L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrae zagadea PRAWDOPODOBIESTWO Przyład Rozpatrzmy jao dowadczee losowe jedoroty rzut szece ost. Choca e potrafmy przewdze wyu tego dowadczea to zamy molwe waraty wyu - lczba ocze 6. Oprócz tach elemetarych wyów mog as teresowa wy bardzej złooe a tóre słada s by moe wele elemetarych wyów p. wypadła parzysta lczba ocze, lczba ocze wsza 4. Szasa uzysaa poszczególych elemetarych wyów wyos /6, szase ych zdarze moa oblczy. Ja wda w tym podobych przyładach jel badamy dowadczee losowe to jego model matematyczy powe zawera trzy elemety: zbór molwych wyów dowadczea, zbór zdarze, oce szasy zajca zdarze w sal [, ]. Te trzy elemety łcze azywamy przestrze probablstycz. ( Ω, S, P ) przestrze probablstycza (matematyczy model zjawsa losowego), Ω zbór wszystch zdarze elemetarych, S zbór zdarze, (podzbory zboru Ω), P prawdopodobestwo (fucja przyporzdowujca zdarzeom szas ch zajca). P : S R Uwaga. Mówmy, e zaszło zdarzee A jel wyem dowadczea jest dowole zdarzee elemetare ω A (zdarzee sprzyjajce dla A). Zatem zdarzea detyfujemy z podzborem tych zdarze elemetarych, tóre mu sprzyjaj. Poewa zdarzea s zboram to bdzemy stosowa dzałaa a zborach do zapsu dzała a zdarzeach. suma zdarze A, B A B loczy zdarze A, B A B zdarzee przecwe do zdarzea A A Ω A róca zdarze A, B A B Mówmy, e: zdarzee A pocga zdarzee B gdy A B zdarzea A, B wyluczaj s (s rozłcze) gdy A B. Asjomaty prawdopodobestwa: (PI) A) A S (PII) Ω ) (PIII) P ( A A...) A ) + A ) +... A S; param wyluczajce s.
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Własoc prawdopodobestwa a) ) b) A ) A) gdze A Ω A jest zdarzeem przecwym c) Jel zdarzea A,...A wyluczaj s, to A... A ) A ) +... + A ) d) P A A ) A ) + A ) A A ) A, A ; ( S e) P A ) A ) dla A A A, A ; ( S f) Jel A A to A A ) A ) ),, A Jel zdarze elemetarych jest soczee wele s oe jedaowo prawdopodobe to moemy sorzysta z tzw. lasyczej defcj prawdopodobestwa. A lczba zdarze elemetar ych sprzyjajc ych A) Ω lczba wszystch zdarze elemetar ych Ta oreloa fucja P speła asjomaty prawdopodobestwa. A S Uwaga. Lczba molwych sposobów ustawea róych elemetów w cg czyl permutacj zboru elemetowego wyos P! Lczba molwych cgów długoc o mogcych powtarza s elemetach ze zboru elemetowego czyl wyrazowych waracj z powtórzeam zboru elemetowego wyos W. Lczba molwych cgów długoc o róych elemetach ze zboru elemetowego czyl! wyrazowych waracj bez powtórze zboru elemetowego ( ) wyos V. ( )! Jel, to V V P. Lczba molwych elemetowych podzborów zboru elemetowego czyl wyrazowych! ombacj zboru elemetowego ( ) wyos C. Zauwamy, e!( )! V C bo w ombacjach olejo elemetów e jest stota.! Dysreta przestrze probablstycza. Ω Nech Ω { ω, ω,... }, S Jel orelmy prawdopodobestwo dla zdarze jedoelemetowych P ω p gdze p, wtedy dla A { ω ω,...} A) P P, ({ }) mamy ({ ω, ω,...}) { ω } { ω }...) ({ ω }) + { ω }) +... p + p +... p
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Ta oreloa fucja P speła asjomaty prawdopodobestwa. Spełee asjomatu PIII wya z fatu, e suma zbeego szeregu lczb eujemych e ulega zmae przy dowolym grupowau przestawau wyrazów tego szeregu. Jel Ω N p to otrzymujemy lasycz defcj prawdopodobestwa. N Prawdopodobestwo geometrycze Jel zdarzea elemetare s podzborem o merze soczoej przestrze R (jel to mar jest długo, dla pole, dla 3 objto) s oe jedaowo prawdopodobe to stosujemy tzw. prawdopodobestwo geometrycze. mara A A) A S mara Ω Ta oreloa fucja P speła asjomaty prawdopodobestwa. Uwaga Jel mamy molwo welorotego powtarzaa (ezalee) dowadczea losowego w tych samych waruach to moemy wyzaczy przyblo warto prawdopodobestwa wybraego zdarzea A A) czsto zdarzea A gdze lczba wyoaych dowadcze; lczba tych dowadcze w tórych zaszło zdarzee A. Sposób te stosuje s w statystyce. PRAWDOPODOBIESTWO WARUNKOWE. NIEZALENO Prawdopodobestwo waruowe. Oceajc szas zajca jaego zdarzea moemy wyorzystywa dodatowe formacje o ych zdarzeach, tóre zaszły (lub speulowa o osewecjach ch zajca). Iformacje te mog wpływa a prawdopodobestwo zajca rozpatrywaego zdarzea lub e. Aby oce stope wpływu zajca jedego zdarzea a szas zajca ego zdarzea wprowadzamy astpujce orelee. Jel B) >, B S to orelamy prawdopodobestwo waruowe dowolego zdarzea A pod waruem, e zaszło zdarzee B: A B) A B) B) 3 A S Pszc P ( A B) bdzemy domyle załada, e P ( B) >. Właso. Ω,S, P jest przestrze probablstycz B) >, B S to Jel ( ) * (, S, P ) * Ω gdze P ( A) A B), A S jest rówe przestrze probablstycz. Oazuje s, e zajce zdarzea A zwsza szase zajca zdarzea B wtedy tylo wtedy, gdy zajce zdarzea B zwsza szase zajca zdarzea A.
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa P ( A B) > A) B A) > B) (uzasadee: obe stroy rówowaoc s a mocy defcj prawdopodobestwa waruowego rówowae erówoc P ( A B) > A) B) wc s rówowae mdzy sob). Prawdopodobestwo waruowe moa wyorzysta do wyzaczaa prawdopodobestwa loczyu zdarze. Przyład. Jel przeazyway sygał ma dotrze z putu emsj do putu B przez pored put A a adym etape moe by zeształcoy z odpowedm prawdopodobestwem. Nezeształcoy sygał dotrze do putu B pod waruem, e dotrze ezeształcoy do putu A. Zatem lczc prawdopodobestwo dotarca ezeształcoego sygału do putu B moymy prawdopodobestwo jego dotarca do putu A przez prawdopodobestwo jego dotarca do B pod waruem, e do A sygał dotarł. Zatem tucyje orzystamy z wzoru P ( A B) A) B A) wyajcego z orelea P ( B A). Podobe P ( A B) B) A B). Powyszy wzór moa uogól astpujco: Nech zdarzea A, A,..., A, spełaj warue P A A... A wtedy P A A... A A ) A A )... P A A A ( ) > ( ) (... ) A- Powyszy wzór staow uzasadee metody drzewe czsto stosowaej p. przy losowaach weloetapowych, gałzom odpowadaj prawdopodobestwa waruowe, przemeszczae s wzdłu gałz ozacza moee tych prawdopodobestw. Nastpujce twerdzee pozwala wyraz prawdopodobestwo dowolego zdarzea jao sumy "władów" zupełego uładu zdarze do rozpatrywaego zdarzea. Twerdzee (o prawdopodobestwe całowtym) Nech zdarzea A, A,..., A, spełaj waru: A, A,..., A, s param wyluczajce s, A A... A (o tam uładze zdarze mówmy, e jest zupeł A ) >,,,...,. wtedy dla dowolego zdarzea B B) A ) B A ) + A ) B A ) +... + A ) B A ) A ) B A ) Dowód. Z załoea o uładze zupełym defcj prawdopodobestwa waruowego mamy B) P ( B A ) B A ) A ) B A ) Powysze twerdzee jest rówe prawdzwe dla przelczalego zupełego uładu zdarze. A A A 3 A 4 A 5 A 6 B 4
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Twerdzee (Bayesa) Nech zdarzea A, A,..., A, spełaj waru poprzedego twerdzea. Wtedy dla dowolego zdarzea B taego, e B) > mamy: A A ) B A ) A ) B A ) A ) B A ) B) B) A ) B A ) + A ) B A ) +... + A ) B A ) A ) B A ) Zdarzea A B s ezalee gdy A B) A) B) A, B S Pojce to powoduje, e teora prawdopodobestwa ma swoj specyf w porówau z teor mary ym dzałam matematy. Zauwamy, e jel zdarzee A jest ezalee od zdarzea B to P ( A B) A) Ogóle. Zdarzea A,..., A ( ) s ezalee, jel P A... A ) A )... A )..., ( Np. trzy zdarzea A, B C s ezalee wtedy tylo wtedy, gdy P ( A B C ) P ( A) B ) P ( C ), P ( A B) A) B), P ( A C ) P ( A) P ( C ) P ( B C ) P ( B ) P ( C ). Uwaga. Jel A, B ezalee to A, B' s rówe ezalee. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA Aby moa było wyorzysta aparat aalzy matematyczej do badaa prawdopodobestwa, wygode jest przee wy dowadczea losowego ze zboru zdarze elemetarych Ω, specyfczego dla tego dowadczea do uwersalego zboru R bardzej "przyjazego" dla operacj róczowych całowych. Zme losow azywamy fucj (pratycze ad) przyporzdowujc zdarzeom elemetarym lczby rzeczywste. : R Orelajc zme losow otrzymujemy molwo lczbowego opsu wyów dowadczea losowego, moemy te "odfltrowa" zbde formacje, tóre as e teresuj. Najczcej bowem wae s tylo pewe charaterysty lczbowe zalee od wyu dowadczea. Przyład zmeych losowych Dla przestrze probablstyczej dwa rzuty ost. suma ocze, (wartoc:, 3,..., ). wy rzutu o wszej lczbe ocze (wartoc:,,..., 6). 5
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Stosujemy uproszczea p. - zaps < x) ozacza {ω Ω: (ω) < x}), - zaps x < < x ) ozacza {ω Ω: x < (ω) < x }), Zdarzeom s przyporzdowae podzbory zboru R, musmy tym podzborom przyporzdowa odpowadajce m prawdopodobestwa. Przyporzdowae to azywamy rozładem prawdopodobestwa zmeej losowej ozaczamy P. ( ( B) ) B Β( R), P ( B) P dla B(R) - zbory borelowse Ta oreloe P speła asjomaty prawdopodobestwa. Ω B(A) R A - (B) P P Dla zmeej losowej moa zdefowa dystrybuat - fucj rzeczywst, tóra wyzacza rozład zmeej losowej jedozacze. Dystrybuat zmeej losowej azywamy fucj F: R R orelo wzorem: Własoc dystrybuaty: a) F jest fucj emalejc, b) F jest fucj lewostroe cgł, c) F( ) ; F( ), A)P (B) F( x) < x) P ((, x)) d) dystrybuata zmeej losowej wyzacza jedozacze jej rozład, e) a < b) F( b) F( a); a < b f) a) F( a + ) F( a); gdze F( a + ) ozacza grac prawostro, (jel a jest putem cgłoc dystrybuaty to a ) ). Uwaga Jel fucja rzeczywsta speła własoc a), b), c) to jest dystrybuat pewej zmeej losowej, jej rozład jest wyzaczoy jedozacze. Zmea losowa jest soowa (dysreta) jel zbór wszystch jej wartoc jest soczoy lub przelczaly. Rozład zmeej losowej soowej czsto orelamy za pomoc fucj prawdopodobestwa: x ) p (właso: p ; p > ) Lczby p azywamy soam, a wartoc x putam soowym. 6
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Zajc fucj prawdopodobestwa zmeej losowej soowej moa wyzaczy jej dystrybuat F ( x ) oraz jej rozład prawdopodobestwa P ( B) p x < x x B Przyład Zmea ta przyjmuje wartoc,, 3 z prawdopodobestwam odpowedo ), ; ), 6 ; 3),. Wartoc fucj prawdopodobestwa moa zestaw w tabel: Jej dystrybuata ma posta,8, x 3 p,,6,, F( x),8 dla dla dla dla p x < x < x 3 x > 3 3 Zauwamy, e puty soowe s putam ecgłoc dystrybuaty a so wyzaczaj przyrosty dystrybuaty (jej so) w tych putach. Dla zmeej losowej soowej dystrybuata jest zawsze awałam stała. Zmea losowa o dystrybuace F jest cgła jel jej dystrybuata da s przedstaw w postac gdze f jest fucj spełajc waru: x F( x) f ( t) dt x R f ( x) ; x R; f ( t) dt azywamy j gstoc prawdopodobestwa zmeej losowej. Własoc zmeej losowej cgłej: a a) < a) f ( x) dx F( a), b) a b) a < b) a < b) a < < b) f ( x) dx F( b) F( a) 7 b a
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa c) > b) f ( x) dx F( b), b d) a), dla dowolego a R ; (bra putów soowych), e) F jest fucj cgł prawe wszdze róczowal F ( x) f ( x) (rówo zachodz dla putów cgłoc gstoc). Wyzaczajc gsto przez róczowae dystrybuaty, w putach w tórych F e jest róczowala moa przyj, e gsto jest rówa zero. Przyład. Wyzaczymy wartoc c dla tórej fucja (,] (,] cx dla x f ( x) dla x jest gstoc pewej zmeej losowej cgłej? Aby gsto była eujema f ( x) dx, mus by c > pole odpowedego trójta prostotego rówe. Std c. Dystrybuata tej zmeej losowej ma posta x F( x) dt dla ( ; ] dla x (,] dla (, ] Ostatecze x F( x) dt + tdt x x x F ( x) dt + tdt + dt F( x) x dla dla dla x x x x Oblczymy prawdopodobestwo P (,5,75). ( ; ] (,] (, ] Sposób I. Za pomoc gstoc P (,5,75) xdx x, 5 Sposób II. Za pomoc dystrybuaty P (,5,75) F(,75) F(,5), 5,75,5,75,5 Uwag o rozładze fucj zmeej losowej. Jel - soowa, o fucj prawdopodobestwa x ) p, g - dowola to fucja prawdopodobestwa zmeej losowej Y g() ma posta: g(x ) g(x )... g(x ) p p... p Po uporzdowau rosco wartoc g(x ) zsumowau odpowedch prawdopodobestw. Doładej Y g( ) P ( ) x x ) p { : g ( x ) y} { : g ( x ) y} { : g( x ) y} 8
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Przyład. - zmea losowa soowa o fucj prawdopodobestwa: -4 - -,4,,,,, wyzaczymy fucj prawdopodobestwa zmeej losowej Y sg. sg(-4) sg(-) sg(-) -. sg(). sg() sg(). Zatem fucja prawdopodobestwa zmeej losowej Y jest astpujca -,6,,3 - daa zmea losowa cgła o gstoc f. Y g(), Wyzaczy gsto g( zmeej losowej Y. ) Jel g - cle mootocza róczowala w przedzale (a, b) ocetracj to: ' g ( f h( h ( y ( ) ) gdze h g -. Naley pamta o przeształceu przedzału ocetracj. Przyład. Y a + b, wtedy y b g( f, a a Przyład. Jel ma rozład o gstoc dla x f ( x) x e dla x > wtedy h ( ( y + ), ( ( y + ) h, g() -, g( ), Y, g ( y + ) e ( ( y + ) dla x, dla x > ) Jel g - przedzałam cle mootocza róczowala w przedzale (a, b) ocetracj to: g( f ( h ( ) ' h ( gdze h - fucje odwrote do g dla poszczególych przedzałów, - lczba wartoc fucj odwrotej odpowadajcych daemu y. W etórych zagadeach wyzaczaa rozładu fucj zmeej losowej ajperw wyzaczamy dystrybuat rozładu zmeej losowej Y g(), wg schematu F Y ( Y < g( ) < g ((, ) < astpe jel to molwe, wyzaczamy fucj prawdopodobestwa (gdy jest to rozład soow lub gsto (gdy jest to rozład cgł. 9
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa PARAMETRY ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Własoc rozładu zmeej losowej czsto charateryzujemy jej parametram. Jedym z podstawowych parametrów jest warto oczewaa. Warto oczewaa. Ozaczee E lub m. Dla zmeej losowej soowej E x p (jel ewetualy szereg jest zbey bezwzglde, tae szereg s "odpore" p. a zma olejoc wyrazów). Dla zmeej losowej cgłej E xf ( x) dx (jel ewetuala cała ewłacwa jest zbea bezwzglde). Przyjmujc, e warto oczewaa steje mamy te a uwadze, e ma soczo warto. Przyład Dla zmeej losowej o fucj prawdopodobestwa x - 3 p,,6, E, +,6 + 3,,6. Iterpretacja. Warto oczewaa wyzacza rode coc masy jedostowej rozłooej w putach soowych.,,6, -,6 3 Moa te powedze, e jest to reda warto przyjmowaa przez zme losow (z uwzgldeem wag jam s prawdopodobestwa). Przyład Dla zmeej losowej o gstoc Własoc wartoc oczewaej a) Ec c; c stała, b) E(a) ae(), c) E( + Y) E + EY, d), Y ezalee, to E(Y) E EY. x x <, > f ( x) x <, > 3 x E x xdx x dx 3 3
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Mar rozrzutu wartoc zmeej losowej jest waracja. Waracja. Ozaczee D lub lub V. D E( E) Dla zmeej losowej soowej D ( x E ) p Dla zmeej losowej cgłej D ( x E ) f ( x ) dx Własoc waracj a) D c ; c stała, b) D (a) a D (), c) D ( + b) D, b stała, d), Y ezalee, to D ( ± Y) D + D Y e) D E( ) (E). Uzasadee e) D E( E) E( E + (E) ) E EE + (E) E( ) (E). Jel rozrzut wartoc zmeej losowej chcemy (p. z powodu terpretacj w zastosowaach) merzy w tych samych jedostach co to stosujemy odchylee stadardowe. Odchylee stadardowe. Ozaczee D lub. D D Właso Jel ma warto oczewa m odchylee stadardowe > m to zmea losowa Y ma EY D. Zme losow Y azywamy zme losow stadaryzowa. Przyład x x <, > Dla zmeej losowej o gstoc f ( x) x <, > mamy 3 4 4 D x xdx 3 x x + xdx 3 9 II sposób (a podstawe własoc e)) 3 D x xdx 3 x dx 4 9 E zatem 3 Przyład Jel ezalee zmee losowe (,,..., ) maj ta sam warto oczewa m tae samo odchylee stadardowe > to zmea losowa bdca ch red ma E m ; D 4 9 8 8
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Nerówo Czebyszewa. Jel zmea losowa ma warto oczewa m odchylee stadardowe > to dla dowolego ε > mamy P ( m ε ) ε Z erówoc tej wya, e waracja (odchylee stadardowe) jest mar odchylea wartoc zmeej losowej od wartoc oczewaej. Momet rzdu ( - lczba aturala) ( ) m E Zauwamy, e w szczególoc m E m, oraz właso e) dystrybuaty moa zapsa D m m. Właso. Jel steje m to steje m s dla adego s <. Momet cetraly rzdu ( - lczba aturala) µ E E Zauwamy, e w szczególoc µ, µ D. ( ) ) Za pomoc mometów wyszych rzdów orelamy współczy asymetr (sooc) µ 3 a 3 współczy supea (urtoz) Weloc te s czsto stosowae w statystyce. µ 4 4 Kwatylem rzdu p ( < p < ) zmeej losowej o dystrybuace F azywamy lczb x p, ta, e + F x p F x ( ) ( ) Zauwamy, e dla zmeej losowej cgłej x p wyzaczymy z rówoc F x p p ( ) p Kwatyl rzdu,5 azywamy meda. Kwatyle rzdu,5 ;,5;,75 azywamy wartylam (drug wartyl jest meda). Weloc te s czsto stosowae w statystyce. Kwatyle stej dla adej zmeej losowej, lecz e zawsze s wyzaczoe jedozacze. p PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIESTWA Rozłady soowe Rozład dwuputowy (zerojedyow Nech p (, ) bdze ustalo lczb. Orelamy: ) q, ) p ; gdze q p. Rozład te jest wyorzystyway w statystyczej otrol jaoc. Moa p. przyj, e gdy wyrób dobry, gdy wyrób jest wadlwy, wtedy p ) tratujemy jao wadlwo wyrobu.
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Rozład dwumaowy Dla daych p (, ), N orelamy fucj prawdopodobestwa ) p q gdze q p,,,...,. Zauwamy, e gdy to rozład dwumaowy jest rozładem zerojedyowym. Jel przyjmemy, e ozacza lczb ezaleych dowadcze z tórych ade oczy s jedym z dwóch wyów: sucesem" (z prawdopodobestwem p w adym dowadczeu) lub pora zmea losowa ozacza lczb sucesów to powyszy wzór wyzacza prawdopodobestwo uzysaa dołade sucesów w dowadczeach (próbach). Rozład Possoa Dla λ > orelamy fucj prawdopodobestwa λ ) e λ,,,...! (wartoc tych prawdopodobestw zawera tablca rozładu Possoa) Rozład Possoa (molwo odczytu w tablc moe dla duych (pratycze 3) małych p (pratycze p,) przybla rozład dwumaowy (przyblee Possoa) p q λ e! λ gdze λ p Rozłady cgłe Rozład jedostajy Rozład tórego gsto jest stała w pewym przedzale azywamy jedostajym. Gsto rozładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) x ( a; b) Poewa gsto ta ma o symetr w puce x (a + b)/ to E (a+b)/ Poaemy, e Przyład Najperw oblczymy E E Zatem 3 x dx b a b a 3 D (b a) / b b b a x ( E ) 3 3 b a a b a 3 3 + ab + 3 a a ( b a) D E + ab + b a + b 3 Rozład wyładczy Rozład te wystpuje czsto w zagadeach rozładu czasu mdzy zgłoszeam (awaram) lub czasu oczewaa a obsług w systemach olejowych. Gsto rozładu wyładczego o parametrze a > ma posta ax ae x > f ( x) x 3
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa dystrybuat tego rozładu jest fucja e F( x) ax x > x Rozład ormaly Dla m R, (, + ) orelamy gsto rozładu ( x m) f ( x) e π x R W tablcy II dla x [; 5) podao wartoc dystrybuaty Φ rozładu N(, ) Wartoc dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawe zaleoc Φ( x) Φ(x) Uwaga Jel ma rozład N(m, ) to zmea losowa Y ( m)/ ma rozład N(, ) (tae przeształcee azywamy stadaryzacj). Przyład Dochód mesczy (zł) w pewej populacj osób ma rozład ormaly N(6; 3). Ja procet osób w tej populacj ma dochód mesczy poej zł? wysoo mesczego dochodu 6 6 P ( < ) P < P Y 3 3 ( < ) Φ( ) Φ(),977,8,8% Prawo trzech sgm Jel ma rozład N(m, ) to P ( m < < m + ),683, P ( m < < m + ),955, P ( m 3 < < m + 3 ),997 Ostata rówo wadczy o tym, e choca rozład ormaly ma gsto ró od zera a całej prostej to pratycze emal wszyste realzacje supaj s w przedzale ( m 3, m + 3 ) właso t azywamy prawem trzech sgm. 4
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa m m 3 m + 3 Iterpretacja grafcza parametrów rozładu N(m, ) Trzy rozłady cgłe, tóre maj due zaczee w statystyce matematyczej: Rozład ch wadrat, Rozład Studeta, Rozład F Sedecora Przedstawoe s w zestaweu rozładów cgłych. Rozłady te s stablcowae. 5
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Odczyt z tablcy (tablca III) dla rozładu ch wadrat. (podobe terpretujemy grafcze odczyt (tablca V) z tablcy F Sedecora.) Y ) α Uwaga. ) Dla, wyres gstoc rozładu ch wadrat jest y (tylo cz malejca wyresu) ) dla > 3 stosujemy przyblee rozładem ormalym. Odczyt z tablcy (tablca IV) dla rozładu Studeta. T ) α Rozłady tablce zawera oddzele zestawee. FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA Fucj ϕ : R C (zespolo zmeej rzeczywstej) orelo wzorem ϕ ( t) ϕ ( t) E t tx ( e ) e df( x), t R azywamy fucj charaterystycz zmeej losowej. Zatem dla zmeej losowej soowej o fucj prawdopodobestwa ϕ ( t) p e tx, t R P ( x ) p 6
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa atomast dla zmeej losowej cgłej o gstoc f(x) ϕ ( t) f ( x) e tx dx, t R Powyszy szereg cała s bezwzglde zbee do (bo wartoc modułu zmeej losowej e t, t R s rówe odpowedo p, f ( x) dx ), zatem fucja charaterystycza zawsze steje. Własoc fucj charaterystyczej. a) ϕ ( ), ϕ ( t), t R, b) ϕ jest fucj jedostaje cgł, tb c) ϕ ( t) e ϕ ( ta) a + b, d) jel steje E <,, to ϕ jest fucj lasy C oraz ϕ ( ) ( ) () ϕ () E, ( ) e) jel steje jest soczoa pochoda ϕ () to E <, f) ϕ ( t) ϕ ( t) ϕ ( t) g) jel, Y - ezalee zmee losowe to ϕ + Y ( t) ϕ ( t) ϕy ( t), h) fucja charaterystycza orela rozład zmeej losowej jedozacze. E, czyl W szczególych przypadach moa (orzystajc z retrasformat a podstawe fucj charaterystyczej wyzaczy rozład zmeej losowej. Właso. Jel fucja charaterystycza ϕ zmeej losowej jest bezwzglde całowala, to jest zme losow cgł gsto jej wyraa s wzorem tx f ( x) ϕ( t) e dt π Właso. Jel fucja charaterystycza ϕ zmeej losowej jest oresowa o orese π, to jest zme losow soow o wartocach całowtych jej fucja prawdopodobestwa wyraa s wzorem π t ) ϕ( t) e dt - lczba całowta π π ZMIENNA LOSOWA DWYWYMIAROWA (WIELOWYMIAROWA) S P to cg (,,..., ) azywamy zme losow -wymarow (wetorem losowym). Zauwamy, e w tym przypadu ademu zdarzeu elemetaremu przyporzdowujemy cg lczb rzeczywstych. Jel,,..., s zmeym losowym w ustaloej przestrze probablstyczej ( Ω,, ) : Ω R W szczególoc gdy mamy dwuwymarow zme losow (, Y). Zmee losowe welowymarowe słu do modelowaa tach dowadcze losowych tórych wy opsuje s uładem welu lczb rzeczywstych p. losowo wybraego człowea moemy m.. scharateryzowa trzema lczbam: wzrostem, wag weem. 7
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Zmea losowa -wymarowa., Y ) : Β( R ) [, ] - rozład prawdopodobestwa zmeej losowej (,Y)., Y )( A), Y ) ( A) ), A Β( R ) Rozłady prawdopodobestwa zmeych losowych, Y azywamy rozładam brzegowym. Rozład prawdopodobestwa zmeej losowej (, Y) azywamy rozładem łczym. Dystrybuata ( < x Y F ( x, P, < Własoc dystrybuaty zmeej losowej (,Y). a) F jest emalejca wzgldem adego argumetu, b) x lm F( x, y ; y ( lm F( x, ) x ; lm F( x,, x y c) F jest lewostroe cgła wzgldem adego argumetu, d) x x ; y y x < x ; y ; F ( x, y ) F( x, y ) F( x, y ) + F( x, y ) Y < y ) Jel F(x, jest dystrybuat zmeej losowej (,Y) to fucje F ( x) lm F( x, F( x, ); F ( lm F( x, F(, y Y x s dystrybuatam odpowedch rozładów brzegowych. Zmee losowe,y s ezalee gdy dla dowolych zborów borelowsch A, B a prostej mamy A, Y B) A) Y B) Zmee losowe,y s ezalee wtedy tylo wtedy, gdy dla dowolych x, y rzeczywstych F(x, F (x)f Y ( Dwuwymarowa zmea losowa (, Y) ma rozład soowy jel zmee losowe Y maj soczoy lub przelczaly zbór wartoc. Rozład zmeej losowej (, Y) (łczy rozład zmeych Y) orela s za pomoc fucj prawdopodobestwa lub dystrybuaty. Fucj prawdopodobestwa soowej zmeej losowej (, Y) przyjmujcej wartoc (x, y j ) jest przy czym p j oraz p j j p j x, Y y j ), j,,... Dystrybuat F(x, soowej zmeej losowej (, Y) jest fucja rzeczywsta F ( x, 8 x < x y j< y Fucj prawdopodobestwa soowej zmeej losowej (, Y) przyjmujcej wartoc (x, y j ) moa zapsa w postac tablcy: p j
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Y y y... y l p. x p p... p l p. x p p... p l p................... x p p... p l p. p. j p. p.... p. l gdze x, x,..., x wartoc zmeej losowej, y, y,..., y l wartoc zmeej losowej Y, p. j sumy prawdopodobestw w olumach, p. j p. sumy prawdopodobestw w werszach, p. j Uwaga. p., j j Rozładem brzegowym zmeej losowej azywamy rozład oreloy fucj prawdopodobestwa: p j p. j x x x... x p. p. p.... p. Rozładem brzegowym zmeej losowej Y azywamy rozład oreloy fucj prawdopodobestwa: y j y y... y l p. j p. p.... p. l Jel zmea losowa (, Y) jest soowa to zmee losowe Y s ezalee gdy dla adej pary (x, y j ) (, j,,...) spełoy jest warue: Warue te moa rówe zapsa w postac x, Y y j ) x )Y y j ) p j p. p.j Przyład. Rzucamy dwa razy ost. - lczba parzystych ocze w perwszym rzuce, tz. lub. Y - lczba jedye w obu rzutach, tz. Y lub Y, lub Y. Fucja rozładu prawdopodobestwa tej zmeej losowej daa jest tabel: Y p. /36 7/36 /36 8/36 5/36 3/36 8/36 p. j 5/36 /36 /36 Rozłady brzegowe wyzaczoe s przez brzegowe wartoc tej tabel. Rozład brzegowy zmeej losowej : x p. 8/36 8/36. 9
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Rozład brzegowy zmeej losowej Y : y j p. j 5/36 /36 /36 (, Y) azywamy zme losow cgł jel jej dystrybuata da s przedstaw w postac x F ( x, f ( s, t) dsdt y dla pewej eujemej fucj f zwaej gstoc. Uwaga.. f ( x, dxdy. W putach cgłoc fucj f zachodz: F( x, f ( x, x y 3. Dla A Β( R ) mamy P ( Y )( A) f ( x, dxdy,. A Majc gsto rozładu łczego gstoc rozładów brzegowych wyzaczamy astpujco. Jel f(x, jest gstoc zmeej losowej (,Y) to fucje f ( x) f ( x, dy; fy ( f ( x, dx s gstocam odpowedch rozładów brzegowych. Jel łczy rozład (, Y) jest cgły, to zmee losowe,y s ezalee wtedy tylo wtedy, gdy dla dowolych x, y rzeczywstych f(x, f (x)f Y ( Przyład. Fucja f(x, jest gstoc zmeej losowej (,Y). c dla x, y f ( x, dla ych x, y Przez całowae lub z terpretacj geometryczej wya, e c,5 (bo pole rozpatrywaego wadratu wyos 4). Przez całowae lub z terpretacj geometryczej wya, e dystrybuata tego rozładu ma posta x y,5xy < x, < y F ( x,,5x < x, y >,5 y < y, x > x >, y > Rozłady brzegowe to rozłady jedostaje a przedzale [, ]. Zauwamy, e zmee losowe,y s ezalee. Przyład Fucja rozładu prawdopodobestwa zmeej losowej dwuwymarowej (, Y) daa jest tabel:
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Y p. /6 /6 /3 /3 /3 /6 /6 /3 p. j /3 /3 rozład waruowy zmeej losowej pod waruem, e Y jest oreloy przez fucj prawdopodobestwa - Y ) (/6)/(/3) /, Y ) /(/3), Y ) (/6)/(/3) /, Jel gsto f to rozład zmeej losowej cgłej ( - ) wymarowej oreloej wzorem:,..., > f ( x,..., x x,..., x ) + f ( x,..., x ) f ( x,..., x ), azywamy rozładem waruowym zmeej losowej (..., ) ( x..., ), x. Przyład. Fucja f(x, jest gstoc zmeej losowej (,Y).,5 dla x, y f ( x, dla ych x, y + pod waruem, e gsto rozładu waruowego Y ma dla < x < posta,5/,5,5; zatem x (,) f ( x Y ),5 x, ( ) Nezaleo zmeych losowych - wymarowych. Zmee losowe,,..., s ezalee jel F( x,..., x ) F ( x ) F ( x )... F ( x ) dla dowolych x, x,..., x R. gdze F - dystrybuaty rozładów brzegowych jedowymarowych. Dla zmeych losowych soowych odpowed warue ma posta: P x,..., x ) P ( x )... P ( x dla dowolych x j,..., x ( j j j j j R Dla zmeych losowych cgłych odpowed warue ma posta: f x,..., x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) dla dowolych x, x,..., x R. ( Jel zmee losowe,,..., s ezalee to fucje od ch te s ezalee. Wybrae parametry zmeej losowej dwuwymarowej Kowaracj zmeych losowych (, Y) azywamy welo Dla zmeej losowej soowej (, Y) mamy: Cov(, Y) E[( E)(Y EY)] E(Y) E()E(Y) )
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Dla zmeej losowej cgłej (, Y) mamy: E(Y) x y j p j j Cov(, Y) x y j p l l j j E EY E(Y) xyf ( x, dxdy Cov(, Y) xyf ( x, dxdy E EY Uwaga a) Dla zmeych losowych ezaleych Cov(, Y), zatem zmee losowe ezalee s esorelowae (odwrota właso e zachodz patrz przyład), b) Cov(, ) D, c) D ( + Y) D + D Y +Cov(, Y),, Y dowole zmee losowe Uormowa owaracj azywamy współczyem orelacj mdzy zmeym Y: Cov(, Y ) ρ ρ(, Y) ( D ) ( DY) Współczy orelacj merzy sł zaleoc lowej mdzy zmeym Y. Własoc współczya orelacj: a) ρ (, Y ) b) dla ezaleych zmeych losowych współczy orelacj jest rówy zero, c) jeel współczy orelacj jest dodat, to mdzy zmeym Y steje zaleo lowa dodata, co ozacza, e ze wzrostem wartoc jedej zmeej ros rede wartoc drugej zmeej, d) jeel współczy orelacj jest ujemy, to mdzy zmeym Y steje zaleo lowa ujema, co ozacza, e ze wzrostem wartoc jedej zmeej malej rede wartoc drugej zmeej, e) jeel współczy orelacj jest rówy lub, to mdzy zmeym Y steje fucyja zaleo lowa, Jeel współczy orelacj jest rówy to mówmy, e zmee losowe Y s esorelowae. Macerz D K Cov( Y, ) azywamy macerz owaracj Cov(, Y ) D Y Przyład Fucja rozładu prawdopodobestwa zmeej losowej dwuwymarowej (, Y) daa jest tabel: Y p. /6 /6 /3 /3 /3 /6 /6 /3 p. j /3 /3
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Oblczymy współczy orelacj mdzy tym zmeym. Rozład brzegowy zmeej losowej : x p. /3 /3 /3 Rozład brzegowy zmeej losowej Y: y j p.j /3 /3 E EY /3 Poewa E(Y) ( ) ( ) /6 + ) /6 + ( ) /6 + /6, E EY ; Cov(, Y) to ρ. Zatem zmee, Y s esorelowae. Uwaga. Zauwamy, e powysze zmee losowe choca s zalee to s esorelowae. Załadamy, e macerz owaracj K steje. Regresja I rodzaju Y wzgldem zbór putów (x, E(Y x)). Regresja I rodzaju wzgldem Y zbór putów (E(,. Gdze E(Y x), E( to waruowe wartoc oczewae. Le regresj I rodzaju tylo w szczególych przypadach s lam prostym. Twerdzee. E(( Y ϕ( )) ) osga warto ajmejsz gdy ϕ ( x ) E( Y x) z prawdopodobestwem. Jel poszuujemy fucj lowej mmalzujcej wyraee E(( Y ϕ( )) ) to otrzymamy prost regresj zwa prost regresj II rodzaju. Regresja II rodzaju Y wzgldem to prosta Regresja II rodzaju wzgldem Y to prosta y x x m m Y Y ρ + Y ρ. ρ y + m ρ my. Y Y Powysze pojca regresj moa uogól a przypade - wymarowych zmeych losowych. W szczególoc hperpłaszczyza regresj II rodzaju Zmeej wzgldem zmeych, 3,..., ma rówae x - E a (x - E ) +...+ a (x - E ) gdze K s dopełeam algebraczym elemetów macerzy owaracj K. a K K Parametry zmeej losowej - wymarowej. Warto oczewaa E ( ) [ E, E,..., E ] T. Momet (zwyczaj rzdu l + l +...+ l 3
L.Kowals l l l ( ) m E... l l... l, Momet cetraly rzdu l + l +...+ l Macerz owaracj cov(, ) E j l l ( E ) ( E ) ) µ E..., j l l... l K [ j ], gdze E E E Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa [( )( )] ( ) E( ) E( ) j j Uwaga D, jest waracj - tej sładowej. Macerz K jest wadratowa, symetrycza słabo dodato oreloa (w szczególoc ma wyzacz eujem. cov( Macerz orelacj R [ρ j ], gdze, j) ρ j D D Uwaga ρ. j j j Rozład ormaly -wymarowy Zmea losowa (, Y) o rozładze ormalym -wymarowym zaley od pcu parametrów: m, m,,, ρ. m E; m EY; D; DY; ρ współczy orelacj. Współczy orelacj mus speła warue: ρ. Macerz owaracj K ma wtedy posta ρ K. ρ Gsto rozładu ormalego -wymarowego N(m, m,,, ρ) moa zapsa astpujco: ( ) ( ) ( )( ) ( ) x m x m y m y m f ( x, exp ρ + π ρ ρ Twerdzee Dowoly rozład brzegowy ormalego rozładu -wymarowego jest rozładem ormalym. Twerdzee Jel sładowe ormalego rozładu -wymarowego s esorelowae to s ezalee. TWIERDZENIA GRANICZNE Zbeo cgu zmeych losowych z prawdopodobestwem (prawe apewo) Cg zmeych losowych ( ) jest zbey do zmeej losowej z prawdopodobestwem jel P ({ ω : lm ( ω) ( ω) }) redowadratowa zbeo cgu zmeych losowych Cg zmeych losowych ( ) jest redowadratowo zbey do zmeej losowej jel lm E ( ) Rozpatrujc te rodzaj zbeoc załadamy, e dla wystpujcych tu zmeych losowych ( ), steje soczoy momet rzdu. Needy stosuje s zaps l..m. (srót od lmt mea ). 4
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa Stochastycza zbeo cgu zmeych losowych Cg zmeych losowych ( ) jest stochastycze (wg prawdopodobestwa) zbey do zmeej losowej jel lub rówowae lm < ε ) ε > lm ε ) ε> Zbeo cgu zmeych losowych wg dystrybuat (wg rozładu) Cg zmeych losowych ( ) jest zbey do zmeej losowej wg dystrybuat jel cg ch dystrybuat F jest zbey do dystrybuaty F w adym puce jej cgłoc (F jest dystrybuat zmeej losowej ). Zaleoc medzy zbeocam. ZBIENO Z PRAWDOPODOBIESTWEM ZBIENO REDNIOKWADRATOWA ZBIENO STOCHASTYCZNA ZBIENO WG DYSTRYBUANT zbeo do stałej (tz. gdy graca ma rozład jedoputow Uwaga. Putowa graca cgu dystrybuat e mus by dystrybuat. Jel cg fucj charaterystyczych odpowadajcych rozpatrywaemu cgow dystrybuat jest putowo zbey do fucj cgłej to graca tych dystrybuat jest dystrybuat. Cetrale twerdzee gracze Ldeberga Levy'ego Jel ezalee zmee losowe (,,..., ) maj ta sam rozład oraz steje E( ) m D ( ) > to cg dystrybuat (F ) stadaryzowaych redch arytmetyczych (lub stadaryzowaych sum ) m Y / jest zbey do dystrybuaty Φ rozładu N(, ). m Wose Dla duych (w pratyce 3) 5
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa P a m < b Φ( b) Φ( a) W przypadu szczególym gdy (,,..., ) maja rozład zerojedyowy to powysze twerdzee azywamy twerdzeem Movre'a-Laplace'a (zmee losowe Y maj rozład dwumaow. Wose z twerdzea Movre'a-Laplace'a: Y p P a < b Φ( b) Φ( a) pq Uwaga. Powysze twerdzea wsazuj a wa rol rozładu ormalego. Przyład Wadlwo part arówe wyos,. Z tej part arówe wylosowao 65 arówe. Oblczy prawdopodobestwo, e wród wylosowaych arówe bdze mej wadlwych, Rozwzae. Y lczba wadlwych arówe wród wylosowaych, Y 65, ( ) P Y < P < 65,,99 Φ(,5),93448 65, 65,,99 Prawo welch lczb Chczya ( ) cg ezaleych zmeych losowych o tam samym rozładze oraz ech steje E( ) m. Wtedy cg jest zbey stochastycze do m. Y Wose Dla duych jel steje D ( ) > to P ε ( Y m < ε ) Φ ε > Przypade szczególy prawo welch lczb Beroullego: ( ) cg ezaleych zmeych losowych o rozładze dwumaowym wtedy cg stochastycze zbey do p. Wose Dla duych : jest ε > ε P p < ε Φ pq 6