3. Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego Treść niniejszego rozdziału zosała opracowana przy założeniu, że Czyelnik jes zaznajomiony z podsawami eorii sygnałów dyskrenych. Podsawowe zagadnienia, związane z próbkowaniem, kwanyzacją i ransormacjami, kóre są przyaczane, zosały uzupełnione wskazaniem niekórych źródeł i meod redukowania zniekszałceń, kóre wysępują w cyrowych orach onicznych w związku z omawianymi operacjami. Bardziej złożone problemy, np. związane z próbkowaniem nierównomiernym, konwersją częsoliwości próbkowania przy wykorzysaniu ilrów poliazowych i in. zosały omówione w oparciu o prakycznie sosowane algorymy. Zagadnienia związane z budową i zasadą działania cyrowych orów onicznych i wpływem ich ograniczeń konsrukcyjnych na jakość dźwięku zosaną przedyskuowane w roz. 3. Maeriał przedsawiony w rozdziałach i 3 uławi późniejsze zapoznanie Czyelnika ze współczesnymi koncepcjami i zasosowaniami meod przewarzania, rejesracji i synezy dźwięku, kóre są emaem rozdziałów 4 do 8.. Próbkowanie sygnału onicznego.. ygnał dyskreny w dziedzinie czasu Cyrowe operacje na ograniczonym pasmowo, analogowym sygnale onicznym, kóry będzie oznaczany jako (), rozpoczynają się w prakyce od przeprowadzenia jego próbkowania za pomocą ciągu impulsów próbkujących s(), w wyniku czego orzymuje się ciąg próbek () dany zależnością: () = () s() (-) Gdyby możliwe było pobieranie próbek w nieskończenie krókim czasie, o można byłoby przyjąć, że impuls próbkujący, kóry wysępuje z okresem T ma posać unkcji dela δ(). Wówczas sygnał () wyraża się zależnością:
4 Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego () = () δ( nt ) n= (-) gdzie: n indeks czasu (numer chwili czasu) Ze względu na ak, że ransormaą Fouriera ciągu impulsów δ() w dziedzinie czasu jes ciąg impulsów jednoskowych w dziedzinie widma, widmo sygnału próbkowanego F (j) jes określone nasępującą zależnością (iloczyn posaci czasowych zamienia się w splo w dziedzinie widma): F (-3) ( j) = F( j) δ( k ) π k= gdzie: k indeks częsoliwości ( k =, ±, ±,...) F(j) widmo sygnału (), - jes pulsacją próbkowania, znak - reprezenuje operację splou Bardziej użyeczny od posaci (-3) jes nasępujący zapis ej zależności: k= [F( j) δ( k )] = k= F[ j( k )], (-4) kóra pozwala bezpośrednio zobrazować widmo spróbkowanego sygnału (jak na rys. -). Podsawowemu widmu, kóre rozciąga się w zakresie pulsacji od - M do M, owarzyszą jego repliki wokół wielokroności pulsacji próbkowania. Wynika o z aku, że dokonanie obrou wskazu na płaszczyźnie zespolonej o ką π daje za każdym razem idenyczną syuację wyjściową do analizy widmowej i w eekcie powoduje wyznaczenie akiej samej posaci widma... Błędy w procesie próbkowania Jak wynika z rys. -b, gdy nie jes spełniony warunek Nyquisa, nasępuje nakładanie się widm (ang. aliasing). Zjawisko o można inerpreować zarówno na podsawie bezpośredniej posaci czasowej sygnału, jak i biorąc pod uwagę jego reprezenację operaorową w posaci pary wskazów wirujących w przeciwnych kierunkach na płaszczyźnie zespolonej. Jeżeli dla uproszczenia wzięy zosanie pod uwagę sygnał harmoniczny, o ławo zauważyć, że każda połówka okresu ego sygnału powinna być reprezenowana przez więcej, niż jedną próbkę. Jeżeli
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego 5 (a) F() F() (b) Rys. -. Widmo, będące wynikiem próbkowania sygnału analogowego o szerokości pasma równej M : (a) przypadek > M ; (b) przypadek < M częsoliwość akiego sygnału będzie zby duża w sosunku do częsoliwości próbkowania, o przebieg próbkowany zosanie zinerpreowany jako sygnał o niższej częsoliwości, niż sygnał oryginalny. W przypadku analizy ej syuacji na płaszczyźnie zespolonej można zauważyć, że pulsacje o warości >.5 można inerpreować, jako pulsacje ujemne. Isone jes przy ym, że jeżeli próbkowany sygnał będzie zawierał pulsacje o warościach powyżej połowy pulsacji próbkowania, o zosaną one uożsamione z pulsacjami ujemnymi, co spowoduje błędy w wyznaczaniu widma (nakładanie się dodanich i ujemnych połówek jego obrazów). Próbkowanie sygnałów onicznych realizuje się prakyce w oparciu o koncepcję zw. próbkowania podpasmowego. Koncepcja próbkowania podpasmowego zakłada, że sygnał musi być próbkowany z częsoliwością wyższą od podwojonej górnej częsoliwości granicznej pasma sygnału użyecznego, nie zaś od częsoliwości najwyższej składowej wysępującej w widmie sygnału. Posępując w en sposób zakłada się, że założone pasmo (np. pasmo Hz - khz, reprezenujące zakres częsoliwości słyszalnych) zawiera wszyskie porzebne składowe. Konsekwencją ego założenia jes konieczność ograniczenia pasma za pomocą ilracji dolnoprzepusowej na wypadek, gdyby w rzeczywisym sygnale wysępowały jednak składowe o częsoliwościach wyższych (są one obecne np. w widmie wielu insrumenów muzycznych). Z punku widzenia prakycznej realizacji układów próbkująco- -pamięających (rozdział 3) isone jes, że w rzeczywisych warunkach czas pobierania próbki nie może być zerowy (τ ). Zaem nieskończony ciąg impulsów ypu dela w zależności (-3) musi zosać zasąpiony przez alę prosokąną o (niezerowym) współczynniku wypełnienia, o warości:
6 Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego τ w =. Określony w en sposób sygnał prosokąny posiada widmo T prążkowe o obwiedni ampliudowej określonej zależnością: n sin( πkw) Aw πkw = = Aw sinc (πkw) (-5) gdzie: A ampliuda impulsów Biorąc pod uwagę zależność (-5) można zauważyć, że widmo spróbkowanego w aki sposób sygnału będzie z pewnością odbiegało swym kszałem od widma określonego sploem (-3). Próbkowanie przy użyciu ali impulsów prosokąnych jes zaem powodem wysępowania zniekszałceń w wynikowym sygnale cyrowym. Zniekszałcone widmo można wyznaczyć, podobnie jak poprzednio, na podsawie wierdzenia o splocie: F ( j) = F( j) πaw π = Aw k= k= sin πkw F[ j( k πkw sin πkw δ( k πkw )] ) = (-6) kuki niezerowego czasu pobierania próbek są, niesey, rudne do wyeliminowania w prakycznie realizowalnym orze cyrowym, ponieważ nawe gdyby czas akwizycji próbek zmierzał do zera, o i ak konieczne jes zamrożenie sygnału w azie pamięania, co umożliwia prawidłowe zadziałanie (nadążenie) kwanyzera, będącego nasępnym w kolejności elemenem oru cyrowego. W związku z ym, wymnożenie rzeczywisego sygnału, kóry może zmieniać się w okresie T (parz rys. -) przez impuls ( schodek ) o niezmiennej w określonym czasie wysokości prowadzi do nasępującej posaci widma sygnału spróbkowanego: ( j) = Aw sinc τ F [ j( k )] k= F (-7) gdzie τ - oznacza w ym przypadku łączny czas pobierania próbki i jej pamięania, będący paramerem układu próbkująco-pamięającego, k indeks częsoliwości, jak wyżej
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego 7 (a) s() T τ A (b) () Aw 6π T 6π T π T π T Rys. -. Próbkowanie przy użyciu impulsów o szerokości τ > ; (a) przebieg próbkujący; (b) widmo przebiegu próbkującego Jak wynika z zależności (-7), składowe widma spróbkowanego sygnału maleją wraz ze wzrosem pulsacji, o czym decyduje czynnik: Aw sinc τ= A τ T s sinc τ. Przebiegi ilusrujące powsawanie związanych z ym zniekszałceń aperury zosaną zilusrowane w roz. 3. W prakyce, sposobem zmniejszenia ego ypu zniekszałceń saje się zaem minimalizacja czasu τ przewarzania sygnału przez konwerer analogowo-cyrowy, gdyż okres próbkowania T jes na ogół wielkością określoną przez sandard próbkowania. Na późniejszym eapie rekonsrukcji sygnału można przeciwdziałać skukom zniekszałceń poprzez wprowadzenie ilracji korygującej zniekszałcenia ypu sinc (τ/) parz rys. -3. Zagadnienie o zosanie poruszone dokładniej w par...3.
8 Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego DZIEDZINA CZAU ransormacja DZIEDZINA WIDMA (operacja mnożenia) = = impulsy próbkujące o częsoliwości ograniczony pasmowo sygnał analogowy spróbkowany sygnał analogowy aperura układu próbkowania z pamięcią sygnał na wyjściu układu p-p zrekonsruowany sygnał analogowy -4 db (splo) widmo ampliudowe obrazy widma sin x x Aperura / = = ilr rekonsrukcyjny z korekcją zniekszałceń sin x x Rys. -3. Graiczna ilusracja skuków niezerowego czasu pobierania próbek. Po lewej - przebiegi w posaci czasowej, po prawej - odpowiadające im widma. Pomiędzy rysunkami sąsiadującymi w pionie zaznaczono symbolicznie operacje przeprowadzane na sygnałach W pewnych przypadkach wysępuje niesabilność (nieperiodyczność) częsoliwości próbkowania. W prakycznych układach proces próbkowania jes synchronizowany zegarem kwarcowym, jednak wysępują pewne syuacje (np. sany przejściowe związane z konwersją ormaów - parz par...6), w kórych rzeba uwzględnić wzros szumów powodowanych przez o zjawisko. Oszacowania poziomu powsających szumów można
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego 9 dokonać zakładając dla uproszczenia, że sygnał ma charaker harmoniczny. Wówczas lukuacje okresu próbkowania będą powodowały konieczność obliczenia poprawki kąa azowego wskazu wirującego na płaszczyźnie zespolonej. Wynikająca sąd chwilowo zmienna pulsacja może być zapisana jako: ( i +δ i ), gdzie δ i jes błędem i-ej próbki. Jeżeli założyć, że błąd pulsacji posiada rozkład równomierny w zakresie -δ do +δ, o można wykazać (wyprowadzenie nie będzie u przyaczane), że moc szumów powodowanych przez lukuacje okresu próbkowania jes określona zależnością: P + δ ( δ) = [ cos( δ )] dδ δ 3 s i i δ (-8) Wyznaczony na ej podsawie sosunek warości skuecznej sygnału harmonicznego do szumu jes ławy do obliczenia i wynosi: NR s s 3 3T = = (-9) ( δ) 8π δ Można oszacować na podsawie zależności (-9), że wzros sosunku δ/t o rząd wielkości spowoduje pogorszenie sosunku sygnału do szumu o db...3 Rekonsruowanie sygnału na podsawie próbek Aby zrekonsruować sygnał w posaci ciągłej na podsawie próbek, wykorzysując widmo sygnału spróbkowanego (przedsawione na rys. -a), eoreycznie wysarczyłoby odilrować spróbkowany sygnał za pomocą ilru dolnoprzepusowego o charakerysyce H(j) równej w paśmie od - C do C i poza ym pasmem. Operacja a spowodowałaby inerpolację przebiegu czasowego sygnału w obszarze pomiędzy próbkami za pomocą unkcji ypu sinc x. Idealny ilr o porzebnej w ym wypadku charakerysyce nie jes jednak realizowalny prakycznie. W związku z ym, zachodzi konieczność rozwiązania problemu rekonsrukcji w inny sposób. Bardzo prosy sposób inerpolacji bywa częso używany w syuacji, gdy warość próbki jes urzymywana na jednakowym poziomie przez znaczną część okresu próbkowania T. yuacja a wysępuje częso w prakycznych układach, ze względu na wykorzysanie układów próbkująco-pamięających o krókim czasie pobierania próbki i długim czasie jej pamięania. Można założyć, że w ej syuacji przebiegiem inerpolującym sygnał rzeczywisy o
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego posaci ciągłej jes przebieg schodkowy (o szerokości schodków τ), uzyskiwany na wyjściu układu próbkująco-pamięającego. Jak wynika z zależności (-5), ilr porzebny do przeprowadzenia rekonsrukcji zosanie τ w en sposób zasąpiony przez wycinek unkcji sinc (πn ). Na rys. -4b pokazano, jak powinna wyglądać charakerysyka ilru korygującego, kóry skompensuje zniekszałcenia powsające w paśmie użyecznym. Przy sosowaniu ej meody, proces inerpolacji jes wspomagany przez użycie dodakowego ilru dolnoprzepusowego o częsoliwości granicznej / i o akim (sosunkowo łagodnym) nachyleniu zbocza, kóre pozwoli na dodakowe słumienie składowych powyżej częsoliwości /. Opisany powyżej, uproszczony sposób dokonywania inerpolacji przebiegu powoduje jednak powsawanie dość znacznych zniekszałceń w rekonsruowanym sygnale. Dlaego w bardziej zaawansowanych rozwiązaniach orów cyrowych wykorzysywana jes inna meoda inerpolacji sygnału pomiędzy dosępnymi próbkami, kóre ponado nie muszą być pamięane w ciągu dłuższej części okresu próbkowania. Meoda a opiera się na wykorzysaniu aku, że widmo unkcji sinc x jes oknem prosokąnym. Wykorzysując właściwości splou i biorąc pod uwagę zależność (-), zrekonsruowany sygnał r (), kóry jes równy z założenia sygnałowi oryginalnemu (na zasadzie idenyczności widm), można przedsawić w nasępującej ormie: T () = M r T () * sinc ( M) = (nt ) sinc[ π = n M ( nt )] () (-) gdzie: M - górna graniczna pulsacja pasma sygnału Uzyskana zależność zosała zilusrowana na rys. -5, na przykładzie rekonsruowania unkcji harmonicznej. Jak wynika z zależności (-), inerpolacja dokonywana ą meodą przebiega na drodze splaania (dodawania przemnożonych przez warość bieżącej próbki i przesunięych o kolejne okresy próbkowania kopii unkcji sinc M ). Meoda rekonsrukcji z wykorzysaniem splou z unkcją ypu sinc x zosała zilusrowana graicznie na rys. -6. Bardziej szczegółowy opis procesu inerpolacji z wykorzysaniem unkcji ypu sinc x można znaleźć w nasępnych paragraach.
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego Nieprzyczynowość (spowodowana symerią względem osi = ) unkcji M sinc ( m ), kóra reprezenuje posać czasową idealnego ilru π dolnoprzepusowego powoduje, że ilracja określona zależnością (-) nie może być bezpośrednio zrealizowana prakycznie, dlaego zasępuje się ę unkcję przez unkcję, kóra jes określona dla. W wyniku uzyskuje się jednak unkcję niesymeryczną, co pociąga za sobą powsanie nieliniowości charakerysyki azowej. Nieliniowość a może być nasępnie kompensowana przy użyciu ilrów wszechprzepusowych (parz rozdział 3). Jes rzeczą korzysną, że zniekszałcenia azowe, o kórych mowa, nie są (a) H (j) ilr rzeczywisy idealny ilr inerpolacyjny (b) H (j) Rys. -4. Porównanie charakerysyk ampliudowych ilrów dolnoprzepusowych: (a) oparego na wycinku unkcji ypu sinc x oraz (b) ilru korygującego
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego (a) (b) Rys. -5. Rekonsrukcja przebiegów na podsawie próbek: (a) sygnał o niższej częsoliwości (, khz); (b) sygnał o wyższej częsoliwości (7,6 khz). Częsoliwość próbkowania wynosiła 44, khz na ogół wyraźnie słyszalne, zwłaszcza dla sygnałów o wyższych częsoliwościach. Do realizacji inerpolacji w orach onicznych o wysokiej jakości wykorzysuje się ilr cyrowy, kóry dokonuje mnożenia próbek sygnału przez współczynniki odpowiadające warościom unkcji inerpolującej. Zagadnienie o wyjaśniono na rys. -7. Liczba sekcji opóźniająco-mnożących ego ilru rzuuje na jakość inerpolacji, wpływając jednocześnie na złożoność obliczeniową procesu inerpolacji.
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego 3 DZIEDZINA CZAU ransormacja DZIEDZINA WIDMA / próbkowany sygnał analogowy (splo) (mnożenie) sin x x odpowiedź impulsowa = / Idealny dolnoprzepusowy ilr rekonsrukcyjny (nieprzyczynowy) Zrekonsruowany sygnał analogowy = Rys. -6. Ilusracja procesu inerpolacji sygnału na podsawie próbek -przypadek idealny. Po lewej - przebiegi w posaci czasowej, po prawej - odpowiadające im widma. Pomiędzy rysunkami sąsiadującymi w pionie zaznaczono operacje przeprowadzane na sygnałach kończony czas działania układów wewnęrznych konwerera cyrowo-analogowego, kóry poprzedza w łańcuchu cyrowym ilr rekonsrukcyjny jes powodem, dla kórego napięcie wyjściowe konwerera nie zmienia się skokowo, ak jak zakładano w doychczasowych rozważaniach. W związku z ym, na jego wyjściu powsają charakerysyczne zniekszałcenia (opóźnienie narasania odpowiedzi, eek Gibbsa, zniekszałcenia nieliniowe), kóre mogą być słyszalne. Aby zapobiec ego ypu zniekszałceniom w orze cyrowym, bezpośrednio za konwererem cyrowo-analogowym sosuje się dodakowy układ próbkująco-pamięający, najczęściej o akiej samej konsrukcji, jak układ wykorzysywany na wejściu oru. Układ en pełni rolę bramki impulsowej. Na wyjściu ego układu orzymuje się zregenerowane impulsy o kszałcie prosokąnym, kóre są wykorzysywane w procesie inerpolacji opisanym powyżej. Obok opisanych rozwiązań isnieje wiele koncepcji ilrów specjalnych, np. ilrów o zmiennym opóźnieniu, kóre mogą być używane do inerpolacji w procesie rekonsruowania sygnału na podsawie próbek. Wybrane algorymy inerpolacji zosaną przedsawione w par...5. i..5..
4 Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego (a) Idealny liniowo-azowy ilr rekonsrukcyjny (nieprzyczynowy) nierealizowalny widmo ampliudowe widmo azowe liniowe realizowany ilr minimalnoazowy (przyczynowy) widmo ampliudowe widmo azowe nieliniowe (b) wejście τ = / τ τ τ τ τ a a a 3 a 4 a N- a N- a N Σ wyjście Rys. -7. Ilusracja procesu inerpolacji sygnału na podsawie próbek: (a) przypadek idealny i przypadek rzeczywisy; (b) ilr inerpolacyjny..4 Próbkowanie i inerpolacja sygnałów dyskreno-czasowych Operacje określone w yule niniejszego paragrau wysępują sosunkowo częso w cyrowych układach onicznych m.in. ze względu na porzebę zwiększenia sosunku sygnału do szumu w paśmie użyecznym oraz wymagania związane z konsrukcją ilrów anyzakładkowych. ygnał dyskreno-czasowy będzie w ym miejscu rozumiany jako sygnał określony w dyskrenych chwilach czasu, przyjmujący warości ampliud z dziedziny ciągłej. Bardzo ważnym zasosowaniem ej echniki jes akże konwersja sandardów, ze względu na owarzyszącą jej porzebę dokonywania zmian
Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego 5 częsoliwości próbkowania sygnałów cyrowych (par...6). Jeszcze jednym zasosowaniem jes syneza dźwięku (roz. 8), w związku z kórą wysępuje konieczność dokonywania zmian wysokości dźwięków zarejesrowanych w pamięci insrumenu muzycznego w czasie gry. Zagadnienie próbkowania sygnału dyskrenego zosało zilusrowane w sposób schemayczny na rys. -8. Możliwe są przy ym dwa przypadki: pierwszy, gdy nowa częsoliwość próbkująca jes mniejsza od częsoliwości próbkowania sygnału (wykresy (a) i (b)) oraz drugi przypadek, gdy jes ona większa (wykresy (d) i (e)). W pierwszym przypadku uzyskuje się sygnał w posaci próbek, kóre są równe próbkom oryginalnego sygnału w chwilach czasu będących wielokronościami oryginalnego okresu próbkowania T. W pozosałych chwilach czasu sygnał będzie przyjmował warości zerowe. Tak więc, () jes zdeiniowany przez warości () dla = n N T oraz przez warości dla pozosałych, gdzie N jes liczbą nauralną określającą nowy sposób próbkowania ciągu, zaś n - jes ciągiem liczb całkowiych. Drugi przypadek zosanie rozparzony później. Dla obu przypadków łącznie można wyznaczyć posać czasową () w analogiczny sposób, jak miało o miejsce dla zależności (-) i (-). W związku z ym orzymuje się: N () = () s() = () δ( n T ) (-) M n= gdzie: s() sygnał próbkujący, N współczynnik decymacji, M współczynnik inerpolacji Należy zauważyć, że pierwszy omawiany przypadek oznacza, że M= oraz N>, zaś drugi przypadek jes związany z warościami M> oraz N=. Zaem pierwszy przypadek upraszcza się do zapisu: () = () δ( nnt ) (-) n= Oznacza o, że sygnał () = () dla całkowiych kroności N T. Pozosałe warości sygnału () zosają pominięe. Dla ściślejszego opisu należałoby uwzględnić przesunięcie azowe w sosunku do sygnału (), co prowadzi do nasępującego wzoru: