Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 1 / 12
Transfomacja zmiennych w całce Transformacja zmiennych w całce: f(x 1,..., x n )dx 1 dx n = R X = f (x 1 (y 1,..., y n ),..., x n (y 1,..., y n )) (x 1 x n ) R Y (y 1 y n ) dy 1 dy n Uwaga: Jakobian jest równy stosunkowi elementów objętości dx 1 dx n oraz dy 1 dy n. Jeśli zatem uznamy, że jakobian należy do elementu objętości, wówczas g(y 1,..., y n ) f (x 1 (y 1,..., y n ),..., y n (x 1,..., x n )) = f(x 1,..., x n ) Obie funkcje mają to samo znaczenie fizyczne, ponieważ odpowiadają temu samemu elementowi objętości. Często jednak nie chcemy aby obie wielkości odpowiadały temu smemu elementowi objętości, np. f(x 1,..., x n )dx 1 dx n h(y 1,..., y n )dy 1 dy n h(y 1,..., y n ) f(x 1,..., x n ) (x 1 x n ) (y 1 y n ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 2 / 12
Transformacja różniczkowego przekroju czynnego Transformacja z przestrzeni pędów (dp 1 dp 2 dp 3 ) do współrzędnych sferycznych (dω i pęd pomiedzy p i p + dp). Ponieważ 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 1 p 2 p 3 dp 1 dp 2 dp 3 = 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 p 3 ) (pθϕ) dpdθdϕ (p 1 p 2 p 3 ) (pθϕ) = p 2 sin θ więc dostajemy: 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 2 sin θdpdθdϕ p 1 p 2 p }{{ 3 }{{}} dpdω 2 σ(p,θ,ϕ) p Ω Transformacja pomiędzy lorentzowskimi układami S i S (ruch względem wspólnej osi zz ). E = γ(e βp 3 ), p 1 = p 1, p 2 = p 2, p 3 = γ(p 3 βe) Wprowadzamy współrzędne sferyczne: p 1 = p sin θ cos ϕ p 2 = p sin θ sin ϕ p 3 = p cos θ p cos θ = γ(p cos θ βe) p sin θ = p sin θ ϕ = ϕ E = γ(e βp cos θ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 3 / 12
Transformacja różniczkowego przekroju czynnego Żądamy aby liczba cząstek w kącie bryłowym dω i mających pęd w zakresie p i p + dp była równa liczbie cząstek w kącie bryłowym dω i mających pęd w zakresie p i p + dp : 2 σ(p, θ, ϕ) p Ω dpdω = 2 σ (p, θ, ϕ ) p Ω dp dω Jakobian można zapisać jako złożenie następujących transformacji: Ponieważ (pω) (p Ω ) = (pω) (pθϕ) (pθϕ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1p 2p 3) (p θ ϕ ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p θ ϕ ) (p Ω ) (p 1 p 2 p 3 ) p 1 p 2 p 3 ) = p 3 p = γ + γβ E 3 p = γ + γβ p 3 3 E = E E, więc (pω) (p Ω ) = sin θ 1 p 2 sin θ E E p 2 sin θ 1 sin θ = Ep 2 E p 2 = E sin2 θ E sin 2 θ A więc przekroje czynne w obu układach związane są relacją: 2 σ(p, θ, ϕ ) p Ω = 2 σ(p, θ, ϕ) p Ω (pω) (p Ω ) = 2 σ(p, θ, ϕ) Ep 2 p Ω E p 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 4 / 12
Rozkład pędu w CMS i LAB Rozważmy izotropowy rozkład cząstek o ustalonej energii w CMS. Jak wygląda ten rozkład w LAB? p 1 = p 1, p 2 = p 2, p 3 = γ (p 3 + βe ), E = const Spektrum, które w CMS ma kształt sfery, w LAB przyjmuje postać elipsoidy o półosiach, a 1 = p, a 2 = p, a 3 = γp : p 3,max = γ (p + βe ) p 3,min = γ ( p + βe ) p 3,center = γβe Równanie elipsoidy: p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 p 2 = p2 1 p 2 + p2 2 p 2 + (p 3 γβe ) 2 p 2 = 1 Elipsoida przechodzi przez punkt (0,0,0) gdy: p 3,min = γ ( p + βe ) = γp [(β/v ) 1] = 0 v = β Dla v > β punkt (0, 0, 0) leży wewnątrz elipsoidy. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 5 / 12
Rozkład pędu w CMS i LAB Wartości pędów odpowiadające temu samemu kątowi θ w LAB otrzymujemy wstawiając p 2 = p 3 tg θ do równania elipsoidy (zawsze można wybrać układ tak aby p 1 = 0): p ± 3 = βγe ± β 2 γ 2 E 2 (1 + γ 2 tg 2 θ)(β 2 γ 2 E 2 γ 2 p 2 ) 1 + γ 2 tg 2 θ Maksymalna wartość kąta θ wystepuje dla p + 3 pierwiastka: tg 2 v 2 θ max = γ 2 (β 2 v 2 gdzie v = p ) E = p 3 Jakiemu kątowi θ w CMS odpowiada kąt θ max w LAB? p 2 = p 2, p 3 = γ(p 3 + βe ) (0, 0) LAB (p 2 = 0, p 3 = βe ) Z rysunku odczytujemy: cos θ (θ max ) = p βe cos θ (θ max ) = v β, co oznacza zerowanie się M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 6 / 12
Opis rozpraszania elastycznego - zmienne niezależne Do opisu rozpraszania elastycznego cząstek bezspinowych w mechanice kwantowej służy amplituda zależna jedynie od czteropędów tych cząstek: T fi = T (p 1, k 1, p 2, k 2 ) Całkowita liczba zmiennych wynosi 16. Jednak: T fi 2 P-two ; nie zależy od układu, a więc tylko niezmienniki: p 2 1, k 2 1, p 2 2, k 2 2, p 1 k 1, p 1 k 2, p 1 p 2, k 1 k 2, k 1 p 2, k 2 p 2 ale p 2 1 = p 2 2 = m 2 i k 2 1 = k 2 2 = µ 2 to parametry, pozostałe 6 zmiennych można użyć do opisu rozpraszania, ale tylko dwie są niezależne ze względu na zachowanie czteropędu p 1 + k 1 + p 2 + k 2 = 0. Zachodzą np. następujące relacje: k 1 p 1 = k 2 p 2, k 1 p 2 = k 2 p 1, µ 2 + k 1 k 2 = m 2 + p 1 p 2, p 1 p 2 = m 2 p 1 k 1 p 1 k 2 Jako zmienne niezależne można np. wybrać: p 1 k 1 i p 1 k 2. Symbolem prime będziemy oznaczać zmienne dotyczące cząstek wychodzących. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 7 / 12
Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Układ laboratoryjny (LAB) - jedna z cząstek pierwotnych spoczywa (np. p 1 ): p 1 = (m, 0), p 2 = (E 2, p 2), k 1 = (ω 1, k 1 ), k 2 = (ω 2, k 2) ω 1 = p 1k 1 m, ω 2 = p 1k 2 m E 2 = p 1p 2 m k 1 k 2 = ω 1 ω 2 k 1 k 2 cos θ L Kąt θ L wyrażony poprzez niezmienniki: cos θ L = ω 1 ω 2 k 1 k 2 (ω 2 1 µ 2 )(ω 2 2 µ2 ) = (k 1 p 1 )(k 2p 1 ) m 2 (k 1 k 2) [(k1 p 1 ) 2 m 2 µ 2 ] [(k 2 p 1) 2 m 2 µ 2 ] Układ środka masy (CMS): k1 + p 1 = k 2 + p 2 = 0 k 1 = p 1 = K, k 2 = p 2 = K E 2 CM = (p 1 + k 1 ) 2 = (p 2 + k 2) 2 = = (E 1 + ω 1 ) 2 = (E 2 + ω 2) 2 = ( = K2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 = ( = K 2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 a więc K = K. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 8 / 12
Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Do opisu rozpraszania w CMS używamy energii E 2 CM s. Jako drugą zmienną nie możemy wybrać K ponieważ [ ] [ s (m + µ) K 2 2 s (m µ) 2] = 4s K 2 jest kwadratem pędu każdej z cząstek w CMS przed lub po rozpraszaniu. Zmienna s jest kwadratem energii w układzie CMS: s = (p 1 + k 1 ) 2 = (p 2 + k 2) 2 = (p 1 + k 1 )(p 2 + k 2) ( = K2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 Jako drugą zmienną do opisu rozpraszania w CMS stosuje się kąt θ CM : t (k 1 k 2) 2 = 2µ 2 2k 1 k 2 = 2(µ 2 ω 2 + K 2 cos θ CM = = 2K 2 (cos θ CM 1) = [ ] [ s (m + µ) 2 s (m µ) 2] = (cos θ CM 1) 2s gdzie ω 2 = K 2 + µ 2. Stąd: cos θ CM = 1 + t 2K 2 = 1 + 2ts [s (m + µ) 2 ] [s (m µ) 2 ] M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 9 / 12
Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Układ Breit a (Brick Wall) - obie cząstki odbijają się od ściany, jedna z nich zmienia pęd na przeciwny ( k 1 + k 2 = 0): k 1 = (ω, k), k 2 = (ω, k) p 1 = (E, p 1 ), p 2 = (E, p 2) p 1 = p 2 = p = E 2 m 2 k 1 k 2 = (0, 2 k) = p 2 p 1 = (0, p 2 p 1 ) Jako niezależne zmienne do opisu rozpraszania można wybrać energie: k 1 + k 2 = (2ω, 0) ω 2 B = 1 4 (k 1 + k 2) 2 (p 1 + p 2)(k 1 + k 2) = 4Eω E B = 1 (p 1 + p 2)(k 1 + k 2) 2 (k1 + k 2 )2 Kąt rozproszenia cząstki p : t (k 1 k 2) 2 = (p 1 p 2) 2 = 2p 2 (cos θ B 1) cos θ B = 1 + t 2p 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 10 / 12
Zmienne s, t, u (Mandelstama) s = (k 1 + p 1 ) 2 = (k 2 + p 2 ) 2 = (k 1 + p 1 )(k 2 + p 2 ) t = (k 1 + k 2 ) 2 = (p 1 + p 2 ) 2 = (k 1 + k 2 )(p 1 + p 2 ) = = 2(µ 2 + k 1 k 2 ) = 2(m 2 + p 1 p 2 ) u = (k 1 + p 2 ) 2 = (p 1 + k 2 ) 2 = (k 1 + p 2 )(p 1 + k 2 ) Znaczenie zmiennych s, t, u: s to kwadrat energii w CMS gdy padającymi cząstkami są k 1, p 1 lub k 2, p 2. t to kwadrat przekazu czteropędu (w układzie Breita redukuje się do kwadratu przekazu trójpędu). u nie ma prostej interpretacji fizycznej w żadnym układzie (ponieważ jest różnicą pędów cząstek o różnych masach). Tylko dwie spośród zmiennych s, t, u są niezależne: s + t + u = 4µ 2 + 2m 2 + 2k 1 (p 1 + p 2 + k 2 ) = 2µ 2 + 2m 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 11 / 12
Zmienne s, t, u Twierdzenie: Dla dowolnego trójkąta prawdziwa jest relacja: ag a +bg b +cg c = ah a = bh b = ch c = 2F a c g a+ b c g b+g c = h c u+s+t = 2m 2 +2µ 2 a c g a = u, b c g b = s, g c = t, h c = 2m 2 +2µ 2 a = b = c, h = 2m 2 + 2µ 2 b = c = a 2 = h = 2m 2 + 2µ 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 12 / 12