Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}} 0, 1, 2, 3 0, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}. Widać, że sekwencja czterech pierwszych liczb naturalnych ma nastȩpuj ac a w lasność: (*) Każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem wszystkich tych i tylko tych zbiorów, które w tej sekwencji s a wcześniej od niego. Rozszerzmy sekwencjȩ czterech pierwszych liczb naturalnych do nieskończoności: (1), S( ), S(S( )), S(S(S( ))),... lub (1), { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... tak, aby sekwencja ta mia la w lasność (*), tzn. pi aty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie poprzednich czterech zbiorów, szósty wyraz tej sekwencji jest zbiorem dok ladnie piȩciu poprzedzaj acych zbiorów itd. Jest oczywiste, na mocy Twierdzeń 9 oraz 10, Rozdzia l 7, że każdy zbiór pojawiaj acy siȩ w tejże sekwencji jest liczb a naturaln a. Nie jest wszakże oczywiste, że każda liczba naturalna (w myśl definicji teoriomnogościowej) wystȩpuje w tej sekwencji. Jednakże tak w laśnie jest. Innymi s lowy zbiór N jest dziedzin a standardowego (precyzyjniej: izomorficznego ze standardowym) modelu arytmetyki elementarnej. Za lóżmy bowiem, że tak nie jest. Niech zatem λ 0 N bȩdzie zbiorem, który w sekwencji (1) nie wystȩpuje. Interpretacja teoriomnogościowa tw. 2, 1, Rozdzia l 7, a wiȩc zdanie: x N(x = y N(x = S(y))) jest twierdzeniem ZFC. Ponieważ λ 0, wiȩc na mocy tego twierdzenia: λ 0 = S(λ 1 ) dla pewnego zbioru λ 1 N. Gdyby λ 1 wystȩpowa l w sekwencji (1), to również λ 0 (jako nastȩpnik λ 1 ) wystȩpowa lby w tejże sekwencji, a tak nie jest. Zatem λ 1 nie wystȩpuje w sekwencji. Zatem znowu λ 1 i na mocy tw.2: λ 1 = S(λ 2 ) dla pewnego zbioru λ 2 N, który nie wystȩpuje w sekwencji itd.... Ponieważ λ 1 λ 0, λ 2 λ 1,..., wiȩc sekwencja: λ 0, λ 1, λ 2,... jest nieskończonym zejściem zbioru λ 0 (Rozdzia l 2), co oznacza, że λ 0 jest zbiorem nieufundowanym; zaś zgodnie z aksjomatem ufundowania takich zbiorów w ZFC nie ma. Skoro wiȩc (1) jest sekwencj a wszystkich liczb naturalnych oraz sekwencja ta ma w lasność (*), zatem każda liczba naturalna jest zbiorem wszystkich liczb

1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe 90 naturalnych mniejszych (wcześniejszych) od niej. Rozważmy przez chwilȩ jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*). Niech A bȩdzie dowolnie wybranym zbiorem z tej sekwencji. Wówczas zbiór A ma nastȩpuj ac a w lasność: dla dowolnego a A : a A. Jest tak dlatego, ponieważ dowolny element a zbioru A (gdy A ) znajduje siȩ w powyższej sekwencji przed zbiorem A, zatem każdy element zbioru a, bȩd ac przed a jest tym samym przed zbiorem A, tzn. należy do A. Zbiór A o takiej w lasności nazywamy tranzytywnym. Jest zatem jasne, że w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Nietrudno zorientować siȩ, że w lasność (*) implikuje ponadto, że każdy element jakiegokolwiek zbioru A z tej sekwencji jest zbiorem tranzytywnym. Jeśli bowiem rozważymy jakiś a A, to przecież a musi znajdować siȩ (przed A) w tej sekwencji, zatem a jest zbiorem tranzytywnym. Zbiór tranzytywny, którego każdy element jest zbiorem tranzytywnym nazywamy liczb a porz adkow a. Zatem w lasność (*) sekwencji zbiorów implikuje to, że każdy ze zbiorów tej sekwencji jest liczb a porz adkow a. Wniosek: Każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a (tzn. jest zbiorem tranzytywnym oraz każdy jej element jest zbiorem tranzytywnym naturalnie drugi cz lon tejże koniunkcji jest również wnioskiem z cz lonu pierwszego i Tw. 14, Rozdzia l 7). Powstaje pytanie czy jedynymi liczbami porz adkowymi s a liczby naturalne. Odpowiemy przecz aco, gdy podamy jak akolwiek sekwencjȩ zbiorów maj ac a w lasność (*) i w której wyst api chociaż jeden zbiór nie bȩd acy liczb a naturaln a. Aby podać tak a sekwencjȩ, zastanówmy siȩ najpierw nad warunkami konstrukcji jakiejkolwiek sekwencji maj acej w lasność (*). Otóż, po pierwsze, taka sekwencja zbiorów musi mieć pocz atek (pierwszy wyraz). Gdyby bowiem go nie mia la, to wybieraj ac dowolny zbiór z takiej sekwencji i uk ladaj ac wszystkie zbiory z tej sekwencji wystȩpuj ace przed tym wybranym zbiorem w odwrotnej kolejności, uzyskalibyśmy nieskończone zejście, które, jak wiadomo sk adin ad (por. Rozdzia l 2), nie może istnieć. Po drugie, pierwszy wyraz takiej sekwencji musi być zbiorem pustym, skoro pierwszy wyraz jest, jak każdy, zbiorem, którego elementami s a te i tylko te zbiory, które go w sekwencji poprzedzaj a, a przecież żadne zbiory pierwszego jej wyrazu nie poprzedzaj a. Po trzecie, dla dowolnego A, jeżeli A jest zbiorem wystȩpuj acym w takiej sekwencji oraz A nie jest jej ostatnim wyrazem, to bezpośrednio nastȩpuj acym po A wyrazem tej sekwencji jest zbiór S(A). Bowiem z definicji operacji nastȩpnika, zbiór S(A) jest jedynym zbiorem, którego elementami s a wszystkie elementy zbioru A oraz sam zbiór A. Jeśli wiȩc A nie jest ostatnim wyrazem sekwencji, to po zbiorze A musi w tej sekwencji wyst apić zbiór tych i tylko tych zbiorów, które go w tej sekwencji poprzedzaj a, a poprzedzaj a go w tej sekwencji zbiór A i te zbiory, które s a wcześniej niż A tzn. wszystkie elementy zbioru A.

2. Zbiory tranzytywne 91 Po czwarte, jakakolwiek sekwencja skończona maj aca w lasność (*) jest sekwencj a pocz atkowych n wyrazów sekwencji (1) dla pewnego n. Jest to oczywisty wniosek z warunków drugiego i trzeciego jakie musi spe lniać konstrukcja jakiejkolwiek sekwencji zbiorów o w lasności (*). Po pi ate, jakakolwiek sekwencja nieskończona o w lasności (*) musi zawierać sekwencjȩ (1) i jeżeli nie jest z ni a tożsama, to musi j a zawierać jako swoj a pocz atkow a czȩść w laściw a. Jest to wniosek oparty na tych samych argumentach, na których by l oparty warunek czwarty, tzn. pierwszym wyrazem nieskończonej sekwencji o w lasności (*) jest zbiór oraz bezpośrednim nastȩpnikiem jakiegokolwiek zbioru A tej sekwencji, który nie jest jej ostatnim wyrazem jest zbiór S(A). Widać wyraźnie, że znajdziemy liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a wówczas, gdy skonstruujemy nieskończon a sekwencjȩ spe lniaj ac a (*), której pocz atkow a czȩści a w laściw a jest sekwencja (1) wszystkich liczb naturalnych. Żeby tak a sekwencjȩ podać należy najpierw określić jaki to zbiór winien w niej wystȩpować bezpośrednio po wszystkich zbiorach sekwencji (1) i czy w ogóle taki zbiór istnieje. Otóż zgodnie z warunkiem (*) musi to być zbiór tych i tylko tych zbiorów, które wystȩpuj a w konstruowanej sekwencji przed nim, a wiȩc zbiór, którego elementami s a wszystkie liczby naturalne i tylko one. Krótko mówi ac jest to zbiór liczb naturalnych N. Jeżeli N nie jest ostatnim wyrazem konstruowanej sekwencji, to naturalnie bezpośrednio nastȩpnym jej wyrazem jest zbiór: S(N). Sekwencja nieskończona spe lniaj aca (*), której ostatnim wyrazem jest S(N) ma wiȩc postać:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N). Oczywiście N, jak również S(N) s a liczbami porz adkowymi nie bȩd acymi liczbami naturalnymi. Jest jasne, że nie musimy kończyć konstruowanej sekwencji na wyrazie S(N), lecz możemy rozważyć nieskończon a sekwencjȩ o w lasności (*) bez ostatniego wyrazu, postaci:, S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., N, S(N), S(S(N)), S(S(S(N))),... która wskazuje na nieskończenie wiele liczb porz adkowych nie bȩd acych liczbami naturalnymi. Widać wyraźnie, że pojȩcie liczby porz adkowej jest uogólnieniem teoriomnogościowego pojȩcia liczby naturalnej. Formalnie zajmiemy siȩ liczbami porz adkowymi w nastȩpnych paragrafach. 2. Zbiory tranzytywne Definicja. Dowolny zbiór x nazywamy zbiorem tranzytywnym, gdy y(y x y x). Zbiór jest wiȩc tranzytywny, gdy każdy jego element jest jego podzbiorem.

2. Zbiory tranzytywne 92 Na mocy definicji inkluzji zbiorów, warunek definiuj acy tranzytywność zbioru x można zapisać w postaci: y(y x z(z y z x)) lub równoważnie: y z((z y y x) z x). Z powodu podobieństwa ostatniej formu ly do warunku przechodniości dla relacji należenia do zbioru wywodzi siȩ nazwa tranzytywny od ang. transitive przechodni. Czȩsto w literaturze przedmiotu zbiór tranzytywny nazywany bywa przechodnim. Na użytek tych wyk ladów odróżnimy jednak pojȩcia zbioru tranzytywnego i zbioru przechodniego. Definicja. Zbiór x nazwiemy przechodnim, gdy y, z, v x ((y z z v) y v), czyli gdy relacja należenia do zbioru określona na zbiorze x jest relacj a przechodni a. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}} jest tranzytywny, lecz nie jest zbiorem przechodnim. Z drugiej strony, każdy singleton jest oczywiście zbiorem przechodnim, lecz niekoniecznie tranzytywnym, np. singleton: {{ }} nie jest zbiorem tranzytywnym. Na podstawie Tw. 14, Rozdzia l 7 mamy: x N(x N), zatem zbiór liczb naturalnych jest zbiorem tranzytywnym. N jest również zbiorem przechodnim. W dalszym ci agu okaże siȩ przydatne rozważanie pewnych klas czy mnogości zbiorów, tzn. takich zespo lów zbiorów, które zbiorami w teorii ZFC nie s a. Przyk ladem takiej klasy zbiorów nie bȩd acej zbiorem (jak później to wykażemy) jest mnogość wszystkich zbiorów tranzytywnych. Uogólnijmy pojȩcia tranzytywności oraz przechodniości zbioru, aby stosowa ly siȩ one do dowolnego zespo lu zbiorów: Powiemy, że klasa zbiorów jest tranzytywna, gdy dowolny ze zbiorów tej klasy jest taki, iż każdy jego element jest również zbiorem z tej klasy. Powiemy, że klasa zbiorów jest przechodnia, gdy dla dowolnych zbiorów x, y, z z tej klasy zachodzi: (x y y z) x z. Rozważmy dla przyk ladu klasȩ wszystkich zbiorów tranzytywnych. Zbiór {, { }, {{ }}} (por. przyk lad powyżej) jest zbiorem z tej klasy, lecz jego element {{ }} nie jest zbiorem z tej klasy (tzn. nie jest zbiorem tranzytywnym). Zatem klasa wszystkich zbiorów tranzytywnych nie jest tranzytywna. Jednakże klasa ta jest przechodnia: Twierdzenie 1: y z) x z. Dla dowolnych zbiorów tranzytywnych x, y, z, (x y Dowód: Niech x y oraz y z. Ponieważ z jest tranzytywny, wiȩc y z, zatem x z. Nastȩpuj ace twierdzenie charakteryzuje pojȩcie zbioru tranzytywnego w terminach operacji P,, S:

2. Zbiory tranzytywne 93 Twierdzenie 2: Dla dowolnego zbioru x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x jest tranzytywny, (ii) x P (x), (iii) x x, (iv) x = S(x). Dowód: Równoważność (i) (ii) jest bezpośredni a konsekwencj a definicji zbioru tranzytywnego. (i) (iii): Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Niech y x. Wówczas y z dla pewnego z x. Wtedy z za lożenia z x, wiȩc y x. (iii) (i): Za lóżmy, że x x. Niech y x. W celu wykazania, że y x weźmy z y. Wówczas z x, zatem z za lożenia: z x. Równoważność (iii) (iv) jest bezpośredni a konsekwencj a Tw. 4, Rozdzia l 7 oraz Tw. 13(3), Rozdzia l 1. Jest oczywiste, że zbiór pusty jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że jest on elementem każdego niepustego zbioru tranzytywnego: Twierdzenie 3: Dla dowolnego niepustego tranzytywnego zbioru x : x. Dowód: Niech x bȩdzie tranzytywny i niepusty. Na mocy aksjomatu regularności niech y bȩdzie elementem minimalnym zbioru x, tzn. y x oraz y x =. Z tranzytywności zbioru x mamy: y x, zatem y x = y. Ostatecznie y = czyli x. Twierdzenie 4: Jeżeli x jest tranzytywny, to S(x) jest tranzytywny. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Na mocy Tw. 2, x = S(x), lecz x S(x), zatem S(x) S(x), czyli znowu wed lug Tw. 2, S(x) jest tranzytywny. Twierdzenie 5: Jeżeli x jest tranzytywny, to x jest zbiorem tranzytywnym. Dowód: Za lóżmy, że x jest tranzytywny. Wówczas na mocy Tw. 2, x x. Niech y x. Zatem y x, sk ad (Tw. 11(1), Rozdzia l 1) y x, co świadczy o tym, że x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 6: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x). Dowód: Równoważność (i) (ii) zachodzi dla dowolnego zbioru x (Tw. 5, Rozdzia l 7). Równoważność (ii) (iii) zachodzi dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, ponieważ wówczas x = S(x) (Tw. 2).

3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa 94 Twierdzenie 7: Dla dowolnego zbioru tranzytywnego x, x x wtw S( x) x. Dowód: Jest to bezpośredni wniosek z Tw. 7, Rozdzia l 7 oraz Tw. 2(i) (iv). 3. Liczba naturalna jako liczba porz adkowa Definicja. Zbiór x nazywamy liczb a porz adkow a, gdy x jest tranzytywny oraz każdy element zbioru x jest zbiorem tranzytywnym. Twierdzenie 8: Zbiór jest liczb a porz adkow a. Dowód: Skoro prawdziwa jest formu la y(y y ), wiȩc jest zbiorem tranzytywnym. Naturalnie również prawdziwa jest formu la y(y y jest tranzytywny). St ad jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 9: x(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a) (Nastȩpnik liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a, lub inaczej: klasa liczb porz adkowych jest zamkniȩta na operacjȩ nastȩpnika.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Wobec Tw. 4 wystarczy wykazać, że każdy element zbioru S(x) jest zbiorem tranzytywnym. Niech y S(x). Wówczas y x lub y = x. Gdy y x, to wobec za lożenia, że x jest liczb a porz adkow a: y jest tranzytywny. Gdy zaś y = x, to naturalnie y jest tranzytywny, bo x jest tranzytywny jako liczba porz adkowa. Twierdzenia 8 oraz 9 stanowi a podstawȩ do sformu lowania twierdzenia, iż każda liczba naturalna jest liczb a porz adkow a: Twierdzenie 10: x(x N x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Po lóżmy w Tw. 13, Rozdzia l 7 (interpretacja aksjomatu indukcji dla liczb naturalnych) formu lȩ ψ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a. Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem tak uzyskanej implikacji. Jej poprzednik: jest liczb a porz adkow a x N(x jest liczb a porz adkow a S(x) jest liczb a porz adkow a), jest prawdziwy na mocy Tw. 8 i Tw. 9. Przyk lad: Zbiór {, { }, {{ }}}, choć tranzytywny, nie jest liczb a porz adkow a. Jego element {{ }} nie jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Na mocy Tw. 14, Rozdzia l 7, zbiór liczb naturalnych N jest tranzytywny, zaś na mocy Tw. 10 każdy element zbioru N jest tranzytywny, zatem N jest liczb a porz adkow a. Ponadto jest to liczba porz adkowa, która nie jest liczb a naturaln a (bo N N).

4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 95 4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej Paragraf ten poświȩcimy innym niż definicyjne, lecz równoważnym mu, sformu lowaniom pojȩcia liczby porz adkowej. Twierdzenie 11: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny i przechodni. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest liczb a porz adkow a. Naturalnie x jest wtedy zbiorem tranzytywnym. Ponieważ każdy element zbioru x jest tranzytywny, wiȩc, na mocy Tw. 1, x jest zbiorem przechodnim. ( ): Za lóżmy, że x jest zbiorem tranzytywnym i przechodnim. Aby wykazać, że każdy element zbioru x jest tranzytywny, za lóżmy, że (1) y x oraz (2) z y. Mamy wykazać, że z y. Niech wiȩc (3) v z. Z tranzytywności zbioru x oraz (1) wnosimy, iż y x, zatem z (2) otrzymujemy: (4) z x. Z (4) i z tranzytywności zbioru x mamy: z x, zatem z (3) uzyskujemy: (5) v x. Ostatecznie z przechodniości zbioru x, na podstawie (5), (4), (1), (3), (2) wnosimy, że v y. Analogicznie jak w lasność przechodniości zbioru, zdefiniujmy jego spójność: Definicja. y = z). Zbiór x nazywamy spójnym, gdy y, z x (y z z y Twierdzenie 12: Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a porz adkow a wtw x jest tranzytywny oraz spójny. Dowód: ( ): Za lóżmy, że x jest tranzytywny i spójny oraz nie wprost, że x nie jest liczb a porz adkow a. Wówczas istnieje y x, który nie jest zbiorem tranzytywnym. Czyli dla pewnego zbioru z mamy: (1) z y oraz (2) z y. Z tranzytywności zbioru x wynika, że y x, zatem z (1), z x, co implikuje: (3) z x. Na mocy (2) istnieje zbiór u taki, że (4) u z oraz (5) u y. Ponadto (6) u y.

4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 96 Gdyby bowiem u = y, to z (4) by loby: y z, co wobec (1) oraz Wniosku z Tw. 10, Rozdzia l 2, jest niemożliwe. Na mocy (3) i (4), u x, zatem y, u s a elementami zbioru x, dlatego ze spójności tego zbioru, wobec (5) i (6) otrzymujemy: (7) y u. Lecz (7), (4), (1) wraz z Wnioskiem z Tw. 10, Rozdzia l 2, prowadz a do sprzeczności. Implikacja odwrotna do udowodnionej, a dok ladniej mówi ac zdanie liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym, okaże siȩ bezpośrednim wnioskiem z nastȩpnych twierdzeń tego rozdzia lu (dla dowodu których, Tw.12 nie jest wykorzystywane). Najbardziej istotne poza definicyjnymi, czy też konstytutywne (w sensie, który za chwilȩ wyjaśnimy) dla klasy liczb porz adkowych s a dwa warunki, które teraz podamy w postaci Tw. 13 i Tw. 14: Twierdzenie 13: x(x jest liczb a porz adkow a y(y x y jest liczb a porz adkow a)) (Każdy element dowolnej liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a.) Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a oraz niech y x. Wówczas y jest zbiorem tranzytywnym. Aby dowieść, że jest on liczb a porz adkow a, musimy wykazać, że każdy jego element jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc z y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a, wiȩc x jest tranzytywny. Skoro wiȩc y x, to y x, zatem z x. St ad z jest tranzytywny jako element liczby porz adkowej. Twierdzenie 14: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, z: (x y y z) x z. Dowód: oczywisty na podstawie Tw. 1. Oczywiście, Tw. 13 można interpretować jako stwierdzenie, iż klasa wszystkich liczb porz adkowych jest tranzytywna; natomiast wed lug Tw. 14, klasa ta jest przechodnia. Obecnie wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. Niech W (x) bȩdzie formu l a jȩzyka ZFC z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x, dla której spe lnione s a dwa warunki: (war1) x(w (x) y(y x W (y)), (war2) x y z(w (x) W (y) W (z) (x y y z x z)). Predykat 1-argumentowy W postrzegamy jako w lasność przys luguj ac a zbiorom. Wed lug (war1) jeżeli w lasność ta przys luguje danemu zbiorowi, to przys luguje ona każdemu elementowi tego zbioru. Wed lug (war2) relacja należenia do zbioru jest przechodnia na klasie wszystkich takich zbiorów x, że W (x).

4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 97 Nigdzie nie zak ladamy, że istnieje zbiór postaci: {x : W (x)}, gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2). Jednakże bȩdziemy mówić o klasie czy mnogości takich zbiorów x, że W (x). Jest jasne, że wed lug (war1) taka klasa jest tranzytywna, zaś zgodnie z (war2), klasa zbiorów x takich, że W (x) jest przechodnia. Gdyby jednak istnia l dla jakiejś formu ly W (x), zbiór A = {x : W (x)}, to, jak widać, (war1) by lby równoważny stwierdzeniu: x(x A y(y x y A)), czyli x(x A x A), co jest równoważne temu, że A jest zbiorem tranzytywnym. Z kolei (war2) jest wówczas równoważny stwierdzeniu, że zbiór A jest przechodni. W ten sposób, wobec Tw.11, uzyskaliśmy przyk lad formu ly W (x), dla której zachodz a (war1) i (war2). Wystarczy mianowicie za W (x) przyj ać x A, dla jakiejkolwiek liczby porz adkowej A. W szczególności wiȩc, dla liczby porz adkowej N = {x : x jest liczb a naturaln a}. Zatem dla W (x) postaci: x jest liczb a naturaln a, warunki (war1), (war2) s a prawdziwe (oczywiście tutaj warunek (war1) to Tw.14, Rozdzia l 7). Na mocy Tw.13 oraz Tw.14 widać, że dla formu ly W (x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, warunki (war1) oraz (war2) s a prawdziwe. Wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych, tzn. klasa tych wszystkich x, że W (x), gdzie W (x) jest postaci: x jest liczb a porz adkow a, jest najwiȩksz a ze wszystkich klas zbiorów x takich, że W (x), gdzie W jest dowoln a w lasności a spe lniaj ac a (war1), (war2). Innymi s lowy, wykażemy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest najwiȩksz a tranzytywn a i przechodni a klas a zbiorów. W tym celu wykazujemy, że dla dowolnej formu ly W (x), dla której spe lnione s a (war1), (war2) zachodzi: (*) x(w (x) x jest liczb a porz adkow a). Dowodzimy najpierw, że (1) x(w (x) x jest tranzytywny). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego x prawd a jest, że W (x) oraz x nie jest tranzytywny, co oznacza, że dla pewnego y x : y x; zatem istnieje z takie, że z y oraz z x. Na mocy (war1) mamy W (y) i konsekwentnie W (z). Wówczas z (war2) skoro z y oraz y x, wiȩc z x. Sprzeczność. Pozostaje dowieść: (2) x(w (x) y(y x y jest tranzytywny)). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnych x, y jest tak, że W (x), y x oraz y nie jest tranzytywny. Na mocy (war1) mamy: W (y), zatem dalej rozumowanie przebiega tak samo jak w dowodzie dla (1) tyle, że dla zbioru y nie x. Oczywiście (1) i (2) bezpośrednio implikuj a (*). Warunek (*) ma jednoznaczn a wymowȩ: dowolna klasa zbiorów x takich, że W (x), dla W spe lniaj acego warunki (war1), (war2), a wiȩc dowolna klasa zbiorów tranzytywna i przechodnia, jest mnogości a liczb porz adkowych. St ad

4. Warianty definicyjne dla pojȩcia liczby porz adkowej 98 oraz na podstawie faktu, że mnogość wszystkich liczb porz adkowych sama jest przecież klas a tranzytywn a i przechodni a, wynika, iż jest ona najwiȩksz a (w sensie zawierania ) spośród wszystkich tranzytywnych i przechodnich klas zbiorów. Na podstawie powyższych rozważań jasne jest, że warunki (war1), (war2) charakteryzuj a pojȩcie liczby porz adkowej w nastȩpuj acy sposób: Twierdzenie 15: Dla dowolnego zbioru z, z jest liczb a porz adkow a wtw istnieje formu la W (x) (z dok ladnie jedn a zmienn a woln a x) spe lniaj aca (war1), (war2) taka, że zachodzi W (z). Dowód: ( ): na mocy Tw.13, Tw.14 (W (x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a). ( ): na mocy (*). Inaczej mówi ac, to w laśnie Twierdzenia 13, 14 konstytuuj a pojȩcie liczby porz adkowej, w takim oto sensie: możemy je traktować jako aksjomatyczn a definicjȩ klasy liczb porz adkowych (precyzyjniej predykatu jest liczb a porz adkow a ). Okazuje siȩ, że tȩ definicjȩ można zmodyfikować, analogicznie jak Tw.12 jest modyfikacj a charakterystyki pojȩcia liczby porz adkowej podanej w Tw.11, tzn. zamienić Tw.14 (warunek (war2)) mówi ace, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest przechodnia, na warunek stwierdzaj acy, że klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna. Wcześniej naturalnie należy uogólnić pojȩcie spójności zbioru do pojȩcia spójności dowolnej mnogości zbiorów: powiemy, że klasa (mnogość) zbiorów jest spójna, gdy dla dowolnych zbiorów x, y z tej klasy zachodzi: x y lub y x lub x = y. W dalszym ci agu (lecz dopiero w 6), udowodnimy, że Tw.13 i Tw.14 implikuj a spójność klasy wszystkich liczb porz adkowych. W dowodzie tym wymagane jest zastosowanie jednego z najważniejszych twierdzeń teorii liczb porz adkowych, jakim jest twierdzenie o indukcji pozaskończonej (któremu wobec tego wcześniej musimy poświȩcić uwagȩ ( 5)). Twierdzenie to jest bezpośredni a konsekwencj a Twierdzeń 13, 14. Natomiast obecnie pokażemy, że spójność dowolnej klasy zbiorów implikuje przechodniość tej klasy: Twierdzenie 16: Warunek: (war3) x y((w (x) W (y)) (x y y x x = y)) implikuje warunek (war2). Dowód: Za lóżmy (war3) oraz nie wprost, że (war2) nie zachodzi, czyli dla pewnych zbiorów x, y, z takich, że W (x), W (y), W (z) mamy: (1) x y, (2) y z, (3) x z.

5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej 99 Wówczas zachodzi również (4) x z. Gdyby bowiem x = z, to na mocy (2) by loby: y x, co wraz z (1) i Wnioskiem z Tw.10, Rozdzia l 2, da loby sprzeczność. Na mocy (war3) z (3) i (4) otrzymujemy: z x co wraz z (1) i (2) daje cykl: x y z x, zabroniony na mocy Wniosku z Tw.10, Rozdzia l 2. 5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej Dla klasy zbiorów x takich, że W (x), gdzie W (x) spe lnia (war1), (war2), oraz dla dowolnej formu ly φ(x) jȩzyka ZFC z przynajmniej jedn a woln a zmienn a x zachodzi twierdzenie: (**) x[w (x) ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(w (x) φ(x)) (jeżeli dla dowolnego zbioru x z tej klasy zachodzi φ(x), o ile φ jest spe lnione dla każdego elementu zbioru x, to φ(x) zachodzi dla wszystkich x z tej klasy). Intuicyjność tego twierdzenia jest widoczna w przypadku, gdy ograniczymy je do klasy (zbioru) liczb naturalnych: (**N) x[x N ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x N φ(x)). Ograniczymy siȩ do udowodnienia twierdzenia (**) dla jednej postaci formu ly W (x) : x jest liczb a porz adkow a, czyli dla najwiȩkszej klasy zbiorów x takich, że W (x), dla W (x) spe lniaj acego (war1), (war2). Korzystać bȩdziemy w tym dowodzie wy l acznie z Tw.13 i Tw.14 czyli z warunków (war1) i (war2) dla tej specjalnej postaci formu ly W (x). Każdy latwo odtworzy dowód ogólnego twierdzenia (**) w oparciu o te warunki, na podstawie poniższego dowodu. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))] x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Dowód: Za lóżmy poprzednik dowodzonej implikacji oraz nie wprost niech a bȩdzie tak a liczb a porz adkow a, że φ(a). Na mocy aksjomatu podzbiorów, skoro prawd a jest: x((x a φ(x)) x a), wiȩc y x(x y (x a φ(x))). Zatem niech b bȩdzie takim zbiorem, że (1) x(x b (x a φ(x))). Wówczas oczywiście: (2) b wtw y(y a φ(y)). Z za lożenia, ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc: y(y a φ(y)) φ(a). Jednakże φ(a), zatem y(y a φ(y)), co na mocy (2) daje: b. Niech wiȩc na mocy aksjomatu regularności, c bȩdzie elementem minimalnym zbioru b. Wówczas z (1) mamy:

6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 100 (3) c a oraz (4) φ(c). Ponieważ a jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy (3) oraz Tw.13, c jest również liczb a porz adkow a. Zatem na mocy za lożenia oraz (4), postȩpuj ac analogicznie jak poprzednio dla liczby porz adkowej a, otrzymujemy: (5) y(y c φ(y)). Mamy wiȩc d takie, że (6) d c oraz (7) φ(d). Na mocy (6) oraz Tw.13, d jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug (3),(6) i Tw.14, d a. Ostatecznie na mocy (7) i (1), d b, czyli d c b, sk ad c b, co jednak jest niemożliwe, bo c jest elementem minimalnym zbioru b. 6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych Jedn a z ważnych konsekwencji twierdzenia o indukcji pozaskończonej, a wiȩc konsekwencji Tw.13 i Tw.14, jest w lasność spójności relacji na klasie liczb porz adkowych; innymi s lowy, klasa wszystkich liczb porz adkowych jest spójna: Twierdzenie 17: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, x = z x z z x. Dowód: Dowodzimy formu ly: x[x jest liczb a porz adkow a z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x))], korzystaj ac z twierdzenia o indukcji pozaskończonej, gdzie formu la φ(x) jest postaci: (1) z(z jest liczb a porz adkow a (x = z x z z x)). Wystarczy wiȩc wykazać poprzednik w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej: x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy wiȩc, że x jest liczb a porz adkow a oraz (2) y(y x φ(y)). Mamy wykazać, że φ(x). W tym celu zapiszmy φ(x) z (1) w postaci: (3) z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)), gdzie ψ(z) := x = z x z z x. Lecz (3) jest nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej postaci: (4) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))] z(z jest liczb a porz adkow a ψ(z)). Aby zatem uzyskać (3) dowiedźmy poprzednik implikacji (4), tzn. wykazujemy: (5) z[z jest liczb a porz adkow a ( y(y z ψ(y)) ψ(z))]. Za lóżmy zatem, że z jest liczb a porz adkow a oraz (6) y(y z ψ(y)).

6. Spójność relacji oraz relacja inkluzji dla liczb porz adkowych 101 Aby wykazać ψ(z) czyli formu lȩ: x = z x z z x, za lóżmy, że x z. Wówczas, na mocy Tw.2, Rozdzia l 1: (7) x z z x. Niech alternatywa (7) bȩdzie prawdziwa w ten sposób, iż x z jest prawdziwe. Wówczas dla pewnego c mamy (8) c x oraz (9) c z. Z (8) i (2) mamy natychmiast: φ(c). St ad (zob. postać (1)), od l aczaj ac kwantyfikator dla wziȩtej wcześniej liczby porz adkowej z mamy: c = z c z z c. Zatem na mocy (9), c = z lub z c. Niech c = z. Wówczas z (8) otrzymujemy: z x, sk ad konsekwentnie: x z z x. Niech teraz z c. Na mocy (8) oraz Tw.13, c jest liczb a porz adkow a, zatem z x zgodnie z (8) i Tw.14. Konsekwentnie: x z z x. Teraz wykazujemy, że x z z x zak ladaj ac drugi cz lon alternatywy (7). Wówczas dla pewnego d, (10) d z oraz (11) d x. Na mocy (10) i (6) mamy: ψ(d), tzn. x = d x d d x. Z (11), x = d lub x d. Niech x = d. Wówczas z (10), x z, co daje alternatywȩ: x z z x. Niech teraz x d. Ponieważ z jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.13 oraz (10), d jest liczb a porz adkow a. Zatem na mocy Tw.14 oraz (10), x z, co znowu prowadzi do: x z z x. Jest oczywiste, że Tw.17 można wzmocnić do stwierdzenia: dla dowolnych liczb porz adkowych x, z, albo x = z albo x z albo z x, tzn. dok ladnie jeden z cz lonów alternatywy z Tw.17 jest prawdziwy dla dowolnych liczb porz adkowych x, z. Jest jasne, że nie tylko Tw.13 i Tw.14 implikuj a Tw.17, lecz ponadto, na mocy Tw.16 zastosowanego dla predykatu W postaci jest liczb a porz adkow a, Tw.17 implikuje Tw.14. Oznacza to, że koniunkcja Twierdzeń 13, 14 (tzn. aksjomatyczna definicja liczby porz adkowej) jest równoważna koniunkcji Twierdzeń 13, 17. Sk adin ad jest również oczywiste, że dowód Tw.17 w oparciu o Twierdzenia 13, 14 (pośrednio w oparciu o twierdzenie o indukcji pozaskończonej) można prze lożyć na dowód warunku (war3) z Tw.16 w oparciu o warunki (war1), (war2) (pośrednio w oparciu o twierdzenie (**)). Skoro wiȩc warunki (war1), (war2) implikuj a (war3), to stosuj ac te warunki dla fomu ly W (x) postaci: x A, uzyskujemy twierdzenie: dowolny zbiór tranzytywny i przechodni jest zbiorem spójnym, sk ad, na mocy Tw.11 uzyskujemy implikacjȩ: dowolna liczba porz adkowa jest zbiorem spójnym por. Tw.12 i uwagȩ po

7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 102 pierwszej czȩści jego dowodu. Jedn a z konsekwencji aksjomatu ufundowania jest to, że relacja na mnogości liczb porz adkowych (skoro na klasie wszystkich zbiorów) ma w lasność przeciwzwrotności. Tw.14 wskazuje na w lasność przechodniości. Zatem, zgodnie z Tw.6(1), Rozdzia l 3, relacja, w jakiej s a dwie liczby porz adkowe x, y wówczas, gdy x y x = y, jest stosunkiem o w lasnościach czȩściowego porz adku. Okazuje siȩ, iż ów stosunek jest po prostu relacj a inkluzji: Twierdzenie 18: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : (x y lub x = y) wtw x y (inaczej: x S(y) x y). Dowód: Niech x, y bȩd a liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y lub x = y. Niech x y. Ponieważ y jest tranzytywny, wiȩc x y. Gdy zaś x = y, to naturalnie x y. ( ): Za lóżmy, że x y oraz nie wprost niech x y oraz x y. Z Tw.17 mamy natychmiast: y x. Ponieważ x jest tranzytywny, wiȩc y x, co wraz z za lożeniem prowadzi do równości: x = y. Sprzeczność. Wniosek: Dla dowolnych liczb porz adkowych x, y, x y wtw (x y x y). Dowód: Niech x, y bȩd a dowolnymi liczbami porz adkowymi. ( ): Za lóżmy, że x y. Wówczas z Tw.18: x y. Oczywiście x y. Gdyby bowiem x = y, to by loby: x x, co jest niemożliwe. ( ): oczywisty na mocy Tw.18. Na podstawie Tw.17 i Tw.18 jasne jest, że relacja inkluzji ograniczona do klasy wszystkich liczb porz adkowych ma w lasność spójności: dla dowolnych liczb porz adkowych x, y : x y lub y x lub x = y. Jak widać, relacja na klasie wszystkich liczb porz adkowych jest liniowo porz adkuj aca. Ponadto, okazuje siȩ, że klasa wszystkich liczb porz adkowych z relacj a inkluzji ma w lasność dobrego uporz adkowania, co bȩdzie pokazane w kolejnym paragrafie. 7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) Rozważmy dowoln a formu lȩ φ(x) jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a oraz wszystkie te liczby porz adkowe x, dla których spe lnione jest φ(x). Gdyby istnia l zbiór: A = {x : x jest liczb a porz adkow a φ(x)}, wówczas najmniejszy element w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym < A, > nazwalibyśmy zasadnie najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). W ogólności nie mamy gwarancji istnienia takiego zbioru A dla dowolnej formu ly φ(x) (np. gdy φ(x) ma postać x jest liczb a naturaln a, to zbiór A istnieje, jest nim zbiór N). Jednakże pojȩcie najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) można wys lowić niezależnie od istnienia owego zbioru A, podaj ac stosowne warunki definicyjne dla najmniejszego elementu w zbiorze czȩściowo uporz adkowanym:

7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 103 Definicja. Niech φ(x) bȩdzie dowoln a formu l a jȩzyka ZFC, w której x jest zmienn a woln a. Mówimy, że liczba porz adkowa x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) wtw φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a φ(y)) x 0 y]. Twierdzenie 19: Niech x 0 bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a oraz φ(x) formu l a. Nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), (ii) φ(x 0 ) y[(y jest liczb a porz adkow a y x 0 φ(y)) x 0 y], (iii) φ(x 0 ) y(y x 0 φ(y)). Dowód: (i) (ii): Za lóżmy, że x 0 jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x). Wówczas naturalnie mamy: φ(x 0 ). Za lóżmy, że y jest liczb a porz adkow a tak a, że y x 0 oraz φ(y). Wówczas z za lożenia, x 0 y i konsekwentnie na mocy Tw.18, x 0 y lub x 0 = y. Ponieważ z za lożenia drugi cz lon alternatywy nie zachodzi, wiȩc x 0 y. (ii) (i): Za lóżmy (ii) oraz niech y jest liczb a porz adkow a tak a, że φ(y). Oczywiście x 0 = y lub x 0 y. Gdy x 0 = y, to naturalnie x 0 y. Gdy zaś x 0 y, to na mocy (ii), x 0 y. Zatem wed lug Tw.18, x 0 y. (ii) (iii): Za lóżmy (ii) oraz nie wprost niech dla pewnego y 0 : y 0 x 0 oraz φ(y 0 ). Skoro y 0 x 0 zaś x 0 jest liczb a porz adkow a, wiȩc y 0 jest również liczb a porz adkow a. Ponieważ x 0 y 0 (x 0 = y 0 implikuje y 0 y 0, co jest niemożliwe), wiȩc na mocy (ii), x 0 y 0. Istnia lby zatem cykl: x 0 y 0, y 0 x 0, co jest niemożliwe. (iii) (ii): Za lóżmy (iii). Weźmy liczbȩ porz adkow a y tak a, że y x 0 oraz φ(y). Gdyby y x 0, to na podstawie (iii) by loby: φ(y). Zatem y x 0. Ostatecznie, na mocy Tw.17, x 0 y. Twierdzenie 20: Dla dowolnej formu ly φ(x) istnieje co najwyżej jedna najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Dowód: Za lóżmy, że x 0, x 1 s a najmniejszymi liczbami porz adkowymi x takimi, że φ(x). Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) otrzymujemy: (1) φ(x 0 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 0 y) oraz (2) φ(x 1 ) y(y jest liczb a porz adkow a φ(y) x 1 y). Wówczas z (1) mamy: x 0 x 1, z (2) zaś: x 1 x 0. Ostatecznie x 0 = x 1. Fakt, że relacja inkluzji jest na klasie wszystkich liczb porz adkowych relacj a liniowo porz adkuj ac a, oraz poniższe twierdzenie, świadcz a o tym, iż klasa ta jest przez relacjȩ inkluzji dobrze uporz adkowana. Twierdzenie 21: Jeżeli istnieje liczba porz adkowa x, dla której zachodzi φ(x), to istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x).

7. Najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x) 104 Dowód: Udowodnimy transpozycjȩ: jeżeli nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), to x(x jest liczb a porz adkow a φ(x)). Za lóżmy wiȩc, że nie istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że φ(x), co na mocy Tw.19(i) (iii) oznacza, iż x[x jest liczb a porz adkow a φ(x) y(y x φ(y))], równoważnie: (1) x[(x jest liczb a porz adkow a φ(x)) y(y x φ(y))]. Nastȩpnik dowodzonej implikacji jest, jak widać, również nastȩpnikiem w twierdzeniu o indukcji pozaskończonej dla formu ly ze zmienn a woln a x postaci: φ(x). Wystarczy wiȩc wykazać nastȩpuj acy poprzednik w tym twierdzeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a ( y(y x φ(y)) φ(x))]. Za lóżmy nie wprost, że (2) nie zachodzi. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x 0 mamy: (3) y(y x 0 φ(y)) oraz (4) φ(x 0 ). Wtedy z (1) oraz (4) otrzymujemy: y(y x 0 φ(y)). St ad dla pewnego a : a x 0 oraz φ(a) co daje sprzeczność z (3). Jako przyk lad zastosowania pojȩcia najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) sformu lujmy: Twierdzenie 22: Zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a (precyzyjnie choć przesadnie: zbiór jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest liczb a porz adkow a). Dowód: Na mocy Tw.8 oraz definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x), gdzie φ(x) ma postać: x jest liczb a porz adkow a. Twierdzenie 23: x(x jest liczb a porz adkow a x x). Dowód: Na podstawie Tw.3 lub na podstawie Tw.22 i Tw.19(i) (ii).