Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo AGH, Kraków 006. Matematyka w fizyce klasyczej i kwatowej, F.W. Byro, R.W. Fuller, PWN, Warszawa 974. ematical Methods for Physics ad Egieerig, K.F. Riley, M.P. Hobso, S.J. Bece, Cambridge Uiv. Press, 006. Algebra liiowa, T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, GiS, Wrocław 00. Matematyka dla studiów iżyierskich, S. Białas, A. Ćmiel, A. Fitzke, Wydawictwo AGH, Kraków 973. Algebra i geometria aalitycza w zadaiach, H. Arodź, K. Rościszewski, ZNAK, Kraków 005. Zbiór zadań z algebry, L. Jeśmiaowicz, J. Łoś, PWN,Warszawa 975. Algebra i wielowymiarowa geometria aalitycza w zadaiach, S. Przybyło, A. Szlachtowski, WNT, Warszawa 005. http://home.agh.edu.pl/~mariuszp Wykład -
Wiadomości wstępe Fukcje trygoometrycze: wybrae wartości fukcji trygoometryczych: θ (stopie θ (radiay tożsamości trygoometrycze dla pojedyczego kąta: si α ta α si α + cos α ta α si α cos α cot α cos α + ta α + ta α Wykład -3
Tożsamo samości trygoometrycze Tożsamości trygoometrycze dla dwóch kątów: Wyprowadzeie wzorów a sius i cosius sumy kątów: współrzęde puktu P: w Oxy: (cos(α+β, si(α+β oraz w Ox y : (cosβ, siβ współrzęde puktu R: w Oxy: (0, si(α+β cos β x TN+NP MR+NP OR siα + RP cosα si(α+β si α + cos(α+β cos α si β y OM-TM OM-NR OR cosα + RP siα si(α+β cos α - cos(α+β si α możąc pierwsze z powyższych rówań przez siα a drugie przez cosα otrzymujemy: si(α+β siα cosβ + cosα siβ - y M T y R N P β α o x x podobie zajdujemy: cos(α+β cosα cosβ siα siβ Wykład -4
Tożsamo samości trygoometrycze Podstawiając β zamiast β w powyższych wzorach, zajdujemy wyrażeia a sius i cosius różicy kątów. W rezultacie mamy: si α ± β si α cos β ± cos α si β ta α ± ta β ta( α ± β cos α ± β cos α cos β si α si β ta α ta β Waże przypadki szczególe: ta α si α si α cos α ta α ta α si( α ± β cos α cos α si α ta α ± ta β cos α cos β Dodając stroami wzory a si(α±β a astępie stosując podstawieia α+β γ oraz α β δ zajdujemy wyrażeie a siγ + siδ. Postępując aalogiczie moża zaleźć pozostałe z poiższych wzorów: γ + δ γ δ γ + δ γ δ si γ + si δ si cos cos γ + cos δ cos cos γ + δ γ δ γ + δ γ δ si γ si δ cos si cos γ cos δ si si Wykład -5
Fukcje hiperbolicze Odwrote fukcje trygoometrycze (fukcje arcus: Defiicja: Fukcje hiperbolicze zdefiiowae są w astępujący sposób: sih ( e x e x x cosh x ( e x + e x Własości: sih( x sih x cosh( x cosh x cosh x sih x sih x sihx sih x cosh x cosh x + sih x coshx tah x cosh x sih x ± y sih x cosh y ± cosh x sih y tah tah tah( x y x ± ± y cosh α ± β cosh x cosh y ± sih x sih y ± tah x tah y Wykład -6
Wykresy fukcji hiperboliczych Fukcje hiperbolicze: Odwrote fukcje hiperbolicze (fukcje arcus: Wykład -7
Symbole sumy (Σ( i iloczyu (Π( sumę oraz iloczy wyrazów ciągu liczb a p, a p+, a p+,, a -, a, gdzie p< zapisujemy w sposób skrócoy w astępujący sposób: a a + a +... + a a a a... a i p p + i p p + i p i p Przykład: Suma wyrazów ciągu arytmetyczego a 0, a 0 +d, a 0 +d, a 0 +d daa jest 0 0 k 0 wzorem: ( a + kd ( + ( a + d Przykład: Suma wyrazów ciągu geometryczego a 0, a 0 q, a 0 q, a 0 q, gdzie q, daa jest wzorem: k 0 a q a k 0 0 + q q sumy mogą przebiegać po dowolej liczbie wskaźików, p: m m a a + a +... + a + a +... + a +... + a +... a a ij pr p + r r p r + r + pm m ij i p j r j r i p jeżeli zakres zmieości ideksów jest taki sam stosuje się zapis: a ij i j i, j a ij Wykład -8
Metody dowodzeia twierdzeń Zasada idukcji matematyczej: Jeżeli twierdzeie w którym jest mowa o liczbach aturalych ( jest prawdziwe dla określoej liczby aturalej 0, i ( jeśli z prawdziwości tego twierdzeia dla liczby aturalej wyika jego prawdziwość dla liczby astępej +, to twierdzeie jest prawdziwe dla dowolej liczby aturalej r 0. Przykład: Pokaż, że Q( 4 + 3 + + jest podziele przez 6 dla wszystkich >0. ( sprawdzamy prawdziwość twierdzeia dla 0 : Q(/6 6/6 ( Q(+ (+ 4 + (+ 3 + (+ + (+ ( 4 + 4 3 + 6 + 4 + + ( 3 + 3 + 3 + + ( + + + (+ ( 4 + 3 + + + (4 3 + + 4 +6 Musimy teraz sprawdzić czy 4 3 +4 jest podziele przez 6, czyli czy R( 3 +7 jest podziele przez 3, przeprowadzając dodatkowy dowód przez idukcję: ( dla 0 : R(/3 9/3 3 ( R(+ (+ 3 + 7(+ ( 3 +3 +3+ + 7(+ ( 3 +7 + 3( ++3 R( jest więc podziele przez 3, co ozacza, że ostateczie Q( jest podziele przez 6. Wykład -9
Metody dowodzeia twierdzeń Dowód przez zaprzeczeie: zakładamy prawdziwość hipotezy oraz logiczego zaprzeczeia rezultatu który chcemy udowodić (tz. jeśli dowodzimy jeśli P to Q to zakładamy prawdziwość P i ie Q, stosując zae twierdzeia i własości dochodzimy do sprzeczości (tz. kokluzji sprzeczej z aszymi założeiami lub jakiegoś w oczywisty sposób ieprawdziwego twierdzeia, p. 0 Przykład: Udowodić, że ie jest liczbą wymierą. załóżmy, że jest liczbą wymierą, tz. że daje się zapisać w postaci gdzie a i b ie mają wspólych dzielików. a a b b co ozacza, że a jest liczbą parzystą, a w kosekwecji samo a jest parzyste, poieważ iloczy liczb ieparzystych jest liczbą ieparzystą. a więc moża apisać a c fi c b fi b jest parzyste. ozacza to że a i b oba są parzyste, a więc mają wspóly dzielik sprzeczość! Przykład: Tw: Jest ieskończeie wiele liczb pierwszych. (dowód q p p p 3 p + a b Wykład -0 0
Dwumia Newtoa Symbol Newtoa: (! k k k k dla 0 k!( k! oraz k 0 dla < 0 > k s k k + + + k k k + k k k + Własości: Przykład: Dowód metodą idukcji matematyczej trzeciej z powyższych własości: k k + L P k k + k + s k + s k + + k + k + k + k + + s k k k + k k + ( sprawdzamy prawdziwość twierdzeia dla 0 : ( s 0 0 Dwumia Newtoa (rozwiięcie dwumiaowe: ( + Przykład: Wychodząc z (x+y p (x+y q ª (x+y p+q oraz porówując wsp. przy x p+q-r y r mamy: p q p q p + q x y x y s t r s + t r t t r p q r s p s t q t s 0 t 0 t 0 s 0 k k x y x y k k 0 Wykład -
Pierwiastki rówaia r kwadratowego ax + bx + c 0 b ± b 4ac x, a y x x 3 x x x,, ± 4 + ± 4 3 x y x x + x x x,,, ± 4 4 ± 0 y x x + 3 x x,, ± 4 ± 8 ±? ± Jedostka urojoa: x, ± i i Wykład -
liczba rzeczywista. liczba (czysto urojoa. Fudametale twierdzeie algebry stwierdza, że jeśli f(z jest dowolym 3 + 4i Liczby urojoe bi 4i ± i Liczby zespoloe Liczby zespoloe ( to liczby zawierające jedostkę urojoą i (L.Euler. Postać algebraicza liczb zespoloych to z a+bi, gdzie a, b œ. a Re(z część rzeczywista liczby z, b Im(z część urojoa liczby z Jeśli b 0 oraz a 0, mamy a+0i lub a. Jeśli b 0 oraz a 0, mamy 0+bi lub ib wielomiaem stopia, to rówaie f(z 0 ma dokładie rozwiązań (w. πi i Liczby zespoloe z a + bi + i 3 π 4i Liczby rzeczywiste a (wymiere i iewymiere 3 + 0i 00 ( / 5 i 6.5 3 7 / 8 6.4e Wykład -3 3
Własości liczb zespoloych Dwie liczby zespoloe są sobie rówe wtedy i tylko wtedy gdy ich części rzeczywiste i urojoe są iezależie sobie rówe: z z Re{z }Re{z } i Im{z }Im{z } W zbiorze liczb zespoloych ie jest określoa relacja uporządkowaia (tz., że ie ma sesu wyrażeie p. 9+6i > 3+i Liczbą sprzężoą do liczby z a + bi azywamy wielkość z* a bi Liczba zespoloa jest czysto rzeczywista wtedy i tylko wtedy gdy z z* Liczba zespoloa jest czysto urojoa wtedy i tylko wtedy gdy z -z* Re z Re z* z + z* Im z Im z* ( z z* i Modułem liczby z a+bi azywamy wielkość: z zz * a + b Uwaga: zachodzą astępujące relacje z z* oraz z + z b z +z Przykład: Zajdź liczbę sprzężoą i moduł liczby zespoloej z a + i - 3bi z a + ( 3b i z* a ( 3b i z zz * a + ( 3b Wykład -4 4
Im(z b Płaszczyza zespoloa i argumet Każdą liczbę zespoloą z a+ib moża przedstawić jako pukt o współrzędych kartezjańskich (a, b a tzw. płaszczyźie zespoloej: wektor wodzący tego puktu ma początek w pukcie (0,0 i koiec w (a,b jego długość jest rówa modułowi liczby zespoloej kąt zawarty między osią Re(z i wektorem wodzącym puktu (a,b azywamy fazą lub argumetem liczby zespoloej i ozaczamy ϕ arg(z. Liczba z 0 może mieć dowolą fazę. W pozostałych przypadkach faza daa jest przez: a b cos ϕ si ϕ z a+ib a + b a + b z ϕ a Re(z Diagram Argada Daej liczbie zespoloej moża przyporządkować ieskończeie wiele faz: ϕ + kπ, gdzie k jest dowolą liczbą całkowitą. Argumetem główym (oz. Arg(z azywamy fazę z przedziału -πbϕ<π. Im(z z z z x+iy Wykład -5 5 Re(z z* x iy
Dodawaie liczb zespoloych Dodawaie (odejmowaie liczb zespoloych (z a +ib oraz z a +ib : a a i ( b b z ± z a + ib ± a + ib ± + ± Dodawaie l.z. jest przemiee i łącze: z + z z + z z + z + z z + z + z 3 Sprzężeie zespoloe sumy (różicy l.z. ( z ± z * z * ± z* Przykład: Wykoaj działaie z +z -z 3 gdzie z +i, z 3-4i, z 3 -+i z + z z3 ( + i + ( 3 4i ( + i ( + 3 ( + i ( 4 6 3i Im(z b +b Re z ± z Re z ± Re z Im z ± z Im z ± Im z b b z a a z z + z z a +a Re(z (, (, ( +, + z + z a b + a b a + a b + b Wykład -6 6
Możeie i dzieleie liczb zespoloych Możeie i dzieleie liczb zespoloych (z a +ib oraz z a +ib : ( + ( + zz zz i oraz ( ( zz z3 z ( zz3 + + aa + bb + i ( ba ab + + z z a ib a ib a a b b + i a b + b a z a ib a ib a ib z a ib a ib a ib a ib aa + bb ba ab + i z 0 z a + b a + b z Przykład: Wykoaj działaia z z oraz z /z gdzie z 3+i, z --4i. z z 3 + i 4i 3 i i 8i 5 4i z ( 3 + i( + 4i + 0i 0 + i z ( 4i( + 4i 7 7 7 * z z z z * zz * z * z* zz z z z z * z z Własości sprzężeia zespoloego i modułu: z* z Wykład -7 7
Zbiór r liczb zespoloych Przykład: Sprawdź czy w zbiorze liczb zespoloych zachodzi rozdzielość możeia względem dodawaia. ( (, (, (, (, (, ( a ( a a b( b b, a ( b b b( a a (( aa bb ( aa bb,( ab ba ( ab ba ( aa bb, ab ba ( aa bb, ab ba ( a, b( a, b ( a, b( a, b zz zz z z + z a b a b + a b a b a + a b + b + + + + + + + + + + + + + + Przykład: Zajdź fazę i moduł liczby zespoloej z -3i z Uwaga: przy wyborze kąta zawsze trzeba zwrócić uwagę w której ćwiartce zajduje się badaa liczba zespoloa. zz * + ( 3 3 y 3 arg arcta arcta. x z 0988 rad Wykład -8 8
Postać trygoometrycza liczb zespoloych Każdą liczbę zespoloa za+bi moża przedstawić w postaci trygoometryczej: a b z a bi z i + + z ϕ + i ϕ z z ( cos si Możeie i dzieleie l.z. w postaci trygoometyczej: z z z z cos ϕ + i si ϕ cos ϕ + i si ϕ Im(z ϕ cos cos si si ( si cos si cos ( cos si ( cos ϕ + i si ϕ z ( cos( i si ( ( cos ϕ + i si ϕ z z ϕ ϕ ϕ ϕ + i ϕ ϕ + ϕ ϕ z z ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ z z ϕ ϕ + ϕ ϕ z z z Wioski: moża tak dobrać wartości argumetów, aby były spełioe relacje: arg(z z arg(z + arg(z oraz arg(z /z arg(z - arg(z Twierdzeie de Moivre a: (cosϕ+isiϕ cos(ϕ + isi(ϕ b z z a+ib a Re(z Wykład -9 9
Zastosowaie twierdzeia de Moivre a Przykład: Wyraź cos3θ i si3θ poprzez kombiacje potęg cosθ i siθ. Stosujemy twierdzeie de Moivre a: 3 3 ( 3 cos3 θ + i si3 θ cos θ + i si θ cos θ 3cos θ si θ + i 3si θ cos θ si θ Porówując, oddzielie, części rzeczywiste i urojoe, dostajemy: 3 3 cos3 θ cos θ 3cos θ si θ 4cos θ 3cos θ 3 3 si3 θ 3si θ cos θ si θ 3si θ 4si θ Przykład: Wyraź cos 4 θ poprzez kombiacje cosiusów wielokrotości kąta. z + z ( cos θ + i si θ + ( cos θ + i si θ z z + cos θ cos θ + i si θ + cos( θ + i si( θ cos( θ cos 4 4 4 z z z θ + + + + + z 4 6 4 4 4 6 z z 4 z z 3 3 + + + + cos4 θ + cos θ + 4 6 z 4 z 8 8 8 Podobie zajdujemy, że: z z i si( θ z z i si θ Wykład -0
Postać bieguowa liczb zespoloych Z aalizy matematyczej wiemy, że: k x y x 0 e e e + y d x x z z z z e e α e α 3 α e + z + + +... dx k! 6 d dϕ poieważ ( cos ϕ + i si ϕ si ϕ + i cos ϕ i ( cos ϕ + i si ϕ więc moża apisać iaczej cos ϕ + i si ϕ e iϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ k 0 3 4 5 iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ e + i ϕ + + + + +...! 3! 4! 5! 4 3 5 ϕ ϕ ϕ ϕ +... + i ϕ +... cos ϕ + i si ϕ! 4! 3! 5! Każdą liczbę zespoloa za+bi moża przedstawić w postaci bieguowej: ( cos si exp z a + bi z ϕ + i ϕ z i ϕ Możeie i dzieleie liczb zespoloych w postaci bieguowej: iϕ i ϕ i i z z e z ϕ zz z e z e z z e e iϕ z z e z ( ϕ +ϕ i( ϕ ϕ Wykład -
Pierwiastek z liczby zespoloej Twierdzeie: Istieje dokładie różych pierwiastków -tego stopia z każdej liczby zespoloej różej od zera, tz. rozwiązań rówaia w z i wszystkie te pierwiastki dają się zapisać wzorem, w którym k 0,,, -: ϕ + k π ϕ + k π ϕ + k π wk z cos + i si z exp i Przykład: Zajdź wszystkie rozwiązaia rówaia z 3 k exp k k k 3 0 + π 0 wk i π π i i 3 3 3 w0 w e w e Własości pierwiastka -tego stopia z l.z. : ( kπ ω k exp i gdzie k 0,,..., k ω ω ω ω ω ω k l k + l k k iπ k ( π exp e ω ω i 0 e k π i k 0 k 0 k 0 - w π/3 w Im z i -i π/3 π/3 w 0 Wykład - Re z
Zespoloy logarytm i zespoloa potęga Defiicja: Logarytmem aturalym z liczby zespoloej z (oz. L(z azywamy liczbę zespoloą w taką, że z e w. w w w + w z z e e e l ( z z w + w l( z + l( z Zapiszemy liczbę z w postaci wykładiczej i zajdziemy jej logarytm: ( z z exp i Arg z + k π l z l z + i Arg z + k π Przykład: π π π 3 π 7 π l i l exp i + k π i + k π i, i, i,... Defiicja: Niech z i w œc. Potęgą liczby z z e iϕ (gdzie faza ϕ Arg(z+kπ o wykładiku w azywamy wielkość z w exp(w l(z z w exp(iϕw gdzie A więc: w Re w i Im w Re w i Im w l z i ϕ w ϕ Im w i ϕ Re w z z z z e oraz e e e Rew w Im w w z z e ϕ oraz arg z l z Im w + ϕ Re w Przykład: Oblicz z i -i ( π z exp i l e exp i i k l l i π + k e e π + π e z i i π+ 4k π Wykład -3
F. trygoometrycze zmieej zespoloej Defiicja: Korzystając z postaci bieguowej i trygoometryczej liczby zespoloej możemy zdefiiować fukcje sius i cosius w astępujący sposób: si x ( e ix e ix cos x ( e ix + e ix i Uwaga: Defiicje te spełiają wszystkie tożsamości trygoometrycze. Defiicja: W aalogiczy sposób defiiujemy sius i cosius liczby zespoloej: si z ( e iz e iz cos z ( e iz + e iz i Uwaga: Także te defiicje spełiają wszystkie stadardowe wzory trygoometrycze, p.: si z si z cos z cos z si z + cos z siz si z cos z cos z si z ( e iz e iz ( e iz e iz ( e i z + + + e i z cosz 4 4 Iterpretacja fukcji zespoloej siz: i( x iy i( x iy y y si z si( x iy ( e + e + + [ e ( cos x + i si x e ( cos x + i si x ] i i y y y y si x ( e +e i cos x ( e -e + si x cosh y + i cos x sih y Wykład -4
Fukcje hiperbolicze zmieej zespoloej Defiicja: Fukcje hiperbolicze zdefiiowae są w astępujący sposób: sih ( e x x e x cosh x ( e x + e x Własości fukcji hiperboliczych: sih( x sih x cosh( x cosh x cosh x sih x sih x sihx sih x cosh x cosh x + sih x coshx tah x cosh x Defiicja: W aalogiczy sposób defiiujemy sius i cosius hiperboliczy liczby zespoloej: sih ( e z z e z cosh z ( e z + e z Uwaga: Istieją astępujące związki pomiędzy fukcjami trygoometryczymi i hiperboliczymi zmieej zespoloej: si iz i sih z cos iz cosh z sih iz i si z cosh iz cos z Przykład: Oblicz cos(π-i cos( π i cos π cosh ( i si π sih ( cosh( cosh 543. Uwaga: Widać, że Im(cosz 0 wzdłuż pioowych prostych dla których x kπ, k0,, Wykład -5