1 Matematyka dla ekonomistów

1 Matematyka dla ekonomistów Rachunek zda«zadanie 1.1. Stosuj c metod 0 1 udowodni nast puj ce tautologie: 1. p p (prawo to»samo±ci), 2. p q p 3. ( p p) p (prawo Claviusa), 4. p (p q) 5. p (p q) p 6. p (p q) p 7. (p q) (p q) 8. p (p q) q 9. p p (prawo wyª czonego ±rodka) 10. [ (p q)] ( p q) (prawo de Morgana) 11. [ (p q)] ( p q) (prawo de Morgana) 12. (p q) ( p q) (prawo eliminacji implikacji) 13. (p q) (p q) (prawo zaprzeczenia implikacji) 14. p ( p q) (prawo Dunsa-Scota) 15. (p q) ( q p) (prawo transpozycji) 16. [(p q) p] q (prawo odrywania) 17. [(p q) (q r)] (p r) (prawo przechodnio±ci implikacji) 18. [p (q r)] [(p q) (p r)] (prawo rozdzielno±ci koniunkcji wzgl dem alternatywy) 19. [p (q r)] [(p q) (p r)] (prawo rozdzielno±ci alternatywy wzgl dem koniunkcji) 20. [(p q) (q r)] (p r) 21. [(p r) (q r)] [(p q) r] 22. [(p q) r] [( r q) p] 1

Zadanie 1.2. Stosuj c metod 0 1 sprawdzi, które z nast puj cych funkcji zdaniowych s tautologiami: 1. (p q) (q p) 2. [p ( p q)] q 3. p {p [p (p p)]} 4. [(p q) (p r)] [p (q r)] 5. p q p q 6. [(p q) r] [p (q r)] 7. [(p q) r] [p (q r)] 8. (p q) (p r q) 9. (p q r) (p q) (r q) 10. [(p q) (p q)] (q p) 11. (p q r) (p q r) p q r Zadanie 1.3. Podane wyra»enia doprowadzi do najprostszej postaci 1. (p q) ( p q), 2. (p q) ( p q), 3. {p [( p q) p]} q, 4. p {[(p q) q] q}, 5. p q p (q p) ( q p). Zadanie 1.4. Zapisa negacje poni»szych zda«. 1. (q r p) r 2. (p r) (q p) 3. p (q r) 2

Funkcje zdaniowe i kwantykatory Zadanie 1.5. Znale¹ wykresy funkcji zdaniowych 1. x 3 2. x < 3 2x = 8 3. 2x = 1 x 3 = 27 4. x + 1 + x + 2 = 1, x R. 5. 1 x 3, x C, Zadanie 1.6. Znale¹ wykresy funkcji zdaniowych ϕ(x, y), gdzie zakresem zmienno±ci ka»dej ze zmiennych jest zbiór R 1. y = x 3 x = y 2. y = 2x 2 x = 2y 3. 2x y x < y 1 4. x y = 0, 5. x 2 + y 2 > 4, 6. x y < 0, 7. x > y, 8. x y < 0, 9. x y x 2 + y 2 < 4, 10. x 2 + 2x 3 > 0, Zadanie 1.7. Oceni warto± logiczn zda«1. x 2 + 1 > 0, 4. x + y = 3, x R x R y R 2. x 2 + 2x 3 = 0, 5. x n 0, x R n N x R 3. x 2 + x + 1 0, 6. x n > 0. x R n N x R Zadanie 1.8. Wyznaczy zbiór 1. A = {x R : [( x + 1 < x + 1) (x 2 4 0)]}, 2. B = {x R : 2x 3 5 x 2 2 < 2}, 3. C = {(x, y) R 2 : x 1 + y > 5 1 < x 2 + y 2 25}. 3

Zadanie 1.9. Zaznaczy w ukªadzie wspóªrz dnych zbiory 1. A = {(x, y) R 2 : x y < 0 x 2 + y 2 = 0}, 2. B = {(x, y) R 2 : x < y x 2 + y 2 1}, 3. C = {(x, y) R 2 : x 1 + y > 5 1 < x 2 + y 2 25}, 4. D = {(x, y) R 2 : x + 1 > 1 2 y 2}, 5. E = {(x, y) R 2 : x + 1 > 2 2 y 1}. Zadanie 1.10. Zapisz symbolicznie poni»sze zdania i funkcje zdaniowe. 1. Je»eli liczby rzeczywiste x i y s ró»ne, to x jest mniejsze ni» y lub y jest mniejsze ni» x. 2. Nie ka»da liczba naturalna nieparzysta jest podzielna przez 3 3. Kwadrat ka»dej liczby rzeczywistej jest wi kszy ni» zero 4. Je±li n jest liczb naturaln wi ksz ni» 2, to nie istniej liczby naturalne x, y, z takie,»e x n + y n = z n 5. Kwadrat»adnej liczby wymiernej nie jest równy 2 6. Warto± bezwzgl dna ka»dej liczby rzeczywistej jest równa tej liczbie lub liczbie do niej przeciwnej 7. Nie istnieje najwi ksza liczba rzeczywista Zadanie 1.11. Zapisa negacj poni»szych wyra»e«bez u»ycia symbolu negacji 1. 2. 3. x x y x N y N (x < y x < q < y) x,y R q Q (y > 0 x = yz) y z 4. x (x < 3 y (y > x y 3)) 5. x (x 0 y xy x) 4

2 Matematyka dla ekonomistów Rachunek zbiorów Zadanie 2.1. Dane s zbiory A = {x Z: 4 < x < 4} B = {x R: x 2 = 9} C = {x R: x = 3 x = 3} D = {3} E = {x Z: 2 < x < 4} W±ród podanych zbiorów wska» zbiory równe. Wyznacz A B, E B A, A B, (A B) C, (A \ B) C, B \ A, A \ (B C). Zadanie 2.2. Dane s zbiory A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = { 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8, 10}. Wyznacz C B A, A B, (A B) C, (A \ B) C, B \ A, A \ (B C). Zadanie 2.3. Zaznacz zbiory na osi liczbowej i zapisz go w postaci sumy przedziaªów. 1. R \ ( 2, 1] 2. R \ (4, 6) 3. R \ ( 3, 1] 4. R \ (2, 5] 5. R \ {2} 6. R \ { 2, 2} Zadanie 2.4. Dla danych zbiorów A i B wyznacz A B, A B, A \ B, B \ A 1. A = ( 4, 3), B = ( 2, 5) 2. A = [4, 5), B = (0, 2) 3. A = (, 3), B = ( 4, 1) 4. A = [4, 5), B = ( 4, 6) 5. A = (, 2), B = (, 1] 6. A = [4, + ), B = (, 6) Zadanie 2.5. Przedstaw na osi liczbowej 1. A = {x R: x > 2 x 1} 2. A = {x R: x < 2 x > 1} 3. A = {x R: x > 1 x < 2} 4. A = {x R: 1 x 1} 5. A = {x R: x 2 x < 4} 6. A = {x R: x > 3} {x R: x < 1} 7. A = {x R: x 3} {x R: x < 0} 8. A = {x R: x > 3} {x R: x < 1} 9. A = {x R: x > 3} {x R: x < 1} 10. A = {x R: x > 0} {x R: x < 1} 5

11. A = {x R: x 3} {x R: x > 1} 14. A = {x R: x 3} {x R: x > 1} 12. A = {x R: x 3} {x R: x < 1} 13. A = {x R: x 3} {x R: x 1} 15. A = {x R: x 3} {x R: x > 1} Zadanie 2.6. Udowodnij podane prawa algebry zbiorów: 1. A (A B) = A 2. (A B) B = B 3. B (A \ B) = A B 4. [A (A B)] B = A B 5. A \ B = A \ (A B) 6. A \ B = (A B) \ B 7. (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 8. A (B \ C) = (A B) \ C 9. (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) 10. A (B C) = (A B) (A C) 11. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) 12. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) 13. A (B C) = (A B) (A C) Zadanie 2.7. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B, B \ A 1. A = {0, 1, 2}, B = { 2, 1, 0} 2. A = { 1, 0, 1}, B = {0, 1} 3. A = {2, 4, 5, 6}, B = {4, 5} 4. A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} 5. A = [0, 2], B = [ 2, 0] 6. A = [ 1, 1], B = [0, 1] 7. A = {1, 2, 3, 4}, B = (1, 3) 8. A = {2, 4, 6}, B = [2, 6] 9. A = {x R: x 4}, B = {x R: 0 x < 8} 10. A = {x R: x < 4}, B = {x R: x > 4} 6

11. A = {x R: x 3 x > 2}, B = {x R: x < 1 x 1} 12. A = {x R: x < 1 x > 5}, B = {x R: x 1 x 5} 13. A = {x R: x + 4 6}, B = {x R: x < 0} 14. A = {x R: x > 4}, B = {x R: x 0} 2 Zadanie 2.8. Wyznacz dopeªnienie A zbioru A 1. A = (, 3) 2. A = [ 2, + ) 3. A = [ 3, 4) 4. A = (, 3) [1, 4] 5. A = (, 3] [3, + ) 6. A = (, 1) (1, + ) 3 Matematyka dla ekonomistów Funkcje Zadanie 3.1. Znale¹ dziedzin naturaln funkcji 1. f(x) = log x (2 x 8) 2. f(x) = log 1 x x+1 3. f(x) = log x 2 (x + 2x + 1) 4. f(x) = 4x 3 5. f(x) = 4 2x 6. f(x) = 2x+6 x 7 7. f(x) = 3x 5 (x 2)(4 x) 8. f(x) = x+2 4 9. f(x) = x+5 4 2x 10. f(x) = x+1 x+4 + 3 x (x 1)(x 5) 11. f(x) = 3x 2 x 1 + 4 x x 2 3 1 x 12. f(x) = 3x 2 13. f(x) = 2x (x 3)(x+1) 14. f(x) = x+1 x 2 9 15. f(x) = 5 x 2 +10x+25 16. f(x) = x 2 + 9 17. f(x) = x 2 9 18. f(x) = 1 8 2x 19. f(x) = 2x 3 20. f(x) = ln(x 2 4x + 3) 21. f(x) = 2 1 x 22. f(x) = log 2 (4 x) 23. f(x) = 2 + 5 ln x 24. f(x) = ln(4x 2 1) 25. f(x) = x + x ln(2x 8) 7

Zadanie 3.2. Oblicz miejsca zerowe funkcji 1. f(x) = 7 5 x 7 3 2. f(x) = 3x + 1 3. f(x) = x 2 4 4. f(x) = 2 5. f(x) = x+2 3 6. f(x) = 1 2 x 7. f(x) = 2 x 6 x+1 8. f(x) = 4x 1 2 9. f(x) = x 2 25 10. f(x) = x 2 + 4 11. f(x) = 2 2x+1 12. f(x) = 2x2 +8x x 2 +6 13. f(x) = x2 1 4x+3 Zadanie 3.3. Naszkicuj wykresy funkcji 1. f(x) = x 2 2. f(x) = x 3. f(x) = x 3 4. f(x) = x 5. f(x) = (x 2) 2 + 1 6. f(x) = x + 3 + 1 7. f(x) = (x + 2) 3 + 1 8. f(x) = (x + 1) 2 1 9. f(x) = x + 2 + 1 10. f(x) = x 1 2 11. f(x) = 3x + 2, x {0, 1, 2, 3} 12. f(x) = 3x + 2 13. f(x) = 3x + 2, x Z 14. f(x) = 3x + 2, x [ 3, 2) 15. f(x) = x + 3 16. f(x) = 3 + x 17. f(x) = 3 x 18. f(x) = 1 + ln x 2 19. f(x) = ln(x + 1) 2 Zadanie 3.4. Które funkcje s ró»nowarto±ciowe 1. f(x) = 6x 1 2. f(x) = 5 3x x+3 3. f(x) = ln 2 x 4. f(x) = 2 log 5 x 5. f(x) = 1 2 x +4 6. f(x) = x 2 7. f(x) = 1 x 4 8

Zadanie 3.5. Zbada parzysto± funkcji 1. f(x) = x 2 x 2. f(x) = x + x 2 sin x 3. f(x) = ln 2x 4. f(x) = 2x3 x x 2 4 5. f(x) = x2 +1 4 x 6. f(x) = e 2x + e 2x 7. f(x) = ln(x 4 x 2 ) 8. f(x) = ln(x 3 x) 9. f(x) = 3x x 3 10. f(x) = (x 3 + x) sin x Zadanie 3.6. Okre±li funkcje zªo»one f f, f g, g f, g g 1. f(x) = 1, g(x) = x2 x 2. f(x) = log 2 x, g(x) = 2 x 3. f(x) = x 2 4, g(x) = x + 1 4. f(x) = x ln x, g(x) = x 3, x > 0 5. f(x) = x 2 e x, g(x) = 5 ln x 6. f(x) = 2x, g(x) = x + 2 7. f(x) = x 2 2x, g(x) = cos x 8. f(x) = 2 x, g(x) = log 2 x Zadanie 3.7. Znale¹ funkcje odwrotne do danych funkcji (o ile istniej ) 1. f(x) = 2x + 3 2. f(x) = x 5 3. f(x) = x 4 4. f(x) = 1 x 5. f(x) = 2x + 1 2x 6. f(x) = 3 4x 7. f(x) = 2x 5 3 8. f(x) = (x 1) 2 1 9. f(x) = 1 2 ex Zadanie 3.8. Wyznaczy obraz f(a) oraz przeciwobraz f 1 (B). 1. f(x) = x 2 2x + 3 A = (1, 2) (3, 5], B = [3, 8) 2. f(x) = 1 A = N, B = (0, 1] x 3. f(x) = x 2 4 A = [0, 1], B = [2, 4] 4. f(x) = 2 x A = [1, 3), B = [3, 5) 9

4 Matematyka dla ekonomistów Dziaªania na macierzach Zadanie 4.1. Wykona dziaªania na macierzach (a) 2 0 4 5 1 1 1 3 2 0 3 0 0 (b) 1 1 4 0 2 1 0 1 1 1 3 1 1 0 1 (c) 4 0 2 + 2 0 3 2 0 1 0 3 2 1 3 4 5 3 1 4 2 (d) 2 3 1 + 2 2 2 0 1 3 5 1 2 2 6 2 4 5 (e) 3 2 3 1 1 3 5 1 (f) 2 (g) 3 (h) 1 3 2 1 1 0 1 0 2 1 3 1 2 0 1 1 + 2 3 2 1 0 4 3 0 1 2 (i) 2 2 1 + 2 0 1 0 1 2 0 1 2 0 0 1 3 1 2 0 0 1 3 1 1 0 1 0 0 (j) 2 2 1 3 + 2 0 1 0 3 0 1 0 0 1 Zadanie 4.2. Obliczy podane iloczyny macierzy (a) (b) (c) 3 2 3 4 5 4 2 5 1 5 3 2 3 5 1 4 2 2 3 1 3 5 1 4 3 28 93 7 3 7 5 38 126 2 1 (e) (f) 2 2 2 3 6 4 3 5 9 2 3 4 7 6 4 7 3 4 5 3 2 2 3 1 2 3 3 5 1 3 0 2 2 2 2 1 5 3 11 16 24 8 8 8 16 0 16 (d) 1 0 2 3 5 1 1 3 7 5 0 2 (g) 1 0 0 1 1 0 0 1 2 3 5 2 3 1 10

5 (h) [ 4 ] 1 2 3 4 5 3 2 1 (i) [ 1 ] 1 2 3 2 3 1 (j) 2 [ ] 1 2 3 3 1 2 (k) 3 1 0 1 1 0 1 2 1 3 0 2 (l) (m) (n) (o) (p) 3 2 5 4 3 4 2 5 2 1 3 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 3 7 5 5 1 3 0 2 1 5 0 3 2 1 4 3 7 5 5 7 2 3 2 0 2 1 7 2 2 2 Zadanie 4.3. Dla macierzy A = o ile istniej 1 2 3 1 4 5 0 1 3, B = 4 2 0 2 1 3 10 0 1, C = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 wyznaczy, 1. A + B 2. (A + B) + C 3. 3B + C 4. A T 5. (A + B) T 6. A T + B T 7. A 2 8. C 2 9. C 3 10. AB BA Zadanie 4.4. Wyznaczy macierze A + B, 2A, 2A B oraz A 2B, gdy 1. A = 3 1, B = 2 4 0 2 3 5 0 7 1 2 1 3 2. A = 1 0 4, B = 0 7 4 2 1 3 1 3 1 2 3. A = 4. A = 1 3 0 3 4 1 4 2 1 2 1 0, B =, B = 2 2 0 1 1 5 1 2 2 1 11

Zadanie 4.5. Obliczy (o ile istniej ) nast puj ce iloczyny AB, AB T, BA, BA T, gdy 1. A = 1 3 0 2 1 1, B = 0 1 4 3 1 2 1 3 2 2. A = 3 1 0 2, B = 2 2 3 5 Zadanie 4.6. Dla nast puj cych macierzy A = 0 1 2 1 1 1 wykona te dziaªania, które s poprawne 2 0 1 0 1 1, B = 1 2 1 1 0 3 10 0 1, C = 1. A + B 2. AC 3. 2A B + C 4. CA 5. A T 6. C T 7. A C T 8. C T B T 9. (A T + C) T 10. (C T B)A 11. ABC 12. ACB 13. CA T B Wyznaczniki Zadanie 4.7. Metod Sarrusa obliczy wyznaczniki podanych macierzy 1. 1 2 0 3 4. 4 1 1 1 2 2 2 1 1 7. 1 2 2 2 4 2 10 0 1 2. 1 2 1 2 5. 1 2 2 4 3 1 2 1 1 8. 4 2 0 0 0 0 10 0 1 3. 1 2 2 4 1 3 2 1 1 6. 4 1 3 4 1 2 4 1 3 9. 3 2 8 5 12

10. 1 1 1 1 2 3 1 3 6 12. 1 1 0 2 3 5 4 0 6 14. 1 3 2 2 4 5 1 0 2 11. 1 5 4 3 2 0 1 3 6 13. 1 4 0 2 5 2 3 0 3 15. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Zadanie 4.8. Stosuj c metod Laplace'a lub metod dziaªa«elementarnych na kolumnach lub wierszach obliczy wyznaczniki z podanych macierzy (a) (b) (c) (d) (e) 1 3 4 5 3 0 0 2 5 1 2 7 2 0 0 3 0 5 0 2 8 3 4 5 7 2 1 4 0 4 0 1 0 a b c 1 x 0 0 1 0 y 0 1 0 0 z 7 6 5 4 4 2 9 7 8 9 3 3 7 4 9 7 0 0 5 3 6 1 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 6 8 0 0 1 2 3 4 0 1 2 5 6 1 4 0 3 0 2 7 (f) (g) (h) (i) (j) 2 3 0 0 1 1 2 5 1 0 9 4 0 0 3 7 0 4 2 3 (k) 4 5 1 1 2 4 1 3 0 0 3 8 3 7 6 9 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 1 2 3 4 2 1 2 3 2 0 5 3 7 (l) 3 2 7 5 1 1 3 5 9 3 1 5 3 2 2 2 4 6 5 6 4 2 4 2 3 3 1 2 3 2 0 5 3 4 3 1 2 2 1 2 2 5 6 5 2 3 (m) 0 2 55 0 4 9 3 7 5 5 0 3 4 1 4 1 1 2 3 7 5 2 3 3 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 3 2 0 0 1 2 3 0 0 (n) 0 0 3 2 0 0 1 1 1 1 0 x 1 x 2 x 3 x 4 0 0 0 3 2 2 0 0 0 3 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 2 1 4 3 5 3 2 7 1 3 2 5 6 7 8 4 2 0 0 1 0 1 8 9 7 6 0 0 (o) 2 3 5 4 0 0 2 0 7 0 2 4 3 0 0 0 0 3 2 4 5 3 1 0 0 0 1 6 5 0 0 0 0 13

Zadanie 4.9. Obliczy wyznaczniki (a) (b) (c) 2 1 1 2 1 2 1 4 1 0 1 1 3 1 4 0 1 0 1 2 12 2 0 1 1 4 2 1 1 1 3 3 2 1 1 8 1 1 1 0 6 1 1 0 2 3 5 4 0 6 (d) (e) (f) 1 4 0 2 5 2 3 0 3 4 2 1 1 1 1 0 2 3 0 1 3 2 2 0 3 1 0 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 4 0 (g) (h) 1 2 1 0 3 2 4 5 1 6 1 2 3 0 2 2 2 1 1 1 2 4 2 0 3 2 7 1 3 2 0 2 1 3 1 2 4 7 2 2 3 2 4 5 3 1 2 0 1 1 Macierze odwrotne Zadanie 4.10. Wyznaczy macierze odwrotne do podanych macierzy 1. 6 0 0 0 1 2 0 3 5 5. 2 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 9. 2 1 1 0 3 2 1 3 1 2 0 2 2 0 2 1 2. 3. 4. 1 3 0 2 7 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 2 8 9 6. 7. 8. 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 2 3 0 0 1 1 1 3 0 1 0 2 10. 11. 12. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 7 6 3 4 5 2 3 2 7 3 3 9 4 1 5 3 14

13. 1 1 2 0 1 0 2 1 2 15. 0 1 1 2 1 0 1 0 1 17. 1 2 3 2 3 4 3 5 7 14. 2 0 1 1 1 1 1 0 1 16. 1 1 1 0 1 1 1 0 1 18. 2 0 1 0 1 0 0 3 3 Zadanie 4.11. Dla jakich x R odwracalna jest macierz 1 1 1 A = 0 x 1? 1 1 x + 2 Zadanie 4.12. Czy macierz A = 3 1 4 1 2 3 3 6 9 jest nieosobliwa? Zadanie 4.13. Dane s macierze A = 1 2 1 0 1 1 1 2 1, B = 1 2 0 1 1 2. Czy odwracalna jest macierz M = B T A 1 B? Zadanie 4.14. Korzystaj c z eliminacji Gaussa znale¹ macierze odwrotne do podanych macierzy 1. 1 2 1 2 1 3 3 1 5 3. 1 4 2 3 2 3 0 2 1 2 5 8 0 2 0 2 5. 2 0 0 4 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 2. 1 1 1 3 4 2 3 2 2 4. 1 2 0 2 3 0 1 1 1 6. 1 2 2 2 1 2 2 2 1 15

7. 1 0 0 1 0 0 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 8. 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 Zadanie 4.15. Rozwi za równania macierzowe: 1. X 3 2 = 1 2 5 4 5 6 2. 4 6 6 9 3. X 4. X + 3 6 4 8 X = = 1 0 0 0 2 0 1 1 1 1 2 4 9 18 = 1 X 2 0 0 2 0 4 0 3 0 1 1 0 1 2 0 2 5. 2Y 0 4 0 = 0 1 0 + Y 0 4 0 1 0 2 1 0 1 2 0 0 6. 1 1 0 0 1 0 7. X = X T 0 2 1 1 1 0 1 2 2 3 T 4i 0 8. X ix T = 6 2i 2 1 1 1 9. 2 1 X = 0 3 1 0 10. 1 1 2 0 1 1 11. X 2 = 12. 3 1 0 1 0 0 0 0 X = X = X 7 3 4 1 4 1 3 0 X = 2 2 2 1 16

13. 1 2 3 0 1 0 1 2 0 3 2 4 X + 5 1 3 = 5 1 4 2 1 0 4 3 3 6 4 5 14. 15. 1 [2 ] 1 + 0 0 X 2 3 T 2 6 2 1 1 1 2 + 0 0 X = 3 5 T 0 1 3 3 5 9 = 1 0 + 2 0 1 0 0 0 0 5 3 1 8 0 2 16. X 1 3 2 = 0 9 15 5 2 1 1 0 1 T 0 3 1 + 5 0 0 0 0 1 5 Matematyka dla ekonomistów Ukªady równa«zadanie 5.1. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 5x 2y = 6, 3x + y = 4 2. x + 2y + 3z = 14, 3x + y + 2z = 11, 2x + 3y + z = 11 3. 2x y + z = 1, 3x + y 2z = 0, x 3y z = 2 4. 5x 3y + 2z = 3, 4x + 5y 3z = 21, 5x 2y 3z = 12 5. 3x + 12y + 5z + 43 = 0, 5x 3y 10z + 76 = 0, 4x 17y + 2z 23 = 0 6. x + 2y + 3z = 1, 2x + 3y + z = 3, 3x + y + 2z = 2 7. x + 2y + 3z = 14, 4x + 3y z = 7, x y + z = 2 8. x + 2y 4 = 3y + 4z 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t 2 = 0 9. 10. 3x + 7y + 2z + 4t = 0 2y + z = 0 x + 4y + z = 1 5x + 3y + 2z = 0 x + 3y + 3z + 3t = 1 3x + y + 3z + 3t = 1 3x + 3y + z + 3t = 1 3x + 3y + 3z + t = 1 17

11. 12 + x + y = 10 + y + z = 8 + z + u = 6 + u + v = 10x + v = 15 12. 9x 8y = 4, 7x + 2y = 3 13. x + 2y z = 1, 3x + y + z = 2, x 5z = 0 Zadanie 5.2. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 2. 2x y = 3 3x + y = 2 x + y + z = 5 2x + 2y + z = 3 3x + 2y + z = 1 4. y + z + t = 4 x + z + t = 1 x + y + t = 2 x + y + z = 2 3. x + y + z = 4 2x 3y + 5z = 5 x + 2y z = 2 5. x 2y + 3z = 7 3x + y + 4z = 5 2x + 5y + z = 18 Zadanie 5.3. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 2x + 3y = 1 3x + y = 0. 4. x + y + z + t = 1 2x + 2y + z + t = 0 3x + 2y + 3z + 2t = 3 6x + 4y + 3z + 2t = 2. 2. x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1. 5. 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y + 2z = 2 4x + 2y + 3z = 3 x 2y + 3s + t = 1 3. 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0. 6. 2x 3y + z + 8s + 2t = 3 x 2y + z + 3s t = 1 y + 3s + 5t = 0 x 2y + 5s + 8t = 1 Zadanie 5.4. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 5x + 2y 2z = 5 3x + y + 2z = 1 2x + 3y + 2z = 5 18

2x + 3y + 2z t = 3 2x + y + z + t = 0 2. 2x + y + z + 2s + 3t = 6 3x z + s + t = 3 4. y + z = 0 2x + y + z + s = 0 y + 4s + t = 1 2x + y + z 2s + 5t = 8 y + z + s + t = 4 x + z + t = 0 x 2y + z t = 4 3. 2x y z + t = 1 x + y + 2z t = 5 x + y z + t = 4 Zadanie 5.5. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. x + 3y 4z = 4 3x + 2y z = 1 x 4y + 7z = 5 7. 2x + 3y + z + 2t = 4 4x + 3y + z + t = 5 5x + 11y + 3z + 2t = 2 2. 3. 4. 5. 6. x + y + 3z 2t + 3u = 1 2x + 2y + 4z t + 3u = 2 3x + 3y + 5z 2t + 3u = 1 2x + 2y + 8z 3t + 9u = 2 5x + 3y z = 3 2x + y z = 1 3x 2y + 2z = 4 x y + 2z = 2 4x 2y + 8z = 6 2x y + 4z = 3 6x + 3y 12z = 9 4x y = 7 3x + y = 14 2x + 3y = 0 3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z t = 7 8. 9. 10. 11. 12. 2x + 5y + z + t = 1 x 7y z + 2t = 7 8x + 6y + 5z + 2t = 21 3x + 3y + 2z + t = 10 4x + 2y + 3z + t = 8 3x + 5y + z + t = 15 7x + 4y + 5z + 2t = 18 3x 2y + 5z + 4t 2 = 0 6x 4y + 4z + 3t 3 = 0 9x 6y + 3z + 2t 4 = 0 6x + 2y + 3z = 2 4x + 2y z + 3t = 2 10x + 4y + 2z + 3t = 4 x + 2y + 3z 2t + u = 4 3x + 6y + 5z 4t + 3u = 5 x + 2y + 7z 4t + u = 11 2x + 4y + 2z 3t + 3u = 6 6x + 4y + 5z + 2t + 3u = 1 3x + 2y + 4z + t + 2u = 3 3x + 2y 2z + t = 7 9x + 6y + z + 3t + 2u = 2 19

13. 6x + 2y + 3z = 2 4x + 2y z + 3t = 2 10x + 2y + 2z + 3t = 4 14. 3x 7y z = 4 x 2y + 3z = 1 x 3y 7z = 6 3x 6y + 9z = 3 Zadanie 5.6. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 3x y + 2z = 0 4x + 2y 5z = 0 2x 7y + 11z = 0 4. x y + 2z s + t = 0 3x + y + z + s + 2t = 0 5x y + 5z s + 4t = 0 2. x + 2y + z s + 6t = 0 3x + 8y + 5z + 3s + 10t = 05. 5x + 12y + 7z + s + 22t = 0 x + 2y z = 0 4x y + 2z = 0 x + 11y 7z = 0 3. 3x + 2y z = 0 x + 3y 4z = 0 2x 4y + 7z = 0 6. x + 2y + 3z 4s = 0 x + 8y + 11z + 12s = 0 2x y z = 0 Zadanie 5.7. Rozwi za podane ukªady równa«: 1. 2x y + 5z + 3t = 0 2. x + 2y = 2x y = x + z + t = 0 3. x + y = y + z = z + t = t + z 4. x + y = y + z = z + s = s + t = t + y = 0 x 3y z t = 0 2x + y + z + t = 0 5. 3x + 2y z = 0 6x + 2y z = 0 6. x + 2y + z = 0 3x y + t = 0 4x + y + z + t = 0 5x + 3y + 2z + t = 0 7. 8. 9. 4x + y z + s 2t = 0 x y + z s 3t = 0 3x y + z s 5t = 0 x 3y + z + t = 0 2x + y + z 7t = 0 x y z 5t = 0 2x + 2y z + s = 0 5x + 6y + z + 2s + t = 0 9x + 10y z + 4s + t = 0 20

6 Matematyka dla ekonomistów Programowanie liniowe Zadanie 6.1. Rozwi za gracznie nast puj ce zadania: (a) zmaksymalizowa π = 2x 1 + 5x 2, przy warunkach x 1 5 x 2 3 x 1 + 2x 2 8 x 1, x 2 0 (b) zminimalizowa C = 12x 1 + 42x 2, przy warunkach x 1 + 2x 2 3 x 1 + 4x 2 4 3x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 (c) zminimalizowa C = 6x 1 + 24x 2, przy warunkach x 1 + 2x 2 3 x 1 + 4x 2 4 x 1, x 2 0 (d) zminimalizowa C = 6x 1 + 30x 2, przy warunkach x 1 + 2x 2 3 x 1 + 4x 2 4 x 1, x 2 0 (e) zmaksymalizowa π = 6x 1 + 6x 2, przy warunkach 2x 1 + 3x 2 12 4x 1 + 2x 2 16 x 1, x 2 0 (f) zmaksymalizowa π = 3x 1 + 2x 2, przy warunkach 5x 1 + 2x 2 20 3x 1 + 2x 2 16 x 1, x 2 0 (g) zmaksymalizowa π = x 1 + 3x 2, przy warunkach 2x 1 + 3x 2 24 x 1 x 2 7 x 2 7 x 1, x 2 0 21

Zadanie 6.2. Wªa±cicielka chce odnowi dom, maluj c go jedn warstw farby. W tym cwelu farba musi mie lepko± przynajmniej 200 centypuazów. Innym wymaganiem jest, aby ka»dy galon farby zawieraª co najmniej 14 g skªadnika chemicznego Y nadaj cego po» dany poªysk. Ponadto, w celu uzyskania odpowiedniej trwaªo±ci, ka»dy galon farby musi zawiera przynajmniej 30 g innej substancji Z. Wªa±cicielka domu mo»e kupi dwa rodzaje farby (I i II). Cena pierwszej farby wynosi 6 dolarów, a drugiej 4 dolary za galon. Maj one nast puj ce cechy: Farba I (galon) Farba II (galon) Lepko± (w centypuazach) 400 100 Y (w gramach) 20 10 Z (w gramach) 20 60 Wªa±cicielka decyduje si zmiesza farby I i II, aby speªni wszystkie trzy wymagania minimalnym kosztem. Jakie ilo±ci I i II farby (oznaczmy je x 1 i x 2 ) utworz ka»dy galon mieszanki? Jaki jest minimalny koszt farby mieszanej? (Wskazówka: oprócz zwykªych ogranicze«musi by równie» speªnione równanie x 1 + x 2 = 1). Zadanie 6.3. Zakªad produkuje dwa rodzaje proszków do prania: "Kolor" i "Biel". Mo»liwo- ±ci produkcyjne zakªadu s ograniczone prac maszyn, które mog pracowa tylko 8 godzin dziennie. Wyprodukowanie jednej tony proszku "Kolor" wymaga dwóch godzin pracy maszyn, a jednej tony proszku "Biel" wymaga jednej godziny pracy maszyn. Zakªad musi produkowa co najmniej 6 ton obu proszków dziennie. Podczas produkcji uwalnia si pewna szkodliwa substancja, której utylizacja jest bardzo kªopotliwa. Podczas produkcji jednej tony proszku "Kolor" powstaj dwa kilogramy tej substancji, natomiast podczas produkcji proszku "Biel" powstaj trzy kilogramy tej substancji. Jaki dzienny poziom produkcji powinna ustali rma aby minimalizowa odpad w postaci szkodliwej substancji? Zadanie 6.4. Firma produkuje dwa rodzaje maszynek do golenia. Jeden rodzaj sprzedaje za 5 zª, drugi rodzaj za 4 zª. W magazynie rma ma 80cm 3 tworzywa sztucznego. W przypadku golarek pierwszego rodzaju rma zu»ywa 4cm 3 na maszynk, a drugiego rodzaju 3cm 3 na jedn maszynk. Odbiorca mo»e przyj najwy»ej 30 maszynek, z tym»e zapotrzebowanie na maszynki pierwszego rodzaju jest 3 razy wi ksze ni» na maszynki drugiego rodzaju. Okre±li optymalny program produkcji. Zadanie 6.5. Zakªad meblarski produkuje stoªy i stoªki wykorzystuj c do tego jeden rodzaj drewna. Na okres obj ty planem zakªad ma do dyspozycji dziennie nie mniej ni» 20 cm 3 wykorzystywanego drewna oraz co najwy»ej 10 decylitrów lakieru sªu» cego do lakierowania gotowych wyrobów. Posiadane zasoby siªy roboczej ka»dego dnia wynosz 10 roboczogodzin. Do wyprodukowania 5 stoªków zu»ywa si 25cm 3 drewna i 35 dl lakieru, a na wyprodukowanie 22

5 stoªów potrzeba 60cm 3 drewna i 5 dl lakieru. redni czas wykonywania 1 stoªka wynosi 60 minut, a stoªu 4 godziny. Zysk jednostkowy na ka»dym wyprodukowanym stoªku wynosi 400 gr, na stole 7 zª. Ustali plan produkcyjny maksymalizuj cy ª czny zysk. Zadanie 6.6. Przedsi biorstwo produkuje dwa rodzaje wisiorków. Jednostkowy zysk na wisiorku typu pierwszego wynosi 3 zª, a na wisiorku typu drugiego - 2 zª. Do procesu produkcji zu»ywa si wiele skªadników, z których trzy stanowi w skie gardªo produkcji. S to: kulki w kolorze br zowym, których jest 45 sztuk, kulki w kolorze ecrú - 40 sztuk, oraz kulki w kolorze czarnym - 80 sztuk. Ilo± kulek potrzebn do wyprodukowania wisiorków obu typów przedstawia tabela: Kulki w kolorach: wisiorek typu I wisiorek typu II) br zowym 1 3 ecrú 2 1 czarnym 2 1 Rozwi» to zadanie z punktu widzenia maksymalizacji zysku. 23

7 Matematyka dla ekonomistów Warto± pieni dza w czasie Zadanie 7.1. W pewnej hurtowni dokonano zakupów towarów na ª czn kwot 20 000 PLN. Kwota ta zawieraªa naliczon mar» hurtow w wysoko±ci 10%. Ustal kwotow mar» hurtow oraz kwot od której liczono mar». Zadanie 7.2. Telewizor kosztowaª 3 500 PLN. Jego cen obni»ono o 15%, a nast pnie w zwi zku ze zbli»aj cymi si ±wi tami obni»ono j jeszcze raz. Ostatni obni»k ceny reklamowano jako sprzeda» bez podatku VAT. Ile wynosi VAT na telewizory, je»eli ostateczna cena tego modelu telewizora to 2 439 PLN? Zadanie 7.3. Pracownikom pewnej rmy podniesiono pensje o 10%, a nast pnie, tªumacz c si kªopotami nansowymi, obni»ono pensje o 10%. Czy pracownicy otrzymaliby wynagrodzenie wy»sze czy ni»sze, gdyby najpierw ich pensje obni»ono o 10%, a nast pnie podniesiono o 10%? Zadanie 7.4. Specjali±ci zakªadaj,»e waluta pewnego kraju przez najbli»sze 3 lata b dzie sªabªa 5% w skali roku w stosunku do dolara, którego siªa nabywcza nie b dzie si zmieniaªa. Obecnie stosunek kursu dolara do tej waluty jest jak 2:1. Jaki b dzie stosunek kursu tych walut po 3 latach, je±li sprawdz si prognozy specjalistów? Jakim procentem w stosunku do chwili obecnej b dzie przyrost tego kursu po 3 latach? Zadanie 7.5. Po 30% podwy»ce cen telewizor kosztuje 1 200 PLN. Ustal poprzedni cen telewizora oraz kwot podwy»ki? Zadanie 7.6. Wydawnictwo przyznaªo ksi garni rabat w wysoko±ci 15%. Jaka jest cena katalogowa ksi»ki i kwotowa warto± rabatu, je±li za ksi»k ksi garnia zapªaciªa 9 PLN? Zadanie 7.7. Obrót w pewnym sklepie najpierw podniósª si o 16%, nast pnie o 12%, a po pewnym czasie obni»yª si o 13%. Jaki byª obrót ko«cowy po tych zmianach, je±li obrót pocz tkowy wynosiª 12 000 PLN? Oprocentowanie proste stopa roczna P (P 0 ) - pocz tkowa warto± kapitaªu n oprocentowanie wyra»one w latach F warto± kapitaªu w chwili n I odsetki za okres n 24

r stopa procentowa. r = I P n = F P P n I = P rn F = P (1 + rn) Zadanie 7.8. Obliczy, jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500 zª po: 1. 4 latach 2. 198 dniach oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12%. Zadanie 7.9. Wªa±cicielowi 18-miesi cznej lokaty bankowej na sum 10 000 zª wypªacono przy jej likwidacji 11 725 zª. Jaka byªa roczna stopa oprocentowania lokaty? Oprocentowanie proste stopa podokresowi k liczba podokresów, której ª czna dªugo± jest równa dªugo±ci roku, i k - stopa podokresowi, m k - czas oprocentowania wyra»ony w podokresach. m k = nk I = P i k m k F = P (1 + i k m k ) Zadanie 7.10. Po»yczka 1200 zª b dzie spªacona jednorazowo po upªywie 4 miesi cy wraz z odsetkami probliczonymi przy miesi cznej stopie 1,3%. Oblicz kwot potrzebn do spªaty po»yczki. Równowa»ne stopy oprocentowania prostego Stopy procentowe s równowa»ne, je±li przy ka»dej z nich kapitaª pocz tkowy P generuje w czasie n odsetki I o identycznej warto±ci. k 1 i k1 = k 2 i k2 i k = r k Zadanie 7.11. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i 2 = 18%. Obliczy równowa»n stop miesi czn, 13-dniow i 2-letni, a nast pnie przy u»yciu ka»dej z nich obliczy odsetki proste od kapitaªu 400 zª za czas 3 lat. Zadanie 7.12. Kwartalna stopa oprocentowania prostego wynosi 6,66%. Obliczy : 1. równowa»ne stopy oprocentowania prostego: (a) roczn, 25

(b) miesi czn, (c) 5- miesi czn, (d) 3-letni, 2. przy u»yciu ka»dej z tych stóp 2,5-letnie odsetki od kwoty 700 zª. Kapitalizacja zªo»ona z doªu F = P (1 + r) n I = P [(1 + r) n 1] Zadanie 7.13. Po ilu latach oprocentowania skªadanego przy rocznej stopie r=15% kapitaª P=2500 zª wygeneruje odsetki I=3500 zª? Zadanie 7.14. Wpªacono do banku kwot 2 000 PLN na okres 2 lat na procent skªadany. Jaki b dzie stan konta poupªywie dwóch lat i rocznej kapitalizacji odsetek? Nominalna stopa procentowa wynosi 3%. Zadanie 7.15. Jak kwot nale»y zdeponowa w banku na 4%, aby po 3 latach wzrosªa ona do 5 000 PLN, je±li kapitalizacja odsetek nast puje corocznie? F = P (1 + i k ) m k I = P [(1 + i k ) m k 1] Oprocentowanie skªadane kapitalizacja podokresowi Stop nominaln r k nazywamy stop roczn proporcjonaln do stopy podokresowej i k. r k = ki k F = P (1 + r k k )nk I = P [(1 + r k k )nk 1] Zadanie 7.16. Obliczy warto± kapitaªu 1000 zª i ª czne odsetki po 2 latach oprocentowania skªadanego w warunkach okre±lonych za pomoc kwartalnego okresu kapitalizacji i kwartalnej stopy 6%. Zadanie 7.17. Obliczy warto± przyszª kwoty 100 zªotych po 3 latach, je»eli kapitalizacja byªa kwartalna i w ka»dym roku kwartalne stopy procentowe byªy staªe i równe odpowiednio: 4%, 3%, 2%. Zadanie 7.18. Obliczy ko«cow warto± kapitaªu 1000 zª oraz odsetki po 2 latach, je±li warunki oprocentskªadanego s okre±lone przez nominaln stop 24% i okres kapitalizacji o dªugo±ci: 26

1. rocznej, 2. póªrocznej, 3. kwartalnej, 4. tygodniowo, 5. codziennie. Kapitalizacja ci gªa F = P e r cn I = P (e rcn 1) Zadanie 7.19. Obliczy warto± przyszª kwoty 100 zªotych po 3 latach, przy zaªo»eniu ci gªej kapitalizacji odsetek wedªug rocznej stopy procentowej 5%. Zadanie 7.20. Jaka powinna by stopa procentowa, aby potroi dany kapitaª po 8 latach w przypadku kapitalizacji ci gªej? Zadanie 7.21. Przy jakiej rocznej stopie procentowej warto± wpªaconej do banku kwoty wzro- ±nie dwukrotnie w ci gu 5 lat, je»eli kapitalizacja jest 1. póªroczna, 2. miesi czna, 3. ci gªa? Zadanie 7.22. Po jakim czasie wpªacona na konto bankowe kwota 1 500 PLN utworzy kapitaª 2 500 PLN, je»eli roczna stopa procentowa wynosi 8% i kapitalizacja jest: 1. kwartalna, 2. ci gªa? Zadanie 7.23. Po ilu latach kapitaª wzrósª 5-krotnie, je»eli przez pierwsze 2 lata kapitalizacja byªa kwartalna zªo»ona, a przez nast pne ci gªa? Przez caªy czas roczna stopa procentowa wynosiªa 28%. Zadanie 7.24. Na konto wpªacono 1 000 PLN. Bank stosowaª kapitalizacj miesi czn i roczn stop procentow 12%. Po dwóch latach zmieniono kapitalizacj na ci gª i roczn 10% stop 27

procentow. Jak kwot nale»y dopªaci na konto po 2 latach i 3 miesi cach od pierwszej wpªaty, aby po 4 latach od rozpocz cia oszcz dzania stan konta wyniósª 2 000 PLN? Zadanie 7.25. W banku, w którym obowi zuje kapitalizacja ci gªa, kapitaª wzrósª 2-krotnie w ci gu 3 lat i 5 miesi cy. 1. O ile bank powinien podnie± stop procentow, je±li chce przej± na kapitalizacj póªroczn i zachowa t sam atrakcyjno± oprocentowania? 2. Po jakim czasie kapitaª wzro±nie 4-krotnie przy tej samej stopie procentowej, która byªa na pocz tku, ale kapitalizacji miesi cznej? Zadanie 7.26. W banku A kapitaª wzrasta o poªow w ci gu 1 roku 5 miesi cy i 20 dni przy kapitalizacji ci gªej. W banku B kapitaª wzrasta 2-krotnie w ci gu 20 miesi cy przy kapitalizacji kwartalnej. (a) Po jakim czasie warto± kapitaªu wpªaconego do banku B potroi si? (b) Jak bank B powinien zmieni roczn stop procentow, aby warunki kredytowania byªy równowa»ne tym, które oferuje bank A? Przeci tne oprocentowanie i stopa efektywna Stopa efektywna oznacza, o ile procent zwi ksza si warto± kapitaªu w ci gu roku. ( r ef = 1 + r ) k k 1 k r ef = e rc 1 Zadanie 7.27. Bank zmieniª warunki oprocentowania wkªadów na ksi»eczkach oszcz dno±ciowych, zwi kszaj c oprocentowanie nominalne z 8% do 9% oraz wydªu»aj c okres kapitalizacji odsetek z kwartaªu na póª roku. Sprawd¹ podan jednocze±nie informacj,»e ta zmiana nie pogorszy sytuacji klientów banku. Zadanie 7.28. Firma uzyskaªa póªroczny kredyt w banku A przy stopie i 2 = 9% oraz miesi czny kredyt w banku B przy stopie i 12 = 1, 5%. Czy warunki oprocentowania obu kredytów s równowa»ne? Zadanie 7.29. Ile wynosiªa efektywna roczna stopa procentowa, je»eli w wyniku zainwestowania 2000 zª po 2 latach otrzymali±my 3500 zª? 28

Zadanie 7.30. Który z banków oferuje atrakcyjniejsze warunki oprocentowania: bank A, w którym dokonuje si kapitalizacji póªrocznej przy rocznej stopie procentowej 22%, czy bank B z kapitalizacj miesi czn i roczn stop procentow 21%? Zadanie 7.31. W ci gu ostatniego roku oprocentowanie rachunku bankowego byªo zmieniane wielokrotnie. W pierwszym póªroczu stopa nominalna wynosiªa 12%, a odsetki kapitalizowano co kwartaª. Pocz wszy od trzeciego kwartaªu odsetki byªy kapitalizowane co miesi c, stopa nominalna za± wynosiªa: 10% w okresie lipiec-wrzesie«, 9% w okresie pa¹dziernik-listopad oraz 8% w grudniu. Obliczy : (a) efektywn stop oprocentowania rachunku, (b) przeci tn stop kwartaln, (c) warto± kapitaªu 10 tys. zª na koniec roku. Do tej pory przyjmowali±my,»e stopa procentowa jest staªa przez caªy czas trwania inwestycji. Obecnie zakªadamy,»e przez pierwszych n 1 okresów stopa procentowa wynosiªa r 1, przez n 2 okresów wynosiªa r 2,..., przez n p okresów wynosiªa r p, przy czym ) p F = P 0 (1 + n i r i - przy kapitalizacji prostej (z doªu) i=1 F = P 0 (1 + r 1 ) n 1 (1 + r 2 ) n2... (1 + r p ) n p p i=1 = n. - przy procencie skªadanym (kapitalizacja zªo»ona z k 1 k 2 doªu) ( F n = P 0 1 + r ) k1 n 1 ( 1 1 + r ) ( k2 n 2 2... 1 + r ) kp n p p - je»eli w ró»nych okresach obowi zywaªy ró»ne stopy procentowe, a kapitalizacja odbywaªa si w ró»nych podokresach F = P 0 e p 1=1 r in i - dla kapitalizacji ci gªej Roczn stop procentow, dla której dowolny kapitaª pocz tkowy P osi gnie w chwili n tak sam warto± jak przy zró»nicowanych stopach procentowych r 1, r 2,..., r p, nazywamy przeci tn stop procentow (r przec ). r przec = 1 ( p n n i r i - dla kapitalizacji prostej r przec = n i=1 zªo»onej z doªu k p (1 + r i ) i=1 ) 1 n 1 - dla kapitalizacji Zadanie 7.32. o banku wpªacono 500 PLN na 6 lat, przy kapitalizacji rocznej zªo»onej. W tym czasie roczna stopa procentowa zmieniaªa si i wynosiªa w kolejnych latach odpowiednio 15%, 12%, 12%, 10%, 15%, 12%. Wyznacz przyszª warto± lokaty. Zadanie 7.33. Na konto bankowe wpªacono 800 PLN przy kapitalizacji (a) miesi cznej, (b) ci gªej 29

i zmiennej rocznej stopie procentowej. Wyznaczy przeci tn stop procentow oraz stan konta po 4 latach, je»eli roczna stopa procentowa wynosiªa odpowiednio: 11% w pierwszym póªroczu, 10% przez kolejnych 10 miesi cy, 9% przez nast pny rok i siedem miesi cy oraz 10% w pozostaªym okresie. i (j) inf Oprocentowanie i inacja - okresowa stopa inacji w okresie j = 1, 2,..., m, f inf - okresowa stopa inacji, ī inf - przeci tna okresowa stopa inacji w czasie m okresów i real - realna stopa procentowa m f inf = (1 + i (j) inf ) 1 j=1 ī inf = 1 m + f inf 1 i real = r i inf - gdy stopa procentowa za ka»dy okres bazowy taka sama 1 + i inf i real = (1 + r 1) n1... (1 + r k ) n k - gdy przez n (1 + i 1 inf )n 1... (1 + i k inf ) n s okresów bazowych stopa procentowa wynosiªa r s, a stopa inacji - i s inf, s = 1,..., k, n = n 1 +... + n k k. 1 + i nom = (1 + i real )(1 + i inf ) - wzór Fishera Zadanie 7.34. Roczna nominalna stopa procentowa lokaty bankowej wynosi 12% i bank kapitalizuje odsetki co rok. Roczna inacja wynosi 9%. Obliczy realn stop procentow. Zadanie 7.35. Bank stosuje kapitalizacj kwartaln, a stopy procentowe za poszczególne kwartaªy w roku s równe odpowiednio 3%, 2%, 3% i 4%. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, je»eli stopa inacji w poszczególnych kwartaªach byªa równa odpowiednio 2%, 3%, 2% i 3%? Zadanie 7.36. W styczniu, lutym i marcu miesi czna stopa inacji wynosiªa odpowiednio, 2,5%, 2% oraz 2,1%. Obliczy stop inacji w I kwartale oraz przeci tn miesi czn stop inacji w I kwartale. Zadanie 7.37. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s wy»sze od ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszu, je±li w minionym roku stopa inacji wynosiªa 13%? Zadania ró»ne Zadanie 7.38. Oblicz warto± przyszª kapitaªu i wysoko± odsetek przy nast puj cych danych: (a) P = 2000 zª, r = 18%, n = 2 lata, kapitalizacja odsetek co póª roku; 30

(b) P = 300 zª, r = 20%, n = 27 miesi cy, kapitalizacja odsetek co kwartaª; (c) P = 1000 zª, r = 19%, n = 5 lat, kapitalizacja odsetek co rok; (d) P = 400 zª, r = 22%, n = 4 lata, kapitalizacja odsetek co miesi c; (e) P = 200 zª, r = 25%, n = 2 lata, ci gªa kapitalizacja odsetek; (f) P = 1000 zª, r = 18%, n = 3 lata, ci gªa kapitalizacja odsetek. Zadanie 7.39. Oblicz liczb okresów kapitalizacji (przy oprocentowaniu ci gªym - liczb lat), niezb dnych do powi kszenia kapitaªu pocz tkowego P do wysoko±ci najbli»szej zadanej kwocie F: (a) P = 2000 zª, F = 5000 zª, r = 24%, kapitalizacja odsetek co póª roku; (b) P = 300 zª, F = 1000 zª, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartaª; (c) P = 1000 zª, F = 2000 zª, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok; (d) P = 400 zª, F = 5000 zª, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesi c; (e) P = 200 zª, F = 400 zª, r = 15%, ci gªa kapitalizacja odsetek; (f) P = 1000 zª, F = 1100 zª, r = 18%, ci gªa kapitalizacja odsetek. Zadanie 7.40. Dla podanych ni»ej danych oblicz dokªadny (co do dnia) czas, po którym kapitaª P powi kszy si do wysoko±ci F. (a) P = 2000 zª, F = 5000 zª, r = 18%, kapitalizacja odsetek co póª roku; (b) P = 300 zª, F = 1000 zª, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartaª; (c) P = 1000 zª, F = 2000 zª, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok; (d) P = 400 zª, F = 5000 zª, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesi c. Zadanie 7.41. Oblicz kapitaª podstawowy i wspóªczynnik dyskontuj cy: (a) F = 200 zª, r = 18%, kapitalizacja odsetek co póª roku, n = 5 lat; (b) F = 300 zª, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartaª, n = 8 lat; (c) F = 100 zª, r = 19%, kapitalizacja odsetek co rok, n = 10 lat; (d) F = 400 zª, r = 22%, kapitalizacja odsetek co miesi c, n = 15 lat; 31

(e) F = 200 zª, r = 25%, ci gªa kapitalizacja odsetek, n = 25 lat; (f) F = 100 zª, r = 18%, ci gªa kapitalizacja odsetek, n = 5 lat. Zadanie 7.42. Które oprocentowanie jest korzystniejsze dla inwestora: (a) 20% z kapitalizacj odsetek co miesi c czy 21% z kapitalizacj odsetek co póª roku? (b) 20% z kapitalizacj odsetek co póª roku czy 19% z ci gª kapitalizacj odsetek? (c) 22% z kapitalizacj odsetek co miesi c czy 21% z codzienn kapitalizacj odsetek? (d) 32% z kapitalizacj odsetek co kwartaª czy 30% z kapitalizacj odsetek co miesi c? Zadanie 7.43. Która z propozycji oprocentowania lokaty terminowej jest najkorzystniejsza: (a) 13% z kapitalizacj roczn? (b) 12,5% z kapitalizacj póªroczn? (c) 12% z kapitalizacj ci gª? Zadanie 7.44. Bank proponuje wypªaty od r ki lub za jaki± czas. Która z nich jest korzystniejsza? (a) 200 zª teraz czy 350 zª za 3 lata (oprocentowanie20% i kapitalizacja odsetek co miesi c)? (b) 2000 zª teraz czy 4000 zª za 4 lata (oprocentowanie 21% i kapitalizacja odsetek co póª roku)? (c) 10 000 zª teraz czy 15 000 zª za 2 lata (oprocentowanie 28% i kapitalizacja odsetek co kwartaª)? (d) 10 zª teraz czy 10 000 zª za 25 lat (oprocentowanie 40% i ci gªa kapitalizacja odsetek)? Zadanie 7.45. Podaj oprocentowania równowa»ne dla nast puj cych danych: (a) 20%, kapitalizacja miesi czna; równowa»ne przy kapitalizacji póªrocznej? (b) 20%, kapitalizacja póªroczna; równowa»ne przy kapitalizacji ci gªej? (c) 23%, kapitalizacja miesi czna; równowa»ne przy kapitalizacji dziennej? (d) 36%, kapitalizacja roczna; równowa»ne przy kapitalizacji miesi cznej? 32

(e) 32%, kapitalizacja kwartalna; równowa»ne przy kapitalizacji miesi cznej? (f) 36,5%, kapitalizacja dzienna; równowa»ne przy kapitalizacji ci gªej? Zadanie 7.46. Za otrzyman obecnie po»yczk 10 000 zª zobowi zano si zwróci 16 500 zª po 3 latach. Obliczy roczn nominaln stop procentow przy kapitalizacji odsetek (a) rocznej, (b) kwartalnej, (c) miesi cznej, (d) ci gªej. Zadanie 7.47. Rachunek bankowy jest oprocentowany w stosunku rocznym na 24%. Za ka»dy peªny rok nalicza si odsetki skªadane, a za okres krótszy od roku - odsetki proste. Jaka wpªata przyjmie po 3 latach i 9 miesi cach warto± 5000 zª? Zadanie 7.48. W kolejnych kwartaªach roku nominalna stopa procentowa przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosiªa 30%, 34%, 33%, 37%. Oblicz przeci tn roczn stop procentow, przeci tn kwartaln stop procentow oraz wynikaj c z niej efektywn roczn stop procentow. Zadanie 7.49. Do jakiej kwoty wzro±nie kapitaª P (przy rocznej kapitalizacji odsetek), je±li w ci gu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiªa r 1, a przez nast pne trzy lata b dzie równa r 2? (a) r 1 = 38, r 2 = 36%; (b) r 1 = 20%, r 2 = 24%; (c) r 1 = 28%, r 2 = 22%. Zadanie 7.50. Rozwi za zadanie 7.49 dla przypadku kapitalizacji odsetek (a) co miesi c (b) co kwartaª (c) co póª roku. Zadanie 7.51. W ci gu pierwszych n 1 lat kapitaª byª oprocentowany przy stopie rocznej r 1, a przez nast pne n 2 lat - przy stopie r 2. Jak kwot zdeponowano w banku, je±li po czasie n 1 + n 2 stan konta wyniósª F? (a) r 1 = 38%, r 2 = 36%, n 1 = 3 lata, n 2 = 2 lata, kapitalizacja roczna, F = 15 000 zª; (b) r 1 = 20%, r 2 = 24%, n 1 = 2 lata, n 2 = 1 rok, kapitalizacja kwartalna; F = 10 000 zª; (c) r 1 = 28%, r 2 = 22%, n 1 = 1 rok, n 2 = 1, 5 roku, kapitalizacja póªroczna; F = 10 000 zª. 33

Zadanie 7.52. Kwot 2000 zª wpªacono na 5 letni lokat o stopie procentowej 8% rocznie. Znajd¹ warto± lokaty na koniec okresu, zakªadaj c oprocentowanie proste. Zadanie 7.53. Kwot 5000 zª zainwestowano na 3 lata przy stopie procentowej 7% rocznie. Znajd¹ warto± ko«cow kapitaªu przy oprocentowaniu prostym. Zadanie 7.54. Kwota 30 000 zª podlega oprocentowaniu prostemu, a roczna stopa procentowa wynosi 5%. Oblicz wielko± kapitaªu po upªywie: 1. pi ciu lat, 2. póªtora roku, 3. trzech miesi cy. Zadanie 7.55. Robert zªo»yª w banku 5000 zª. Po 18 miesi cach bank wypªaciª mu 5624,32 zª. Jakie jest oprocentowanie (w skali roku) w tym banku, je±li kapitalizacja odsetek nast puje co póª roku? Zadanie 7.56. Trzy banki proponuj ró»ne stopy oprocentowania lokat: 1. W banku A oprocentowanie roczne wynosi 10% i bank ten stosuje procent prosty. 2. W banku B oprocentowanie roczne wynosi 9% i odsetki doliczane s co póª roku. 3. W banku C oprocentowanie roczne wynosi 8% i odsetki doliczane s co kwartaª. W którym z tych banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysoko±ci 20000 zª, a w którym pi cioletniej lokaty w wysoko±ci 5000 zª? 34

8 Matematyka dla ekonomistów Ci gi liczbowe Zadanie 8.1. Zbada monotoniczno± ci gów 1. a n = n 2, 2. a n = 2n+1 n(n+1), 3. a n = 1 n, 4. a n = 1 n!, 5. a n = 3n+1 n(n+1), 6. a n = 1 (3n) 2, 7. a n = n 2 n + 1, 8. a n = n 2n+1, 9. a n = 3 ( 1)n n, 10. a n = (n 1)(n 2), 11. a n = n n 2 +1, 12. a n = n 2 n, 13. a n = n2 +2n+1 n 2 3, 14. a n = 2n n!, 15. a n = 2n n n n, 16. a n = n2 n 2 +n+2, 17. a n = 1 3n+5, 18. a n = 1 5 n, 19. a n = n 2 n+2, 20. a n = 3n+4 2n+5, 21. a n = n 3, 22. a n = 2 n, 23. a n = 3n + 2, 24. a n = 2 n, 25. a n = 1 n 1+n, 26. a n = 3n+1 3n 1, 27. a n = 2n 1 n. Zadanie 8.2. Zbada ograniczono± ci gów 1. a n = 3n+( 1)n 2n+1, 2. a n = 1 3n+5, 3. a n = 1 5 n, 4. a n = n 2 n+2, 5. a n = 3n+4 2n+5, 6. a n = 3 + ( 1)n n, 7. a n = 2n 1, 8. a n = ( ) 1 n+1, 2 9. a n = 2 n+1, 10. a n = ( 2) n, 11. a n = n 2 + 4n + 4. 35

Zadanie 8.3. Obliczy granice podanych ci gów ci gów 1. a n = 5n2 +3n+2 2n 2 n+1, 2. a n = 3n2 +3n 1 2n 3 +15n, 3. a n = 3n2 +2n+1 1 2n 2, 4. a n = 4n3 n+6 2n 3 n 2 +2n+1 5. a n = n 2n+1, 6. a n = 5n2 6n+3 3n 2 +2n+1, 7. a n = n+3 n 2 +n+1, 8. a n = 3n2 n+12 n 3 +n 2 +n+1, 9. a n = 2n3 4n 1 6n+3n 2 n 3, 10. a n = (2n 1)3 (4n 1) 2 (1 5n), 11. a n = 4n 3 6 5n, 12. a n = n2 1 6 5n, 13. a n = 2n3 4n 1 6n+3n 2 n 3, 14. a n = (n 1)(n+3) 3n 2 +5, 15. a n = (2n 1)2 (4n 1)(3n+2), 16. a n = (2n 1)3 (4n 1) 2 (1 5n), 17. a n = 3 n 10 n, 18. a n = ( n+3) 2 n+1, 19. a n = n 2 n+1, 20. a n = 2 5n 10n2 3n+15, 21. a n = n n+1, 22. a n = 4n+3 6+n, 23. a n = n2 1 3 n 3, 24. a n = 2n3 4n 1 6n+3n 2, 25. a n = (n 1)2 (n+3) 3n 2, 26. a n = (2n 1)2 (4n 1)(3n+3), 27. a n = (2n 1)3 (4n 1)(1+5n), 28. a n = n 2 + 6n 4, 29. a n = n 3 3n 9, 30. a n = 3n 5 + 5n 3 4, 31. a n = 1 4n 7, 32. a n = 12 5n+8, 33. a n = 1 4n 2 12, 34. a n = n2 +3n n 2 7, 35. a n = 2n 1 n 7, 36. a n = 3n6 +1 4n 6 3, 37. a n = 6n3 1 3n 3 +2n 4, 38. a n = n2 2 4n, 39. a n = 3n3 +1 2n 2 3, 40. a n = 5n4 2n+3 8n 3 +9n 2, 41. a n = 4n9 2n 2 +3 64n 4 +91n 2, 42. a n = 2n4 +2n 5 8n 3 +9n 2, 43. a n = 2n+1 n 2 7n+1, 44. a n = n2 2n 4n 3 +5n 2 1, 45. a n = n3 +2n 1 4n 7 +3. 36

Zadanie 8.4. Obliczy granice podanych ci gów 1. a n = 1+2n 2 1+4n 2 n, 2. a n = 1 4n 2 +7n 2n, 3. a n = n + 2 n, 4. a n = n 2 + n n, 5. a n = n n 2 + 5n, 6. a n = 3n 2 + 2n 5 n 3, 7. a n = 3n 9n 2 + 6n 15, 8. a n = 2+ n 2n 1, 9. a n = 2n 1 n 7, 10. a n = n 2 + 6n n, 11. a n = 2n 2 + 3n n, 12. a n = n n 2 + 2n, 13. a n = n 2 + 3n 2 n 2 2n + 3, 14. a n = n + 1 + n, 15. a n = 1 2n 2 n+2 2n 2 +1, 16. a n = n 2 2n 2 n + 1, 17. a n = n 2 + 5 n 2 + n + 1, 18. a n = 1 n 2 +n+1 n 2 +5, 19. a n = n 2 + n n, 20. a n = 2 n n 2 +n, 21. a n = 1n n 2 n, 22. a n = 4n 2 + 5n 7 2n, 23. a n = 5 4n 2 +5n 7 2n, 24. a n = 3n 9n 2 + 6n 15, 25. a n = 4n 6 3 2 n, 26. a n = 9n 1 5+3 n, 27. a n = 32n +1 7 3 n. Zadanie 8.5. Obliczy granice podanych ci gów 1. a n = 3 22n+2 10 5 4 n 1 +3, 2. a n = 4n 1 5 2 2n 7, 3. a n = 5 32n 1 4 9 n +7, 4. a n = 3 22n+2 10 5 4 n 1 +3, 5. a n = 8n 1] 76n+1, 6. a n = 4n 1 3 2 2n 7, 7. a n = 2n+1 3 n+2 3 n 1, 8. a n = 7 2n+1 2 4 n 1 4 n+1 +5 3 n 1, 9. a n = 2n+1 3 n+2 4 n 1, 10. a n = 2n+1 4 n 3 n+1 +7 n 1, 11. a n = 3 n+2 2 n 1 +2 2n+1, 12. a n = 2n +3 n 2 n 1 +3 n 1, 13. a n = 4 32n 7 5 9 n +2, 14. a n = 25n+2 +6 5 2n 2, 15. a n = 7 52n +8 4 25 n 6, 16. a n = 3 4n+1 +6 2 2 2n 1, 17. a n = 2 6n 2 +4 6 3 6 n+3, 18. a n = 4 42n+1 7 5 16 n+1 +3, 19. a n = 36n 1 +5 2 6 2n+1 12, 20. a n = 3 5n+1 2 5 n 6 5 n 1 +8 5 n 3. 37

Zadanie 8.6. Obliczy granice podanych ci gów 1. a n = n 10 n + 9 n + 8 n, 2. a n = n 2n 3 3n 2 + 15, 3. a n = n 5 n + 4 n + 3 n, 4. a n = n 6 n + 5 n + 4 n, 5. a n = n 7 n + 6 n + 5 n, 6. a n = n 8 n + 7 n + 6 n + 5 n, 7. a n = n 5n 3 6n 2 + 3n + 1, 8. a n = n 14n 2 2n + 6, 9. a n = n 2n 5 + n 2 + 1, 10. a n = n 5n 2 + 1, 11. a n = n 4n 3 + 3n + 5, 12. a n = n n 10 n 2 + 12, 13. a n = n 4n 2 + 5n 7, 14. a n = n 3 n + 4 n + 4 n, 15. a n = n 2 3 n + 4 7 n, 16. a n = n 3 5 n 3 3 + 5 4 n, 17. a n = n 3 n + 5 n + 7 n, 18. a n = n 10 n + 9 n + 7 n, ( ) n ( ) n ( ) 19. a n = n 1 2 + 2 3 + 3 n. 4 Zadanie 8.7. Obliczy granice podanych ci gów 1. a n = ( 1 + 5 n) n, 2. a n = ( 1 4 n) 2n, 3. a n = ( ) 3n 1 n+4, 3n+1 4. a n = ( ) 3n 3 2, 3n+1 5. a n = ( ) 5n 2 3, 3n 1 6. a n = ( 1 + 2 n) n, 7. a n = ( 1 1 n 2 ) n, 8. a n = ( ) n+5 n, n 9. a n = ( 1 3 n) n, 10. a n = ( 1 4 n) n+3, 11. a n = ( n 2 +6 n 2 ) n 2, 12. a n = ( ) 5n 3 2, 3n+1 13. a n = ( ) n 2 n 2 +2 2n 2 +1, 14. a n = ( ) 2n+3 3, n 5 15. a n = ( ) n 2 +2 5, 4n 16. a n = ( ) 2n+1 20, n 3 7 17. a n = ( ) n+1 2n 3, n 18. a n = ( ) 3n+1 6n, 3n+2 19. a n = ( ) n 2n, n 4 20. a n = ( 1 1 n) 2 3n. 38

Zadanie 9.1. Obliczy nast puj ce granice: 9 Matematyka dla ekonomistów Granice funkcji 1. lim x 2 x 2 + 4 x + 2 2. lim x 2 x 2 1 x 2 4x 2 1 3. lim x 1 2x + 1 2 4. lim x 2 x 3 8 x 2 x 2 1 7. lim x 1 x + 1 x 3 + 125 10. lim x 5 2x 2 50 13. lim x 25 5 5 x 25 sin x 16. lim x + x 27 x 3 5. lim x 3 x 3 x + 2 8. lim x 2 x 5 + 32 3x 2 + 5x 2 11. lim x 2 4x 2 + 9x + 2 14. lim x 0 sin 3x 4x 17. lim x 1 2 π sin x x 6. lim x 3 x 2 4x + 3 2x 6 9. lim x 4 x 2 2x 8 x 2 9x + 20 12. lim x 1 x 5 1 x 1 4x 15. lim x 0 3 sin 2x tgx 18. lim x 0 4x 19. lim x 0 x 2 1 2x 2 x 1 20. lim x 1 x 4 3x + 2 x 5 4x + 3 21. lim x 3 x 2 + 7 x 4 22. lim x 0 x x x + x x 2 5x + 4 x 3 2x 2 4x + 8 23. lim + 2 24. lim x 2 x 1 x 2 x 4 8x 2 + 16 25. lim x 1 x 2 1 2x 2 x 1 x 2 1 28. lim x + 2x 2 x 1 26. lim x 3 x 2 5x + 6 x 2 8x + 15 x 2 + 2x 1 29. lim x x 3 1 27. lim x 0 (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) 1 x 30. lim x (x3 x 2 x + 1) 3x 2 4x + 1 31. lim x (x2 + x) 32. lim 33. lim (x 4 5x + 1 1 x + x4 + x 2 x x ) 34. lim x 1 x 2 1 x 1 35. lim x 1 x 3 + x 2 x 1 2x 3 3x 2 2x + 3 3x + 9 36. lim x 3 x + 4 3x 1 37. lim x 1 2x + 1 2 38. lim x 3 7 x 39. lim x 0 x 2 1 2x 2 x 1 40. lim x 1 x 2 3x + 2 x 2 1 41. lim x 3 x 2 5x + 6 x 2 8x + 15 x 42. lim x 2 (x 2)(x + 2) 39

Zadanie 9.2. Obliczy nast puj ce granice: x 2 x 3 1. lim 2. lim x 3 (x + 1) 2 x 2 (x 2)(x + 2) 3. lim x 4 2 x(x 4) x 4. lim x 8 x 2 10x + 16 7. lim x 2 x 2 1 x 2 10. lim x 1 x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 3 13. lim x 1 x 2 2x + 1 x 2 1 16. lim x 1 x 2 2x + 1 x 2 1 1 5. lim x 2 x x 2 + 5x + 4 8. lim x 1 x 3 + 1 11. lim x 2 x 2 4 x 2 14. lim x 1 x 3 1 x 2 6x + 5 17. lim x 1 x 3 1 x 2 6x + 5 1 6. lim x 0 x 2 9. lim x 0 x 2 + 3x + 2 x 12. lim x 1 x 2 1 x 1 ) x + 1 15. lim x 1 x 2 1 x + 1 18. lim x 1 x 2 1 x 2 ( x 3 19. lim 20. lim x 1 x 1 x 1 1 x 4 ) 1 x 4 21. lim x 0 (1 + 3x) 2 (1 + 2x) 2 x 2 22. lim x 0 3x + 1 4x + 2 25. lim x 0 3x 2 + 5x 2x 3 x 28. lim x 2 x 4 16 x 2 23. lim x 1 3x + 2 2x 1 26. lim x 3 x 3 x 2 9 29. lim x 1 x 4 1 x 1 24. lim x 0 x 2 4 x 3 + 2x 27. lim x 2 x 2 4 x 2 30. lim x 1 x + 1 x 2 1 Zadanie 9.3. Obliczy nast puj ce granice: 1. lim x 0 sin 2x 5x 4. lim x 0 sin 3x sin x 2. lim x 0 sin 2x sin 5x 5. lim x 0 sin 2x cos 5x 3. lim x 0 tan 2x sin 5x 6. lim x 0 tan 2x tan 5x 7. lim x 0 tan 2x 5x sin 2 2x sin 2 x 8. lim 9. lim x 0 4x 2 x 0 2x 2 40

Zadanie 9.4. Obliczy nast puj ce granice jednostronne: 1 1. lim x 0 + x 3 4. lim x 1 + x 1 1 2. lim x 0 x 3x 5. lim x 2 + 2 x 3 3. lim x 0 x 1 3x 6. lim x 2 2 x 2 2 x 2 + 3x + 2 7. lim 8. lim 9. lim x 3 (x 3) 2 x 3 + (x 3) 2 x 0 + x Zadanie 9.5. Dla ka»dej z okre±lonych ni»ej funkcji wyznacz obie granice jednostronne w punkcie x 0 i zbadaj istnienie granicy (dwustronnej) w tym punkcie. x + 1 dla x 0 1. f(x) = x 0 = 0 x + 1 dla x < 0, x 2 + 1 dla x 0 2. f(x) = x + 1 dla x < 0, x 2 + 1 dla x 1 3. f(x) = x 2 1 dla x < 1, 1 2 4. f(x) = x2 dla x 2 x + 1 dla x > 2, x 2 dla x 0 x 5. f(x) = 0 dla x = 0, 6. f(x) = 2x + 5 dla x 1 1 dla x < 1, x x 0 = 0 x 0 = 0 x 0 = 1 x 0 = 2 x 0 = 1 Zadanie 9.6. Dla poni»szych funkcji wyznacz obie granice jednostronne w punkcie x 0 i zbadaj istnienie granicy (dwustronnej) w tym punkcie: 1. f(x) = 1 x x+2 0 = 2 2. f(x) = 2x2 1 x x 2 0 = 0 3. f(x) = ( ) x x x0 = 0 4. f(x) = 2x+1 x x x 2 1 0 = 1 5. f(x) = tgx x x 0 = 0 6. f(x) = x2 1 x x 2 5x+4 0 = 1 7. f(x) = e 1 1 x 3 x 0 = 1 8. f(x) = xe 1 x x 0 = 0 9. f(x) = x x 1 + e 1 0 = 0 x 41

Zadanie 9.7. Zbada ci gªo± funkcji: 0 dla x < 0 1 dla 0 x < 1 1. f(x) = x 2 + 4x 2 dla 1 x < 3 4 x dla x 3 x + 1 dla x 2 2. f(x) = x 2 3x + 5 dla 0 < x < 2 x + 5 dla x 0 x 2 5x+6 dla x 2 x 2 3. f(x) = 1 dla x = 2 x 2 25 dla x 5 x+5 4. f(x) = 10 dla x = 5 x 2 4 dla x 2 x 2 5. f(x) = 2 dla x = 2 x 2 +2x+1 dla x 1 x+1 6. f(x) = 0 dla x = 1 x + 1 dla x 1 7. f(x) = x 2 1 dla x > 2 5x + 2 8. f(x) = x 2 + 5x + 1 dla x 1 dla x < 1 2x 2 + x 1 dla x < 0 9. f(x) = 3x 1 dla x 0 5x dla x < 0 10. f(x) = sin x dla x 0 8x 2 + 1 dla x 1 11. f(x) = 9x 2 dla x > 1 x 2 + x + 1 dla x 1 12. f(x) = 2x + 4 dla x < 1 2x 1 dla x 3 13. f(x) = 5 dla x = 3 x 2 4 dla x 2 x 2 14. f(x) = 3 dla x = 2 42

x 2 6x+9 dla x 3 x 3 15. f(x) = 1 dla x = 3 x 1 dla x 0 16. f(x) = 0 dla 0 < x < 2 2x 4 dla x 2 2x + 3 17. f(x) = x + 2 x 2 + 5x + 6 18. f(x) = x 2 Matematyka dla ekonomistów dla x < 1 dla x 1 dla x < 2 dla x 2 x 2 + x dla x 1 19. f(x) = x 2 1 dla 1 x < 2 1x + 2 dla x 2 2 Zadanie 9.8. Dobra parametry a, b R tak, aby podane funkcje byªy ci gªe we wskazanych punktach: x 2 dla x 1 1. f(x) = ax + b dla x > 1 ; x 0 = 1 ax + 1 dla x π 2 2. f(x) = sin x + b dla x > π 2 ; x 0 = π 2 ax + b dla x < 0 3. f(x) = cos x dla x 0 ; x 0 = 0 bx 4. f(x) = 5. f(x) = sin x ax dla x < π dla x π ; x 0 = π bx + 3 dla x < 1 2x 2 + x + a dla x 1 ; x 0 = 1 1 x 1 b + dla x < 0 x 6. f(x) = 3 dla x = 0 ax x dla x > 0 ; x 0 = 0 (x 1) 3 dla x 0 7. f(x) = ax + b dla 0 < x < 1 ; x 1 = 0, x 2 = 1 x dla x 1 43

x dla x 1 8. f(x) = x 2 + ax + b dla x > 1 ; x 1 = 1, x 2 = 1 x + 2 dla x < 0 9. f(x) = b dla x = 0 ; x 0 = 0 tgx dla 0 < x < π 2 ax sin ax dla π sin 2x < x < 0 2 10. f(x) = b dla x = 0 ; x 0 = 0 x 2 + x + 1 dla x > 0 x + 2 dla x < 1 11. f(x) = b dla x = 1 x 2 + ax + 1 dla x > 1 ; x 0 = 1 x 2 + a dla x 1 12. f(x) = sin x dla x > 1 ; x x 0 = 1 ax + b dla x < 2 13. f(x) = x 2 + x 4 dla x 2 b sin(x 2) dla x > 2 x 2 ; x 1 = 2, x 2 = 2 ax + b dla x < 2 14. f(x) = x 2 + x dla x 2 a log 2 x bx dla x > 2 ; x 1 = 2, x 2 = 2 10 Matematyka dla ekonomistów Rachunek ró»niczkowy Zadanie 10.1. Oblicz pochodne podanych funkcji 1. f(x) = x + 5x 2 + 3x + 1, 2. f(x) = 1 x + 2x + 3 + 3 ln x + 3 x, 3. f(x) = e x (x 2 + 2x + 4), 4. f(x) = sin x ln x, 5. f(x) = x x, 6. f(x) = tan x 7. f(x) = x2 +2x sin x, 8. f(x) = 2x4 +2x ln x, 9. f(x) = ln x x, 10. f(x) = x (x + e x ), 11. f(x) = 3x 5 2 x + 7 2, 12. f(x) = 5 x 3 x 3 + 11 x 5 + 9, 44

13. f(x) = (x + 4)(x 2 + 5x + 7), 14. f(x) = (x 3 + 3x + 7) ( x 2 + 1 x + 15), 15. f(x) = ( 3 x 8 x 2 + 4 x 4 + 19 ) (3x + 8), 16. f(x) = 1 3x 3x+7, 17. f(x) = x2 +2x 3x+1, 18. f(x) = x 2x+2, 19. f(x) = x x 3, 20. f(x) = 3x 8 2x 2 +9, 21. f(x) = 2x2 +5x 3x 2 +3x+13, 22. f(x) = x ln x x. Zadanie 10.2. Oblicz pochodne podanych funkcji 1. f(x) = (3x + 7) 2017, 2. f(x) = (2x 2 + 2x + 12) 7, 3. f(x) = x 2 + 4x + 1, 4. f(x) = 3x + 1 x + x, 5. f(x) = ln (2x + 1), 6. f(x) = e x2 +2x, 7. f(x) = sin( x), 8. f(x) = cos ( x 3 + 3x + 2), 9. f(x) = e sin x, 10. f(x) = ln(cos x), 11. f(x) = (x 5 + 3x 3 + 1) 10, 12. f(x) = ( ) 2x+5 4, 3x+5 13. f(x) = ( x (5x + 2)) 1 3 14. f(x) = x 3 + 2x 2 3, 15. f(x) = cos x, 16. f(x) = ln (x 3 + 3), 17. f(x) = e x2 +3x+3, 18. f(x) = 2 x + x3 x, 19. f(x) = ex x 2 +4x 3, 20. f(x) = sin 2 x, 21. f(x) sin x 2, 22. f(x) = e cos x, 23. f(x) = tan (x + x 5 ), 24. f(x) = 25. f(x) = 1 cos(sin x), sin x cos x tan x cot x. Zadanie 10.3. Wyznaczy ekstrema podanych funkcji: 1. f(x) = 1 4 x4 + x 3, 5. f(x) = 1 5 x5 x 4 + x 3, 2. f(x) = 1 4 x4 x 3, 6. f(x) = x 3 + 3x 2, 3. f(x) = (x 1)2 x 2 +1, 4. f(x) = 1+x+x2 1 x+x 2, 7. f(x) = x 2 (1 x), 8. f(x) = 3x 5 5x 3, 45