Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI.. ZAPIS WSKAŹNIKOWY I WZÓR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSA W układze kartezjańskm x y z wersory ozaczamy zazwyczaj symbolam: j k. Dużą zwartość czytelość oraz łatwość zapamętaa wzorów zapewa tzw. zaps wskaźkowy w którym ose układu ozacza sę astępująco: x = x x = y x = z a wersory e = e = j e = k. Dla wskaźków (deksów) rezerwuje sę ltery alfabetu łacńskego p. x ( = ). Stosowe do tej umowy współrzęde wektora A: A x A y A z ozacza sę przez A A A lub krótko A j (j = ). W przestrze trójwymarowej bardzo często powtarza sę sumowae od do względem pewych wskaźków. Dlatego zgode z umową sumacyją wprowadzoą przez Estea opuszczamy zak sumy w jedomae jeśl deks sumowaa występuje w m dwa razy. Na przykład: A = Ae = A e + Ae+ Ae= Ae = TB j j = TB + TB + TB = TB j j = δpp = δ + δ + δ = δpp. = Powtarzający sę deks (tzw. wskaźk emy) moża ozaczyć dowolą lterą alfabetu (p. δpp = δrr = δ ). Pochodą cząstkową względem współrzędej x zazaczamy przeckem a pozome wskaźka według wzoru: () = (). x Na przykład F u j G = F u j ; = j ; = Gkl x j x xk xl ( AB kj ) = ( AB kj ) p = A pbkj + AB kj p. x p Tesorem w przestrze -wymarowej azywamy tak obekt którego współrzęde przy obroce układu os x do położea x t' trasformują sę według astępującego prawa: Tp' r'... s' = Tj... kap' ajr'... aks' gdze ap' = cos( x xp' ) = ap' a lczba wskaźków określa rząd (walecję) tesora. Trasformacja wektora (tesora I rzędu) Ap' = Aa p' ( = ; p' = ' ' '). Idetycze trasformują sę współrzęde puktów: xp' = xjajp'. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Trasformacja tesora II rzędu σp' q' = σjap' ajq'( j = p' q' = ' ' ') Dodawae tesorów macerzy C= A+ B: C = A + B P = T+ S: Pj = Tj + Sj. Możee tesorów Cjk = A Bjk Pjr = Tjk Skr Φ = RU j j Możee macerzy C = A B : m m ss Cj = Ar Brj ( =... m j =... r =... s) u = D x : m m ss u = Drxr ( =... m r =... s) f = T x z : f = xz ( =... ). Iloczy skalary wektorów A B = A B cos ϕ = AB. Delta Kroeckera = j δ j = e e j = 0 j. Zamaa wskaźka za pomocą delty Kroeckera Pjδ jr = Pr a przykład A B = AB je ej = A( Bjδ j) = AB. Symbol permutacyjy 0 gdy =j =k lub j=k ejk = + gdy j k przedstawają permutację cyklczą lczb _ gdy j k przedstawają permutację cyklczą lczb. Iloczy wektorowy C= A B = ejke Aj Bk. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Jedostkowy wektor ormaly do powerzch S = e + e + e = e = a współrzęde tego wektora są kosusam kerukowym ormalej do powerzch S: = cos( x ) przy czym = + + =. Twerdzee Greea-Ostrogradskego-Gaussa a zamaę całk powerzchowej a objętoścową: Jeśl w obszarze o objętośc V ograczoym powerzchą S określoe jest pole wektorowe F( x x x ) cągłe wraz z perwszym pochodym to obowązuje wzór: F = F ds dv dv S V lub w zapse wskaźkowym F ds = F dv. S V Twerdzee to jest słusze róweż dla pola skalarego Φ( x x x ): Φ ds j = Φ jdv; ( j= ). S V.. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORA SYMETRYCZNEGO *) Tesor σ jk moża traktować jako operator lowy przyporządkowujący wektorow k samej przestrze stosowe do trasformacj: (a) m = σ. jk k wektor m z tej Jeśl wektor m jest rówoległy do wektora k to wektor k azywamy wektorem własym tesora σ jk. W tym przypadku trasformacja (a) przybera postać: (b) σ jk k = σ j. Lczbę σ azywamy wartoścą własą (główą) tesora σ jk. Rozważmy przypadek gdy σ jk jest tesorem symetryczym czyl σ jk = σ kj a jego składowe są lczbam rzeczywstym. Rozłożymy wektor j oraz lczbę σ a część rzeczywstą urojoą: j = Re( j) + Im( j) (c) σ = Re( σ) + Im( σ) =. Po podstaweu (c) do zależośc (b) otrzymujemy: σ jk[re( k ) + Im( k )] = [Re( σ) + Im( σ)] [Re( j ) + Im( j )]. Poeważ współrzęde σ jk są rzeczywste zachodzą zależośc: σ jk Re( k ) = Re( σ) Re( j ) Im( σ) Im( j ) σ jk Im( k ) = Re( σ)im( j ) + Im( σ) Re( j ). Po pomożeu perwszej z tych zależośc przez Im( j ) a drugej przez Re( j ) otrzymujemy: *) Według []. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI (d) σ jk Re( k) Im( j) = Re( σ) Re( j) Im( j) Im( σ) Im( j) Im( j) σ jk Im( k ) Re( j ) = Re( σ) Im( j ) Re( j ) + Im( σ) Re( j ) Re( j ). Druge z powyższych rówań dzęk symetr tesora σ jk moża zapsać astępująco: (e) σkj Re( k)im( j) = Re( σ)im( j)re( j) + Im( σ)re( j)re( j). Odejmując stroam rówae (d) od rówaa (e) mamy: (f) σkj σ jk k j = σ [ ( j ( j + j ( j ] ( ) Re( )Im( ) Im( ) Re ) Re ) Im( )Im ). Lewa stroa rówaa (f) jest rówa zeru bo σ kj = σ jk. Wyka stąd że: (g) Im(σ) = 0. Wyka stąd że wartośc włase tesora symetryczego są rzeczywste. () Ozaczymy przez k oraz () k dwa róże wektory włase a przez σ σ dwe odpowadające m wartośc włase tesora symetryczego σ jk. Stosowe do zależośc (b) zachodzą rówaa: ( ) ( ) ( ) ( ) jk k j jk k j σ = σ σ = σ. ( ) ( ) Perwsze z ch możymy przez j a druge przez j odejmujemy stroam. Prowadz to do zależośc: () ( ) () ( ) jk kj k j j j (h) ( σ σ ) = ( σ σ ). Lewa stroa tego rówaa jest rówa zeru bo σ jk = σ kj. Jeżel σ σ to () ( ) j j () = 0. Wektory włase odpowadające różym wartoścom własym tesora symetryczego są zatem wzajeme prostopadłe... FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACA W praktyce występuje wele fukcj które trzeba defować przedzałam. Rozważmy p. astępującą fukcję: 0 x< a (a) H( x a) = [ sg( x a) + ] = x = a x> a. Rys.. Jest to tzw. fukcja skoku jedostkowego lub fukcja Heavsde'a (rys..). W pukce x = a fukcja H( x a) jest ścśle borąc ecągła. Rozwjając ją jedak w szereg Fourera dla x = a zakłada sę ekedy że jej wartość stosowe do wzoru (a) wyos /. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Pochoda fukcj Heavsde'a w tradycyjym sese e steje. Pewe pogląd a tę sprawę daje aalza pochodej fukcj cągłej będącej przyblżeem fukcj H( x a). Rozważmy maowce fukcję przedstawoą a rys..a zapsaą astępująco: 0 x< aε x( aε) (b) f ( x a) = a ε < x< a+ ε ε x> a+ ε. Rys.. Pochoda tej fukcj jest określoa zależoścą (por. rys..b): (c) df dx 0 x< aε = f '( x a) = a ε < x< a+ ε ε 0 x> a+ ε. Zwróćmy uwagę a bardzo stotą własość. Chodz o to że pole prostokąta odpowadającego wykresow pochodej jest zawsze rówe ezależe od wartośc ε. W marę zmejszaa ε rzęda fukcj f ( x a) rośe by dla ε = 0 osągąć wartość eskończoą (rys..c). Te graczy przypadek możemy uważać za pochodą fukcj H( x a). Nazywamy ją fukcją Draca (delta) defujemy astępująco: Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 6 (d) 0 x< a df δ ( x a) = H'( x a) = lm = x = a ε 0 dx 0 x> a. Fukcję Draca moża sobe wyobrazć jako prostokąt o eskończoej wysokośc zerowej szerokośc oraz o polu rówym jedośc. Tę ostatą własość moża zapsać astępująco: c (e) δ ( x a) dx = b< a< c. b Drugą bardzo ważą cechą fukcj delta jest własość fltracj. Polega oa a tym że zachodz zależość (por. rys..): (f) δ( xa) g( x) dx = g( a). Własość fltracj wyka bezpośredo z zależośc (e). c b Rys.. Rys.. Wprowadzee fukcj Heavsde'a Draca dało początek tzw. teor dystrybucj czyl teor fukcj uogóloych. Podstawy teor dystrybucj powstały już w drugej połowe XIX weku jakkolwek kompletą teorę spójy aparat pojęcowy zbudowao w latach czterdzestych obecego stuleca. Dystrybucje H( xa) δ ( xa) pozwalają w zwarty sposób zapsać wykoywać całkowae fukcj ecągłych. Na przykład obcążee belk z rys.. moża wyrazć astępująco: qx ( ) = P δ( x a) + q [ Hx ( a) Hx ( a ). ] Praktyczy ses bezpośredego całkowaa fukcj ecągłych pozamy przy omawau metody zapropoowaej przez Clebscha już w 86 roku (por. p..). Użyteczość zapsu dystrybucyjego moża róweż zaobserwować przy formułowau rówań pracy wrtualej tam gdze występują skupoe sły lub odkształcea... CAŁKOWANIE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA METODĄ CLEBSCHA Metodę Clebscha zlustrujemy a przykładze belk pryzmatyczej z rys..a. Rówae różczkowe l ugęca ma postać: (a) w'' = M( x) przy czym rówae M(x) jest opsae ośmoma różym fukcjam w każdym z przedzałów: 0...78. W każdym z ch obcążee belk jest cągłe. W podejścu klasyczym ależałoby rozwązać osem rówań różczkowych (a) a szesaśce stałych Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 7 całkowaa oblczyć z waruków brzegowych rówań cągłośc fukcj w(x) oraz w'(x) a gracy przedzałów. Ses metody Clebscha polega a odpowedm zapsau rówaa mometów M(x) w postac jedej fukcj. Daje to tę korzyść że ezależe od charakteru fukcj obcążea q(x) lczba stałych całkowaa odpowada rzędow rówaa różczkowego (a) jest zawsze rówa dwa. Zasady zapsu fukcj mometów sposobu całkowaa są w stoce rzeczy efektem zastosowaa podejśca właścwego teor dystrybucj. Zasady te moża streścć w astępujących puktach: a) początek układu współrzędych (x w) przyjmuje sę a lewym końcu belk b) wszystke składowe wyrażea a momet zgający w przedzale poprzedm muszą powtórzyć sę bez zma w przedzale astępym c) wszystke człoy wyrażea a momet zgający powy zawerać możk ( x a ) gdze a ozacza odległość początku daego przedzału od początku układu współrzędych a lczbę aturalą d) całkowae rówaa powo przebegać bez rozwjaa wyrażeń w awasach według schematu: (b)! + ( x a ( x a ) dx ) = + C. ( + )! Rys.. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 8 Pewego kometarza wymaga spełee zasad b) c). Przy dzałau sły skupoej możk ( x a ) występuje w sposób aturaly gdyż dla x > a mamy M( x) =P( xa ) (rys..b). Wpływ 0 mometu skupoego M 0 ależy zapsać w postac wyrażea M( x) = M0( xa ) (rys..c). Dla ajczęścej występujących obcążeń cągłych wyrażee a momet zgający układamy jak astępuje: obcążee rówomere rozłożoe q (rys..d): (c) (d) obcążee trójkąte (rys..e): ( q x a ) a x a! M( x) = ( q x a ) ( q x a ) + x a.!! qo ( x a ) a x a b! M( x) = qo ( x a ) ( x a ) q x a q o ( ) + o + x a. b!! b! gdze b= a a. Dla x a po lewej stroe kresk poowej zapsao wyrażee powtórzoe z przedzału poprzedego. Po prawej stroe kresk poowej podao wpływ obcążea wygaszającego lkwdującego wpływ obcążea zapsaego w przedzale poprzedm (por. rys..de). Całkowae w rozważaej belce przebega astępująco: ( x 0) ( x ) ( x ) ( x ) w" = 6 +!!!! 0 0 6 7 8 ( x ) 6 ( x 6) ( x 7 ) 6 ( x 7 ) ( x 8) + 6 + + 06 0!!!!! 6 7 ( x 0) w = C + 6! ( x )! 6 ( x 6)! 0 ( x )! 6 ( x 7) + 6! ( x )! 6 ( x 7) +! ( x ) +! 7 6 ( x 8) + 06! 8 7 ( x 0) w = Cx + D + 6! ( x )! 6 ( x 6)! 6 0 ( x )! ( x 7) + 6! ( x )! 6 ( x 7) +! ( x ) +! 7 6 ( x 8) + 06! Na uwagę zasługuje fakt że stałe całkowaa C D obowązują dla wszystkch przedzałów a wartośc prawych stro w daym przedzale otrzymuje sę po uwzględeu wartośc ze wszystkch poprzedch przedzałów. Stałe całkowaa oblczamy z waruków brzegowych: w(0) = 0 w(8) = 0. Z perwszego z ch (przedzał 0) wyka że w(0) = C 0 + D = 0 skąd D = 0. 8 7 Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 9 Z drugego otrzymujemy (przedzał 78): 8 7 6 w(8) = C 8 + 6 + 6 6 6 0 6 0 + 6 + = 0 0 skąd C = 889 kn m. Wykorzystując powyższe rezultaty oblczymy dla przykładu ugęce w pukce (x = m) kąt obrotu w pukce (x = m): 7099 = w () = 889 + 6 = 6 6 98 ϕ = w'() = 889 + 6 =... CAŁKOWANIE GRAFICZNE Rozważmy całkę ozaczoą z loczyu dwóch fukcj cągłych: x (a) I = p ( x ) ( x ) dx x gdze p(x) jest fukcją lową a (x) jest fukcją elową zmeej x. Z rysuku.6 wyka że: p p (b) px ( ) = p+ x. b Rys..6 Rys..7 Wobec tego x x p p I = p( x) dx+ x x dx b ( ). x x Perwsza z całek przedstawa pole wykresu elowego A. Druga całka jest rówa mometow statyczemu tego pola względem os y wyos A x gdze x ozacza odległość środka cężkośc wykresu elowego od os y. Całkę (a) moża zatem zapsać astępująco: Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 0 p p p p I = p A + xa = A p + x = Ap( x) b b przy czym p(x ) jest rzędą wykresu lowego dla odcętej x = x określającej położee środka cężkośc wykresu elowego. Ostatecze uzyskujemy bardzo użyteczą formułę staowącą treść tzw. całkowaa grafczego zwaego czasam sposobem Wereszczaga: x (c) pxx ( ) ( ) dx= Apx ( ). x Aby oblczyć całkę (a) trzeba zać wzór a pole fukcj krzywolowej położee środka cężkośc. Wzór (c) obowązuje oczywśce róweż wtedy gdy fukcja (x) jest lowa. W mechace kostrukcj bardzo często wykresem krzywolowym jest parabola drugego stopa będąca wykresem mometów pochodzących od obcążea rówomerego q = cost. Parabola drugego stopa ma pewą teresującą własość którą warto wykorzystać. Okazuje sę że fragmet parabol odcęty dowole poprowadzoą cęcwą po wyprostowau daje zawsze parabolę o werzchołku leżącym w połowe odcka A'B' o odcętej x = ( xa + xb)/ (por. rys..7). Łatwo sprawdzć że pole takego odcka A = ( / ) bf gdze b jest podstawą a f wysokoścą odcka parabol. Wszystke wyżej stwerdzoe fakty wykorzystamy do oblczea całk z fukcj będącej wykem przemożea wykresów podaych a rys..8: Rys..8 x ( d + e) ab cb (d) px x dx= bf + e+ d d e + + ( ) ( ). x Jeżel parabola jest wykresem mometów pochodzących od obcążea q = cost to wadomo że f = qb / 8. Wówczas do oblczea całk e potrzeba awet psać rówaa fukcj mometów. Fukcję lową ajwygodej jest potraktować jako sumę dwóch trójkątów. Te właśe sposób przyjęto przy układau wzoru (d). Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Metoda różc skończoych służy do przyblżoego rozwązywaa rówań różczkowych. Zasadczy ses tej metody polega a zastąpeu pochodych przez lorazy różcowe. Rys..9 Rozważmy cągłą różczkowalą fukcję y(x). Perwszą pochodą fukcj y(x) w pukce x = x moża w przyblżeu określć klkoma sposobam (por. rys..9): (a) dy dx + y x= x = x y+ y x (b) dy dx y x= x = x y y x (c) dy dx + y y y y y + x= x = + x x x x =. Wzór (a) opsuje tzw. różcę prawostroą ( w przód ) wzór (b) różcę lewostroą ( w tył ) a wzór (c) różcę cetralą. Jeżel poprzestaemy a wyrażeach lowych to zgode z twerdzeem o wartośc średej ajlepsze przyblżee perwszej pochodej staow różca cetrala. W stoce rzeczy różca prawostroa jest ajlepszym przyblżeem e dla x = x lecz dla x = x + x/. Podobe różca lewostroa jest ajlepszym przyblżeem lowym dla x = x x/. Najlepsze lowe przyblżee drugej pochodej wyraża sę astępująco: (d) + d y y y y y y y + dx x = x x x x= x = +. ( x ) Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r. Zależośc (c) (d) łatwo uogólć a pochode dowolego rzędu (por. p. Petrzak Rakowsk Wrześowsk []): (e) d y dx y x y x y x k x y x y x k x x = + + = + = = k =... Rys..0 Ogóle borąc problem ajlepszego przyblżea e jest jedak tak prosty jak wskazują powyższe rozważaa. Dotyczy to w szczególośc pochodych cząstkowych fukcj welu zmeych lub złożoych operatorów różczkowych. Chodz bowem o to by błąd przyblżeń wszystkch operatorów różczkowych występujących w rówau różczkowym warukach graczych był tego samego rzędu. Aalzę błędu przeprowadza sę a podstawe rozwęć fukcj w szereg Taylora lub za pomocą rachuku waracyjego.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Na rysuku.0 zestawoo ajlepsze przyblżea lowe pochodych fukcj jedej dwóch zmeych według moograf Tmoshek Woyowskego-Kregera [0]. Przyjęto tu że satka współrzędych jest kwadratowa przy czym x = y = a. Dodamy jeszcze że w ostatch latach astąpł zaczy rozwój metody różc skończoych. Satk współrzędych mogą być zupełe dowole a optymale rozmeszczee węzłów satk ustala sę a podstawe aalzy błędów charakteru przebegu fukcj. Należy podkreślć że metoda różc skończoych jak każda metoda przyblżoa daje w peł warygode wyk tylko do fukcj regularych (bez osoblwośc eróżczkowalośc ecągłośc tp.). Rys.. Zastosowae metody różc skończoych zlustrujemy klkoma przykładam. Wyzaczymy ajperw przyblżoy kształt l ugęca belk pryzmatyczej swobode podpartej obcążoej rówomere (rys..). Poeważ układ jest statycze wyzaczaly (pole mometów jest zae) ugęce w(x) oblczymy z rówaa różczkowego drugego rzędu: d w M x (f) dx = ( ) przy warukach brzegowych w(0) = w(l) = 0. Belkę dzelmy przykładowo a cztery częśc (x = a = 0l) dla każdego węzła wewętrzego układamy rówae różcowe: w w w w M x = + + = =. a Mamy zatem = : a w w + w = qa = : a w w+ w = qa = : a w w + w = qa. Z symetr zadaa wyka że w = w a z waruków brzegowych że w(0) = w = w(l) = w = 0. Wobec tego otrzymujemy ostatecze dwa rówaa lowe a w w : Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI Rozwązaem tego układu są wartośc: qa w + w = qa w w =. qa ql w = = 0 00977 qa ql ql ql w = = 0 067 = 0 00. 8 Wdzmy że maksymale ugęce w róż sę od wartośc ścsłej tylko o około %. Dokładejszy wyk otrzymamy przy gęstszym podzale belk. Rys.. Dla belk wsporkowej z rys.. obowązują waruk brzegowe: w( 0) = 0 czyl w = 0 w w w w'( 0) 0 = 0 = czyl = = 0 zatem w0 = w. x a Rówaa różcowe dla puktów są astępujące: w0 w+ w = Pa /( ) w w + w = Pa /( ). Po uwzględeu waruków brzegowych rówaa te modyfkują sę do postac: w = Pa /( ) w + w = Pa /( ) skąd w = Pa /( ) = Pl /( ) =07 Pl /( ). 8 Uzyskay rezultat jest wększy od wartośc ścsłej o około %. (w max = 0pl /(). Na zakończee zbadamy skręcae zotropowego pręta sprężystego o przekroju kwadratowym. W celu uzyskaa zadowalających rezultatów ależałoby wprowadzć bardzo gęstą satkę współrzędych. Z uwag a wyłącze lustracyje ujęce metody różc skończoych ograczymy sę do satk w której występują trzy ewadome wartośc fukcj aprężeń F(y z). Temat zadaa objaśa rys... Fukcja aprężeń mus spełać rówae różczkowe cząstkowe: Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI (g) F = Gθ gdze = + y x przy waruku brzegowym a koturze przekroju pręta F c = 0. Objętość bryły zawartej mędzy płaszczyzą przekroju a rzędym fukcj F(y z) jest zwązaa z mometem skręcającym M zależoścą (h) V = M a aprężea τ xy τ xz wyoszą: () F F τ xy = τ xz =. z y Rys.. Na rysuku. uwzględoo własość symetr fukcj F(y z) względem os układu współrzędych uwdoczoo rzęde F F F. Wartośc brzegowe stosowe do waruku F c = 0 są rówe zeru: czyl F = F = F 6 = 0. Newadome wartośc F F F oblczymy z rówań różcowych ułożoych dla wewętrzych puktów przekroju pręta (pukty ). Rówaa te są astępujące (por. rys..0 rys..): pukt : F F = α pukt : F + F F = α pukt : F + F + F 6 F = α gdze α = Gθa. Po uporządkowau tych rówań oraz uwzględeu że F = F 6 = 0 otrzymujemy układ rówań lowych a wartośc F F F : Rozwązaem tego układu są wartośc: F + F = α F + F = α F + F F = α. 9 7 F = α F = α F = α. 8 6 8 Oblczymy teraz objętość V występującą we wzorze (h). W tym celu każdemu puktow wewętrzemu przypszemy pewą powerzchę. Przyjmemy że będą to kwadraty o boku a środku wypadającym w Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 6 daym węźle satk współrzędych. Przydzał powerzch zazaczoo lam przerywaym. Zakładamy dalej że w obrębe powerzch przypsaej każdemu puktow rzęde fukcj aprężeń są stałe. Całkowta objętość będze zatem sumą loczyów pola podstawy a wysokośc słupka F : (j) V a ( F+ F + F) = M. Po podstaweu oblczoych wartośc F F F otrzymujemy: a 9 7 + + α = M 8 6 8 skąd M (k) α = Gθa =. 7a Bezpośredo z zależośc (k) moża oblczyć przyblżoą wartość mometu bezwładośc a skręcae gdyż: G θ= M J = M s 9 a czyl b Js = a = 9 9 = 0 b. Poeważ wartość dokłada J s = 0b węc błąd uzyskaego rezultatu sęga 8%. Maksymale aprężee stycze występuje w pukce 6: F F F τmax = τ ( ) = = ' xy 0a. z a Napotykamy tu a stotą trudość bo e zamy wartośc F '. Dla jej wyzaczea ależy ekstrapolować fukcję F(y z) poza kotur przekroju pręta korzystając z tego że rówae różczkowe problemu skręcaa (g) jest słusze róweż dla puktu 6: F6 + F + F+ F ' = α skąd (F = F 6 =0) F' =α F = α. 8 Wobec tego 7 7 α τmax = + α =. a 8 8 a Stosowe do wzoru (k) współczyk α moża wyrazć albo przez jedostkowy kąt skręcea θ albo przez momet skręcający M. W perwszym przypadku otrzymujemy: 7 Gθa 7 Gθb (l) τmax = = = 0688 Gθb a w drugm: 7 M 7 6 M M (m) τ max = = =. 7 7 a b 068 b Wartość wykająca ze wzoru (l) jest mejsza od wartośc ścsłej tylko o około % (τmax = 0878G θb). Wykorzystae tego wzoru jest jedak uwarukowae zajomoścą ścsłej wartośc jedostkowego kąta skręcea. Wzór (m) prowadz do wartośc wększej od wartośc ścsłej aż o około 0% (τ max = M /(008b )). W celu polepszea wyków ależy wprowadzć dużo gęstszą satkę. Wpływ zmejszea oczek satk jest jedak stosukowo mały. Śwadczy o tym p. wartość Js = 07 b oblczoa dla oczka a = b/ ( ewadomych!) w dalszym cągu obarczoa dosyć zaczym błędem (%). Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 7.7. METODA NEWTONA-RAPHSONA Metoda ta jest uogóleem zaej metody Newtoa a przypadek układu rówań elowych. Ses metody Newtoa-Raphsoa wyjaśmy a przykładze układu dwóch rówań elowych zapsaych astępująco: (a) g( x x) = 0 g( x x) = 0. Chodz o oblczee perwastków x * x * wyzaczających jede z puktów przecęca sę krzywych g g. Proces oblczaa składa sę z kolejych teracj (przyblżeń). W metodach teracyjych kluczowym zagadeem jest określee recepty a polepszee poprzedego przyblżea. Założymy zatem że przyblżoe wartośc perwastków wyoszą x x. Poszukujemy przyrostów x x które dodae odpowedo do wartośc x x dadzą w wyku wartośc blższe rozwązau ścsłemu. Przyrosty te oblczamy korzystając z rozwęć fukcj g( x+ x x + x) g( x+ x x + x) w szereg Taylora. Jeśl poprzestaemy jedye a składkach lowych tego szeregu oraz będzemy jedocześe wymagać spełea układu rówań (a) to otrzymamy: g( x+ x x + x) = g( x x) + g ( x x) x+ g ( x x) x = 0 (b) g( x+ x x + x) = g( x x) + g ( x x) x+ g ( x x) x = 0 gdze g g j= j =. x j Zależośc (b) tworzą układ dwóch rówań lowych o dwóch ewadomych x x: g x + g x = g (c) g x+ g x = g. Rozwązaem tego układu są wartośc: (d) g g g g x = + g g g g g g g g x =. g g g g Ogóle borąc metoda Newtoa-Raphsoa w -tej teracj wymaga rozwązaa układu rówań lowych a przyrosty ewadomych x a recepta a polepszee wyku ma ( ) postać: (e) x ( + ) = x ( ) + x ( ) =... m gdze m jest lczbą ewadomych. Zbeżość metody lczba teracj zależy w stoty sposób od przyjęca perwszego rozwązaa bazowego czyl tzw. puktu startowego o współrzędych x ( 0 ) x ( 0)... x ( 0) m. Metodę Newtoa-Raphsoa zlustrujemy przykładem lczbowym. Rozważmy układ rówań: (f) g( x x) = x + x = 0 g( x x) = x x = 0. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 8 Rys.. Fukcja g( x x)= 0 przedstawa rówae elpsy a fukcja g( x x)= 0 rówae parabol. Poszukujemy jedego z dwóch puktów P * w którym przecają sę obe krzywe (rys..). Współrzęde * * tych puktów oblczoe w sposób ścsły wyoszą: x =± 000 x = 0 60. O tym który z powyższych puktów będze wyzaczoy metodą N-R decyduje przyjęce puktu startowego. Jeśl przyjmemy że x ( 0) = x ( 0) = 070 to otrzymamy pukt P. leżący w perwszej ćwartce układu współrzędych x x. Pochode fukcj g g oblczamy a podstawe rówań (f): g = 6x g = x g = x g = atomast przyrosty x x a podstawe rówań (d). A oto koleje przyblżea: ( x ) = 00000; ( x ) = 0 70000; g= 0 g =0 g = 6 g = g = g = 0 ( x ) = 0 0676 ( x ) = 0 09 () x = 0676 ; () x = 0 60676; g= 0 09 g = 0 00 g = 6 606 g = g = g =0 () x = 0 006 () x =0 00 Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.
Dodatek. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 9 ( x ) = 006 ; ( x ) = 0 60; g= 0 0009 g = 0 000 g = 6 606 g = 0 g = 0 g =0 ( x ) = 0 00006 ( x ) = 0. Trzy przyblżea prowadzą do rozwązaa pokrywającego sę w ramach przyjętej dokładośc z rozwązaem dokładym: ( x ) * = x = 000 ( x ) * = x = 0 60. Adrzej Gawęck - Mechaka materałów kostrukcj prętowych 00r.