Przykład Elementy analizy wrażliwości Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Dla wyrobu 2 czasy te wynosza odpowiednio 1 i 3 godziny. Jednostkowe zyski ze sprzedaży wynosza 30$ dla wyrobu 1 i 20$ dla wyrobu 2. Każda z maszyn może pracować 8 godzin dziennie. Wyznacz optymalny dzienny plan produkcji dla firmy JCo. max z = 30x 1 + 20x 2 2x 1 + x 2 8 [Maszyna 1] x 1 + 3x 2 8 [Maszyna 2] x 1, x 2 0 Optymalne rozwiazanie: x 1 = 3.1, x 2 = 1.6 i z = 128.
Przykład Elementy analizy wrażliwości Problem 1. Załóżmy, że JCo może zwiększyć czas pracy jednej z maszyn. Zwiększenie czasu pracy o jedna godzinę kosztuje 10$. Czas pracy której maszyny należy zwiększyć? Problem 2. Jaki wpływ na optymalne rozwiazanie będzie miało zwiększenie czasu pracy maszyny 1 z 8 godzin do 13 godzin?
Ceny dualne (shadow prices) Ograniczenia modelu w postaci standardowej maja postać: 2x 1 + x 2 + s 1 = 8 x 1 + 3x 2 + s 2 = 8 Podstawmy d 1 = s 1 i d 2 = s 2. Ograniczenia możemy zapisać w postaci: 2x 1 + x 2 = 8+d 1 x 1 + 3x 2 = 8+d 2 Zmienne d 1 i d 2 interpretujemy jako liczbę godzin o jakie zwiększamy/zmiejszamy czas pracy maszyn 1 i 2.
Ceny dualne (shadow prices) Ostatnia tablica sympleksowa ma postać: x 1 x 2 s 1 s 2 z 0 0 14 2 128 x 1 1 0 0.6-0.2 3.2 x 2 0 1-0.2 0.4 1.6 Odpowiada to następujacej postaci (pamiętajac, że s 1 = d 1 i s 2 = d 2 ): z = 128+14d 1 + 2d 2 x 1 = 3.2+0.6d 1 0.2d 2 x 2 = 1.6 0.2d 1 + 0.4d 2 Współczynniki w wierszu 0 dla zmiennych s 1 i s 2 nazywamy cenami dualnymi (shadow prices) ograniczeń odpowiednio 1 i 2. Cena dualna określa o ile zwiększy (zmniejszy) się zysk, jeżeli prawa strona odpowiedniego ograniczenia zwiększy (zmniejszy) się o jednostkę.
Ceny dualne (shadow prices) Załóżmy, że czas pracy na maszynie 2 się nie zmienia (d 2 = 0). Otrzymujemy z = 128+14d 1 x 1 = 3.2+0.6d 1 x 2 = 1.6 0.2d 1 Zwiększenie (zmiejszenie) czasu pracy maszyny 1 o jednostkę zwiększa (zmiejsza) zysk o 14$. Cena dualna obowiazuje dopóki wartości zmiennych sa nieujemne, tj. 3.2+0.6d 1 0 i 1.6 0.2d 1 0. Stad d 1 [ 5 1, 8] i cena dualna 3 14$ obowiazuje dla czasu pracy maszyny 1 z przedziału [2 2, 16]. 3
Ceny dualne (shadow prices) Załóżmy, że czas pracy na maszynie 1 się nie zmienia (d 1 = 0). Otrzymujemy z = 128+2d 2 x 1 = 3.2 0.2d 2 x 2 = 1.6+0.4d 2 Zwiększenie (zmiejszenie) czasu pracy maszyny 2 o jednostkę zwiększa (zmiejsza) zysk o 2$. Cena dualna obowiazuje dopóki wartości zmiennych sa nieujemne, tj. 3.2 0.2d 2 0 i 1.6+0.4d 2 0. Stad d 2 [ 4, 16] i cena dualna 2$ obowiazuje dla czasu pracy maszyny 1 z przedziału [4, 24].
Odpowiedzi Elementy analizy wrażliwości Odpowiedź 1. Opłaca się zwiększyć czas pracy maszyny 1 ponieważ da to zysk 4$ na dodatkowa jednostkę czasu. Nie opłaca się natomiast zwiekszać czasu pracy maszyny 2. Odpowiedź 2. Czas pracy równy 13 godzin należy do zakresu dla którego obowiazuje cena dualna dla maszyny 1, równa 14$. Zatem zwiększenie czasu pracy o 5 godzin (z 8 do 13) powiększy zysk firmy o 5 14$ = 70$. Optymalne rozwiazanie wyniesie wówczas: x 1 = 3.2+0.6 5 = 6.2 x 2 = 1.6 0.2 5 = 0.6
Problemy Elementy analizy wrażliwości Problem 3. Przypuśćmy, że cena jednostkowa wyrobu 1 wzrośnie do 35$. Jak zmieni się wówczas optymalne rozwiazanie? Problem 4. Cena jednostkowa wyrobu 2 jest znana i wynosi 20$. Natomiast cena jednostkowa wyribu 1 nie jest dokładnie znana. Dla jakich wartości cen jednostkowych wyrobu 1 otrzymane rozwiazanie pozostanie optymalne?
Koszty zredukowane Ostatnia tablica sympleksowa z dodatkowym oryginalnym wierszem 0 jest pokazana poniżej: z -30-20 0 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 z 0 0 14 2 128 30 x 1 1 0 0.6-0.2 3.2 20 x 2 0 1-0.2 0.4 1.6 Koszt zredukowany x 1 = 30 1+20 0 30 = 0 Koszt zredukowany x 2 = 30 0+20 1 20 = 0 Koszt zredukowany s 1 = 30 0.6 20 0.2 0 = 14 Koszt zredukowany s 2 = 30 0.2+20 0.4 0 = 2 Kosztami zredukowanymi nazywamy współczynniki występujace w wierszu 0 tablicy sympleksowej. Rozwiazanie jest optymalne jeżeli wszystkie koszty zredukowane sa nieujemne. Koszty zredukowane zmiennych bazowych zawsze wynosza 0.
Koszty zredukowane Załóżmy, że cena jednostkowa wyrobu 1 zmieni się o δ. (30 + δ) 20 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 z 0 0 14 2 128 30+δ x 1 1 0 0.6-0.2 3.2 20 x 2 0 1-0.2 0.4 1.6 Rozwiazanie pozostanie optymalne jeżeli: 0.6(30+δ) 0.2 20 0 0 0.2(30+δ)+0.4 20 0 0 δ 23 1 3 δ 10 Zatem rozwiazanie pozostanie optymalne jeżeli cena produktu 1 należy do przedziału [6 2, 40]. 3
Koszty zredukowane Załóżmy, że cena jednostkowa wyrobu 2 zmieni się o δ. 30 (20 + δ) 0 0 x 1 x 2 s 1 s 2 z 0 0 14 2 128 30 x 1 1 0 0.6-0.2 3.2 20+δ x 2 0 1-0.2 0.4 1.6 Rozwiazanie pozostanie optymalne jeżeli: 0.6 30 0.2 (20+δ) 0 0 0.2 30+0.4 (20+δ) 0 0 δ 70 δ 5 Zatem rozwiazanie pozostanie optymalne jeżeli cena produktu 2 należy do przedziału [15, 90]
Odpowiedzi Elementy analizy wrażliwości Odpowiedź 1. Cena 35$ należy do przedziału cen [6 2 3, 40], dla których uzyskane rozwiazanie pozostanie optymalne. Zatem rozwiazanie się nie zmieni, natomiast maksymalny zysk wyniesie 35 3.2+20 1.6 = 144. Odpowiedź 2. Rozwiazanie pozostanie optymalne dla wszytkich cen jednostkowych wyrobu 1 należacych do przedziału [6 2 3, 40].
Przykład (TOYCO) Firma TOYCO wytwarza trzy rodzaje zabawek: pociagi, traktory i samochody, których ceny jednostkowe wynosza odpowiednio 3$, 2$ i 5$ za sztukę. Do produkcji zabawek potrzebne sa trzy komponenty, których dzienny zapas wynosi odpowiednio 430, 460 i 420 sztuk. Wytworzenie jednego pociagu wymaga 1 sztuki komponentu 1, 3 sztuk komponentu 2 i 1 sztuki komponentu 3. Dla traktorów i samochodów wielkości te wynosza odpowiednio 2,0,4 i 1,2,0. Wyznacz optymalny dzienny plan produkcji firmy TOYCO. max z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 430 [Komponent 1] 3x 1 + 2x 3 460 [Komponent 2] x 1 + 4x 2 420 [Komponent 3] x 1, x 2, x 3 0 Optymalne rozwiazanie: x 2 = 100, x 3 = 230, z = 1350. Zauważ, że produkcja pociagów wynosi 0.
Przykład (TOYCO) Ostatnia tablica sympleksowa wyglada następujaco: x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 z 4 0 0 1 2 0 1350 x 2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 x 3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 s 3 2 0 0-2 1 1 20 Ceny dualne ograniczeń wynosza odpowiednio 1,2 i 0. Kluczowym komponentem jest więc komponent 2. Cena dualna komponentu 3 wynosi 0. Oznacza to, że zwiększenie zapasu tego komponentu nie zwiększy zysku firmy. Zauważ, że s 3 = 20 > 0, co oznacza że 20 jednostek komponentu 3 jest niewykorzystanych,
Przykład (TOYCO) x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 z 4 0 0 1 2 0 1350 x 2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 x 3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 s 3 2 0 0-2 1 1 20 100+ 1 2 d 1 0 20 2d 1 0 d 1 [ 200, 10] 100 1 4 d 2 0 230+ 1 2 d 2 0 20+d 2 0 d 2 [ 20, 400] 20+d 3 0 d 2 [ 20, ) Zakres dla komponentu 1 wynosi [230, 440], zakres dla komponentu 2 wynosi [440, 860]. Dla komponentu 3 zakres wynosi [400, ).
Przykład (TOYCO) -(3+δ) -2-5 0 0 0 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 z 4 0 0 1 2 0 1350 2 x 2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x 3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s 3 2 0 0-2 1 1 20 2 ( 1/4)+3/2 5 3 δ 0 δ (, 4] Rozwiazanie pozostanie optmyalne jeżeli cena jednostkowa pociagów należy do przedziału (, 7]
Przykład (TOYCO) -3 -(2+δ) -5 0 0 0 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 z 4 0 0 1 2 0 1350 2+δ x 2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x 3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s 3 2 0 0-2 1 1 20 1/4(2+δ)+5 3/2 3 0 1/2(2+δ) 0 1/4(2+δ)+1/2 5 0 δ [ 2, 8] Rozwiazanie pozostanie optymalne jeżeli cena traktorów należy do przedziału [0, 10]. Ćwiczenie. Oblicz odpowiedni przedział cen dla samochodów.