Co ma piekarz do matematyki?

Transkrypt

1 Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009

2 x

3 x (x 1, x 2 )

4 x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 )

5 x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

6 x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

7 x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

8 x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

9 x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x 4 y 4 ) 2..

10 x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2

11 x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2

12 x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci x + t (y x), gdzie t [0, 1].

13 x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci x + t (y x), gdzie t [0, 1]. Kula o środku w x 0 i promieniu r to zbiór punktów x, dla których d(x 0, x) r.

14

15 trzy współrzędne położenia

16 trzy współrzędne położenia trzy współrzędne pędu (lub prędkości)

17 trzy współrzędne położenia trzy współrzędne pędu (lub prędkości) w sumie stan układu to punkt w R 6

18

19 3k współrzędnych położenia

20 3k współrzędnych położenia 3k współrzędnych pędu (lub prędkości)

21 3k współrzędnych położenia 3k współrzędnych pędu (lub prędkości) w sumie stan układu to punkt w przestrzeni 6k-wymiarowej

22

23 Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych!

24 Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych! Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia)

25 Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych! Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia) Drugi problem: kompresja danych

26 Zbiór Cantora

27 Zbiór Cantora

28 Zbiór Cantora

29 Zbiór Cantora

30 Zbiór Cantora

31 Zbiór Cantora

32 Zbiór Cantora

33 Zbiór Cantora

34 Zbiór Cantora

35 Zbiór Cantora

36 Zbiór Cantora

37

38

39

40 Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około cząsteczek

41 Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około cząsteczek To jest współrzędnych; dla uproszczenia 10 24

42 Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około cząsteczek To jest współrzędnych; dla uproszczenia mol gazu doskonałego w typowych warunkach (20 C, 10 5 Pa) zajmuje 24 dm 3

43 Biblia Tysiąclatka zawiera słów

44 Biblia Tysiąclatka zawiera słów Dla uproszczenia przyjmijmy, że słów jest 10 6 i jedno słowo opisuje jedną współrzędną

45 Biblia Tysiąclatka zawiera słów Dla uproszczenia przyjmijmy, że słów jest 10 6 i jedno słowo opisuje jedną współrzędną Do opisu tego układu potrzebujemy około /10 6 = tomów wielkości Biblii!

46 Musimy stawiać inne pytania!

47 Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)?

48 Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)? czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia równowagi?

49 Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)? czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia równowagi? czy układ będzie miał tendencję do powracania do stanu początkowego?

50 Ludwig Boltzmann ( ): związki między termodynamiką a mechaniką statystyczną (statystyczna interpretacja II zasady termodynamiki) rozkład prędkości cząstek gazu (rozkład Maxwella-Boltzmanna)

51 Josiah Willard Gibbs ( ): mechanika statystyczna (twórca tej nazwy) chemia fizyczna analiza wektorowa

52 Paul Ehrenfest ( ): mechanika statystyczna a fizyka atomowa fizyka kwantowa

53 Andriej Kołmogorow ( ): rachunek prawdopodobieństwa mechanika złożoność obliczeniowa

54 George Birkhoff ( ): równania różniczkowe teoria ergodyczna

55 Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń.

56 Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model:

57 Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu

58 Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu T t - przekształcenia przestrzeni X (funkcje T t : X X) odpowiadające upływowi czasu t, tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu T t (x)

59 Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu T t - przekształcenia przestrzeni X (funkcje T t : X X) odpowiadające upływowi czasu t, tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu T t (x) Zakładamy, że T t+s (x) = T t (T s (x)) dla każdego stanu x

60 Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co pewien czas t 0, np. co sekundę, i zamiast zestawu przekształceń T t rozważamy tylko to jedno T = T t0.

61 Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co pewien czas t 0, np. co sekundę, i zamiast zestawu przekształceń T t rozważamy tylko to jedno T = T t0. Otrzymujemy układ dynamiczny (X, T), czyli zbiór z działaniem pewnego przekształcenia.

62 X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1)

63 X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1) T przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej

64 X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1) T przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej

65 X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1) T przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej T(x, y) = { (2x, 1 2 y) dla x < 1 2 (2x 1, 1 2 y + 1) dla x 1 2

66 Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem.

67 Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem.

68 Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem.

69 Definicja Jeśli przez P(A) oznaczymy pole zbioru A, to przekształcenie kwadratu T ma własność mieszania, gdy dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi: P(A T n B) P(A) P(B)

70 Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają

71 Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają T(x, y) = { (x + r, y) gdy x + r < 1 (x + r 1, y) w przeciwnym razie

72 Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają T(x, y) = { (x + r, y) gdy x + r < 1 (x + r 1, y) w przeciwnym razie

73 {0, 1} Z zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych obustronnie nieskończonych

74 {0, 1} Z zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych obustronnie nieskończonych Każdy punkt z odcinka [0,1) można zakodować ciągiem zerojedynkowym (zwykłym), a punkt z kwadratu ciągiem obustronnie nieskończonym }{{} }{{} y x

75 }{{} }{{} y x

76 }{{} }{{} y x

77 }{{} }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej

78 }{{} }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0

79 }{{} }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0 Liczby z [0, 1 2 ) mają współrzędna 0; dodawanie 1 2 to zamiana tego 0 na 1

80 }{{} }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0 Liczby z [0, 1 2 ) mają współrzędna 0; dodawanie 1 2 to zamiana tego 0 na 1 Przekształcenie piekarza na kwadracie to przesunięcie ciągu o jedna pozycję w lewo { (2x, 1 T(x, y) = 2 y) dla x < 1 2 (2x 1, 1 2 y + 1) dla x 1 2