Zagadnienie dwóch ciał

Podobne dokumenty
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Ruch pod wpływem sił zachowawczych

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 10

Ruchy planet. Wykład 29 listopada 2005 roku

Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie

Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 10

Zasada zachowania pędu

V.4 Ruch w polach sił zachowawczych

Co to są równania ruchu? Jak je całkować?

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

Kinematyka: opis ruchu

Konrad Słodowicz sk30792 AR22 Zadanie domowe satelita

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Prawa ruchu: dynamika

Dwa przykłady z mechaniki

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa

Kinematyka: opis ruchu

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.

Obraz Ziemi widzianej z Księżyca

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Geometria analityczna - przykłady

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

4π 2 M = E e sin E G neu = sin z. i cos A i sin z i sin A i cos z i 1

Pęd i moment pędu. dp/dt = F p = const, gdy F = 0 (całka pędu) Jest to zasada zachowania pędu. Moment pędu cząstki P względem O.

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Symulacja numeryczna zagadnienia katapulty grawitacyjnej

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 2 DYNAMIKA: MASA PED SIŁA MOMENT PEDU ENERGIA MECHANICZNA. Piotr Nieżurawski.

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

2.9. Zasada zachowania pędu (w układach izolowanych)

Kinematyka: opis ruchu

Satelity Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym. dr inż. Stefan Jankowski

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

V. RÓWNANIA RUCHU MECHANIKI KLASYCZNEJ Janusz Adamowski

MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu

Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

W efekcie złożenia tych dwóch ruchów ciało porusza się ruchem złożonym po torze, który w tym przypadku jest łukiem paraboli.

Kinematyka: opis ruchu

Wektory, układ współrzędnych

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

Zasady zachowania. Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*

1. Kinematyka 8 godzin

Aerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Ruch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował.

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Rozdział 2. Kinematyka

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

Treści dopełniające Uczeń potrafi:

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

Definicje i przykłady

14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego.

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

1 Geometria analityczna

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Kinematyka: opis ruchu

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Część I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) L= L =mvr (VIII.1.1a) r v. r=v (VIII.1.3)

Zasada zachowania energii

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

GRAWITACJA. Odddziaływania grawitacyjne zachodzą pomiędzy wszystkimi ciałami posiadającymi masę i są powszechne gdyż zachodzą:

Wstęp do astrofizyki I

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)

Wykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Transkrypt:

Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem m opisuje wektor x 2 x, czyli r 2 r. Dwa ciała punktowe przyciągają się grawitacyjnie. Mamy dwa równania ruchu i aby je rozwiązać będziemy potrzebować 2 stałych całkowania. m d 2 x dt 2 = Gm m 2 r 3 r 2 m 2 d 2 x 2 dt 2 = Gm m 2 r 3 r 2

Dodajemy równania stronami d 2 x m dt 2 + m d 2 x 2 2 dt 2 = 0 Ponieważ mamy ruch ciał o stałej masie, to d 2 dt 2 (m x + m 2 x 2 ) = 0 Wektor położenia środka masy jest określony jako tak więc mamy R = m x + m 2 x 2 m + m 2 (m + m 2 ) d2 R dt 2 Środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Mamy sześć pierwszych stałych całkowania ( R(t) = R 0 + R) Równania obustronnie dzielimy przez m (pierwsze) i m 2 (drugie), a następnie odejmujemy równanie pierwsze od drugiego: d 2 x dt 2 = Gm 2 r 3 r 2 d 2 x 2 dt 2 = Gm r 3 r 2 d 2 dt 2 ( x 2 x ) = G(m 2 + m ) r 3 r 2 ( x 2 x ) = R + r 2 R r Otrzymujemy równanie ruchu ciała drugiego względem pierwszego Od tego momentu wektor położenia ciała drugiego względem pierwszego będziemy oznaczać jako r = r 2 = r d 2 dt 2 ( x 2 x ) = d2 dt 2 ( r 2 r ) = d2 r dt 2 = G(m 2 + m ) r 3 r 2

Gdy pomnożymy stronami przez m m 2 /(m +m 2 ) otrzymamy odpowiednik równania µ d2 r dt 2 = G(m m 2 ) r 3 r = γ r 3 r Zasada zachowania momentu pędu i drugie prawo Keplera Równanie ruchu względnego mnożymy wektorowo przez r i otrzymujemy r µ d2 r dt 2 = 0. Korzystając z różniczkowania funkcji złożonej możemy zapisać, że r µ d2 r dt 2 = d dt ( r µ r) r µ r = d ( r µ r) dt Tak więc mamy zasadę zachowania momentu pędu, czyli stałą wartość prędkości polowej (II prawo Keplera) czyli d dt ( r µ r) = 0 ( r µ r) = const Aby sprawdzić czemu równa jest ta stała zapiszemy moment pędu układu względem środka masy J s = m r r + m 2 r 2 r 2 Pamiętając, że otrzymujemy r = m 2 m + m 2 r r 2 = m m + m 2 r J s = µ r r Zasada zachowania energii Równanie ruchu względnego pomnożymy teraz skalarnie przez r i otrzymamy µ r d2 r dt 2 = r γ r 3 r 3

a następnie czyli d dt (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = 0 (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = const Jeżeli zapiszemy równanie na energię w układzie środka masy 2 (m r 2 2 + m 2 r 2) γ r = E s i skorzystamy z zależności na r i r 2 otrzymamy (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = E s Od tej pory energię względem środka masy E s będziemy zapisywać jako E Ruch względny odbywa się w ustalonej płaszczyźnie i możemy go zapisać we współrzędnych biegunowych J = µr 2 ϕ E = 2 µr2 ϕ 2 + 2 µṙ2 γ r podstawiając ϕ = J/(µr 2 ) i ṙ = dϕ dr dr ϕ = dϕ J/(µr2 ) otrzymamy równanie toru i następnie 2 µr 2 + 2 ( dr dϕ ) 2 µr 4 γ r = E [ ( ) ] dr 2 2µ dϕ r 4 + r 2 γ r = E. Podstawiamy r = /w i otrzymujemy 2µ dr dϕ = dw w 2 dϕ [ (dw ) ] 2 + w 2 γw = E dϕ 4

i następnie ( dw dϕ = ± w 2 + 2µγ w + 2µE ) /2 Podstawienie w = x + µγ/ prowadzi do równania [ µ 2 γ 2 J 4 ( dx + 2EJ2 µγ 2 ) następnie x = y µγ ( + 2EJ2 µγ 2 ) /2 daje już x 2 ] /2 = ±dϕ dy ( y 2 = ±ϕ ) /2 Podstawienie y = cosα daje rozwiązanie toru, które po powrocie do zmiennej r ma postać i µγ 2EJ2 ( + J2 µγ 2 )/2 cos(ϕ ϕ 0 ) = r µγ r = + ( + 2EJ2 ) µγ /2 cos(ϕ ϕ 2 0 ) = p + ecos(ϕ ϕ 0 ) co jest równaniem krzywej stożkowej o własnościach określonych przez znak E (jeżeli > 0). p = J2 µγ e = ( + 2EJ2 µγ 2 )/2 W przypadku gdy E < 0 ruch względny odbywa się po torze eliptycznym. Stanowi to treść pierwszego prawa Keplera. Dla E = 0 równaniem toru jest parabola, a dla E > 0 równaniem toru jest hiperbola. W przypadku E < 0 i ruchu po elipsie największa i najmniejsza odległość wynosi odpowiednio Q = p/( e) i q = p/( + e), w związku z tym wielka półoś elipsy a = 2 (q + Q) = 2 p( e + + e ) = p e 2 5

co po podstawieniu daje a = γ 2E = Gm m 2 2E i zależność energii od wielkiej półosi elipsy E = Gm m 2 2a Korzystając z równania zachowania energii możemy podać wartość prędkości orbitalnej dla ruchu po orbicie eliptycznej v = ṙ otrzymamy 2 v2 Gm m 2 = Gm m 2 r 2a v = (G(m + m 2 )) /2 ( 2 r a) /2. Korzystamy ze stałości prędkości polowej, która w okresie równym okresowi orbitalnemu P powinna dać pole elipsy S = πab 2 r2 ϕ P = πab Podstawimy wartość prędkości polowej dla najmniejszej odległości pomiędzy ciałami (wtedy nie mamy składowej radialnej prędkości) ( ) v = r ϕ = (G(m + m 2 )) /2 2 /2 ( a( e) a = (G(m + m 2 )) /2 + e a e ) /2 ( 2 r2 ϕ P = (G(m + m 2 )) /2 a otrzymujemy (uogólnione) III prawo Keplera ) + e /2 a( e) = πa 2 ( e 2 ) /2 e a 3 P 2 = G(m + m 2 ) 4π 2 Przechodzimy teraz do zależności położenia od czasu. 6

ṙ 2 = γ µ E = 2 µr 2 + 2 µṙ2 γ r ) = γ µ ( 2E γ + 2 r p r 2 dr dt = e ( a + 2 r a( e2 ) r 2 ( ) γ /2 ( µ a + 2 r a( ) /2 e2 ) r 2 ( ( a rdr ( a r ae ) 2 )) /2 = ( ) γ /2 dt µ Podstawiamy ξ = (a r)/(ae) czyli r = a( eξ) i dr = aedξ i otrzymujemy ( ) γ /2 a 3/2 dt = eξdξ µ ( ξ 2 ) /2 dξ ( ξ 2 ) /2 Mamy następujące rozwiązania: Elipsa a > 0, e <, ξ = cose ( ) γ /2 a 3/2 (t t 0 ) = arccos(ξ) e( ξ 2 ) /2 = E esine µ Hiperbola a < 0, e >, ξ = cosh( f ) ( ) γ /2 a 3/2 (t t 0 ) = arccosh(ξ) e(ξ 2 ) /2 = esinh f f µ ) Dla paraboli ( ) γ /2 = (r + p)(2r p)/2 µ 3 7

Jaki jest związek anomalii mimośrodowej z anomalią prawdziwą? r cosϑ = a(cose e) r sinϑ = bsine = ( e 2) /2 asine Podstawiając rozwiązanie na r = a( e2 ) +ecos(ϑ) otrzymujemy: cosϑ = cose + e + ecose 8