GRAWITACJA. Odddziaływania grawitacyjne zachodzą pomiędzy wszystkimi ciałami posiadającymi masę i są powszechne gdyż zachodzą:

Transkrypt

1 GAWITACJA Odddziaływania grawitacyjne zachodzą pomiędzy wszystkimi ciałami posiadającymi masę i są powszechne gdyż zachodzą: w życiu codziennym w mikroskali (np. między elektronem a protonem) w makroskali (np. w kosmosie, między Ziemią a Księżycem) Oddziaływania te są dominujące w makroskali; odpowiadają przecież np. za ruch planet, natomiast w skali mikro są z reguły do pominięcia (chyba że uda uzyskać się nam bardzo gęstą materię, np. podczas zderzeń cząstek w akceleratorze) Oddziaływania grawitacyjne można opisywać: 1. przy pomocy Prawa Powszechnej Grawitacji, 2. przy pomocy pola grawitacyjnego, 3. przy pomocy Ogólnej Teorii Względności Pierwsze dwa sposoby poznamy za chwilę, natomiast trzeci sposób z powodów formalizmu matematycznego nie będzie poznawany, jest on jednak najbardziej elegancki. W ogólnej teorii względności zakłada się, że umieszczając ciało posiadające masę zakrzywiamy przestrzeń która je otacza i ruch innych ciał (a nawet światła) wynika z tego zakrzywienia (najbardziej spektakularnym sposobem potwierdzającym ogólną teorię względności była obserwacja zakrzywienia promiena odległej gwiazdy podczas zaćmienia Słońca). 1) Prawo powszechnej grawitacji stwierdza, że ciała przyciągają się a wartość siły wzajemnego oddziaływania między dwoma punktami materialnymi lub kulami jest wprostproporcjonalna do iloczynu obu mas, zaś odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. m 1 F F r m 2 F = G m 1m 2 r 2 gdzie, G stała oddziaływania grawitacyjnego, jest ona niezależna od środowiska 1

2 a jej wartość wynosi: G = Nm2 kg 2 Wartość stałej grawitacji jest bardzo mała, co ilustruje następujący przykład: Oblicz siłę z jaką przyciągają się dwa punkty materialne o masie 1kg każdy umieszczone w odległości 1m od siebie Dane: ozwiązanie: m 1 = m 2 = 1kg Z prawa powszechnej grawitacji, mamy: r = 1m F = G m 1 m 2 G = Nm2 r 2 C 2 F = = N Szukane: F =? = 0, N Jak widać, szukana siła ma bardzo małą wartość i dlatego nie odczuwamy przyciągania przedmiotów codziennego użytku. ozważmy teraz siłę, z jaką Ziemia przyciąga ciało o masie m; wiadomo, że jest to siła ciężkości F c = mg; jej wartość możemy obliczyć z dobrym przybliżeniem jako siłę grawitacji, z jaką Ziemia przyciąga ciało o masie m leżące na jej powierzchni: m F g = G M zm z 2 F z a zatem wyrażenie: GM z z 2 musi być równe g; sprawdźmy to podstawiając wartości: M z GM z 2 z = ( ) 2 = 10 m s 2 Mimo, iż oszacowanie siły ciężkości (F c ) przy pomocy siły grawitacji (F g ) jest dość dobre, to należy rozróżnić te pojęcia pod względem formalnym ponieważ siła ciężkości w odróżnieniu od siły grawitacji uwzględnia jeszcze: fakt, że Ziemia nie jest kulą, ale elipsoidą obrotową (dokładniej geoidą) fakt, że Ziemia nie ma jednorodnego rozkładu masy (np. mierząc g, a da się to zrobić w sposób bardzo dokładny z niepewnością g g = 10 6, można wykryć złoża ropy) 2

3 fakt, że Ziemia się obraca i jest układem nieinercjalnym, w którym działa siła bezwładności. Natomiast pod względem praktycznym nie trzeba ich rozróżniać, ponieważ poprawki np. od ruchu obrotowego są niewielkie. uchy planet i satelit Mechanika tego ruchu (tzw. ruchu w polu sił centralnych) opiera się na trzech prawach Keplera: Pierwsze prawo Keplera: Ziemia i inne planety krążą wokół Słońca po elipsach (dokładniej należałoby powiedzieć: po krzywych stożkowych które powstają jako przecięcie powierzchni bicznej stożka płaszczyzną), a Słońce znajduje się w jednym z ognisk takiej elipsy Elipsa krzywa stopnia drugiego w której suma odległości każdego punktu na tej krzywej od dwóch ustalonych punktów (zwanych ogniskami elipsy) jest stała r 1 r 2 F 2 F 1 b Z definicji elipsy wynika, że: a r 1 + r 2 = 2a = const zaś równanie elipsy o środku w punkcie (0,0) ma postać: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Drugie prawo Keplera: 3

4 Promień łączący Słońce i planetę zatacza w jednostce czasu jednakowe pola (prędkość polowa jest stała) v2 P 1 S P 2 v1 peryhelium aphelium Z prawa tego (dokładniej to z równości P 1 = P 2 ) wynika, że prędkość liniowa ciała poruszającego się po elipsie nie jest stała; największa jest w pobliżu peryhelium (v 2 ), a najmniejsza w pobliżu aphelium. Stałość prędkości polowych wynika z zasady zachowania momentu pędu. Zdefiniujmy prędkość polową jako: v p = 1 r v 2 można łatwo pokazać że jest to pole zataczane przez krążącą planetę w jednostce czasu (wynika to z interpretacji geomentrycznej iloczynu wektorowego, jako pola równoległoboku rozpiętego na wektorach). Obliczając zmianę tej prędkości polowej w czasie mamy: v p t = 1 r 2 t v + 1 v r 2 t = 1 2 v v t ( r v) 1 v v 2 Korzystając z definicji momentu pędu, oraz z faktu że jest on zachowany mamy: v p t = 1 L 2 t = 0 v p = const P = const Trzecie prawo Keplera: Dla danej planety, kwadrat jej okresu obiegu wokół słońca jest proporcjonalny 4

5 do sześcianu jej średniej odległości od słońca T 2 1 a 3 1 = T2 2 a 3 2 =... = T2 n a 3 n Gdzie indeksy dolne (1, 2,..., n) oznaczają kolejne planety, zaś średnia odległość od Słońca jest określona następująco: SEDNIA S ODLEGLOSC P Trzecie prawo Keplera można wyprowadzić z Prawa Powszechnej Grawitacji, rozważmy w tym celu ciało, które pod wpływem siły grawitacji (pełniącej rolę siły dośrodkowej) porusza się po okręgu: F d = F g F d = F g r M F=F d g m v ale mv 2 r = GMm ( ) r 2 v = 2Πr T i podstawiając ( ) m 2Πr 2 = GMm r T r 2 Upraszczając co się da i przenosząc stałe na prawą stronę, otrzymamy trzecie prawo Keplera: r 3 T = GM 2 4Π T2 2 r = 4Π2 3 GM Podobnie z Prawa Keplera da się wyprowadzić Prawo Powszechnej Grawitacji Obliczając z równania ( ) prędkość otrzymamy tzw. Pierwszą Prędkość 5

6 Kosmiczną: GM v 1 = r Jest to prędkość jaką musimy nadać ciału (w kierunku poziomym do powierzchni w odległości r od jego środka), aby poruszało się po orbicie ciała o masie M. W przypadku Ziemii wynosi ona: v 1z = GM r = 6, Nm 2 kg kg 6, m Pole Grawitacyjne = 7,9 km s Pojęcie pola jest jednym ze sposobów na opisanie różnorakich wielkości fizycznych, najogólniej pole można zdefiniować jako własność przestrzeni polegającą na tym, że w każdym jej punkcie można określić pewną wielkość fizyczną; zatem możemy wyróżnić: 1. Pola skalarne gdy wielkość ta będzie skalarna (np. pole temperatury) 2. Pola wektorowe gdy wielkość ta będzie wektorowa (np. pole grawitacyjne) 3. Pola tensorowe gdy wielkość ta będzie tensorowa Jeżeli wielkością opisywaną przez pole są oddziaływania, to mówimy o polach sił i wśród nich wyróżniamy: 1. Pole grawitacyjne 2. Pole elektrostatyczne Graficznie opisujemy pole sił za pomocą linii sił pola; dla pól sił wyznaczane są one poprzez analizę toru ruchu elementu próbnego (masy próbnej lub ładunku próbnego) umieszczonego w tym polu. Zakładamy, że element próbny nie wytwarza własnego pola, ponieważ jest bardzo mały (ściślej: wytwarzane przez niego pole jest dużo mniejsze niż pole badane). Pojęcie linii sił pola jest wysoce użyteczne, ponieważ umożliwia ilustrację graficzną nie tylko samego pola ale też jego własności (strumień, krążenie) Wyróżniamy następujące rodzaje pól sił: 6

7 Ze względu na to jak silne jest dane pole: pola silne gęstość linii sił pola jest duża, pola słabe gęstość linii sił pola jest mała, Ze względu na jednorodność pola: pola jednorodne gęstość linii sił pola w każdym jego punkcie jest taka sama, pola niejednorodne gęstość linii sił pola zmienia się w różnych jego punktach, szczególnym przypadkiem pól niejednorodnych są pola centralne, których źródłem jest punktowy element (masa lub ładunek) pole silne pole slabe pole jednorodnie pole niejednorodne pole centralne (niejednorodne) Polem grawitacyjnym nazywamy własność przestrzeni, w której na umieszczone ciało w dowolnym punkcie tej przestrzeni działa siła grawitacji. ozważmy centralne pole grawitacyjne, jego źródłem jest punktowa masa, a jego linie sił można przedstawić następująco: 7

8 (1) F 1 F 2 (2) Wielkością określającą pole jest: Siła działająca na dane ciało w punkcie (1) jest mniejsza niż działająca na to samo ciało w punkcie (2), ale można dobrać takie ciało, że siły działające w punktach (1) i (2) będą równe i dlatego siła działająca na dane ciało nie określa pola w sposób jednoznaczny. Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie pola jest to stosunek siły grawitacji działającej na umieszczone w tym punkcie ciało do jego masy. γ = F m W przypadku pola centralnego, lub pola wytworzonego przez ciało o symetrii sferycznej wartość natężenia pola można obliczyć następująco: γ = F m = GMm r 2 m = GM r 2 Widać jawnie, że natężenie pola nie zależy od masy umieszczonej w danym punkcie pola. Gdy źródłem pola jest jednorodna kula, powyższy wzór jest również słuszny, ale tylko gdy jesteśmy ponad powierzchnią. W przypadku, gdy znajdujemy się pod powierzchnią natężenie pola możemy obliczyć następująco: M r γ Na ciało o masie m umieszczone wewnątrz ciała o masie M będzie działać siła pochodząca tylko od zakreskowanej części kuli o promieniu r. Zatem natężenie pola można obliczyć: M γ = F GM m r = r 2 m = GM r 2 8

9 Masa zakreskowanej części jest równa: M = V = 4 3 Πr3 a zatem: γ = G 4 3 Πr3 r 2 = 4 3 Π Gr Zatem zależność natężenia pola od odległości od środka kuli będącej źródłem pola jest następująca: γ γ r γ 1 r 2 r Pouczające byłoby pokazać, że obie zależności sklejają się na powierzchni kuli (oba wzory na natężenie pola muszą dać to samo), ale to zostawiam jako zadania dla Was. Pole grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemii h h M W przypadku gdy h << a z taką sytuacją mamy do czynienia zazwyczaj, (np. będąc na szczycie MountEverestu h = 10km a = 6400km) możemy przyjąć, że: γ = GM ( + h) GM = const 2 2 Dla rozważanego MountEverestu błąd, jaki popełnimy stosując to przybliżenie, wynosi: γ γ = 0.3% (sprawdź to!), więc nie należy się chyba przejmować. Zatem w pobliżu powierzchni Ziemii mamy do czynienia z polem jednorodnym. 9

10 Korzystając z definicji natężenia pola mamy, że: F = γ m m g = m g Ponieważ poprawki od siły odśrodkowej i niekulistości Ziemii są jeszcze mniejszego rzędu Praca w polu grawitacyjnym Wyliczając pracę w polu grawitacyjnym należy rozważyć dwa przypadki: 1. Pole w pobliżu powierzchni Ziemii (praca w polu jednorodnym) 2. Pole daleko od powierzchni Ziemii (praca w polu centralnym) Ad. 1) ozważmy następującą sytuację: podnosimy książkę (np. podręcznik z fizyki) z podłogi na stół. Jaką pracę musimy wykonać? Wbrew pozorom pytanie to nie jest łatwe, ponieważ nie wiemy nic o torze po jakim mamy podnosić książkę, o rodzaju ruchu, o działających siłach oporu, zatem musimy sobie sprawę ułatwić i założymy, że: ruch książki będzie jednostajny, prostoliniowy (wbrew pozorom założenie to jest dosyć silne, ponieważ pomijamy proces rozpędzania i hamowania podnoszonej książki, co czyni całą sytuację nierealną, gdybyśmy rozważaną książkę podnosili szybko, jeżeli zrobimy to bardzo powoli, to czas całego ruchu będzie dużo większy niż czas rozpędzania i hamowania). ruch książki będzie odbywał się po najkrótszym możliwym torze ruch książki będzie odbywał się bez udziału sił oporu (jedyną siłą, którą będziemy uwzględniać, to siła grawitacji) (1) (2) F z (3) F g r = h Na mocy I zasady dynamiki F g = F z, zatem praca wykonana przez siłę 10

11 zewnętrzną wynosi: W z = F z r = F z rcos( F z r) = F z r = F g r = mgh Otrzymaliśmy zatem znany wzór na energię potencjalną ciężkości. Praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi: W g = F g r = F g rcos( Fg r) = Fz r( 1) = mgh A zatem mamy: W g = W z lub W z = W g Zastanówmy się teraz, czy można pominąć założenie, że książkę należy podnosić po najkrótszym możliwym torze. W tym celu pod nasz stół podsuniemy idealną równię pochyłą (czyli taką, na której można poruszać się bez tarcia) i obliczymy pracę wykonaną przy przesuwaniu książki po równi ruchem jednostajnym, prostoliniowym: F z a h a = sin(α) h F a = h sin(α) F g α α F F g = sin(α) F = F g sin(α) Ponieważ ruch jest jendnostajny, prostoliniowy to pracę siły zewnętrznej można obliczyć następująco: W z = F z a = Fa = F g sin(α)h 1 sin(α) = mgh Otrzymany rezultat jest identyczny z tym, kiedy podnosiliśmy książkę ruchem jednostajnym, prostoliniowym po najkrótszym torze, zatem spróbujmy pójść jeszcze dalej i zbadać, ile będzie wynosić praca, gdy naszą książkę podniesiemy na stół po dowolnym torze krzywoliniowym (oczywiście również z pominięciem oporów). W tym wypadku także założymy, że wartość chwilowa prędkości nie 11

12 będzie ulegać zmianie (sama prędkość jako wektor będzie się oczywiście zmieniać, co wynika z krzywoliniowości toru) h F z l F α h F g Aby obliczyć pracę, rozważmy fragment krzywej, tak krótki, że można go uznać za odcinek prostoliniowy, na którym prędkość będzie stała. Praca wykonana na tym odcinku wyniesie: h W z = F z l = F l = F g sin( α) sin( α) = mg h Całkowita praca będzie sumą prac na poszczególnych odcinkach: W z = N W z = N mg h = mg N h = mgh po po po Otrzymany rezultat jest dość nieoczekiwany, ponieważ udowodniliśmy, że praca wykonana w jednorodnym polu grawitacyjnym nie zależy od drogi ani od kształtu toru, ale jedynie od różnicy poziomów (h) i jest równa energii potencjalnej ciężkości. ezultat ten jest konsekwencją faktu, że pole grawitacyjne (zarówno jednorodne jak i centralne) jest polem zachowawczym. Ad. 2) Pole centralne Obliczenie pracy w polu centralnym jest trudne z dwóch powodów: udowodnienie, że praca nie zależy od długości drogi i kształtu toru, wyliczenie samej pracy, gdyż w polu niejednorodnym siła nie jest stała i pracy nie możemy obliczyć bezpośrednio z definicji Problem długości drogi i kształtu toru rozwiązuje się podobie jak w przypadku pola jednorodnego: 12

13 B. B F g 3 F z M A. A m l 1 2 Wybieramy tak krótki fragment krzywoliniowego toru, że możemy założyć że jest on prostoliniowy, ponadto na rozważanym fragmencie toru pole jest jednorodne i nie ma znaczenia czy pójdziemy po krzywej 1 3, czy po (udowodniliśmy to w Ad.1), więc wybieramy drogę 1 2 3, ponieważ odcinek 2 3 jest prostopadły do działającej siły ciężkości, więc wykonana na nim praca będzie równa zero! Zatem pracę będziemy wykonywać tylko na odcinku 1 2, na którym to obliczyć jest ją łatwo, poniewać jest on równoległy do siły grawitacji. Podsumowując, udowodniliśmy, że następujące przypadki są równoważne: M A B. A m. B M A B s A. B A B. m A skoro tak jest, to wystarczy obliczyć pracę wykonaną na prostoliniowym odcinku B A, gdzie siła wykonująca pracę jest do niego równoległa, ale nie jest stała (w A wynosi F A = GMm A 2, natomiast w B jest równa F B = GMm B 2 ) Należy więc znaleźć siłę stałą będącą średnią siły opisanej funkcją F = GMm 2. Na odcinku B A można pokazać (niestety w definicji średniej funkcji na danym odcinku jest całka), że będzie mieć ona wartość: F = GMm A B Teraz pracę można policzyć już łatwo ( F jest równoległa do drogi i stała): W za B = F( B A ) = GMm ( B A ) = GMm( 1 1 ) A B A 13 B

14 Natomiast praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi: W ga B = W za B = GMm( 1 A 1 B ) Aby obliczyć energię centralnego pola grawitacyjnego, trzeba najpierw ustalić zerowy poziom energi. W odróżnieniu od pola grawitacyjnego jednorodnego, gdzie jego ustalenie było dowolne, przyjmuje się go w nieskończoności, zatem: Energia jaką posiada ciało w centralnym polu grawitacyjnym, to praca, jaką wykona pole przy przenoszeniu rozważanego ciała z ustalonego punktu (w którym wyznaczamy energię) do nieskończoności (czyli punktu, który ma energię równą zero) E p (A) = W ga = GMm( 1 A 1 ) = GMm 1 A ozważmy teraz jaką energię ma układ ciał Ziemia i okrążający ją (oczywiście z pierwszą prędkością kosmiczną) satelita: m v 1 Energia mechaniczna układu to suma energii potencjalnej i kunetycznej E = E k + E p M z E = 1 2 mv2 1 GM zm Po podstawieniu za pierwszą pr. kosmiczną (v 1 ) E = 1 2 mgm z GM zm Po uproszczeniu dostaniemy ostatecznie: E = 1 2 GM z m Otrzymany rezultat jest interesujący, bo pozwala np. na obliczanie pracy jaką trzeba wykonać aby przenosić satelity pomiędzy orbitami. Występujący w powyższym wzorze znak oznacza, że dwa ciała Ziemia - satelita, tworzą układ 14

15 związany. Aby dwa ciała stworzyły układ swobodny ich energia całkowita musi być przynajmniej równa zeru; wiąże się z tym pojęcie drugiej prędkości kosmicznej. Druga prędkość kosmiczna Jest to prędkość, jaką musimy nadać ciału, aby jego całkowita energia mechaniczna była równa zero. M m v 2 E c = E k + E p = 0 mv ( GMm ) = 0 2GM v 2 = W najprostszym wypadku drugą prędkość kosmiczną nadaje się w kierunku pionowym, prostopadle do powierzchni Ziemi; dużo ciekawiej jest jednak rozważyć po jakim torze będzie poruszało się ciało, gdy nadajemy mu prędkość w kierunku poziomym, czyli równolegle do powierzchni Ziemi. v (4) (1) (2) (3) Siła ciężkości a siła grawitacji (1) v < v 1 ciało spada na Ziemie (2) v = v 1 ciało krąży po okręgu (3) v 1 < v < v 2 ciało krąży po elipsie (4) v = v 2 ciało oddala się do nieskończoności po paraboli (5) v > v 2 ciało oddala się do nieskończoności po hiperboli Siła ciężkości jest to siła, z jaką przyciągane są ciała na Ziemii, różni się od siły grawitacji tym, że uwzględnia poprawkę wynikającą z obrotu Ziemi wokół własnej osi (siłę odśrodkową zmniejszającą siłę grawitacji) i poprawkę wynikającą z nieregularności kształtu i gęstości Ziemi (współczesne metody wyznaczania siły ciężkości są bardzo czułe; uwzględniać trzeba nawet ukształtowanie terenu!) 15

16 Mamy zatem: F w = F g + F o Na biegunie (1): Fg z φ M z F g F o φ F w F g F w F o (1) (3) (2) Na biegunie (1) siła odśrodkowa nie występuje i tutaj: F w = F g = max, na równiku (2) siła odśrodkowa jest maksymalna i ma ten sam kierunek co siła grawitacji, więc wypadkowa siła ciężkości będzie najmniejsza, natomiast na szerokości geograficznej Φ (3), mamy przypadek pośredni, Zatem: Na równiku (2): F c = F w = F g = GM zm 2 z = m GM z 2 z = max F c = F w = F g F o = GM zm 2 z ( GMz F c = m 2 z Na szerokości geograficznej Φ (3): mv2 z = GM zm 2 z ) 4Π2 z T 2 = min m(2π z T )2 z Kierunek i zwrot wektora F w pokazany jest na rysunku, natomiast jego wartość wyznaczamy z twierdzenia cosinusów: F 2 c = F2 w = F2 g + F2 o 2F gf o cos(φ) Podstawiając za F g i F o, otrzymamy: F c = m ( GMz 2 z 4Π2 z T 2 cos(φ) ) ( 4Π 2 z T 2 (cos(φ) cos 2 (Φ)) ) 2