Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Podobne dokumenty
1 Działania na zbiorach

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Zadania egzaminacyjne

Geometria Lista 0 Zadanie 1

4 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wektory i wartości własne

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Rozwiązania, seria 5.

1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Kombinacje liniowe wektorów.

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Wektory i wartości własne

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Układy równań i równania wyższych rzędów

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

3 Przestrzenie liniowe

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

Zasada indukcji matematycznej

Przestrzenie liniowe

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Układy równań liniowych

Endomorfizmy liniowe

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1

Imię i nazwisko... Grupa...

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Pytania i polecenia podstawowe

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk

1 Elementy logiki i teorii mnogości

Układy równań i nierówności liniowych

Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Algebra liniowa z geometrią

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

1 Podstawowe oznaczenia

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Przestrzenie liniowe

Postać Jordana macierzy

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

Przekształcenia liniowe

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Przestrzenie liniowe

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

1 Relacje i odwzorowania

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Układy liniowo niezależne

Transkrypt:

Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie V = { v V F v ( 2) = 0 K = F v (2) }, V 2 = { v V F v ( ) = 0 K = F v () = F v (0 K ) } Sprawdź, że dim K V = 3 = dim K V 2 + i wskaż przykłady baz tych podprzestrzeni Wykaż ponadto, że V V 2 = {0 V } oraz V + V V 2 = V, a nastȩpnie znajdź rozkład wektora v = c 0 t 0 + V c t + V c 2 t 2 + V c 3 t 3 + V c 4 t 4 V na składowe v V i v 2 V 2 Zadanie 2 Podprzestrzenie V, V 2 V = R 4 s a określone wzorami V = ker A i V 2 = im A, gdzie Znajdź A = 5 2 0 7 2 4 5 3 5 7 3 3 (i) takie bazy V i V 2, których czȩść wspólna jest baz a V V 2 ; (ii) układ równań opisuj acy V + V V 2 Powtórz rachunki dla V = B, B 3 R B = i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie 3 2 5 3 Zadanie 3 Sprawdź, czy R 3 jest sum a prost a swoich podprzestrzeni V = ker ( i V 2 = wektora 5 2 6, 7 6 7 R 4 2 3 ) W przypadku uzyskania odpowiedzi twierdz acej podaj rozkład na składowe z V i V 2

Zadanie 4 Wykaż, że R 2 2 jest sum a prost a swoich podprzestrzeni oraz V = { ( a b b a ) a, b R } V 2 = { A R 2 2 A ( 2 4 3 ) = ( 2 4 3 ) A } Znajdź rozkład wektora ( 0 0 ) na składowe z tych podprzestrzeni Zadanie 5 Niechaj V bȩdzie sum a prost a swoich dwóch podprzestrzeni V, V 2, tj V = V V 2, i niech L Hom K (V, W ) dla pewnej przestrzeni wektorowej W nad K Oznaczmy K = ker L Potwierdź słuszność poniższej równoważności: L(V ) L(V 2 ) = {0 V } K = K V + K V 2 Zadanie 6 Wyznacz rz ad macierzy D 4 = a + K b a + K b 2 a + K b 3 a + K b 4 a 2 + K b a 2 + K b 2 a 2 + K b 3 a 2 + K b 4 a 3 + K b a 3 + K b 2 a 3 + K b 3 a 3 + K b 4 a 4 + K b a 4 + K b 2 a 4 + K b 3 a 4 + K b 4 K 4 4, a nastȩpnie uogólnij ten wynik na przypadek macierzy D n K n n, n N 4 analogicznie zdefiniowanej Zadanie 7 Znajdź podprzestrzeń V przestrzeni R 4 dopełniaj ac a wzglȩdem podprzestrzeni V 2 = ker (3, 2,, 2), tj tak a, która spełnia równość R 4 = V V 2 Zadanie 8 Wyznacz metod a operacji elementarnych odwrotność macierzy A = 2 3 3 3 2 3 3 2 3 2 Zadanie 9 W zależności od wartości parametru p R ustal zbiór rozwi azań układu równań + p + p p 3 + p 2 2 3 + p x x 2 x 3 =

Zadanie 0 Jaki warunek musz a spełniać parametry a, b R, aby układ równań 3 2 5 3 x x 2 x 3 x 4 był niesprzeczny? Rozwi aż ten układ dla a = = b = Zadanie W zależności od wartości parametrów a, b, λ R rozwi aż układ równań a b (λ + 3)x + y + 2z = aλ + b λx + (λ )y + z = b(λ ) 3(λ + )x + λx + (λ + 3)z = (a + b)λ Zadanie 2 Niechaj V, V 2 bȩd a podprzestrzeniami K-liniowymi przestrzeni V Skonstruuj izomorfizm przestrzeni wektorowych V /(V V 2 ) (V + V V 2 )/V 2 Zadanie 3 Niechaj V, V 2 bȩd a podprzestrzeniami K-liniowymi przestrzeni V i niech π k V V /V k, k {, 2} bȩd a rzutami kanonicznymi Rozważmy odwzorowanie π = π π 2 V (V /V ) (V /V 2 ) v (π (v), π 2 (v)), K-liniowe wzglȩdem naturalnej (iloczynowej) struktury K-liniowej na jego przeciwdziedzinie Udowodnij, co nastȩpuje: (i) π jest monomorfizmem V V 2 = {0 V }; (ii) π jest epimorfizmem V = V + V 2 ; (iii) π jest izomorfizmem V = V V 2 Zadanie 4 Sprawdź liniow a niezależność układów form liniowych na R 5 poniższych elementów: złożonych z (i) ϕ (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5, ϕ 2 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5, ϕ 3 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x x 2 ;

(ii) ϕ (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 7x 2 + 7x 3 + 7x 4 + x 5, ϕ 2 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5, ϕ 3 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) 2x + 7x 2 + 3x 3 + 8x 4 + 9x 5, ϕ 4 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) 0x 2x 2 + 3x 3 3x 4 + 3x 5 ; Zadanie 5 Wyznacz bazȩ przestrzeni (R 4 ) form liniowych na przestrzeni wektorowej R 4 dwoist a wzglȩdem bazy R 4 złożonej z wektorów e = (, 0, 0, 0), e 2 = (,, 0, 0), e 3 = (,,, 0), e = (,,, ) Wypisz macierz przejścia miȩdzy tak określon a baz a (R 4 ) a baz a standardow a utworzon a przez rzuty kanoniczne na składowe wektora Zadanie 6 Określmy, dla ustalonej formy liniowej ϕ V, podzbiór H ϕ = ϕ ({ K }) V Udowodnij prawdziwość implikacji ϕ,ψ V ( H ϕ = H ψ ϕ = ψ ) Zadanie 7 Niechaj V = R 2 [t], V 2 = R 2 2 R-liniowy L Hom R (V, V 2 ) wzorem i niech A = ( 2 0 3 ) Określmy operator L V V 2 a 0 V t 0 + a V t + a 2 V t 2 a 0 V2 2 2 + a V2 A + a 2 V2 A 2 Znajdź (i) bazȩ ker L; (ii) równania spełniane przez wyrazy x, x 2, x 3, x 4 R macierzy ( x x 2 x 3 x 4 ) im L; (iii) macierz [L] B 2 B operatora L wzglȩdem baz B = {e = t 0, e 2 = t, e 3 = t 2 } V (baza jednomianowa) oraz B 2 = { f = ( 0 0 2 ), f 2 = ( 2 0 0 3 ), f 3 = ( 0 2 0 ), f 4 = ( 0 2 3 0 ) }

Dokonaj transformacji macierzy uzyskanej w punkcie (iii) do bazy Pauliego B 2 = { f = ( 0 0 ), f 2 = ( 0 0 ), f 3 = ( 0 0 ), f 4 = ( 0 0 ) } Zadanie 8 Odwzorowanie liniowe L End R (R n [t]) zadane jest wzorem w (t + )w = L(w), w którym w oznacza wielomian o funkcji wielomianowej bȩd acej pochodn a w Wyznacz macierz L w bazie jednomianowej R n [t], a nastȩpnie ker L, im L oraz rk L Czy odwzorowanie to jest odwracalne? Zadanie 9 Niechaj V n bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni wektorowej R R (funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej) złożon a z funkcji postaci L(w) x F w (sin x, cos x), zapisanych w terminach funkcji wielomianowej F w stowarzyszonej z wielomianem w R n [s, t] stopnia (całkowitego) co najwyżej n w dwóch zmiennych Ustal wymiar R-liniowy V n Wybierz (dowolnie) bazȩ B w R n [s, t] oraz bazȩ B 2 w V n Wyznacz macierz [L] B 2 B wzglȩdem tych baz odwzorowania liniowego L R n [s, t] V n w L(w), a nadto macierz [D] B 2 B2 operatora pochodnej D End R (V n ) Zadanie 20 Niechaj 0 oznacza trywialn a przestrzeń wektorow a nad K Rozważmy krótki ci ag dokładny przestrzeni wektorowych: 0 V L V 2 L 2 V 3 0, tj kolekcjȩ przestrzeni wektorowych 0, V, V 2, V 3 nad K wraz z odwzorowaniami K- liniowymi miȩdzy nimi oznaczonymi strzałkami na powyższym diagramie, o tej własności, że dla każdej pary s asiednich odwzorowań j adro nastȩpnika pokrywa siȩ z obrazem poprzednika, np ker L 2 = im L (Co nam to mówi o L i L 2?) Udowodnij, że ci ag powyższy rozszczepia siȩ, tj spełniony jest jeden z równoważnych warunków: (R) Istnieje epimorfizm ρ Hom R (V 2, V ) o własności ρ L = id V Odwzorowanie to nazywamy retrakcj a liniow a stowarzyszon a z L (C) Istnieje monomorfizm σ Hom R (V 3, V 2 ) o własności L 2 σ = id V3 Odwzorowanie to nazywamy ciȩciem liniowym stowarzyszonym z L 2 Wykaż słuszność nastȩpuj acych stwierdzeń: (i) Istnieje kanoniczny izomorfizm przestrzeni wektorowych V 2 V V 3 suma prosta!) (zewnȩtrzna

(ii) Diagram ρ 0 V V 2 V 3 0 określa krótki ci ag dokładny przestrzeni wektorowych σ