Zjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe.

Transkrypt

1 Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn POLITECHNIKA OPOLSKA Komputerowe wspomaganie eksperymentu Zjawisko aliasingu.. Przecieki widma - okna czasowe. dr inż. Roland PAWLICZEK Zjawisko aliasingu Sygnałem ciągłym w czasie jest funkcja x(t), której dziedziną jest każdy punkt pewnego przedziału osi czasu. Sygnałem dyskretnym w czasie jest funkcja x[n], której dziedziną jest zbiór liczb całkowitych. 2 1

2 Zjawisko aliasingu Zbyt mała liczba punktów pomiarowych (próbek) nie pozwala we właściwy sposób odtworzyć przebiegu sygnału. Dla sygnału ograniczonego pasmem można uniknąć efektu aliasingu, gdy częstotliwość próbkowania f A spełnia warunek gdzie f max jest największą występującą w sygnale częstotliwością 3 Zjawisko aliasingu Przesunięcie widma: częstotliwość zmierzona f p zostaje przesunięta w kierunki niższych częstotliwości f p = n f s f A, gdzie n f s jest wielokrotnością częstotliwości próbkowania leżącą najbliżej częstotliwości f A. Próbkowanie: f s =100Hz f max =f s /2=50Hz Dla składowych: 10Hz, 70Hz i 240Hz. W tym przypadku składowa 10Hz<f max spełnia warunek graniczny i będzie przedstawiona na wykresie widma jako pik na częstotliwości 10Hz, dla 70Hz jest =30Hz (pik na cz. 30 Hz) 240Hz jest =40Hz (pik na cz. 40 Hz). 4 2

3 pasywny aktywny 5 Charakterystyki: Amplitudowa Fazowa: 6 3

4 Charakterystyki: 7 Układ Sallen-Key a: R1=1 kω R2=14,4 kω R3=1 kω R4=10 kω C1=4,2 nf C2=4,2 nf K=11 f=9986 Hz ~ 10kHz 8 4

5 Porównanie odpowiedzi układu dla filtra Butherwortha rzędu 1, 3 i 5. Porównanie odpowiedzi układu dla filtrów Butherwortha, Chebysheva i Bessela (rząd 3) 9 Błąd pomiarowy przecieku Przeciek zakłócenie widma sygnału wynikające z czasu trwania pomiaru oraz procedur przetwarzania FFT. Stopień zniekształcenia widma sygnału zależy od tego, czy ciąg próbek po operacji okienkowania zawiera całkowitą liczbę okresów składowych harmonicznych w nim zawartych. Po operacji okienkowania otrzymuje się ciąg N próbek, przy czym odstęp między sąsiednimi próbkami jest równy okresowi próbkowania T s = 1/f s. Długość okna czasowego wynosi T w = N T s = N/f s. 5

6 Błąd pomiarowy przecieku Widmo częstotliwościowe sygnału charakteryzowane jest przez dwa parametry: rozdzielczość i szerokość widma. Rozdzielczość widma f w określa odległość między dwoma prążkami. Im mniejsza wartość f w, tym gęstość prążków jest większa, co pozwala na dokładniejsze wyznaczenie składowych występujących w widmie. Rozdzielczość widma nożna wyznaczyć jako odwrotność długości okna czasowego: Błąd pomiarowy przecieku Szerokość widma f m określona jest przez największą częstotliwość przedstawioną w widmie sygnału. Liczba składowych w widmie (bez składowej zerowej) wynosi N/2-1. Stąd szerokość widma można obliczyć jako iloczyn liczby składowych i rozdzielczości: Dla dużej liczby próbek N szerokość widma jest w przybliżeniu równa połowie częstotliwości próbkowania f m = f s /2. Dobór okna czasowego ma ważne znaczenie dla rozdzielczości częstotliwościowej i amplitudowej w analizie częstotliwościowej sygnałów. Zbyt mała rozdzielczość nie pozwoli na rozróżnienie dwóch składowych o zbliżonych częstotliwościach lub dwóch składowych o większej różnicy amplitud. 6

7 Okna czasowe wygładzające Efekt przecieku może być ograniczony przez odkształcenie wycinka sygnału przez jego wytłumienie na krańcach przedziału. Odkształcenie takie, a przez to zmniejszenie przenikania widma, można uzyskać przez zastosowanie okna czasowego o kształcie innym niż prostokątne: Okna czasowe wygładzające Znanych jest wiele różnych okien, różniących się charakterystyką. Wybór danego okna zależy od konkretnego zastosowania, np. okno prostokątne nadaje się bardziej do przebiegów nieustalonych, okno Hanninga do sygnałów ciągłych. Poszczególne funkcje różnią się szerokością listka głównego i tłumieniem listków bocznych, co ma znaczenie w rozdzielczości analizy częstotliwościowej. Jeżeli szerokość listka głównego będzie większa od różnicy częstotliwości dwóch składowych, to odpowiadające im prążki zleją się w jeden. Jeżeli natomiast wysokość listków bocznych będzie porównywalna z amplitudą innych składowych, to te składowe mogą nie zostać wykryte. 7

8 Okna czasowe wygładzające Okno trójkątne w stosunku do okna prostokątnego lepiej tłumi listki boczne, ale ma szerszy listek główny. Okno Hanninga, ze względu na funkcję cosinus występującą w jego opisie ma łagodniejszy kształt od okna prostokątnego i lepiej tłumi listki boczne. Kształt okna Hamminga w porównaniu z oknem Hanninga powoduje zwiększenie tłumienia listków bocznych, nie wpływając na szerokość listka głównego. Okno Blackmana w porównaniu z oknami Hamminga i Hanninga lepiej tłumi listki boczne, ale ma szerszy listek główny. Okna czasowe wygładzające Okna czasowe - dudnienia 8