Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem m opisuje wektor x 2 x, czyli r 2 r. Dwa ciała punktowe przyciągają się grawitacyjnie. Mamy dwa równania ruchu i aby je rozwiązać będziemy potrzebować 2 stałych całkowania. m d 2 x dt 2 = Gm m 2 r 3 r 2 m 2 d 2 x 2 dt 2 = Gm m 2 r 3 r 2
Dodajemy równania stronami d 2 x m dt 2 + m d 2 x 2 2 dt 2 = 0 Ponieważ mamy ruch ciał o stałej masie, to d 2 dt 2 (m x + m 2 x 2 ) = 0 Wektor położenia środka masy jest określony jako tak więc mamy R = m x + m 2 x 2 m + m 2 (m + m 2 ) d2 R dt 2 Środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Mamy sześć pierwszych stałych całkowania ( R(t) = R 0 + R) Równania obustronnie dzielimy przez m (pierwsze) i m 2 (drugie), a następnie odejmujemy równanie pierwsze od drugiego: d 2 x dt 2 = Gm 2 r 3 r 2 d 2 x 2 dt 2 = Gm r 3 r 2 d 2 dt 2 ( x 2 x ) = G(m 2 + m ) r 3 r 2 ( x 2 x ) = R + r 2 R r Otrzymujemy równanie ruchu ciała drugiego względem pierwszego Od tego momentu wektor położenia ciała drugiego względem pierwszego będziemy oznaczać jako r = r 2 = r d 2 dt 2 ( x 2 x ) = d2 dt 2 ( r 2 r ) = d2 r dt 2 = G(m 2 + m ) r 3 r 2
Gdy pomnożymy stronami przez m m 2 /(m +m 2 ) otrzymamy odpowiednik równania µ d2 r dt 2 = G(m m 2 ) r 3 r = γ r 3 r Zasada zachowania momentu pędu i drugie prawo Keplera Równanie ruchu względnego mnożymy wektorowo przez r i otrzymujemy r µ d2 r dt 2 = 0. Korzystając z różniczkowania funkcji złożonej możemy zapisać, że r µ d2 r dt 2 = d dt ( r µ r) r µ r = d ( r µ r) dt Tak więc mamy zasadę zachowania momentu pędu, czyli stałą wartość prędkości polowej (II prawo Keplera) czyli d dt ( r µ r) = 0 ( r µ r) = const Aby sprawdzić czemu równa jest ta stała zapiszemy moment pędu układu względem środka masy J s = m r r + m 2 r 2 r 2 Pamiętając, że otrzymujemy r = m 2 m + m 2 r r 2 = m m + m 2 r J s = µ r r Zasada zachowania energii Równanie ruchu względnego pomnożymy teraz skalarnie przez r i otrzymamy µ r d2 r dt 2 = r γ r 3 r 3
a następnie czyli d dt (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = 0 (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = const Jeżeli zapiszemy równanie na energię w układzie środka masy 2 (m r 2 2 + m 2 r 2) γ r = E s i skorzystamy z zależności na r i r 2 otrzymamy (µ 2 ( r 2 ) γ r ) = E s Od tej pory energię względem środka masy E s będziemy zapisywać jako E Ruch względny odbywa się w ustalonej płaszczyźnie i możemy go zapisać we współrzędnych biegunowych J = µr 2 ϕ E = 2 µr2 ϕ 2 + 2 µṙ2 γ r podstawiając ϕ = J/(µr 2 ) i ṙ = dϕ dr dr ϕ = dϕ J/(µr2 ) otrzymamy równanie toru i następnie 2 µr 2 + 2 ( dr dϕ ) 2 µr 4 γ r = E [ ( ) ] dr 2 2µ dϕ r 4 + r 2 γ r = E. Podstawiamy r = /w i otrzymujemy 2µ dr dϕ = dw w 2 dϕ [ (dw ) ] 2 + w 2 γw = E dϕ 4
i następnie ( dw dϕ = ± w 2 + 2µγ w + 2µE ) /2 Podstawienie w = x + µγ/ prowadzi do równania [ µ 2 γ 2 J 4 ( dx + 2EJ2 µγ 2 ) następnie x = y µγ ( + 2EJ2 µγ 2 ) /2 daje już x 2 ] /2 = ±dϕ dy ( y 2 = ±ϕ ) /2 Podstawienie y = cosα daje rozwiązanie toru, które po powrocie do zmiennej r ma postać i µγ 2EJ2 ( + J2 µγ 2 )/2 cos(ϕ ϕ 0 ) = r µγ r = + ( + 2EJ2 ) µγ /2 cos(ϕ ϕ 2 0 ) = p + ecos(ϕ ϕ 0 ) co jest równaniem krzywej stożkowej o własnościach określonych przez znak E (jeżeli > 0). p = J2 µγ e = ( + 2EJ2 µγ 2 )/2 W przypadku gdy E < 0 ruch względny odbywa się po torze eliptycznym. Stanowi to treść pierwszego prawa Keplera. Dla E = 0 równaniem toru jest parabola, a dla E > 0 równaniem toru jest hiperbola. W przypadku E < 0 i ruchu po elipsie największa i najmniejsza odległość wynosi odpowiednio Q = p/( e) i q = p/( + e), w związku z tym wielka półoś elipsy a = 2 (q + Q) = 2 p( e + + e ) = p e 2 5
co po podstawieniu daje a = γ 2E = Gm m 2 2E i zależność energii od wielkiej półosi elipsy E = Gm m 2 2a Korzystając z równania zachowania energii możemy podać wartość prędkości orbitalnej dla ruchu po orbicie eliptycznej v = ṙ otrzymamy 2 v2 Gm m 2 = Gm m 2 r 2a v = (G(m + m 2 )) /2 ( 2 r a) /2. Korzystamy ze stałości prędkości polowej, która w okresie równym okresowi orbitalnemu P powinna dać pole elipsy S = πab 2 r2 ϕ P = πab Podstawimy wartość prędkości polowej dla najmniejszej odległości pomiędzy ciałami (wtedy nie mamy składowej radialnej prędkości) ( ) v = r ϕ = (G(m + m 2 )) /2 2 /2 ( a( e) a = (G(m + m 2 )) /2 + e a e ) /2 ( 2 r2 ϕ P = (G(m + m 2 )) /2 a otrzymujemy (uogólnione) III prawo Keplera ) + e /2 a( e) = πa 2 ( e 2 ) /2 e a 3 P 2 = G(m + m 2 ) 4π 2 Przechodzimy teraz do zależności położenia od czasu. 6
ṙ 2 = γ µ E = 2 µr 2 + 2 µṙ2 γ r ) = γ µ ( 2E γ + 2 r p r 2 dr dt = e ( a + 2 r a( e2 ) r 2 ( ) γ /2 ( µ a + 2 r a( ) /2 e2 ) r 2 ( ( a rdr ( a r ae ) 2 )) /2 = ( ) γ /2 dt µ Podstawiamy ξ = (a r)/(ae) czyli r = a( eξ) i dr = aedξ i otrzymujemy ( ) γ /2 a 3/2 dt = eξdξ µ ( ξ 2 ) /2 dξ ( ξ 2 ) /2 Mamy następujące rozwiązania: Elipsa a > 0, e <, ξ = cose ( ) γ /2 a 3/2 (t t 0 ) = arccos(ξ) e( ξ 2 ) /2 = E esine µ Hiperbola a < 0, e >, ξ = cosh( f ) ( ) γ /2 a 3/2 (t t 0 ) = arccosh(ξ) e(ξ 2 ) /2 = esinh f f µ ) Dla paraboli ( ) γ /2 = (r + p)(2r p)/2 µ 3 7
Jaki jest związek anomalii mimośrodowej z anomalią prawdziwą? r cosϑ = a(cose e) r sinϑ = bsine = ( e 2) /2 asine Podstawiając rozwiązanie na r = a( e2 ) +ecos(ϑ) otrzymujemy: cosϑ = cose + e + ecose 8