Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Transkrypt

1 Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk tel: konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: www: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Pok. 117b (wejście przez 115)

2 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW KONT.

3 Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. x=k exp { 1 2 x at B x a}=k exp { 1 2 g x} g = 1 = const elipsa kowariancji. g = const obszary elipsoidalne o stałym prawdopodobieństwie W gx= x a T B x a x ma rozkład normalny g(x) ) ma rozkład χ 2 o n stopniach swobody. Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości x wewnątrz elipsoidy g = const: g W = 0 f X 2 ;nd X 2 = P n 2, g 2 P to niepełna funkcja Gamma. Dla elipsoidy kowariancji: W n = P n 2, 1 2 Dla małych n: W = ; W = ; W = ; W = ; W = ; W = ;

4 cov(x,y) = = 0.0 m 1 = m 2 = = 2 = 1.0 cov(x,y) = =0.75 m 1 = m 2 = = 2 = 1.0 cov(x,y) = =0.5 m 1 = m 2 = = 2 = 1.0 cov(x,y) = = -0.5 m 1 = m 2 = = 2 = 1.0 4

5 Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. Wyznaczenie obszarów o tym samym prawdopodobieństwie (dla różnych n): - ustalamy wartość W - obliczamy odpowiadającą mu wartość g. (g to kwantylem z prawdopodobieństwem w rozkładzie X 2 o n stopniach swobody). g= X W 2 n Elipsoida ufności; odpowiada wartości g, takiej, że zawiera wektor x z prawdopodobieństwem W (Jeśli W= 0.95, to x leży wewnątrz elipsoidy ufności na 95%) - Związek między elipsoidą ufności i funkcją M: - Różnica między funkcją M w punkcie x oraz w punkcie ~x: ~ M=cA x T G y ca x=min M x M x=x x T A T G y x x=min Ponieważ: A T G y A=G x =B - Można dowieść, że M x M x=g x 5

6 Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. - Elipsa kowariancji - hiperpowierzchnia w przestrzeni r-wymiarowej opisanej zmiennymi: x, x,..., x. 1 2 r - Odpowiadają stałej wartości funkcji M = M(x) = M(~x) Elipsoida ufności - hiperpowierzchnia, gdzie M = M(x) = M(~x) +g (odpowiada prawdop. W). - G - kwantyl rozkładu X 2 o f = n-1 stopniach swobody. - Te rozważania pozostają słuszne, kiedy stosujemy MNK do przypadków nieliniowych. Przybliżenie lepsze, gdy odstępstwo parametrów nieznanych od wyrażenia f j x, =f j x 0, f j x 1 x 0 x 1 x f j x r x 0 x r x r0 spowodowane nieliniowością są małe (kiedy np. pochodne mają stałe wartości, kiedy zmiany nieznanych parametrów są małe). - Błędy są małe interpretacja elipsoidy kowariancji bez zmian. (szukane są kontury przedziałów ufności, gdzie z prawdopodobieństwem W znajduje się prawdziwa wartość x). 6

7 Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. - Wyznaczany jest 1 parametr x krzywa M = M(x) ) to odcinek na osi x. - Wyznaczane są 2 parametry: : x, x 1 2 granicą obszaru ufności jest krzywa opisana wzorem: M x=m xg - Więcej parametrów możliwe jest wyznaczenie cięć obszarów ufności przechodzących przez punkt x= x 1, x 2,..., x r Dowolnej parze zmiennych x 1, x 2,..., x r Procedura do wykreślenia obszarów ufności jest opisana w podręczniku Brandt'a. Rozpatrzony został także przypadek błędów niesymetrycznych wraz z niesymetrycznymi Granicami obszaru ufności. 7

8 POMIARY ZALEŻNE

9 Pomiary zależne - Nie zakładamy niezależności pomiarów mogą być związane pewną liczbą więzów. - Przykład: : bezpośredni pomiar trzech kątów trójkąta. - Równanie więzów: : suma kątów wynosi 180 st. - Zadanie: : wyznaczenie estymatorów ~η ~ η wielkości η. - Błędy mają rozkład normalny o wartości średniej równej zeru: - Równania więzów: - Przypadek liniowych więzów: y j = j j j=1,2,...,n E j =0 E j 2 = j 2 f k =0 k=1,2,...,q b 10 b 11 1 b b 1n n =0 b 20 b 21 1 b b 2n n =0 - W notacji macierzowej: b q0 b q1 1 b q2 2...b qn n =0 B b 0 =0 9

10 Pomiary zależne metoda elementów - Wychodzimy z równania: B b 0 =0 - Eliminujemy q z n wielkości η.. Pozostałe wielkości to elementami. (można je dowolnie wybierać spośród pierwotnych pomiarów, mogą też stanowić ich kombinacje liniowe). - Wektor η to liniowa kombinacja elementów: j =f j0 f j1 1 f j2 2...f j,n q n q j=1,2,..., n - Rozwiązanie: - Macierz kowariancji: - Wyniki poprawione: =F f 0 =F T G y F 1 F T G y y f 0 G 1 =F T G y F 1 =F f 0 =F F T G y F 1 F T G y y f 0 f 0 - Macierz kowariancji wyznaczona na podstawie prawa propagacji błędów: G 1 =F F T G y F 1 F T =F G 1 F T 10

11 Równanie więzów dla kątów w trójkącie W wyniku pomiarów kątów trójkąta otrzymano wyniki: 89 st, 31 st, 61 st. y= Równanie więzów: - Można je zapisać w postaci: =180 B b 0 =0 B=1,1,1 b 0 =b 0 = Jako elementy wybierzemy: 1, 2 = 1, 2 3, = = F= f 0 =

12 Równanie więzów dla kątów w trójkącie Błąd pomiaru wynosi 1st (założenie): C y = - Dochodzimy do: =I G y=c 1 y =I 0 0 = = G = Wyniku takiego można było spodziewać się ze względu na równe wariancje. 12

13 Metoda mnożników Lagrange'a Alternatywna metoda to metody elementów (obie dają identyczne wyniki, ale tu nie trzeba wybierać elementów). - Liniowy układ więzów: - Wartość pomiarowa to wartość prawdziwa oraz błąd pomiaru: B y Bb 0 =0 - Wprowadzamy wektor: - Dostajemy równanie: - Wektor mnożników Lagrange'a: B b 0 =0 c=b yb 0 1 c B =0 = 2... q y= - Rozszerzymy funkcję pierwotną: - L jest funkcją Lagrange'a. M= T G y - Warunek M = min z więzami: c-bε = 0 jest spełniony, kiedy funkcja Lagrange'a znika: do: L= T G y 2 T c B - Jest to równoważne: dl=2 T G y d 2 T B d =0 T G y T B=0 13

14 Metoda mnożników Lagrange'a - Wzory końcowe,, przy oznaczeniu: =G B c G B =B G y 1 B T 1 =G y 1 B T G B c = y G y 1 B T G B c - Macierze kowariancji: G 1 =G B G =G y 1 G y 1 B T G B B G y 1 - Zastosowanie do przykładu z trójkątem: c=2 G B = 1 3 Macierze kowariancji: G 1 = 1 3 G 1 =

15 Metoda mnożników Lagrange'a przypadek nieliniowy - Równania więzów: f k =0 k=1,2,...,q - Rozwijamy w szereg Taylora wokół punktu η 0, będącego pierwszym przybliżeniem η: f k =f k 0 f k f k n 0 n n0 (*) - Wprowadzając oznaczenia: b kl = f k l 0 c=f k 0 k = k k0 11 b b 1n b B=b 21 b b 2n c b q1 b q2... b qn c=c1 2 q... c - Równanie (*) w postaci macierzowej: B c=0 = n 15

16 Metoda mnożników Lagrange'a przypadek nieliniowy - Jako pierwsze przybliżenie mamy wartości z pomiarów: = 0 = y= 0 = y - Można dowieść,, że: - estymator błędów pomiarowych : = G y 1 B T BG y 1 B T 1 c - estymator wielkości poprawionych: = s = s 1 (wynik każdego kroku to kolejne przybliżenie, po s iteracjach wynik jak wyżej) - macierz kowariancji: G 1 = G y 1 G y B T G B B G y 1 - estymator błędów: = y - minimalizowana M: M= T G y 16

17 17

18 PRZYPADEK OGÓLNY MNK

19 Przypadek ogólny MNK Notacja: poszukiwane parametry to r-wymiarowy wektor x. Wielkości mierzalne: n-wymiarowy wektor η. Wielkości mierzone: n-wymiarowy wektor y. Wyniki pomiarów różnią się od wielkości mierzonych o wielkości błędu ε (n-wymiarowy wektor). Zakładamy, że błędy mają rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 0 oraz macierzą Kowariancji C = G y y -1. Wektory x oraz η są ze sobą związane za pomocą m funkcji: Zakładamy, że znamy pierwsze przybliżenie wartości szukanych dla wektora η. Są to wyniki pomiarów. Zakładamy, że funkcje f k Rozwinięcie w szereg Taylora: f k x, =f k x, y =0 k=1,2,...,m są liniowe w otoczeniu (x, ( η ). 0 f k x, =f k x 0, 0 f k x 1 x 0, 0 x 1 x f k x r x 0, 0 x r x r0 f k 1 x 0, f k n x 0, 0 n n0 19

20 Przypadek ogólny MNK Wprowadzając oznaczenia: a kl = f k x l x 0, 0 b kl = f k l x 0, 0 c k =f k x 0, 0 11 a a c1 1r 11 b b 1n a A=a 21 a a 2r b c b q1 a q2... a mr c= m 2 B=b 21 b b 2n b c q1 b q2... b mn =x x 0 = 0 Układ równań w postaci macierzowej: A B c=0 20

21 Przypadek ogólny MNK Można dowieść, że: = A T G B A 1 A T G B c = G y 1 B T G B c A A T G B A 1 A T G B c =G B A c A A T G B A 1 A T G B c x=x 0 = 0 G x 1 = A T G B A 1 G 1 =G y 1 G y 1 B T G B G Y 1 G y 1 B T G B A A T G B A 1 A T G B BG y 1 Można udowodnić, że przy spełnionym warunku dostatecznej liniowości: M=B T G B B Ma rozkład X 2 o NDF = m-r. W przypadkach nieliniowych stosowana jest procedura iteracyjna przyjmująca jako wartości Początkowe wartości z poprzedniego kroku iteracyjnego. Iteracja może być powtarzana aż Do uzyskania satysfakcjonującego wyniku. Jest to kryterium bardzo trudne do określenia. 21