W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ Olga Kacz, Adam Łdygwsk, Wjcech Pawłwsk, chał Płtkwak, Krzysztf Tymer Ksultacje aukwe: rf. dr hab. JERZY RAKOWKI Pzań 00/00 ECHANIKA BUDOWLI 7. PRAWDZENIE. PRAWDZENIE GLOBALNE rawdzee t lega a zbudwau eweg fkcyjeg sztuczeg wykresu mmetów, będąceg sumą wszystkch wykresów jedstkwych tz.,,..., :.. Na dstawe tak srządzeg wykresu blczamy wsółczyk ze wzru: ds.. Okazuje sę że seła jest astęująca zależść: Dwód: k ds ds K ds K ds K k ds K K K ds ds k ds k....4 Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ W te ssób trzymalśmy mżlwść srawdzea rawśc wylczeń wszystkch uzyskaych wsółczyków k z męcem. Jeżel wyższa rówść jest seła rzerwadze dtychczas blczea są rawdłwe. Jeżel e, t lkalzujemy day błąd srawdzeem lkalym.. PRAWDZENIE LOKALNE rawdzee t, zwae także werszwym bądź klumwym, lega a zlkalzwau daeg błędu, rzez drębe rzatrywae sumwae elemetów daeg wersza macerzy lub daej klumy, b macerz ta jest symetrycza. umwaa te wyraże są astęującym wzrem: s ds... k k.. rawdzea rawśc blczeń dkujemy dbe jak wyżej. Oblczamy mawce s rówujemy trzymaą welkść z wyrażeem, gdyż be welkśc wy być sbe rówe. s ds..... Dwód tych zależśc jest aalgczy jak dla srawdzea glbaleg. P zlkalzwau raweu błędu rzystęujemy d dalszej aalzy wyków.. PRAWDZENIE WARTOŚCI NIEWIADOYCH IŁ rawdzee t lega a dstaweu wyzaczych welkśc k d rówań kaczych stwerdzeu, że układ rówań jest dla blczych wartśc sł seły..4 PRAWDZENIE TATYCZNE T srawdzee mów am, czy rzy wyzaczych słach wewętrzych sełe są waruk statyczej rówwag Σ0, ΣY0, Σ0. Plega a wykazau, że sełe są e dla całśc układu Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ jak dla wybraych jeg częśc. Wart zazaczyć, że srawdzee te e bada rawśc wylczych k, a jedye srawdza rawść wykresów sł wewętrzych d tych bcążeń ekecze rawdłwych..5 PRAWDZENIE KINEATYCZNE rawdzee t jest ajważejsze, gdyż tak arawdę t der mów am czy uzyskae wyk są rawdłwe. Plega a wykazau, że dla wybraych uktów a gół uktów, które e dzają rzemeszczeń w układze statycze ewyzaczalym rzemeszczea są rówe wartścm rzeczywśce tam wystęującym. Zagadee wyzaczaa rzemeszczeń w układach statycze ewyzaczalych wydaje sę stsukw złże gdyż zgde z uwersalą zasadą racy wrtualej w celu kreślea rzemeszczea, ależy zaleźć wykresy sł wewętrzych w układze statycze ewyzaczalym zarów dla stau rzeczywsteg bcążea jak wrtualeg. k j ds K 0 raz 0 k k P k k k.5. W sukurs rzychdzą am twerdzea redukcyje, z których wyka, że lcząc rzemeszczea w układze statycze ewyzaczalym, jede ze staów rzeczywsty lub wrtualy mżemy wylczyć dla dwleg układu dstawweg. Perwsze twerdzee redukcyje W celu blczea dwleg rzemeszczea w układze statycze ewyzaczalym, wystarczy rzwązać układ te d bcążea rzeczywsteg, zaś wrtualy sta bcążeń kreślć dla dwleg układu dstawweg statycze wyzaczaleg. Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer 4 Dwód teg twerdzea jest astęujący rzytczymy g uwzględając w blczeach rzemeszczeń jedye wływ mmetów zgających: j ds Zgde z zasadą suerzycj mamy: K K.5. Ilczy w wyrażeu dcałkwym dla urszczea zasu męt mawk mżemy rzedstawć jak: K K K K K K K.5.
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 5 Brąc d uwagę, że: ds, ds, ds, ds ds, ds,, ds ds ds, dstaemy: j K K K Na mcy rówań kaczych metdy sł, wartśc w awasach są rówe zeru. Ostatecze twerdzee t rzyjme stać: ds.5.4 j ds ds.5.5 Ugólee relacj.5.5 a rzyadek, w którym uwzględa sę wływ wszystkch rzyczy a rzemeszczea e astręcza żadych trudśc. Druge twerdzee redukcyje W celu blczea dwleg rzemeszczea w układze statycze ewyzaczalym, wystarczy rzwązać układ te d bcążea wrtualeg, zaś rzeczywsty sta bcążeń kreślć dla dwleg układu dstawweg statycze wyzaczaleg. Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 6 Dwód teg twerdzea jest aalgczy jak rzy twerdzeu erwszym z tym, że w gruwau wyrażeń rzed awasam wystęują czyk k. Ostatecze twerdzee t rzyjme stać: j ds ds.5.6 Wart zazaczyć, że srawdzeń kematyczych jest bardz duż, gdyż mżemy rzyjąć wele różych układów dstawwych. Reasumując, ktrle kematyczą ajleej rzerwadzać a ym układze dstawwym ż rzy lczeu ewadmych, eważ efektem teg srawdzea byłby wykazae rawśc rówaa kaczeg. 4. PRZYKŁAD Dkać srawdzea blczeg wcześej układu statycze ewyzaczaleg rzedstaweg a rysuku Rys.4.0.a. Rys.4.0. Day układ a rzeczywsty z bcążeem zewętrzym; b układ dstawwy z ewadmym raz układem rówań kaczych Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 7 Zestawee wykresów: Rys.4.0. Wykresy mmetów zgających w układze dstawwym chdzące klej d: a sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej ; b sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej ; c bcążea rzeczywsteg P w stac sły skuej raz bcążea rzłżeg. Rys.4.0. Aalza kńcwa zadaa: a sta bcążea słam zewętrzym raz blczym ewadmym x x ; b wykres mmetów rzeczywstych ; c wykres rzeczywstych sł tących T ; d wykres rzeczywstych sł rmalych N Zestawee wyków wsółczyków: Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 8 7 7 m m, 468 P kn m,, P 540 Układ rówań kaczych rzyjął węc stać: 8 m kn m 7m 8m 468kNm 0 8m 7m 540kNm 0 4.0. 4.0. P blczeu wyższeg układu rówań trzyma astęujące wyk: 7, 5, kn kn 4.0. 4. rawdzee glbale Rys.4.. Wykresy mmetów zgających w układze dstawwym chdzące klej d: a sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej ; b sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej ; c d sumy wszystkch wykresów jedykwych wykres zbrczy mmetów Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 9 k 7 7 8 8 k 8 m 8 8 8 m 4.. 4. rawdzee lkale Rys.4.. Wykresy mmetów zgających w układze dstawwym chdzące klej d: a sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej ; b d sumy wszystkch wykresów jedykwych wykres zbrczy mmetów k 7 8 k 9 m 9 m 9 9 4.. Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 0 Rys.4.. Wykresy mmetów zgających w układze dstawwym chdzące klej d: a bcążea rzeczywsteg P w stac sły skuej raz bcążea rzłżeg; b d sumy wszystkch wykresów jedykwych wykres zbrczy mmetów 468 540 7 kn m 54 7 s kn m 7 7 4.. 4. rawdzee wartśc ewadmych sł 7 8 468 7, 5, 0 0 0 8 7 540 7, 5, 0 0 0 4.. 4.4 rawdzee statycze Rys.4.4. Rama zawesza a wewętrzych słach rzydrwych Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 0 6 49 0 Y 0 46 5, 7, 54 0 k 0 7, 9 4 5, 54 6 4 58,8 0 4.4. 4.5 rawdzee kematycze Rys.4.5. Wykresy mmetów zgających d: a jedykwej sły wrtualej w ym układze dstawwym; b bcążea rzeczywsteg w układze rzeczywstym statycze ewyzaczalym ϕ,60 0,40 8,4 4,0 0,4 9 4 58,80 4 8 0,40 8,40 0 0 rad 4.5. 5. ETODA IŁ DLA INNYCH OBCIĄŻEÑ Pdstawwą różcą mędzy blczaem układów statycze wyzaczalych a ewyzaczalych jest t, że w tych drugch bcążea take jak: temeratura, sadae czy błąd mtażu wywłują bk rzemeszczeń kstrukcj także sły wewętrze. Dlateg bcążea te ależy uwzględć w wyrazach wlych w rówaach kaczych, tz. k zstaje bez zma, atmast w zależśc d bcążea zmea sę astęując: Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ a temeratura t α t t ds h N α t - gdze zaczea: α t, t, t take same jak dla układów statycze wyzaczalych stąd rówae kacze rzyjme stać: t ds 5.0. b sadae k k x k t 0 5.0. stąd rówae kacze rzyjme stać: c błędy mtażu k R ϕ 5.0. x k k 0 5.0.4 m B b 5.0.5 - gdze zaczea: B m, b m take same jak dla układów statycze wyzaczalych stąd rówae kacze rzyjme stać: m m k k x k m 0 5.0.6 Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 6. PRZYKŁAD Oblczyć sły wewętrze w aalzwaej rame, wywłae dzałaem temeratury memy wływ rówmereg grzaa raz sadaem dór. Dae rzedstawe są a rysuku Rys.6.0.a.. D blczeń rzyjęt y leszy układ dstawwy wykrzystując symetre układu raz gruwae ewadmych Rys.6.0.b.. Rys.6.0. Day układ a rzeczywsty z bcążeem zewętrzym; b y leszy układ dstawwy z ewadmym Z Z raz układem rówań kaczych W zadau rzyjęt: - wsółczyk rzszerzalśc lwej rówy: 5 α, 0 t C - kstrukcje rzekrjach: - rygel ramy I00 - słu ramy I00 astęujących arametrach: 6 kn E 06,0GPa 06,00, J 40 0 x m E J 4408,64 kn m 8 m 4 6.0. 6.0. Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 4 Rys.6.0. Wykresy mmetów zgających w układze dstawwym chdzące klej d: a sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej Z ; b sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej Z Oblczee wsółczyków: 8 m 8 90 [ 6 4 6] m 0 m 6.0. Układ rówań kaczych rzyjme węc stać: 8m 90m Z Z 0 0 6.0.4 Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 5 6. Obcążee temeraturą 5, 0 t 40 0 0, 089 m 0,0 5, 0 t 40 0 6 4 0 0, 07 m 0,0 E J t 0,089 4408,64 8, kn m E J t 0,07 4408,64 75, 87 kn m Układ rówań kaczych rzyjme węc stać: 8Z 90 Z 8, 0 75,87 0 P blczeu wyższych rówań trzyma astęujące wyk: 6.. 6.. Z Z 4,69 0,88 kn kn 6.. Ktrla kematycza Rys.6.. Wykresy mmetów zgających d: a jedykwej sły wrtualej w ym układze dstawwym; b bcążea rzeczywsteg w układze rzeczywstym statycze ewyzaczalym Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
ϕ W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 5, 0 40 6,40 0,0 5 5, 0 0 5,08, 0 0,7 4 0,0 0,0 0,00000 0 rad 6 6..4 Zestawee wyków Rys.6.. Zestawee wyków: a wykres rzeczywstych sł rmalych N ; c wykres rzeczywstych sł tących T ; c wykres mmetów rzeczywstych Wart zwrócć uwagę, że wykresy mmetów zgających dłże są stre zmejszej, c wyka z stea dzałaa ddatkwych węzów. 6. Obcążee sadaem Rys.6.. Obcążee sadaem a układ rzeczywsty; b reakcje wstałe d sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej Z ; c reakcje wstałe d sły jedykwej rzyłżej w mejsce ewadmej Z Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 7 [ 0,05 ] 0, m [ 0,05 6 0,0] 0, m 05 045 E J 0,05 4408,64 66, 9 kn m E J 0,045 4408,64 98, 88 kn m 6.. Układ rówań kaczych rzyjme węc stać: 8 Z 90 Z 66,9 0 98,88 0 P blczeu wyższych rówań trzyma astęujące wyk: 6.. Ktrla kematycza Z Z,674 kn,04 kn 6.. Rys.6.. Ktrla kematycza d: a układ rzeczywsty dday bcążeu; b wykres mmetów zgających d jedykwej sły wrtualej w ym układze dstawwym; c wykres mmetów zgających d bcążea rzeczywsteg w układze rzeczywstym statycze ewyzaczalym ϕ [ 4,4] 0,0 0,05 0,00000 rad 0 rad Pltechka Pzańska 7,64 6 4,40 Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer 6..4
W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI ETODA IŁ 8 Zestawee wyków Rys.6.. Zestawee wyków: a wykres rzeczywstych sł rmalych N ; c wykres rzeczywstych sł tących T ; c wykres mmetów rzeczywstych 7. PROJEKTOWANIE KONTRUKCJI ETODĄ IŁ Zarjektwać kstrukcję tz. wylczyć rzekrje. rętów w tak ssób by sełć waruek duszczalśc. eks σ d W 7.. Przystęując d rjektwaa zakładamy ewe rzekrje. P rzerwadzeu blczeń kazuje sę, że rzyjęte rzekrje e sełają aszych załżeń wytrzymałścwych, ekmczych bądź ych zmusze jesteśmy je zmeć. Przyjmując w kstrukcj e rzekrje zmusze jesteśmy d weg rzwązaa układu metdą sł, eważ zmaa sztywśc rętów cągęła za sbą zmaę macerzy datśc k raz wektra wyrazów wlych w rówaach kaczych. P dkau blczeń we srawdzam, czy rzyjęte d blczeń rzekrje rętów w drugm etae sełają arzuce krytera. Jeżel e, t dkujemy wej zmay rzekrjów rętów wtarzamy blczea. Reasumując kstrukcję statycze ewyzaczalą rjektujemy metdą klejych rzyblżeń. Pltechka Pzańska Kacz, Łdygwsk, Pawłwsk, Płtkwak, Tymer