WYZNACZANIE OKRESU MAŁYCH I DUŻYCH WAHAŃ WAHADŁA FIZYCZNEGO

1 Cel ćwiczenia Ćwiczenie WYZNACZANIE OKRESU MAŁYCH I DUŻYCH WAHAŃ WAHADŁA FIZYCZNEGO Celem ćwiczenia jest pomiar okresu wahań wahadła fizczneo i porównanie wników uzskanch z doświadczenia z rezultatami obliczeń teoretcznch Obliczenia przeprowadzane są kilkoma sposobami na podstawie rozwiązania równania opisująceo dowolnie duże ruch wahadła (za pomocą całek eliptcznch), poprzez numerczne całkowanie równań ruchu, jak również prz wkorzstaniu przbliżoneo równania ruchu opisująceo małe wahania Wprowadzenie Wahadłem fizcznm nazwa się ciało sztwne obracające się wokół nieruchomej poziomej osi w jednorodnm polu sił ciężkości 1 Oś obrotu nie może przechodzić przez środek ciężkości wahadła Analiza ruchu wahadła fizczneo jest klascznm zadaniem z mechaniki Wahadło może bć przkładem z zakresu dnamiki ciała poruszająceo się ruchem obrotowm Dobrze ilustruje ono zastosowanie twierdzenia o ruchu środka mas do wznaczania reakcji łożsk dla ciał poruszającch się ruchem obrotowm Wkorzstwane jest także jako przkład ruchu harmoniczneo, drań harmonicznch Mając na uwadze dnamiczne równania ruchu ciała można na przkładzie wahadła w krótkim czasie pokazać jak wprowadza się równania ruchu układu prz wkorzstaniu równań Larane a, a także, na czm polea linearzacja modelu matematczneo Uwzlędnienie oporów ruchu (tarcie w łożskach, opór powietrza) komplikuje równania ruchu, ale pozwala zilustrować szere innch zjawisk (wasanie wahań, ruch quasi-okresow) Pomiar okresu wahań ciała wokół określonej osi pozwala na doświadczalne wznaczenie momentu bezwładności ciała wzlędem tej osi (jest to prosta i dokładna metoda wznaczania momentu bezwładności ciał o skomplikowanch kształtach) W analizie dnamiki maszn wahadło fizczne jest użwane do modelowania ruchu zawieszoneo ładunku (np w obliczeniach suwnic) 3 Podstawowe zależności teoretczne Rozpatrwan jest model wahadła (rs 1) obracająceo się wokół osi eo położenie jest opisane za pomocą kąta Do oznaczenia parametrów ciała użte został następujące smbole: masow moment bezwładności wzlędem osi wahań (), m s całkowita masa wahadła, odlełość środka ciężkości (punktu C) wahadła od osi wahań 1 Brła sztwna, na którą nałożone są więz eometrczne dozwalające na obrót ciała wokół jedneo punktu nosi nazwę wahadła sferczneo Interesujące są też różne inne rodzaje układów nazwanch wahadłami jak na przkład wahadło Foucaulta (w równaniach ruchu wahadła jest uwzlędnione przspieszenie Coriolisa wnikające z ruchu obrotoweo Ziemi), wahadło eliptczne (to jest takie, któreo punkt zawieszenia porusza się ruchem harmonicznm), cz też wahadła smpatczne (dwa jednakowe wahadła matematczne połączone sprężną) Chodzi tu o zastąpienie nieliniowch równań ruchu równaniami liniowmi Autor ćwiczenia B Mianowski, rsunki B Mianowski, akcja: K anuszkiewicz, Grabski

Wznaczanie okresu małch i dużch wahań wahadła fizczneo 31 Równania ruchu wahadła fizczneo Rs 1 Wahadło fizczne Równanie ruchu wahadła fizczneo (rs 1) ma postać & = ms sin Równanie (1) można przedstawić jako (1) ms & + sin = () Równanie o postaci (4) lub () jest nieliniowm równaniem różniczkowm Analitczne rozwiązanie takieo równania można wznaczć użwając całek eliptcznch Taki sposób rozwiązania jest omawian w punkcie 33 Równanie to może bć też rozwiązwane dla zadanch parametrów wahadła na drodze numercznej Przjmując, że dla małch kątów funkcję sin można zastąpić kątem wrażonm w mierze łukowej (sin ), równanie ruchu wahadła () można przedstawić w formie ms & + = (3) est to liniowe równanie różniczkowe, które opisuje ruch wahadła prz małch wchleniach (to znacz nieprzekraczającch kilku stopni) od położenia równowai Rozwiązaniem oólnm teo równania jest funkcja harmoniczna o postaci = a sin( ω t + α ) (4) 3 Okres małch wahań wahadła fizczneo Funkcja (7) jest funkcją okresową, o okresie (T) równm T =, prz czm ω ms ω = () Okres wahań wahadła fizczneo dla małch kątów wchlenia jest określon zależnością dzie: l - jest nazwane dłuością zukowaną wahadła l = m s l T = =, (6) ms

Dłuość zukowana wahadła fizczneo może bć przedstawiona w postaci + m s l = = = ms ms m s + Ćwiczenie nr s, (7) dzie oznacza moment bezwładności ciała wzlędem osi centralnej (przechodzącej przez środek ciężkości C) Przkładow przebie funkcji l (s) jest przedstawion na rsunku (dla danch wartości i m) Funkcja ta ma minimum lokalne, a więc dla każdeo wahadła fizczneo można wznaczć takie wzajemne położenie osi obrotu i środka ciężkości, dla któreo okres drań T osiąa minimum Rs Przebie zmian dłuości zukowanej wahadła (l ) w funkcji odlełości środka ciężkości wahadła od osi obrotu (s) Z analiz przebieu funkcji l =f(s) wnikają następujące wnioski: Minimaln okres wahań wahadła fizczneo jest określon zależnością T min m = Minimalnemu okresowi wahań odpowiada minimalna dłuość zukowana wahadła ( l ) min = m Minimaln okres wahań wahadła ma miejsce wted, d odlełość środka ciężkości ciała od osi obrotu wnosi 1 sm = ( l ) min = m eśli odlełość s jest różna od s m ( s sm ), to każdej dłuości zukowanej ( l > ( l ) min ) odpowiadają dwie wartości odlełości s (s = s 1 i s = s, prz czm s 1 + s = l ), dla którch okres wahań jest jednakow Zatem ciało zawieszone na osi przechodzącej przez punkt O ma ten sam okres wahań jak w przpadku osi przechodzącej przez punkt O i nosi nazwę wahadła odwróconeo albo rewersjneo 3

Wznaczanie okresu małch i dużch wahań wahadła fizczneo 33 Okres dużch wahań wahadła fizczneo rozwiązanie analitczne Równanie ruchu wahadła prz dowolnie dużch wchleniach ma postać podaną równaniem (4), to znacz d = m s sin (8) dt Wprowadzając dłuość zukowaną wahadła fizczneo l = równanie ruchu można przedstawić w formie m s d = sin (9) dt Wkorzstując poniższą zależność 3 d dω dω d dω 1 d = = ω = ( ω ) równanie (1) można przedstawić jako Rozdzielając zmienne i całkując obie stron równania otrzmuje się dt l (1) = dt d dt d d d d d ( ω ) sin = (11) l ( ω ) sin d = (1) l ω = cos + h, (13) l dzie stała całkowania została oznaczona jako h (h = const) Zakładając warunki początkowe (dla t = ) o postaci: ( ω ) = t=, ( ) t = (rs 3) i wznaczając dla tch warunków stałe całkowania otrzmuje = o się h = cos (14) l Rs 3 Położenie początkowe ( ) i dowolne położenie () wahadła Równanie określające kwadrat prędkości kątowej wahadła ma zatem postać ω d = dt = (cos cos ) l (1) 3 Mniejszą czcionką jest przedstawione rozwiązanie nielinioweo równania ruchu (1) Zapoznanie się z tm rozwiązaniem pozwala zorientować się, jakie trudności stwarza analiza ruchu wahadła prz dużch wchleniach 4

Dla wznaczenia okresu dużch wahań wahadła konieczne jest rozwiązanie równania d = ± (cos cos) dt Równanie to jest również rozwiązwane metodą rozdzielenia zmiennch stąd l l dt = ± d (cos cos ) Całkując lewą stronę w ranicach (, t), a prawą w ranicach (, ) otrzmuje się l t = ± d (cos cos ) Ćwiczenie nr (16) (17) (18) Ponieważ dla wahadła kąt zmienia się w ranicach (, + ), to wrażenie (cos cos) przjmuje dodatnie wartości ((cos cos ) >), a kąt w pierwszej fazie ruchu będzie malał (rs3) Należ zatem przjąć znak minus przed pierwiastkiem l t = We wzorze () można wkorzstać następujące tożsamości: d (cos cos ) (19) cos = 1 sin, cos = 1 sin () i wprowadzić nową zmienną ψ sin sinψ = sin (1) Wznaczając różniczkę zupełną wrażenia (4) otrzmuje się 1 cos d cosψ d ψ =, sin () stąd sin d = cosψ dψ cos (3) Stosując zamianę zmiennch należ ustalić (na podstawie zależności (4)) nowe ranice całkowania: - dolną (po wstawieniu = ) (sinψ ) = sin = = 1, sin (4) skąd ( ψ ) =, () = - órną (po podstawieniu = ) (sinψ ) = = =, sin (6) a więc ( ψ ) = (7) Uwzlędniając powższe w zależności (), po przekształceniach otrzmuje się t = l = 1 sin dψ sin ψ (8)

Wznaczanie okresu małch i dużch wahań wahadła fizczneo lub zmieniając znak poprzez zmianę ranic całkowania Wprowadzając oznaczenie otrzmuje się Całka o postaci t = l t = k dψ 1 sin sin ψ = sin, (9) (3) l dψ (31) 1 k sin ψ ψ d ψ 1 k sin ψ (3) nosi nazwę całki eliptcznej pierwszeo rodzaju w postaci Leendre'a W przpadku, d órna ranica całkowania wnosi, to omawiana całka jest nazwana całką eliptczną zupełną pierwszeo rodzaju F, k = dψ K 1 k sin ψ (33) Nie ma ona rozwiązania na drodze elementarnej ej wartości liczbowe podawane są w tablicach całek eliptcznch jako funkcje parametru k Poszukiwane rozwiązanie równania (), które jest rozwiązaniem równania ruchu wahadła (11) ze wzlędu na zmienną t można zatem przedstawić jako Wznaczon w ten sposób czas t dla kąta, zmieniająceo się w ranicach (, ) odpowiada 1/4 okresu wahań Zatem okres dużch wahań wahadła τ ( τ = 4t ) jest wrażon zależnością t = l K (34) l τ = 4 K = 4 K (3) ms W obliczeniach można posłużć się rozwinięciem funkcji K = f(k) w szere wzlędem parametru k ( n 1) 1 1 3 4!! n K = 1+ k + k + + + k (36) n 4 n! Oraniczając się do kilku pierwszch wrazów rozwinięcia (n = 3) i wkorzstując (33) otrzmuje się 1 9 4 6 K 1+ sin + sin + sin (37) 4 64 6 Na rsunku 4 porównane został wartości K otrzmane z zależności przbliżonej (4) i ścisłej 6

Rs 4 Dokładna i przbliżona wartość całki eliptcznej (K) Widać, że dla kąta wchlenia mniejszeo od 8 różnice obu wartości są niezauważalne 4 Opis stanowiska pomiaroweo dokladne Widok stanowiska, na którm są przeprowadzane pomiar okresu wahań wahadła przedstawia rs Rs Widok stanowiska pomiaroweo Ćwiczenie nr Zasadniczą częścią stanowiska jest pręt (1) ułożskowan na poziomej osi Na pręcie można mocować dodatkowe ciała - półwalec () lub walec (rs 6) Wskazówka (3) służ do odcztu kąta wchlenia wahadła od pionu Do osi wahadła zamocowan jest czujnik optczn (4) współpracując z miernikiem uniwersalnm, któr umożliwia pomiar okresu wahań Rs 6 Wahadła o różnch momentach bezwładności zależnch od położenia dodatkowch ciał; badane wariant wahadła 7

Wznaczanie okresu małch i dużch wahań wahadła fizczneo 41 Moment bezwładności wahadła Okres wahań wahadła fizczneo zależ od sposobu rozmieszczenia mas wahadła i położenia osi wahań wzlędem środka mas Pomiar okresu wahań są przeprowadzane dla kilku wariantów wahadła różniącch się masą i momentem bezwładności (rs 6) Zmianę momentu bezwładności wahadła prz zachowaniu niezmienioneo położenia środka ciężkości wzlędem osi wahań osiąa się przez obrót o 9 brł mocowanej na pręcie wahadła Wmiar i mas elementów wahadła Pręt - wmiar są zaznaczone na rs 7 l =,4 m s =, m m =,9 k W obliczeniach jest pomijana masa wskazówki i zmiana kształtu pręta prz oprawie łożsk Rs 7 Pręt Walec pokazan na rs 8 H =,1 m R =,37 m r =,8 m, h = R =,7 m m =,8 k Rs 8 Walec Półwalec pokazan na rs 9 H =,4 m R =,66 m r =,8 m h = R=,66 m m =,4 k Rs 9 Półwalec Obliczenie momentów bezwładności Dla każdeo z badanch wariantów wahadła (pokazanch na rs 6) należ wznaczć jeo moment bezwładności wzlędem osi wahań Obliczenie momentu bezwładności wzlędem osi wahań dla wahadła z zamocowaną brłą (walcem lub półwalcem) przeprowadza się dla aktualneo położenia brł (odlełość L na rs 6) Prz wznaczaniu momentów bezwładności należ wkorzstać twierdzenia Steinera Moment bezwładności pręta, walca i półwalca został podane w tablic 1 (W obliczeniach tch wielkości uwzlędnione zostało wcięcie walcowe wwiercon otwór) Tablica 1 Zestawienie wartości momentów bezwładności elementów wahadła Nazwa elementu Masa Masow moment bezwładności m ξ η k k m k m Uwai pręt,9 8 1-3 oś nie jest osią centralną dla pręta - rs7 walec,8 3,6 1-3 11, 1-3 osie są osiami centralnmi - rs8 półwalec,4,9 1-3,87 1-3 osie są osiami centralnmi - rs9 8

Sposób przeprowadzenia ćwiczenia Ćwiczenie nr Zasadniczą część ćwiczenia stanowią pomiar i obliczenia okresu wahań (do ich realizacji jest wkorzstwan proram komputerow wahadloexe) W proramie wkonwane są międz innmi obliczenia okresu wahań prz dużch wchleniach wahadła na podstawie rozwiązania analitczneo przedstawioneo w punkcie 33 Dnamiczne równanie ruchu modelu wahadła z uwzlędnieniem oporów ruchu (w łożskach, oddziałwanie powietrza), ma postać & = M sin( & ) m s sin (38) Sił oporu został zukowane do par sił o momencie M Użte w obliczeniach wartości momentu M odzwierciedlają rzeczwiste opor ruchu wahadła Równanie to jest rozwiązwane metodą numerczneo całkowania Dodatkowo w czasie wkonwania ćwiczenia jest użwan proram komputerow wahfiz_pexe est to proram umożliwiając numerczne rozwiązanie równań ruchu wahadła fizczneo jednak nie jest on dostosowan do istniejąceo stanowiska pomiaroweo 1 Wznaczanie okresu wahań dużch wchleń wahadła Przed przstąpieniem do pomiarów należ z udziałem prowadząceo ćwiczenie - wbrać spośród przedstawionch w tablic wariant, dla którch będą przeprowadzone pomiar i obliczenia Poniżej omówione są kolejne cznności, które należ wkonać podczas realizacji ćwiczenia 1 Włączć zasilacz optczneo czujnika okresu wahań, miernik czasu i komputer Przeprowadzić pomiar okresu wahań a) Wchlić pręt (bez dodatkowch ciężarów) o kąt i puścić swobodnie (bez prędkości początkowej) b) Odcztać wskazanie miernika okresu i zapisać o w kolumnie 1 tablic Pomiar powtórzć dla początkowch wchleń o wartościach 1, 3 i 4 c) Zodnie z ustalonm planem pomiarów umocować na pręcie wahadła walec lub półwalec Zanotować w kolumnie 6 odlełość L (określić ją na podstawie nacięć na pręcie, wkonanch co mm - pierwsze nacięcie znajduje się w odlełości mm od osi wahań) Uwaa: Skontrolować poprawność zamocowania brł na pręcie Ich łówne osie bezwładności muszą bć równolełe (prostopadłe) do osi wahań d) Wkonać pomiar dla początkowch wchleń podanch w kolumnie 9 tablic, a wniki zanotować w kolumnie 1 tej tablic 3 Uruchomić proram komputerow wahadloexe Wprowadzić wmaane dane liczbowe i wkonać obliczenia Wświetlone na ekranie rezultat obliczeń (masa wahadła m, odlełość środka mas s, moment bezwładności wahadła, dłuość zukowana l, okres wahań T) zanotować odpowiednio w kolumnach 3,, 7, 8, 11 tablic 4 Uruchomić proram komputerow cwiczexe i wprowadzić wmaane dane liczbowe dla jedneo z analizowanch wariantów (najlepiej dla kąta 3 albo 4 ) Wbrać w menu opcje Obliczenia i po wkonaniu przez komputer obliczeń należ przejrzeć otrzmane rezultat (przebiei czasowe: wchlenia, prędkości, enerii itd) Uwaa: Przebiei te są wznaczane poprzez numerczne całkowanie równań ruchu Numerczna analiza i smulacja ruchu wahadła (proram wahfiz_pexe ) Uruchomić proram komputerow wahfiz_pexe 4 W uzodnieniu z prowadzącm ćwiczenie przeprowadzić eksperment numerczne (to znacz wkonać obliczenia i porównać wniki) dla różnch zestawów danch: 4 1 Wkonać obliczenia dla różnch wartości współcznnika tłumienia Przeprowadzić eksperment prz różnch prędkościach początkowch wahadła 3 Zbadać wpłw położenia osi obrotu wahadła na okres wahań Proram "WAHFIZ_P" został opracowan w Zakładzie Fizki Oólnej Insttutu Fizki Doświadczalnej Uniwerstetu Gdańskieo Prace nad proramem prowadzono w ramach Resortoweo Proramu Badawczo Rozwojoweo PRI141 realizowaneo w roku 199 na Wdziale Fizki Uniwerstetu Warszawskieo po kierunkiem R Kutnera 9

Wznaczanie okresu małch i dużch wahań wahadła fizczneo Po zakończeniu ćwiczenia należ zdjąć z pręta zamocowaną brłę, włączć zasilacz czujnika, miernik i komputer oraz uporządkować stoisko pomiarowe Tablica Zestawienie wników pomiarów i obliczeń Wariant i schemat wahadła 1 rs 7 rs 6-a 3 rs 6-b Masa Moment bezwładności brł wahadła brł wahadła Położenie brł Dłuość zukowana Odlełość Początkowe środka wchlenie ekspertment ciężkości Okres wahań m w m lub m pw L O l s o T dośw T n T l [k] [k] [k m ] [k m ] [m] [m] [m] [ ] [s] [s] [s] 1 3 4 6 7 8 9 1 11 1,9 8 * 1-3,347,,8,8 a,8 3a,8 4 rs 6-c rs 6-d,4,4 4a,4 a,4,7,,7, >,4,44 >,4,44,7,,7, >,4,4 >,4,4 1 3 4 3 3 4 4 teoria nieliniowa liniowa 1

6 Opracowanie wników pomiarów i sprawozdania 61 Obliczenia pomocnicze Ćwiczenie nr Po zakończeniu pomiarów należ obliczć okres wahań w teorii liniowej (wzór 9) i zanotować je w kolumnie 1 tablic Następnie - dla wskazaneo przez prowadząceo wariantu wahadła - wznaczć minimaln okres wahań i odpowiadającą mu odlełość osi wahań od środka ciężkości (odpowiednie wzor w punkcie 3) Porównać otrzmane wniki z tmi zawartmi w tablic, a odnoszącmi się do daneo wariantu wahadła; zaznaczć na schemacie położenie osi wahań i środka ciężkości wahadła 6 Sprawozdanie W sprawozdaniu należ podać: a) temat i cel ćwiczenia, b) zestawienie wników pomiarów (tablica ) i obliczeń teoretcznch, c) wnioski wnikające z przeprowadzonch pomiarów i obliczeń, d) opis wników ekspermentów numercznch 7 Ptania sprawdzające 1 aka jest różnica pomiędz wahadłem fizcznm a wahadłem matematcznm? Co to jest wahadło rewersjne? 3 Wprowadzić równanie opisujące ruch wahadła metodą Newtona-Eulera 4 Dlaczeo rozróżnia się przpadki dużch i małch wchleń wahadła? Cz okres wahań jest zależn od kąta wchlenia wahadła? 6 W jakim przpadku ruch wahadła można traktować jako ruch harmoniczn? 11