997). Wskaźnik PKB sanowi podsawową deerminanę zmian w rozwoju gospodarek i zarazem czynnik kszałujący wahania koniunkuralne. Jako okres analizy przyjęo laa od roku 2001 do roku 2012. Dane o rocznym poziomie PKB (Janiga-Ćmiel 2013) w rozparywanych krajach sprowadzono do poziomów porównywalnych w różnych okresach, sosując odpowiednie współczynniki wyrównania. Wyznaczono wskaźniki rozwoju gospodarczego, przyjmując je jako iloraz produku krajowego bruo do liczby ludności w danym kraju. PKB (Yamarone 2006) sanowi w pewnym ujęciu syneyczną charakerysykę syuacji ekonomicznej kraju. Jego warość i zmienność uzależnione są od wielu czynników sanowiących o rozwoju gospodarczym w rozparywanym kraju. Odniesiony do liczby ludności sanowi podsawową miarę poziomu koniunkury gospodarczej w kraju. Analizę poszerzono o dosępne w Rocznikach Saysycznych informacje na ema podobnych czynników, jakie przyjęo do opisu kszałowania zmienności rozwoju gospodarczego wybranych pańsw. Rozwoje gospodarcze pańsw, kórych gospodarki zosały poddane badaniu, mogą reprezenować rozwoje zależne od siebie lub niezależne. Wykrycie akich zależności z wykorzysaniem modeli GARCH wymaga analizy rozwoju gospodarczego uwzględniającego pary odpowiednich modeli. Przykład prezenuje porównanie Polski oraz Wielkiej Bryanii. Dla wybranych pańsw wyznaczono odpowiednie macierze,, zaprezenowane poniżej: (25) Model uwzględniający powyższe macierze jes nasępującej posaci: (26) (27) Gdzie odpowiednio: doyczy dynamiki rozwoju gospodarczego Polski, doyczy dynamiki rozwoju gospodarczego Wielkiej Bryanii. Pochodne cząskowe obliczono, aby zbadać, czy wariancje są zmienne, czy eż sałe przy upływie czasu. (28) Przedsawione pochodne cząskowe są zmienne przy upływie czasu. Wysępujące składniki dla i = 1,2,3,4 są różne od zera, ponieważ zawierają kwadray resz modelu GARCH. Pochodne cząskowe wariancji,, względem sanu rozwoju gospodarczego w poszczególnych gospodarkach są dodanie w przypadku symulującego oddziaływania gospodarek, a ujemne w przypadku desymulującego. Pary pochodnych cząskowych wysępujące w jednym równaniu nigdy nie będą przeciwnego znaku, czyli nigdy się nie zredukują. Oznacza o, że przedsawione czery pochodne cząskowe są różne od zera, co oznacza współzależność rozwojów gospodarczych. Macierze, nie są macierzami diagonalnymi. W syuacji, gdy macierze, nie są diagonalne, mamy do czynienia z rozwojami współzależnymi. Gdyby w analizowanym przypadku wszyskie pochodne cząskowe były sałe, wówczas w oparciu o określony poziomu ufności możemy swierdzić, że zależności przy upływie czasu są zachowane. Rozumiemy o w ym sensie, że mamy do czynienia ze wzrosem gospodarczym w obu krajach lub ze spadkiem. 665
The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN 1643-7772 I eissn 2392-1153 I Vol. 15 I No. 5 Wiadomo również, że macierze oraz mogą prezenować dowolny charaker, mogą być na przykład macierzami symerycznymi. Jeżeli nie są symeryczne, o z góry można przewidywać, że zachowanie współzależności zjawisk nie będzie miało miejsca. Wnioski W arykule zaprezenowano konsrukcję zmodyfikowanej posaci modelu DCC-GARCH. Nasępnie model en wykorzysano w meodzie weryfikacji dynamiki współzależności zjawisk ekonomicznych. Analizę przeprowadzono w oparciu o dane zebrane dla Polskii Wielkiej Bryanii. Orzymane wyniki przeprowadzonego badania współzależności rozwoju gospodarczego Polski oraz Wielkiej Bryanii powierdzają wysępującą współzależność dynamiki. Analogiczne badania można przeprowadzić dla innych par krajów UE orzymując w pewnym sopniu obraz rozwoju gospodarczego w badanych parach krajów. Bibliografia Bollerslev T. (2009), Modelling he Coherence In Shor-Run Nominal Exchange Raes: A Mulivariae Generalized ARCH Approach, Review of Economics and Saisics, 72. Choi K., Hyung N. (2011), Measuring Volailiy Spillovers, Deparmen of Economics, Universiy of Seoul, Seoul, Korea. Drozdowić-Bieć M. (2006), Wskaźniki wyprzedzające. Prace i maeriały INSTYTUTU ROZWOJU GOSPODARCZEGO, Warszawa, SGH. Doman M., Doman R. (2004), Ekonomeryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego. Poznań, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu. Doman M., Doman R. (2009), Modelowanie zmienności i ryzyka, Kraków, Wolers Kluwer Polska. Engle R.F. (2002), Dynamic Condiional Correlaion A Simple Class of Mulivariae GARCH Models, Journal of Business and Economic Saisics, 20. Fiszeder P. (2009), Modele klasy GARCH w empirycznych badaniach finansowych., Toruń, Wydawnicwo Naukowe Uniwersyeu Mikołaja Kopernika. Franco Ch., Zakoian J.M. (2009), GARCH models. Srucure, saisical inference and financial applicaions, New York. Hellwig Z. (1997), Ekspansja gospodarcza Polski końca XX wieku, Poznań, Wydawnicwo Wyższej Szkoły Bankowej. Hosking J. (1980), The Mulivariae Pormaneau Saisic, Journal of American Saisical Associaion. Janiga-Ćmiel A. (2013), Analiza zależności przyczynowych rozwoju gospodarczego Polski i wybranych pańsw Unii Europejskiej, Sudia Ekonomiczne, Zeszyy Naukowe Wydziałowe 159, Kaowice, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach. Skrzypczyński P. (2006), Analiza synchronizacji cykli koniunkuralnych w srefie euro, Warszawa, NBP. Nakaani T., Teräsvira T. (2009a), Appendix o Tesing for volailiy ineracions in he consan condiional correlaion GARCH model, Deparmen of Economic Saisics, Sockholm School of Economics. Nakaani T., Teräsvira T. (2009b), Tesing for volailiy ineracions in he consan condiional correlaion GARCH model, The Economerics Journal 12. Nakaani T. (2010), Four Essays on Building Condiional Correlaion GARCH Model, Deparmen of Economic Saisics, Sockholm School of Economics. Wang P. (2003), Financial Economerics. Mehods and Models, Rouledge Chapman & Hall. Yamarone R. (2006), Wskaźniki ekonomiczne: przewodnik dla inwesora, Wydawnicwo Helion. 666
Anna Janiga-Ćmiel Tesowanie współzależności w rozwoju gospodarczym Tesing inerdependence in he economic developmen Absrac The paper examines he developmen of Polish economy as well as he developmen of he UK economy in he period from 2001 o 2012. For ha purpose, models based on he GDP growh in paricular counries were buil. A comparaive analysis of he developmen of economies in he counries concerned (he Unied Kingdom, Poland), based on a specially buil mulivariae GARCH model, is presened. The heory of he consrucion of a mulivariae GARCH model and is esimaion mehod are discussed. Keywords: Mulivariae GARCH, Model specificaion, Economic developmen. 667