GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy / Wydział MIM UW wersja z października

Spis treści Układy równań Liczby zespolone 7 Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m 5 Rząd macierzy 9 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n 7 Macierze i przekształcenia liniowe K n w K m 6 8 Macierz przekształcenia liniowego 9 Przestrzeń funkcjonałów 6 Macierze kwadratowe

J Chaber Układy równań Układy równań Układ ( ) a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m, w którym występują znane współczynniki a ij i wyrazy wolne b, b,, b m oraz niewiadome x, x,, x n nazywamy układem m równań z n niewiadomymi Układ ( ) nazywamy jednorodnym jeśli wszystkie wyrazy wolne sa zerami Grupując współczynniki a ij w kolumny można zapisać ( ) w postaci wektorowej a a a n b a ( w) x + x a + + x a n n b a m a m Kolumny w równaniu ( w) nazywamy wektorami (z R m ) Po lewej stronie równania ( w) występuje operacja dodawania wektorów z R m mnożonych przez liczby x j Wynikiem tej operacji jest wektor, którego kolejne współrzędne występują po lewej stronie równań układu ( ) Przejście od ( w) do ( ) pokazuje więc jak mnożyć wektory z R m przez liczby i jak dodawać wektory (oddzielnie na każdej współrzędnej) Kolumnę wyrazów wolnych układu jednorodnego nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy przez Oznaczając kolejne kolumny (wektory) występujące po lewej stronie równania ( w) przez A, A,, A n, a kolumnę z prawej strony (zwaną kolumną wyrazów wolnych) przez B otrzymujemy skrócony zapis ( ) a mn ( w) x A + x A + + x n A n B Wektor x A + x A + + x n A n nazywamy kombinacją liniową wektorów A, A,, A n o współczynnikach x, x,, x n Istnienie rozwiązań układu ( ) oznacza więc, że wektor B jest kombinacją liniową wektorów A, A,, A n, a rozwiązania ( ) są współczynnikami kombinacji dających w wyniku B Grupując kolumny A, A,, A n w tabelę można zapisać ( ) w postaci macierzowej a a a n x b a a a n x ( m) a m a m a mn x n b m b b m Tabelę w równaniu ( m) nazywamy macierzą o n kolumnach i m wierszach (macierzą z M m n (R)) macierzą współczynników ( ) (liczba kolumn jest liczbą niewiadomych, a liczba wierszy, liczbą równań) Oznaczając macierz występującą po lewej stronie równania ( m) przez A (A [A, A,, A n ] [a ij ]), a wektor niewiadomych przez X R n otrzymujemy skrócony zapis ( ) ( m) AX B Po prawej stronie ( m) występuje operacja mnożenia macierzy A M m n (R) przez wektor X R n (liczba kolumn macierzy jest równa liczbie współrzędnych wektora) Wynikiem tej operacji jest wektor z R m kombinacja liniowa kolumn macierzy A o współczynnikach będących współrzędnymi wektora X (lewa strona ( w)) Przejście od ( m) do ( w) pokazuje więc jak mnożyć macierz przez wektor Rozwiązując ( ) szukamy wektorów X R n, które wymnożone przez macierz współczynników tego układu dają kolumnę wyrazów wolnych

J Chaber Układy równań Rozwiązywanie układów równań liniowych metoda eliminacji Gaussa Dla zadanego układu ( ) szukamy opisu zbioru wszystkich rozwiązań tego układu (jeśli układ ( ) nie ma rozwiązań to nazywamy go układem sprzecznym) Zbiór wszystkich rozwiązań układu ( ) wyznacza się przekształcając ten układ w nowy układ ( ), który ma taki sam zbiór rozwiązań jak układ wyjściowy (mówimy, że te układy są równoważne) i daje się łatwo rozwiązać Przekształcenie ( ) w ( ) polega na wielokrotnym wykonywaniu następujących prostych operacji (każda z nich zachowuje zbiór rozwiązań modyfikowanego układu): (I) dodanie do jednego z równań innego równania pomnożonego przez liczbę, (II) zamiana dwóch równań miejscami, (III) pomnożenie jednego z równań przez liczbę różną od zera W praktyce operacje wykonuje się na wierszach macierzy rozszerzonej układu, to znaczy macierzy [A B] [A,, A n, B] uzyskanej przez dopisanie do macierzy współczynników układu kolumny wyrazów wolnych tego układu Opisanym wyżej operacjom na równaniach odpowiadają następujące operacje (nazywane elementarnymi) na wierszach tej macierzy: (I) dodanie do jednego z wierszy innego wiersza pomnożonego przez liczbę, (II) zamiana dwóch wierszy miejscami, (III) pomnożenie jednego z wierszy przez liczbę różną od zera Wykonując operacje elementarne na wierszach, macierz [A B] można przekształcić do macierzy [A B ] w postaci schodkowej, to znaczy takiej że: (S) żaden wiersz zerowy macierzy [A B ] nie poprzedza wiersza niezerowego, (S) pierwsze niezerowe wyrazy (wyrazy wiodące schodki) kolejnych niezerowych wierszy macierzy [A B ] stoja w kolumnach o rosnacych numerach Wyjściowy układ równań AX B ma taki sam zbiór rozwiązań jak układ A X B Opiszemy metodę znajdowania zbioru rozwiązań układu A X B Załóżmy, że macierz [A B ] ma r niezerowych wierszy, których wyrazy wiodące są w kolumnach o numerach j < j < < j r Jeśli j r n + (schodek ostatniego niezerowego wiersza macierzy [A B ] znajduje się w ostatniej kolumnie tej macierzy), to układ A X B (a więc i układ wyjściowy) jest sprzeczny W przeciwnym wypadku (j r < n + ) wszystkie rozwiązania układu wyjściowego znajdujemy wyliczając z układu A X B niewiadome x j, x j,, x jr (zmienne zależne) w zależności od pozostałych niewiadomych, które moga przyjmować dowolne wartości (zmienne niezależne, parametry) Zmienne zależne, zaczynajac od ostatniej (x jr ), wyliczamy wtedy z kolejnych równań układu A X B, zaczynajac od ostatniego niezerowego Wchodzimy po schodkach obliczajac na każdym odpowiadajac a mu zmienna zależna Zmienna zależna x jk wyliczana z k-tego równania zależy wyłacznie od zmiennych niezależnych o numerach wiekszych niż j k (za zmienne zależne o numerach wiekszych niż j k podstawiamy obliczone wcześniej zależności) Tak wyliczone rozwiązanie X R n zależne od n r zmiennych niezależnych (zwane rozwiązaniem ogólnym układu ( )) można przedstawić w postaci X X + t X + t X + + t p X p, gdzie t, t,, t p są zmiennymi niezależnymi (p (n r) jest liczbą kolumn A bez schodków) W praktyce, zamiast liczyć rozwiązanie ogólne X z równania A X B, oblicza się wektory X, X,, X p występujące we wzorze na X: X jest rozwiązaniem A X B odpowiadającym parametrom t j dla j,,, p, X k jest rozwiązaniem A X odpowiadającym parametrom t k, t j dla j k (X k (X + X k ) X jest rozwiązaniem układu A X jako różnica dwóch rozwiązań A X B )

J Chaber Układy równań Zestaw Niech A, A i A [A, A, A, A ], A 6, A a) Obliczyć kombinację liniową A + A A + A b) Obliczyć iloczyny AY i A(X + Y ) 6, X Dany jest układ równań x + x + x + 6x + x 5 x + x + x + x + x 5 x + x + x + x 5 x + x + x 5 a) Zapisać ten układ w postaci wektorowej i macierzowej, Y b) Sprawdzić, czy x, x, x, x, x 5 jest rozwiązaniem tego układu Niech ( ) będzie układem równań z poprzedniego zadania a) Rozwiązać układ ( ) b) Rozwiązać układ jednorodny AX, gdzie A jest macierzą współczynników układu ( ) Uwaga Przez znalezienie rozwiązania niesprzecznego układu równań należy tu (i w zadaniu ) rozumieć przedstawienie rozwiązania ogólnego X w postaci X X + t X + t X + + t p X p, gdzie t, t,, t p są wszystkimi zmiennymi niezależnymi układu Dany jest układ równań x + x + x + x x 5 b x + x + x + x b x + x + x b Wyjaśnić, czy dla danego wektora b b a) b, b) b b 5 b ten układ równań jest niesprzeczny i jeśli tak, to rozwiązać ten układ

J Chaber Układy równań Rozwiązania zadań z zestawu a) Kombinacja liniowa A + A A + A jest iloczynem macierzy A [A, A, A, A ] przez wektor, którego współrzędne są współczynnikami kombinacji (wektor X) Obliczamy: + + 6 AX 6 7 6 8 b) AY 6, A(X+Y ) 6 5 6 Uwaga A(sX + ty ), jako kombinacja kolumn A j macierzy A o współczynnikach sx j + ty j, jest sumą: kombinacji wektorów A j o współczynnikach sx j i kombinacji A j o współczynnikach ty j Widać stąd, że A(sX + ty ) sax + tay Dla s i t, A(X + Y ) AX + AY a) Postać wektorowa: x + x + x + x 6 + x 5 Postać macierzowa: 6 x x x x x 5 b) Zamiast podstawiać niewiadome do wyjściowego układu, wygodnie jest skorzystać z postaci wektorowej (lub, co na jedno wychodzi, macierzowej): + + + 6 a) Redukujemy macierz rozszerzoną układu do postaci schodkowej (opisane są wyłącznie operacje zmiany kolejności wierszy; wykonuje się je tu po to, by uniknąć rachunków na ułamkach) 6 6 6 5 6 5 6 W każdym z ostatnich dwóch kroków wykonaliśmy dwie operacje elementarne W praktyce często operację zmiany kolejności wierszy łączy się z operacjami zerowania wyrazów przy pomocy przestawionego wiersza (oznacza to pominięcie w zapisie macierzy z zamienionymi wierszami; tak jak w ostatnim kroku) Skrócony zapis (z opisem wykonywanych operacji) jest przedstawiony na następnej stronie

J Chaber Układy równań 5 6 w w w w w + w w w w w w 6 6 5 w w w w + w Zmienne zależne to x, x, x (wyrazy na schodkach są podkreślone), x, x 5 są niezależne Z kolejnych równań odczytujemy: z trzeciego x + x 5, z drugiego x x x 5, z pierwszego x x x x x 5 + ( + x + x 5 ) ( + x 5 ) x x 5 Zatem X x x 5 + x 5 x x 5 + x + x 5 ozn X + t X + t X b) Redukcja macierzy rozszerzonej [A ] przebiega tak jak w a) (w części odpowiadającej A; dopisana kolumna zerowa nie może się w trakcie redukcji zmienić) Dostajemy więc macierz schodkową taką jak w a) (z zerową ostatnią kolumną) We wzorach na rozwiązanie ogólne wszystkie stałe są zerowe, a to oznacza, że zerowy jest wektor X i rozwiązanie ogólne ma postać X t X + t X, gdzie X i X są takie jak w a) Uwaga Przy ustalonych wartościach parametrów t, t wektor X X + t X + t X jest jedynym rozwiązaniem układu ( ) dla zmiennych niezależnych x t i x 5 t W szczególności: X jest jedynym rozwiązaniem ( ) takim, że x x 5, X + X jest jedynym rozwiązaniem ( ) takim, że x, x 5, X + X jest jedynym rozwiązaniem ( ) takim, że x, x 5, Z analizy rozwiązania układu jednorodnego w b) wynika, że: X jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego takim, że x, x 5, X jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego takim, że x, x 5, Rozwiązanie X X + t X + t X uzyskane w a) łatwo można zweryfikować sprawdzając, tak jak w zadaniu b), czy AX B, AX i AX Co więcej, w praktyce układ ( ) rozwiązuje się wyliczając z macierzy schodkowej rozwiązanie (X ) układu dla parametrów zerowych i rozwiązania układu jednorodnego (X, X ) dla jednego z parametrów przyjmującego wartość, pozostałych Redukując macierz współczynników z dopisanymi dwiema kolumnami wyrazów wolnych jednocześnie badamy układy z obu podpunktów (staramy sie przy tym unikać rachunków na ułamkach) w w w 5 w w 5 w w w w 5 w w w 5 W żadnej z dwóch dopisanych kolumn nie ma schodka, więc oba układy są niesprzeczne, w obu zmienne x, x, x są zależne, a x, x 5 niezależne Znajdziemy rozwiązanie X X + t X + t X

J Chaber Układy równań 6 a) Szukamy rozwiązania X postaci [?,?,,?, ] wyliczając zmienne zależne z kolejnych równań (wygodnie zapisywać X w wierszu pod kolumnami macierzy zredukowanej) 5 X [?,?,,?, ] [?,?,,, ] [?,,,, ] [,,,, ] Analogicznie z układu jednorodnego o macierzy obliczamy X [?,?,,?, ] i X [?,?,,?, ] Mamy: X [?,?,,?, ] [?,?,,, ] [?,,,, ] [,,,, ] i X [?,?,,?, ] [?,?,,, ] [?,,,, ] [,,,, ] Powyższy zapis pokazuje kolejność obliczania zmiennych zależnych W praktyce kolejne współrzędne x, x, x szukanego wektora wpisuje się pod odpowiadającymi im kolumnami b) Rozwiązanie ogólne ma postać Y Y + t Y + t Y, gdzie wektory Y X i Y X są rozwiązaniami układu jednorodnego znalezionymi w a) Wystarczy więc obliczyć Y Z układu o macierzy rozszerzonej Uwaga obliczamy Y [?,?,,?, ] [?,?,,, ] [?,,,, ] [,,,, ] Zadanie ma proste (niestandardowe) rozwiązanie Macierz współczynników po zmianie kolejności kolumn na odwrotną, ma postać schodkową Z postaci wektorowej układu równań widać, że kolejność kolumn nie jest istotna (wpływa tylko na kolejność niewiadomych) Bez redukcji widzimy więc, że oba układy są niesprzeczne Rozwiązania można odczytać przyjmując jako zmienne zależne x, x, x 5 (jako schodek trzeciego wiersza warto wybrać jedynkę z trzeciej kolumny), co odpowiada kolejności kolumn/niewiadomych 5,,,, Niech X X + s X + s X będzie ogólnym rozwiązaniem a), Y Y + s Y + s Y ogólnym rozwiązaniem b) uzyskiwanym na tej drodze (Y X i Y X ) Z macierzy X X 5 odczytujemy (obliczając X i X zerujemy ostatnią kolumnę) [,?,,?,?] [, 5,,?,?] [, 5,,,?] [, 5,,, 8], [,?,,?,?] [,,,?,?] [,,, 9,?] [,,, 9, ], X [,?,,?,?] [,,,?,?] [,,, 9,?] [,,, 9, ] Z macierzy odczytujemy Y [,?,,?,?] [,,,?,?] [,,,,?] [,,,, ],

J Chaber Liczby zespolone 7 Liczby zespolone Zestaw a) Dany jest układ równań o współczynnikach rzeczywistych z parametrem λ R λx + x x + x λ x + λx + x + λx x + x + x + x Wyznaczyć wszystkie wartości λ R, dla których ten układ jest niesprzeczny b) Dany jest układ równań o współczynnikach zespolonych { ( + i)z + iz + iz + ( i)z ( i)z + z + z + iz i Sprawdzić, że ten układ jest niesprzeczny i znaleźć jego rozwiązania Uwaga Tak jak dla układu o współczynnikach rzeczywistych, rozwiązania niesprzecznego układu równań o współczynnikach zespolonych zależą od zmiennych niezależnych, które odpowiadają kolumnom bez schodków Rozwiązanie ogólne ma postać Z Z + w X + w X + + w p X p, gdzie w, w,, w p C są wszystkimi zmiennymi niezależnymi układu Sprawdzić, że dla dowolnych z, z C a) z + z z + z i z z z z, b) z + z z + z Wskazówka Podnieść obie strony do kwadratu i skorzystać z faktu, że dla z C, z zz oraz Rez z Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z spełniające dane równanie kwadratowe a) z + z + 5 b) z + (i 7)z + i Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z a + ib spełniające dane równanie a) z 6 b) z 5 (z) 7 8( + i) Wskazówka W obu przypadkach zbadać oddzielnie moduł i argument niewiadomej z 5 Dany jest zbiór D {z C : < Rez < Imz} a) Naszkicować zbiór { } iz + i : z D b) Naszkicować zbiór { w C : iw D } 6 Rozłożyć wielomian w(x) x 6 + 7 na iloczyn a) czynników stopnia pierwszego o współczynnikach zespolonych b) czynników stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych

J Chaber Liczby zespolone 8 Rozwiązania zadań z zestawu a) Redukujemy macierz rozszerzoną układu (zapisując wykonywane operacje po lewej stronie macierzy) λ λ w λ λ w w λ λ w λw λ λ λ λ Jeśli λ, to w drugim wierszu mamy sprzeczne równanie (zamieniając ten wiersz z trzecim dostajemy schodek w kolumnie wyrazów wolnych) Załóżmy, że λ Możemy wtedy kontynuować redukcję dodając do trzeciego wiersza drugi pomnożony przez q λ λ Otrzymamy macierz w w w + qw λ λ λ λ + q Ta macierz ma postać schodkową Jeśli + λ, to trzeci schodek jest w kolumnie wyrazów wolnych, bo λ + q + 5 > (układ jest sprzeczny) Jeśli + λ, to schodek jest w trzeciej kolumnie i wtedy układ jest niesprzeczny Reasumując: układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy λ ± b) Tak jak w przypadku układów o współczynnikach rzeczywistych, redukujemy macierz rozszerzoną układu (jako schodek wybieramy jedynkę przy niewiadomej z w drugim równaniu) [ ] + i i i i w [ ] i i i i i i w iw i [ ] i i i w [ ] iw i + i w + i w i w Dwa ostatnie kroki prowadzące od postaci schodkowej (po przestawieniu kolejności kolumn) do postaci schodkowej zredukowanej wykonaliśmy żeby ułatwić odczytanie rozwiązań (rachunki na liczbach zespolonych są trudniejsze niż rachunki na liczbach rzeczywistych) Rozwiązanie ma postać Z Z + z Z + z Z, a wektory Z, Z i Z (z C ) odczytujemy z macierzy zredukowanej (Z i Z jako rozwiązania układu jednorodnego): [ ] i + i Z [,,?,?] [,,, + i], Z [,,?,?] [,, + i, ], Z [,,?,?] [,,, ] Uwaga Odczytując Z z macierzy zredukowanej warto myśleć o zmiennych zależnych jako współczynnikach kombinacji liniowej kolumn zawierających schodki (jedynka na schodku, zera na pozostałych współrzędnych) dającej kolumnę wyrazów wolnych Odczytując rozwiązania układu jednorodnego związanego ze zmienną niezależną z j chcemy otrzymać kolumnę przeciwną do kolumny związanej z tą zmienną (szukamy współczynników kombinacji liniowej kolumn macierzy zredukowanej, która daje wektor zerowy) a) Niech z a + bi, z c + di Wtedy z + z a + c + (b + d)i, z z ac bd + (ad + bc)i, więc z + z a + c + ( b d)i z + z oraz z z ac bd + ( ad bc)i z z b) z + z (z + z )(z + z ) z z + z z + z z + z z z + Re(z z ) + z z + z z + z ( z + z )

J Chaber Liczby zespolone 9 Wielomian az + bz + c stopnia (a ) o współczynnikach rzeczywistych można sprowadzić do postaci kanonicznej az + bz + c a(z + b a z + ( b a ) ( b a ) + c a ) a((z + b a ) b ac a ) Jeśli wyrażenie w nawiasie jest różnicą kwadratów (istnieje w spełniające w b ac), to rozkładając to wyrażenie na iloczyn (z + b a w a )(z + b a + w a ) dostajemy znane wzory na pierwiastki Dokładnie tak samo dostajemy analogiczne wzory na pierwiastki zespolone jeśli a, b, c C, z tym, że w ciele liczb zespolonych wyrażenie w nawiasie jest zawsze różnicą kwadratów a) b ac 6 Liczba w i spełnia w, więc z, z ±i ± i b) b ac ( 7 + i) ( i) (9 5) + i( 8 + ) 7 i Szukamy w x + iy takiego, że w 7 i Porównując części rzeczywiste i urojone otrzymujemy równoważny układ { x y 7 xy, z którego obliczamy w ±( i) Stąd z 7 i+( i) 5 i, z 7 i ( i) + i W obu przypadkach z nie spełnia równania, więc wszystkie rozwiązania znajdziemy badając ich moduł i argument a) Z z 6 mamy z 6 z 6, więc z (bo z R jest dodatni) Porównując argumenty dostajemy 6 arg z π + kπ, czyli arg z π 6 + k π Dla k,,,, 5 dostajemy 6 różnych rozwiązań: z k cos( π 6 + k π)+i sin( π 6 + k π) ( w kz, gdzie z cos π 6 + i sin π 6, a w k cos k π + i sin k π są pierwiastkami stopnia 6 z jedności, które pełnią tu rolę taką jak ± przy pierwiastkach stopnia ) Argumentami kolejnych rozwiązań z k są liczby 6 π, 6 π, 5 6 π, 7 6 π, 9 6 π, 6 π, ich postać algebraiczną najłatwiej wyznaczyć geometrycznie interpretując je jako punkty okręgu jednostkowego będące wierzchołkami sześciokąta równobocznego o wierzchołku z Z trójkąta równobocznego o wierzchołkach, z, z odczytujemy z + i, z 5 z i Po zwiększeniu argumentów o π dostajemy z z i oraz z z 5 + i Pozostałe dwa rozwiązania, to z i oraz z z i b) Z z 5 (z) 7 8( + i) + i 6 mamy z 6, więc z Porównując argumenty dostajemy 5 arg z + 7 arg z arg( + i) + kπ π 6 + kπ, czyli arg z π + kπ Stąd arg z π kπ, co daje dwa rozwiązania: dla k z (cos( π ) + i sin( π )) i oraz dla k, z z + i 5 Warunek Rez < Imz oznacza, że arg z ( π, π + π), a < Rez oznacza, że arg z ( π, π ) Zatem D { z C : arg z ( π, π )} ( D; gdyby obie nierówności definiujące zbiór D były nieostre, liczbę trzeba by było rozpatrywać oddzielnie) W obu podpunktach zamiast szkicu podamy opis szukanego zbioru W szczególności D można opisać jako klin ograniczony prostymi a b i a, zawarty w półpłaszczyźnie a > a) Zbiór D { z : z D } } {w C : arg w ( π, π ) jest klinem ograniczonym prostymi a + b i a, zawartym w półpłaszczyźnie a < Zbiór id { iz : z D } } {w C : arg w ( π + π, π + π ) jest klinem ograniczonym prostymi a b i b, zawartym w półpłaszczyźnie b < { } } } Zbiór id iz : z D {w C : arg w ( 5π, π) {w C : arg w (, π ) jest klinem ograniczonym prostymi b i a + b, zawartym w półpłaszczyźnie b > { } Zbiór id + i iz + i : z D, który otrzymujemy w wyniku przesunięcia zbioru id, jest klinem ograniczonym prostymi b i a + b, zawartym w półpłaszczyźnie b >

J Chaber Liczby zespolone b) Warunek iw D oznacza, że arg w + π ( π, π ) + kπ, czyli arg w ( π π, ) + kπ, równoważnie, arg w ( π kπ, ) + Zbiór { w C : iw D } jest więc sumą trzech klinów D k, k,,, gdzie D { w C : arg w ( π, )}, { D w C : arg w ( 7π, π }, ) { D w C : arg w ( 5π, π } ) 6 a) Zespolone pierwiastki w(x) to liczby z takie, że z 6 7 Znajdziemy ich moduł i argument Z z 6 7 7 mamy z 6 z 6, więc z Porównując argumenty dostajemy 6 arg z π + kπ, czyli arg z π 6 + k π Dla k,,,, 5 dostajemy 6 rozwiązań o argumentach 6 π, 6 π, 5 6 π, 7 6 π, 9 6 π, 6 π Liczby okręgu jednostkowego o takich argumentach to: + i, i, + i, i, i, i (pierwiastki stopnia 6 z występujące w jednym z poprzednich zadań) Mnożąc je przez otrzymujemy rozwiązania: + i, i, + i, i, i, i Znając 6 pierwiastków wielomianu w(x) możemy rozłożyć go na czynniki liniowe: x 6 + 7 (x i )(x i )(x + i )(x + + i )(x + i )(x + i ) b) Jeśli z C jest zespolonym pierwiastkiem w(x) (czyli w(z) ), to w(z) w(z) (bo w(x) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych) W rozkładzie w(x) na czynniki liniowe mamy więc pary (x z)(x z) (x xrez + zz) Stosując tę obserwację do rozkładu w na czynniki liniowe nad C otrzymujemy: x 6 + 7 (x x + )(x + )(x + x + )

J Chaber Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Kontrolowanie operacji elementarnych na wierszach Rozwiązanie zadań rachunkowych często wymaga zredukowania macierzy A [A,, A n ] M m n (K) do postaci schodkowej Rachunki można kontrolować redukując A z dopisaną kolumną Σ A + +A n Redukowaną macierz [A Σ] interpretuje się jako macierz rozszerzoną układu równań AX Σ, który ma rozwiązanie x x n Operacje elementarne na wierszach nie zmieniają zbioru rozwiązań, więc na każdym etapie redukcji dopisana kolumna powinna być sumą poprzednich Zestaw Zbadać, czy w przestrzeni liniowej V nad R wektory β, β należą do W lin(α, α, α, α ), gdzie a) V R, β [,,, ], β [,,, ] oraz α [,,, ], α [,,, ], α [5,,, ], α [,,, ] [ ] [ ] b) V M (R), β, β oraz [ ] [ ] [ ] [ ] 5 α, α, α, α Niech α, α, α R będą takie jak w punkcie a) poprzedniego zadania, V lin(α, α, α ) R i niech ε [,,, ], ε [,,, ], ε [,,, ], ε [,,, ] będą wektorami z R a) Zbadać, które z wektorów ε, ε, ε, ε należą do V b) Sprawdzić, że układy współczynników y, y, y, y takie, że y ε +y ε +y ε +y ε V tworzą zbiór rozwiązań pewnego jednorodnego układu równań i wyznaczyć macierz tego układu Zbadać, czy w danej przestrzeni liniowej V nad R wektor zerowy można przedstawić jako kombinację liniową danych wektorów α, α, α, α na co najmniej dwa różne sposoby Jeśli tak, to podać przykład dwóch różnych kombinacji (wyznaczyć dwa różne układy współczynników x, x, x, x R takie, że x α + x α + x α + x α ) a) V R, α [,,, ], α [,,, ], α [,,, 5], α [,,, ] b) V R [x] jest przestrzenią wielomianów stopnia nie większego niż, α + x + x + x, α + x + x x, α + x + x + 5x, α + x + x Niech (α,, α n ) będzie układem wektorów w przestrzeni liniowej V nad ciałem K Wówczas następujące warunki są równoważne (warunek (ii) został przyjęty jako definicja liniowej niezależności układu (α,, α n )) (i) Każdy wektor β lin(α,, α n ) daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów tego układu na dokładnie jeden sposób (ii) Wektor zerowy daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów tego układu na dokładnie jeden sposób (wszystkie współczynniki w takim przedstawieniu muszą być zerowe) (iii) Żaden z wektorów α j nie jest kombinacją liniową pozostałych (to znaczy α j lin(α i ) i j dla j,, n) (iv) Żaden z wektorów α j nie jest kombinacją liniową poprzednich (to znaczy α i α j lin(α,, α j ) dla j,, n) Uwaga Dla układu wektorów kolumn (A,, A n ) w przestrzeni K m każdy z warunków (i),(ii) i (iv) oznacza, że w wyniku redukcji macierzy A [A,, A n ] do postaci schodkowej otrzymamy macierz mającą schodek w każdej kolumnie W zadaniu nie ma jednak założenia, że V K m

J Chaber Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Rozwiązania zadań z zestawu a) Równość x α +x α +x α +x α β wygodnie przedstawić zapisując wektory w kolumnach Otrzymujemy wtedy układ równań w postaci wektorowej 5 b ( w) x + x + x + x b b b Aby zbadać, czy dla β β i β β układ ( w) ma rozwiązania redukujemy macierz współczynników z dopisanymi dwiema kolumnami wyrazów wolnych (i kolumną Σ, w której wyrazy niepotrzebne do dalszej kontroli rachunków stopniowo zastępujemy znakiem ) 5 w w w + w w w 8 9 8 9 7 w w w w + w w w 8 7 5 w w w w + w 7 9 8 Z postaci schodkowej wynika, że dla β β układ ( w) jest sprzeczny, czyli β W, a dla β β układ ( w) jest niesprzeczny, czyli β W b) Równośc x α + x α + x α + x α β oznacza tu, że każdy wyraz macierzy będącej kombinacją liniową macierzy α j jest równy odpowiedniemu wyrazowi macierzy β Rozpatrując kolejno wyrazy na miejscach (, ), (, ), (, ), (, ) otrzymujemy cztery równania, które dają układy równań takie jak w a) Zatem, tak jak w a), β W i β W a) Tak jak w poprzednim zadaniu trzeba sprawdzić, które z równań x α + x α + x α ε j, j,, ma rozwiązanie Redukujemy macierz współczynników z dopisanymi czterema kolumnami wyrazów wolnych (i kolumną kontrolną) 5 w w w + w w w 7 5 7 w w w w + w w w 5 Widzimy, że każda z dopisanych kolumn ma niezerowe wyrazy pod poziomą kreską, a to oznacza, że wszystkie rozpatrywane równania są sprzeczne, czyli ε j U dla j,, b) Trzeba zbadać dla jakich y, y, y, y równanie x α +x α +x α y ε +y ε +y ε +y ε ma rozwiązanie x, x, x, czyli istnieją x, x, x takie, że x, x, x, y, y, y, y jest rozwiązaniem równoważnego równania x α + x α + x α y ε y ε y ε y ε Macierz, którą redukowaliśmy w punkcie a) odpowiada macierzy współczynników tego równania Cztery dopisane kolumny po przeniesieniu na lewą stronę powinny mieć zmienione znaki, ale po redukcji można je ponownie przenieść na prawą stronę przechodząc do równania x α + x α + x α y ε + y ε + y ε + y ε, w którym kolejne wektory mają współrzędne stojące w odpowiednich kolumnach macierzy zredukowanej w punkcie a) Warunkiem równoważnym istnieniu rozwiązania x, x, x jest zerowanie się dwóch ostatnich współrzędnych kombinacji y ε + y ε + y ε + y ε

J Chaber Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Szukaną[ macierzą jednorodnego ] układu równań wiążącego współczynniki y, y, y, y jest więc 5 macierz z prawego dolnego rogu macierzy zredukowanej w punkcie a) 7 a) Równość x α +x α +x α +x α wygodnie przedstawić zapisując wektory w kolumnach Otrzymujemy wtedy jednorodny układ równań w postaci wektorowej ( w) x + x + x + x 5 Układ ( w) ma rozwiązanie zerowe x x Aby sprawdzić, czy istnieje inne (niezerowe) rozwiązanie, redukujemy macierz rozszerzoną układu 8 w 5 5 w w 9 9 7 w w 6 5 7 w w w w w w 5 6 w w w w w 5 Na tym etapie redukcji widać, że w trzeciej kolumnie nie ma schodka Oznacza to, że równanie x α + x α α ma (dokładnie jedno, bo w pierwszych dwóch kolumnach są schodki) rozwiązanie, które odczytujemy z trzech pierwszych kolumn otrzymanej wyżej macierzy 5 [?? ] [?, ] [, ] Dodając do obu stron równania α α α wektor przeciwny do α α dostajemy α + α + α, co daje rozwiązanie X [x, x, x, x ] [,,, ] układu ( w) dla którego zmienna niezależna x przyjmuje wartość Uwaga W praktyce, rozwiązując jednorodny układ równań, redukuje się tylko macierz współczynników tego układu (nie zapominając o pominiętej kolumnie zerowej) b) Warunek x α + x α + x α + x α oznacza tu, że każdy współczynnik wielomianu będącego kombinacją liniową wielomianów α j jest zerem Biorąc kolejno współczynniki przy x, x, x, x otrzymujemy cztery równania, które dają układ równań taki jak w a) Zatem, tak jak w a), α +α +α jest znikającą kombinacją liniową wielomianów α j o niezerowych współczynnikach Implikacje (i) (ii) i (iii) (iv) są oczywiste Dla dowodu (ii) (iii) załóżmy (iii): istnieje j takie, że α j lin(α i ) i j, czyli α j i j a iα i dla pewnego układu skalarów (a i ) i j Wtedy α j + i j a iα i jest przedstawieniem wektora zerowego przeczącym (ii) Dla dowodu (iv) (i) załóżmy (i): pewne β lin(α,, α n ) ma dwa różne przedstawienia β i n b iα i i n c iα i Wtedy i n a iα i, gdzie a i b i c i nie wszystkie są zerowe Dla j max{i : a i } mamy α j i<j a i a j α i, czyli (iv)

J Chaber Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m Przestrzeń K(A) kolumn macierzy A Macierz A [A,, A n ] M m n (K) będziemy interpretować jako układ n kolumn A,, A n K m Zbiór lin(a,, A n ) kombinacji liniowych tego układu jest zamknięty na operacje dodawania wektorów (bo j n x ja j + j n y ja j j n (x j+y j )A j i mnożenie przez skalary (bo c j n x ja j j n cx ja j ) Interpretując współczynniki x j (y j ) jako współrzędne wektora kolumny X K n (Y K n ) dostajemy ważne wzory: AX + AY A(X + Y ) i c(ax) A(cX) Zbiór lin(a,, A n ) {B K m : AX B jest niesprzeczny} jest więc podprzestrzenią liniową K m Przestrzeń K(A) lin(a,, A n ) nazywamy przestrzenią kolumn A (rozpiętą na kolumnach A) Dla każdej niezerowej podprzestrzeni V K m można znaleźć r m i macierz [C,, C r ] M m r (K) taką, że V lin(c,, C r ), C i dla j >, C j lin(c,, C j ) Istotnie, kolejne kolumny C j możemy wybierać z V dbając o spełnienie ostatnich dwóch warunków tak długo, póki wybrane kolumny nie będą rozpinały V Po r m krokach będzie V lin(c,, C r ), bo w przeciwnym wypadku moglibyśmy skonstruować macierz o m wierszach [C,, C m, C m+ ], która w wyniku redukcji do postaci schodkowej miałaby schodek w każdej z m + kolumn (schodek w j-tej kolumnie świadczy o tym, że C j lin(c,, C j )) Liniowa niezależność i baza w przestrzeni kolumn macierzy Kolumny macierzy A [A,, A n ] M m n (K) tworzą układ liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy A ma, po redukcji do postaci schodkowej, schodki we wszystkich kolumnach (w rozwiązaniu układu równań x A + + x n A n nie ma zmiennych niezależnych jest tylko jedno (zerowe) rozwiązanie) Jeśli macierz A [A,, A n ] M m n (K) ma, po redukcji do postaci schodkowej, schodki w kolumnach o numerach j,, j r, to układ kolumn A j,, A jr macierzy A jest liniowo niezależny i każdy wektor B z przestrzeni kolumn A można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową wektorów A j,, A jr (jej współczynniki, to zmienne zależne wyliczone z AX B dla zerowych zmiennych niezależnych) Układ kolumn A j,, A jr jest bazą przestrzeni lin(a,, A n ) rozpiętej przez kolumny macierzy A Przestrzeń N(A) rozwiązań jednorodnego układu równań AX Dla macierzy A M m n (K) zbiór N(A) rozwiązań układu AX jest podprzestrzenią przestrzeni K n (bo A(X + Y ) AX + AY i A(cX) c(ax)) Jeśli rozwiązania układu AX zależą od p zmiennych niezależnych, a X,, X p są wszystkimi rozwiązaniami uzyskanymi przez podstawienie za zmienne niezależne p zer i jednej jedynki, to układ wektorów X,, X p jest bazą przestrzeni N(A) (bo jedyne rozwiązanie układu AX, dla którego odpowiednie zmienne niezależne przyjmują wartości t,, t p ma postać X t X + + t p X p ) Suma wymiarów przestrzeni K(A) i N(A) Dla macierzy A M m n (K) mamy K(A) K m, N(A) K n oraz dim K(A) + dim N(A) n (bo wymiar przestrzeni K(A) jest liczbą kolumn, w których (po redukcji macierzy A do postaci schodkowej) występują schodki, a wymiar N(A) jest liczbą kolumn bez schodków) Rozpinanie, liniowa niezależność, baza Niech (A,, A n ) będzie układem kolumn macierzy A [A,, A n ] M m n (K) Wtedy (A,, A n ) rozpina K m dla każdego B K m układ równań AX B ma rozwiązanie A ma po redukcji schodek w każdym wierszu, jest liniowo niezależny dla każdego B K m układ AX B ma co najwyżej jedno rozwiązanie A ma po redukcji schodek w każdej kolumnie, jest bazą K m dla każdego B K m układ AX B równań ma dokładnie jedno rozwiązanie A ma po redukcji schodek w każdym wierszu i w każdej kolumnie (więc n m)

J Chaber Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m 5 Zestaw Niech α [,,, ], α [,,, ], α [,,, 5], α [,,, ], α 5 [, 5,, ] rozpinają podprzestrzeń V lin(α, α, α, α, α 5 ) R a) Znaleźć bazę przestrzeni V b) Rozszerzyć bazę z a) do bazy całej przestrzeni R Niech W R 5 będzie przestrzenią opisaną przez jednorodny układ równań (zbiorem rozwiązań tego układu) a) Znaleźć bazę przestrzeni W x + x + x x x 5 x + x + x x x 5 x + x x + x + x 5 b) Rozszerzyć bazę z a) do bazy całej przestrzeni R 5 W R dane są wektory α [,,, ] i α [,,, ] a) Zbadać czy lin(α, α ) W, gdzie W jest opisana przez układ równań x + 5x x x x + 5x x x x x + x + x b) Zbadać, czy układ α, α można rozszerzyć do bazy R wektorami wybranymi z układu β [,,, ], β [,,, ], β [,,, ] Jeśli można, to znaleźć taką bazę i znaleźć współrzędne każdego z wektorów β i w tej bazie W R dane są wektory α [, λ, ], α [,, ], α [λ,, ] Zbadać dla jakich wartości parametru λ R a) układ α, α, α jest liniowo niezależny, b) lin(α, α, α ) lin([,, ], [, 7, ]) 5 Wyznaczyć wszystkie wartości parametru λ R takie, że dany zbiór A λ R jest podprzestrzenią liniową R, gdzie a) A λ { [a b, a + λa, λ λ] R : a, b R } b) A λ jest zbiorem rozwiązań układu równań { x + x + λx x x λ λ

J Chaber Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m 6 Rozwiązania zadań z zestawu Wybierzemy bazę V i jej rozszerzenie do bazy całej przestrzeni R usuwając z układu wektorów α, α, α, α, ε, ε, ε, ε rozpinającego R te, które są kombinacjami poprzednich Znajdziemy je redukując do postaci schodkowej macierz, której kolumny są wektorami układu rozpinającego (kolumny rozpinające V oddzielamy od dopisanych, które zapewniają, że układ rozpina całe R ; wykonywane operacje na wierszach łatwo tu odczytać z prawej części redukowanej macierzy) 5 5 7 7 7 6 9 a) Ze schodków lewej części macierzy zredukowanej odczytujemy, że układ α, α, α jest bazą V b) Układ α, α, α można rozszerzyć do bazy przestrzeni R dodając którykolwiek z wektorów ε j (najlepiej ε bo w takiej bazie wygodnie byłoby liczyć współrzędne zadanego wektora β R ) a) W celu znalezienia bazy rozwiązujemy jednorodny układ równań opisujący W redukując macierz współczynników (wygodnie zacząć redukcję od ostatniej kolumny) w 7 w w 5 w + w 5 Znajdujemy bazę X, X, X przestrzeni rozwiązań podstawiając za zmienne niezależne x, x, x dwa zera i jedynkę (pamiętamy przy tym o zerowej kolumnie wyrazów wolnych): X [,,?,,?] [,,,,?] [,,,, ], X [,,?,,?] [,,,,?] [,,,, ], X [,,?,,?] [,,,,?] [,,,, ] b) Liniową niezależność zachowamy dodając do układu rozwiązań X, X, X wektory ε, ε 5 (wektory bazy standardowej R 5 mające jedynki na miejscu zmiennych zależnych) 6 7

J Chaber Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m 7 a) Aby zbadać inkluzję V lin(α, α ) W wystarczy sprawdzić, że każdy z wektorów α j rozpinających V jest w W (spełnia układ równań opisujący W ) Podobnie można zbadać W V (sprawdzając, czy dla wszystkich wektorów β z bazy W układ x α + x α β jest niesprzeczny), wymagałoby to jednak rozwiązania układu równań opisującego W Wiedząc, że V W łatwiej jest sprawdzić, czy dim V dim W Zaczniemy od uproszczenia opisu W (poprzez redukcję macierzy współczynników) 5 w 5 5 w w w + w w w + w w + w 5 5 5 5 w 5 w w 5 w Przestrzeń V lin([,,, ], [,,, ]) jest płaszczyzną (bo wektory rozpinające są liniowo niezależne: [,,, ] i [,,, ] lin([,,, ])) Podobnie przestrzeń W (bo układ opisujący ma dwie zmienne niezależne: x, x ) Wystarczy więc sprawdzić, czy α, α W Mamy i, co dowodzi V W b) Redukujemy macierz mającą w kolumnach współrzędne wektorów z układu α, α, β, β, β w w 9 w w 5 w w 6 w w w w w + w Widać, że szukanym rozszerzeniem może być baza α, α, β, β Współrzędne β w tej bazie to,,,, a współrzędne β w to,,, Widać też, że β lin(α, α, β ) Współrzędne β znajdujemy rozwiązując układ równań x α + x α + x β β, którego macierz rozszerzona redukuje się do macierzy złożonej z pierwszych czterech kolumn otrzymanej wyżej macierzy [?,?,? ] [?,?, ] [?,, ] [,, ] Zatem β ma w bazie α, α, β, β współrzędne,,,

J Chaber Podprzestrzenie liniowe przestrzeni K m 8 a) Będziemy redukować macierz o kolumnach α, α, α (liniowa niezależność układu nie zależy od kolejności wektorów, a wygodniej nie mieć parametru w pierwszej kolumnie) λ λ + w λ λ + w w λ λ 7 5 w w 5 λ 6 λ w w w + qw 5 λ 6 + q(λ 6), gdzie q λ 5 Liniowa niezależność układu α, α, α jest więc równoważna warunkowi + λ 5 (λ 6) Obliczając pierwiastki trójmianu 5 + (λ )(λ 6) λ λ + 9 dostajemy λ, ±8 Zatem liniowa niezależność układu α, α, α jest równoważna warunkowi λ {, 9} b) Niech V λ lin(α, α, α ) i W lin([,, ], [, 7, ]) Jeśli V λ W, to dim V λ dim W, więc z a) λ {, 9} Aby zbadać inkluzje W V i W V 9 redukujemy macierz mającą w kolumnach współrzędne baz W V V 9 (z układu α, α, α rozpinającego V λ usuwamy α ) 7 9 w w w + w 9 w w w w w 5 8 8 5 Ze środkowej części otrzymanej macierzy widzimy, że α W dla λ, a z prawej części mamy V 9 W Zatem V λ W wtedy i tylko wtedy, gdy λ 9 5 Jeśli A λ jest podprzestrzenią liniową R, to A λ, więc (w obu podpunktach) musi być spełniony warunek λ λ, czyli λ lub λ a) Jeśli λ, to A λ {a[,, ] + b[,, ] : a, b R} lin([,, ], [,, ]) jest podprzestrzenią liniową R Jeśli λ, to dla a, b mamy α [,, ] A, ale ( )α [,, ] A, bo druga współrzędna wektorów z A ma postać a + a (a + ) Reasumując, A λ jest podprzestrzenią liniową R wtedy i tylko wtedy, gdy λ b) Jeśli λ, to A λ jest podprzestrzenią liniową R jako zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych Jeśli λ, to A λ jest zbiorem rozwiązań układu równań { x + x + x x x Dla x mamy układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi x, x, z którego wyliczamy x i x Zatem α [,, ] A Łatwo sprawdzić, że α [ 8,, ] A Reasumując, A λ jest podprzestrzenią liniową R wtedy i tylko wtedy, gdy λ 5

J Chaber 5 Rząd macierzy 9 5 Rząd macierzy Przestrzeń W (A) wierszy macierzy A Macierz A M m n (K) można interpretować jako układ m wierszy w,, w m K n Przestrzeń W (A) lin(w,, w m ) K n nazywamy przestrzenią wierszy A (rozpiętą na wierszach A) Jeśli macierz A ma postać schodkową, to niezerowe wiersze A stanowią bazę W (A ) Łatwo sprawdzić, że operacje elementarne na wierszach nie zmieniają przestrzeni wierszy (W (A ) W (A)), więc redukując macierz A do macierzy A w postaci schodkowej i biorąc niezerowe wiersze A otrzymujemy bazę W (A) Wiersze czy kolumny Badając układ α,, α n wektorów z K m można te wektory zapisać jako wiersze macierzy z M n m (K), lub jako kolumny macierzy z M m n (K) Zapisywanie w kolumnach jest na ogół dużo bardziej skuteczne (bo jest związane z badaniem kombinacji liniowych układu α,, α n, co pozwala korzystać z wiedzy o układach równań liniowych; inny ważny powód pojawi się w dyskusji przekształceń liniowych) Rząd macierzy A Dla macierzy A M m n (K) rzędem A nazywamy liczbę r(a) dim W (A) dim K(A) (oba wymiary są liczbą schodków w macierzy otrzymanej w wyniku redukcji A do postaci schodkowej) Wymiar przestrzeni N(A) i rząd macierzy A Dla macierzy A M m n (K) mamy dim N(A)+dim K(A) dim N(A)+r(A) n (bo wymiar przestrzeni N(A) jest liczbą kolumn bez schodków) Rozpinanie, liniowa niezależność, baza Niech (A,, A n ) będzie układem kolumn macierzy A [A,, A n ] M m n (K) Wtedy (A,, A n ) rozpina K m r(a) m (A ma po redukcji schodek w każdym wierszu), jest liniowo niezależny r(a) n (A ma po redukcji schodek w każdej kolumnie), jest bazą K m r(a) n m (A ma po redukcji schodek w każdym wierszu i kolumnie) Zestaw 5 Dana jest macierz A 5 8 M (R) i wektory,, z R a) Sprawdzić, że V W, gdzie V R jest rozpięta na zadanych wektorach, a W N(A) b) Dla j, znaleźć wszystkie wektory X R spełniające układ równań AX A j (gdzie A j oznacza j-tą kolumnę macierzy A) Dla λ, µ R dane są macierz A λ a) Zbadać rząd A λ w zależności od λ R λ λ M (R) i wektor B µ µ R b) Zbadać zbiór rozwiązań układu równań A λ X B µ w zależności od λ, µ R (sprawdzić kiedy ten zbiór jest pusty, jednopunktowy lub nieskończony)

J Chaber 5 Rząd macierzy Rozwiązania zadań z zestawu 5 a) Sprawdzimy, czy V W i dim V dim W Zaczniemy od redukcji macierzy A do macierzy A w postaci schodkowej (co ułatwi sprawdzenie inkluzji) 5 w w 8 w w 5 7 w 5 7 w w 5 7 w + w Z postaci schodkowej wynika, że dim W (rozwiązania zależą od zmiennych niezależnych x, x ) Obliczamy teraz iloczyny A X podstawiając za X kolejne wektory rozpinające V 5, 5, 5 Ponieważ wektory rozpinające V są w N(A ), mamy V N(A ) W Z dim V wynika więc, że dim V dim W, co daje równość V W b) Wektor [,,, ] jest rozwiązaniem układu AX A (analogicznie, wektor [,,, ] jest rozwiązaniem układu AX A ), a bazę rozwiązań układu AX stanowią dwa liniowo niezależne wektory rozpinające V N(A) Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego rozwiązanie ogólne układu AX A (AX A ) ma postać X + t + t X + t Redukujemy macierz rozszerzoną [A λ B µ ] układu A λ X B µ µ λ λ + µ 6 λ 6 λ w w w w w µ λ µ λ µ + t + µ λ µ λ µ Dla λ {, } widzimy, że r(a λ ) r([a λ B µ ]), więc układ jest niesprzeczny i zbiór rozwiązań jest jednopunktowy niezależnie od wartości µ (bo rząd A λ jest taki jak liczba niewiadomych nie ma zmiennych niezależnych) Dla λ µ mamy r(a λ ) r([a λ B µ ]), więc układ jest niesprzeczny i zbiór rozwiązań jest nieskończony (bo rząd A λ jest mniejszy niż liczba niewiadomych jest jedna zmienna niezależna) Dla λ i µ mamy r(a λ ) < r([a λ B µ ]), więc układ jest sprzeczny Dla λ dwa ostatnie wiersze macierzy zredukowanej są równe Po odjęciu drugiego wiersza od trzeciego zobaczymy r(a λ ) r([a λ B µ ]), więc układ jest niesprzeczny, a zbiór rozwiązań jest nieskończony niezależnie od wartości µ (bo rząd A λ jest mniejszy niż liczba niewiadomych)

J Chaber 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n Ważne wzory Dla podprzestrzeni V, V skończenie wymiarowej przestrzeni V mamy (udowodniony na wykładzie) wzór dim(v + V ) dim V + dim V dim(v V ) Dla macierzy A M m n (K), wektorów kolumn B,, B k K n oraz skalarów y, y k K mamy ważny wzór (wynikający z wzorów A(X +Y ) AX +AY i A(yX) yax uzasadnionych w zestawie ) A(y B + + y k B k ) y AB + + y k AB k Przecięcie podprzestrzeni K n opisanych układami równań ([ A Dla V N(A) K n i W N(B) K n część wspólna V W N B równań złożonym z równań opisujących V i z równań opisujących W ) ]) (jest opisana układem Przecięcie podprzestrzeni K n opisanej układem równań z rozpiętą na układzie wektorów Dla przestrzeni V N(A) K n i W K(B) K n (gdzie A M m n (K) i B M n k (K)) część wspólną można znaleźć (opisując W układem równań lub, bardziej bezpośrednio) podstawiając kombinacje liniowe BY kolumn B [B,, B k ] do układu równań AX Po podstawieniu X y B + + y k B k dostajemy A(y B + + y k B k ) y AB + + y k AB k Układ współczynników y,, y k daje kombinację z V W wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązaniem jednorodnego układu równań o macierzy C [AB,, AB k ] M m k (K) Jeśli (Y,, Y p ) jest bazą N(C), to wektory BY,, BY p (odpowiednie kombinacje kolumn B) rozpinają V W (bo dla Y t Y + + t p Y p kombinacja BY B(t Y + + t p Y p ) t BY + + t p BY p ) Przecięcie podprzestrzeni K n rozpiętych na układach wektorów Dla przestrzeni V K(A) K n i W K(B) K n (gdzie A M n l (K) i B M n k (K)) część wspólną można znaleźć (opisując je układami równań lub, bardziej bezpośrednio) porównując kombinacje liniowe AX kolumn A [A,, A l ] i kombinacje liniowe BY kolumn B [B,, B k ] W równaniu wektorowym x A + + x l A l y B + + y k B k współczynniki x,, x l traktujemy jako niewiadome, a współczynniki y,, y k jako parametry z K Układ parametrów y,, y k daje kombinację z V W wtedy i tylko wtedy, gdy rozpatrywane równanie wektorowe ma rozwiązanie x,, x l Redukując macierz [A B] [A,, A l B,, B k ] M n (l+k) (K) do macierzy [A B ] w postaci schodkowej otrzymujemy równoważne równanie wektorowe x A + + x la l y B + + y kb k Jeśli A ma r schodków i C M (n r) k (K) jest macierzą utworzoną z B przez usunięcie pierwszych r wierszy, to wyjściowy układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy parametry y,, y k są z N(C) Jak poprzednio, V W lin(by,, BY p ), gdzie (Y,, Y p ) jest bazą przestrzeni N(C) Opis podprzestrzeni V K n jako przestrzeni rozwiązań jednorodnego układu równań Badając przecięcie V K(A) K n z W lin(ε,, ε n ) K n, zgodnie z opisaną wyżej procedurą (redukując macierz [A I n ], gdzie I n M n n (K) jest macierzą o kolumnach ε,, ε n ), otrzymujemy układ równań CY opisujący V K n V (bo I n Y y ε + + y n ε n Y, zob zadanie b) z zestawu )

J Chaber 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n Zestaw 6 Niech V lin([,,, ], [,,, ], [,,, ], [,,, ]) R i niech W R będzie podprzestrzenią opisaną układem równań { x + x + x x x + x x a) Znaleźć układ równań opisujący V Wskazówka Analogiczne zadanie zostało rozwiązane w punkcie b) zadania z zestawu b) Znaleźć dim(v + W ) i bazę części wspólnej V W Niech V lin([,,, ], [,,, ], [,,, ]) R i niech W R będzie podprzestrzenią opisaną układem równań { x + x + x + x x + x + x + x a) Znaleźć bazę części wspólnej V W b) Znaleźć dim(v + W ) Niech V lin([,,, ], [,,, ], [,,, ]) i W lin([,, 5, ], [,,, ], [,,, ]) będą podprzestrzeniami R a) Znaleźć dim V, dim W, dim(v + W ) i dim(v W ) b) Znaleźć bazę części wspólnej V W Wykazać, że dla podprzestrzeni V,, V n (n > ) przestrzeni liniowej V nad ciałem K następujące warunki są równoważne (warunek (i) został przyjęty jako definicja sumy prostej V V n ) (i) Każdy wektor β V + + V n daje się przedstawić w dokładnie jeden sposób jako suma β α + + α n, gdzie α j V j dla j,, n (ii) Wektor zerowy daje się przedstawić w dokładnie jeden sposób jako suma α + + α n, gdzie α j V j dla j,, n (wszystkie α j w takim przedstawieniu muszą być zerowe) (iii) Żadna z przestrzeni V j nie zawiera niezerowych wektorów z sumy pozostałych podprzestrzeni (to znaczy V j i j V i {} dla j,, n) (iv) Żadna z przestrzeni V j nie zawiera niezerowych wektorów z sumy poprzednich podprzestrzeni (to znaczy V j i<j V i {} dla j,, n) Wskazówka Zmodyfikować rozwiązanie zadania zestawu

J Chaber 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n Rozwiązania zadań z zestawu 6 a) Badamy równość wektorową x α + x α + x α + x α Y, gdzie wektory α,, α rozpinają V, a Y y ε + y ε + y ε + y ε jest kolumną wyrazów wolnych zależną od parametrów y,, y Warunek opisujący wartości parametrów, dla których układ ma rozwiązania (Y V ) znajdziemy redukując macierz mającą w kolumnach współrzędne wektorów α, α, α, α ε, ε, ε, ε (interesuje nas niesprzeczność, więc możemy zmienić kolejność α j ) 7 5 7 9 Stąd warunek Y V [(niesprzeczność ] równania wektorowego) jest równoważny warunkowi CY, gdzie C jest macierzą w prawym dolnym bloku redukowanej macierzy b) dim(v + W ) dim V + dim W dim(v W ) Z a) dim V i łatwo widać, że dim W Część wspólna V W jest opisana układem złożonym z równań opisujących W i równań opisujących V Bazę i wymiar V W znajdziemy redukując macierz tego układu w w w 7 w w 5 w w w w w w w w w 5 5 5 Zbiór rozwiązań jest prostą, więc dim(v +W ) + Wektor bazy V W znajdujemy podstawiając za zamienną niezależną x 5 5 [?,?,?, 5 ] [?,?,, 5] [?,,, 5] [,,, 5] Oznaczmy przez A macierz układu opisującego W i przez B [B, B, B ] macierz mającą w kolumnach wektory rozpinające V 5 a) Podstawiając do układu AX opisującego W kombinację BY V dostajemy [ ] [ ] [ ] [ y + y + y 7 y +y 7 +y 5 ] [ ]

J Chaber 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n Otrzymany układ równań na współczynniki kombinacji rozwiązujemy redukując jego macierz [ ] [ ] 7 7 7 5 Stąd Y [?,?, ] [?,, ] [,, ] i BY + 6 jest wektorem rozpinającym V W b) dim(v + W ) dim V + dim W dim(v W ) r(b) + ( ) r(b) + Pozostaje policzyć rząd B w w w w w w w Mamy więc dim(v + W ) r(b) + w w w + w w + w Oznaczmy przez A [A, A, A ] macierz mającą w kolumnach wektory rozpinające V i przez B [B, B, B ] macierz mającą w kolumnach wektory rozpinające W a) Przestrzeń V + W jest rozpięta przez kolumny macierzy [A B] Redukując tę macierz znajdziemy dim V i dim(v + W ) w w w 5 7 5 7 w w 5 w w 5 w w w w w w 5 6 w w w w w 5 Zatem dim V, dim(v + W ), a dim(v W ) dim V + dim W dim(v + W ) Pozostaje policzyć dim W, który jest taki sam jak rząd macierzy B z trzech ostatnich kolumn zredukowanej macierzy (zamieniamy kolumny i miejscami oraz usuwamy zerowy wiersz) 6 w w w w w + w w + w Mamy więc dim(v W ) dim V + dim W dim(v + W ) + b) Wektor BY W jest w V wtedy i tylko wtedy, gdy układ AX BY (gdzie X traktujemy jako niewiadome, [ a Y] jako parametry) jest niesprzeczny, a to oznacza, że CY, gdzie C jest macierzą z prawego dolnego rogu zredukowanej macierzy Układ ([,, ], [,, ]) jest bazą przestrzeni rozwiązań N(C), więc wektory B +B i B +B rozpinają V W B + B 5, B + B 5 Bazą V W jest wektor B B [,,, ] (z a) wiedzieliśmy, że dim(v W ), więc można było nie liczyć drugiej kombinacji)

J Chaber 6 Suma i przecięcie podprzestrzeni K n 5 Implikacje (i) (ii) i (iii) (iv) są oczywiste Dla dowodu (ii) (iii) załóżmy (iii): dla pewnego j > istnieje niezerowy wektor α j V j taki, że α j i j α i, gdzie α i V i dla i j Wtedy α j + i j α i jest przedstawieniem wektora zerowego przeczącym (ii) Dla dowodu (iv) (i) załóżmy (i): pewne β i n V i ma dwa różne przedstawienia β i n β i i n γ i, gdzie β i, γ i V i dla i n Wtedy i n α i, gdzie α i β i γ i V i nie wszystkie są zerowe Dla j max{i : α i } mamy j > i α j i<j α i, czyli (iv)

J Chaber 7 Macierze i przekształcenia liniowe K n w K m 6 7 Macierze i przekształcenia liniowe K n w K m Ważny wzór i iloczyn macierzy Dla macierzy A M m n (K), wektorów (kolumn) B,, B k K n oraz skalarów y, y k K mamy ważny wzór (wynikający z wzorów A(X +Y ) AX +AY i A(yX) yax uzasadnionych w zestawie ) A(y B + + y k B k ) y AB + + y k AB k Niech B [B,, B k ] M n k (K) i niech Y K k będzie kolumną o współrzędnych y, y k Zastępując w ważnym wzorze kombinacje liniowe iloczynem odpowiedniej macierzy przez wektor Y otrzymujemy postać macierzową A(BY ) CY, gdzie macierz C [AB,, AB k ] M m k (K) ma m wierszy (jak A) i k kolumn (jak B) Zauważmy, że liczba kolumn A jest taka jak liczba wierszy B Macierz C nazywamy iloczynem macierzy A przez B i oznaczamy przez AB (kolejność jest istotna) Przekształcenie liniowe ϕ A : K n K m wyznaczone przez macierz A M m n (K) Macierz A M m n (K) wyznacza ϕ A : K n K m dane przez ϕ A (X) AX (X i ϕ A (X) są kolumnami) Ważny wzór oznacza, że ϕ A zachowuje kombinacje liniowe, czyli ϕ A jest przekształceniem liniowym Iloczyn macierzy i złożenie przekształcenia ϕ B : K k K n z przekształceniem ϕ A : K n K m Niech B [B,, B k ] M n k (K), A [A,, A n ] M m n (K) Wtedy złożeniem przekształcenia liniowego ϕ B : K k K n z przekształceniem ϕ A : K n K m jest przekształcenie ϕ A ϕ B : K k K m dane wzorem ϕ A ϕ B (Y ) ϕ A (ϕ B (Y )) A(BY ) CY, gdzie C [AB,, AB k ] AB M m k (K) Postać macierzowa ważnego wzoru oznacza więc, że ϕ A ϕ B ϕ AB Każde przekształcenie liniowe ϕ : K n K m jest wyznaczone przez pewną macierz Niech A [A,, A n ] M m n (K) Wtedy ϕ A (ε j ) A + +A j + +A n A j dla j,,, n Jeśli ϕ : K n K m jest przekształceniem liniowym i A [A,, A n ] M m n (K) jest macierzą mającą w j-tej kolumnie współrzędne obrazu wektora ε j (czyli A j ϕ(ε j ) dla j,, n), to ϕ ϕ A, bo ϕ x x n ϕ x + + x n x ϕ(ε ) + + x n ϕ(ε n ) x A + + x n A n AX Macierz jednostkowa I n M n n (K) Dla wektora α K n, przez [α] będziemy oznaczać kolumnę współrzędnych α Macierz I n [ [ε ],, [ε n ] ] wyznaczającą identyczność ϕ In id K n : K n K n nazywamy macierzą jednostkową Dla A M m n (K) mamy oczywiście I m A AI n A (bo id K m ϕ A ϕ A id K n ϕ A ) Suma wymiarów jądra i obrazu przekształcenia liniowego ϕ A : K n K m Jądro ker ϕ A {X : AX } N(A) K n i obraz im ϕ A {AX : X K n } K(A) K m Zatem dim ker ϕ A + dim im ϕ A dim N(A) + dim K(A) n dim K n Epimorfizmy, monomorfizmy, izomorfizmy Niech przekształcenie liniowe ϕ : K n K m będzie wyznaczone przez macierz A M m n (K) Wtedy ϕ jest epimorfizmem jeśli dla każdego B K m istnieje X K n takie, że AX B ( A ma po redukcji schodek w każdym wierszu r(a) m), ϕ jest monomorfizmem jeśli dla każdego B K m istnieje co najwyżej jeden X K n taki że AX B ( A ma po redukcji schodek w każdej kolumnie r(a) n), ϕ jest izomorfizmem jeśli dla każdego B K m istnieje dokładnie jeden X K n taki że AX B ( A ma po redukcji schodek w każdym wierszu i w każdej kolumnie r(a) m n)